Исследовательская работа на тему «Теорема Пифагора»


Городская научно-практическая конференция
«Старт в науку»










Знаменитые теоремы (теорема Пифагора)

Секция «Созидательная сила
великих открытий в математике»









Автор: Заикин Роман Андреевич
11 класс, МБОУ «Средняя
общеобразовательная
школа № 20»

Руководитель: Карпеева Оксана
Валерьевна,
учитель 1 кв. категории,
учитель математики
МБОУ «Средняя
общеобразовательная
школа № 20»




г. Дзержинск
2013 г.
Содержание:
Введение.3
Глава 1. История возникновения теоремы Пифагора5
1.1. Биография Пифагора5
1.2. История возникновения теоремы Пифагора.6
Глава 2. Различные способы доказательства теоремы Пифагора.8
2.1. Формулировки и особенности теоремы Пифагора8
2.2. Доказательства теоремы Пифагора методом разложения9
2.3. Доказательство теоремы Пифагора методом дополнения..14
2.4. Другие доказательства теоремы Пифагора..17
Глава 3. Практическое применение теоремы Пифагора...21
3.1. Применение в геометрии21
3.2. Применение в архитектуре23
3.3. Применение в астрономии.25
3.4 Применение в мобильной связи.26
Заключение27
Список литературы...29
Введение.
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд.
Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII – V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н. э. – и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.
По выражению известного ученого И. Кеплера, «геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем».
Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.
Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «коллекция» содержит около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема актуальна и интересна людям до сих пор.
В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора не рассматривается.
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.
Объект исследования: теорема Пифагора.
Предмет исследования: различные интерпретации и способы доказательства теоремы Пифагора, ее применение при решении практических задач.
Изучая дополнительную литературу по выбранной теме, были выдвинуты гипотезы:
1) существуют другие интерпретации теоремы Пифагора;
2) теорема Пифагора применяется при решении многих практических задач.
Цель исследования: внимательно изучив формулировку теоремы Пифагора, проанализировать доказательства и используя обобщение, предложить иные интерпретации теоремы Пифагора, а также выяснить области применения теоремы Пифагора.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
Провести анализ истории возникновения теоремы Пифагора.
Исследовать различные способы доказательства и рассмотреть иные интерпретации теоремы Пифагора.
Показать практическое применение теоремы Пифагора.
В первой главе исследовательской работы рассматриваем историю возникновения теоремы Пифагора.
Во второй главе мы рассмотрим различные способы доказательства теоремы Пифагора.
В третьей главе мы рассмотрим различные интерпретации теоремы Пифагора.
Мы рассмотрим некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым.
Глава 1. История возникновения теоремы Пифагора.
1.1. Биография Пифагора.
Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым – Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.
В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где было, у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена («пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас.
...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

1.2. История возникновения теоремы Пифагора.
Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.
Теорему Пифагора называют еще «теоремой невесты». Дело в том, что в «Началах» Евклида она ещё именуется, как «теорема нимфы», просто её чертёж очень схожий на пчёлку или бабочку, а греки их называли нимфами. Но когда арабы переводили эту теорему, то подумали, что нимфа – это невеста. Вот так и вышла «теорема невесты». Кроме этого, в Индии, её ещё называли «правилом верёвки».
Исторический обзор возникновения теоремы начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м от одного конца и 4 м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.
Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Древней Индии уже около 18 в. до н. э.
В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.
Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой – на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:
«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».
Глава 2. Различные способы доказательства теоремы Пифагора.
2.1. Формулировки и особенности теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Первоначально теорема устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника: «В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов».
Алгебраическая формулировка: «В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов».
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b, получаем: a2 + b2 = c2.
Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Стоит отметить, что формулировка теоремы данная в школьном учебнике первоначально звучала совсем не так. Приведем переводы формулировок теоремы Пифагора из различных источников:
1. У Евклида эта теорема гласит: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».
2. Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), гласит: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».
3. В Geometria Gulmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».
4. В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном с греческого Ф. И. Петрушевским («Евклидовых начал восемь книг, содержащие в себе основание геометрии», Санкт-Петербург, 1819), теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».
Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, устанавливающей соотношение между сторонами произвольного треугольника, а также известна теорема Пифагора не только на плоскости, но и в пространстве: «Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений».
Также верно обратное утверждение (называемое теоремой обратной теореме Пифагора): «Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой что aІ + bІ = cІ, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c».
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

2.2. Доказательства теоремы Пифагора методом разложения.
Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: «Смотри!», как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.
I. Доказательство, встречающееся в арабском комментарии к Евклиду, составленном Аннаирици около 900 г. н. э. В немного измененном виде это доказательство снова появляется у Гёпеля в 1824 г.
Алгоритм разбиения (в данном случае разложение удается ограничить 5 частями – рис. 3):
Квадраты, построенные на катетах, разбиваются следующим образом: ВС || РD, АВ1 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, ВК || РN.
Квадрат, построенный на гипотенузе, разбивается на 5 частей с помощью следующих дополнительных построений: АС || ЕF, КLHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ЕF, СН HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ОG, РN = ОG, СD HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ЕF = Н.
Доказательство:
1) Обозначим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2)
· АВС =
· РDQ (прямоугольные, АС = DQ, ВС = РD).
3)
· АВС =
· КЕL (прямоугольные, КF = ВС, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, как углы с сонаправленными сторонами), значит АВ = КL.
4)
· КLF =
· РQD, т.е. совпадают треугольники № 4.
5)
· АВХ =
· ЕКL (прямоугольные, КL = АВ, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, как углы с сонаправленными сторонами), т. е. совпадают треугольники № 2.
6)
· СНF =
· АВС (прямоугольные, ВС = СF, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), значит НF = АВ.
7)
· ОСG =
· РАN (прямоугольные, СG = РN, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, как накрест лежащие углы), т.е. совпадают треугольники № 3 и ОG = АN.
8) рассмотрим четырехугольник ОGFH и сравним его с А1В1ХВ:
НF = АВ = А1В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Совместим точку F с точкой В при условии, что НF = А1В, то точка Н совпадет с точкой А1 и сторона НО наложиться на А1В1.
НО = НС – СО = АQ – АР = РQ = АВ = А1В1, при совмещении НО и А1В1 точка О совпадет с В1.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, значит сторона ОG наложится на В1Х.
Рассмотрим четырехугольник В1ХЕЕ1, у которого В1А || ЕЕ1

· АРN =
· ЕВЕ1 (прямоугольные, ВЕ1 = АЕ1 – АВ = СН – ОН = ОС = АР, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, как вертикальные), значит ЕЕ1 = АN = ОG, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, следовательно В1Е1 || ХЕ (т.к. накрестлежащие углы равны), поэтому В1ХЕЕ1 – параллелограмм (противоположные стороны попарно параллельны), откуда В1А = ЕЕ1 и В1А = ОG, поэтому при наложении этих четырехугольников точка G совместиться с точкой А, а значит четырехугольники ОGFH и в А1В1ХВ полностью накладываются друг на друга, т.е. совпадают фигуры № 1.
9) Рассмотрим четырехугольник ВСНЕ и сравним его с РDCN:
РD = ВС, ВЕ = РN.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Совместим точку Е с точкой N, при условии, что РN = ВЕ, значит точка в совпадет с точкой Р и сторона ВС совпадет с РD, т.е. наложится на точку D.
DС = АС = СН.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, следовательно при совмещении точка Н совпадет с точкой С, а сторона ЕН наложится на СN, т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, поэтому четырехугольники НСВЕ и СDРN совпадают, т.е. совпадают фигуры № 5.
Итак, разложенные квадраты являются равносоставленными, следовательно, они равновелики, т.е. aІ + bІ = cІ.
II. Доказательство Гутхейля (немецкий математик, 18 в.). Для данного доказательства характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу видеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.
Квадраты, построенные на катетах, разбиваются следующим образом: АР = b – а, причем а < b,
АР HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 РМ, МN || АР.
Квадрат, построенный на гипотенузе, разбивается так: ВЕ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 IС = О1, АВ || КО2, АС || LО3, АВ || СО4, ВY = LХ = b – а.
Доказательство:
1) Обозначим АВ = а, АС = b, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) О1О2О3О4 – прямоугольник.
3) АВО1С – прямоугольник, значит АВ = СО1 и АС = ВО1
4)
· ВО1С =
· АВС (прямоугольные, АВ = СО1 = а, АС = ВО1 = b).
5)
· ВО1С =
· ВО2К =
· КО3L =
· LО4С =
· АВС (прямоугольные, ВС = ВК = КL = LС, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), следовательно, ВО2 = КО3 = LО4 = а и КО2 = LО3 = СО4 = b.
6) О1О2 = ВО1 – ВО2 = b – а, О2О3 = КО2 – КО3 = b – а, значит О1О2О3О4 – квадрат со стороной b – а и он равен квадрату АРМN, т.е. фигуры № 7 совпадают.
7)
· РGI =
· LСО4 (прямоугольные, GI = СО4 = b, РG = LО4 = b – (b – а) = а), т.е. совпадают фигуры № 3.
8)
· NСI =
· ВО3К (прямоугольные, СI = КО2 = b, СN = ВО2 = b – (b – а) = а), т.е. совпадают фигуры № 4.
9)
· ВСY =
· РМI (IР = ВС, ВY = РМ = b – а, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), т.е. совпадают фигуры № 5.
10)
· МNI =
·КХL (NI = КL, МN = LХ = b – а, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), т.е. совпадают фигуры № 6.
11)
· ЕАF =
· КО3Х (прямоугольные, КО3 = О3Х = ЕF = а), т.е. совпадают фигуры № 1.
12)
· ВЕА =
· YО1С (прямоугольные, ВЕ = АВ = О1Y = а), т.е. совпадают фигуры № 2.
Итак, квадраты равносоставлены, а значит и равновеки, следовательно, aІ + bІ = cІ.
Помимо этих, указанных нами, способов разложения существует еще много других.
III. Доказательство Эпштейна (немецкий математик, нач. 20 в.): его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF (рис. 5). Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным (рис. 6).
Доказательство:
1) Треугольники № 1 совпадают при повороте друг друга на 90° они равны.
2) Треугольники № 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.
3) При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.
4) Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.

IV. Доказательство Бернштейна (советский математик, нач. 20 в.). Разложение, предложенное Бернштейном, состоит из 5 треугольников, 1 четырехугольника и 1 пятиугольника (рис. 7).
V. Доказательство Х. Глюра (швейцарский математик, нач. 20 в.). Доказательство методом разложения квадратов, на равные части называемое «колесом с лопастями», приведено на рис.8. Здесь:
· ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом С; О – центр квадрата, построенного на большем катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Легко видеть, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.
VI. Доказательство «стул невесты» (Индия, 9 в. н.э.). Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа (рис. 9). Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, мы получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.
VII. Доказательство Евклида (древнегреческий математик, 300 г. до н.э.). Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

·Пусть ABDE – квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, a ACFG и BCHI – квадраты, построенные на его катетах (рис. 15). Опустим из вершины С прямого угла перпендикуляр СР на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q, соединим точки С и Е, В и G.
Доказательство:
1)
· АСЕ =
· AGB (АЕ = АВ, АС = АG, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15CAE = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15GAB =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15А + 90°).
2)
· АСЕ и прямоугольник PQEA, они имеют общее основание АЕ и равные высоты, опущенные на это основание (ибо CQ || AE), следовательно S РQЕА = 2S АСЕ
3) Квадрат FCAG и
· BAG имеют общее основание GA и равные высоты, опущенные на это основание (так как BF || AG), значит, S FСАG = 2S ВАG.
4) Из равенства
· А СЕ и
· GB А вытекает равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CFGA.
5) Аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CHIB. А отсюда, наконец, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. aІ + bІ = cІ.

2.3. Доказательство теоремы Пифагора методом дополнения.
Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея всех таких доказательств заключается в следующем. От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом – квадрат, построенный на гипотенузе).
VIII. Доказательство Л. да Винчи (итальянский живописец, 15 в.). Выполним следующее построение (рис. 10): к обычной пифагоровой фигуре приставим сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1, прямая DG обязательно пройдет через С.
Доказательство:
1) Прямая DG делит верхний шестиугольник АDЕFGВ на равновеликие части.
2) Прямая СК делит нижний шестиугольник АСВНКJ на равновеликие части.
3) Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке, на угол 90°; тогда он совпадает с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB, следовательно шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.
4) Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе.
5) Отсюда и вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах, т.е. aІ + bІ = cІ.
IХ. Доказательство Герона (древнегреческий математик, 1 в. н.э.). Здесь за исходные фигуры, из которых путем вычитания равных частей хотят получить искомые квадраты, мы будем брать не две различные фигуры, а одну и ту же. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника (рис. 11). Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рис. 11, при этом прямоугольник распадется на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим сначала из прямоугольника несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:
1) треугольники 1,2,3, 4;
2) прямоугольник 5;
3) прямоугольник 6 и квадрат 8;
4) прямоугольник 7 и квадрат 9.
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:
1) прямоугольники 6 и 7;
2) прямоугольник 5;
3) прямоугольник I (заштрихован);
4) прямоугольник II (тоже заштрихован).
Доказательство:
1) Четыре треугольника 1, 2, 3, 4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7.
2) Прямоугольник 5 равновелик самому себе.
3) Прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику I.
4) Прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику II.
Х. Школьное доказательство. Достроим заданный прямоугольный треугольник до квадрата со стороной (а + b) так, как показано на рис. 12.
Площадь S этого квадрата равна (а + b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15аb, и квадрата со стороной с, поэтому HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда aІ + bІ = cІ.
ХI. Доказательство Пифагора. Геометрическое доказательство, приписываемое Пифагору (рис.13). Вот предполагаемое доказательство самого Пифагора. Построим квадрат, сторона которого равняется сумме катетов a и b данного прямоугольного треугольника Разделим этот квадрат на два квадрата и на два равных прямоугольника со сторонами a и b. В свою очередь, разделим эти прямоугольники на четыре равных прямоугольных треугольника, укладывая эти треугольники так, как показывает рисунок, получим посредине квадрат.
Доказательство:
1) Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол – 180°.
2) Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a + b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата.
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда aІ + bІ = cІ.
ХII. Доказательство Басхары (Индия, 1114 г. н.э.). Данное доказательство приписывают также китайцем, которые знали это доказательство, возможно, за 1000 лет до н. э.
Исходный прямоугольный треугольник вкладывается здесь четырежды в квадрат, построенный на гипотенузе, причем в остатке остается еще малый квадрат, сторона которого равна (а – b), где а – длина большего катета, а b – меньшего. Таким образом, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, выражается так: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда aІ + bІ = cІ.
ХIII. Доказательство Гофмана (русский математик, 19 в.), которое основывается на следующих дополнительных построениях (рис. 34):
BF = CB, BF ( CB;
BE = AB, BE ( AB;
AD = AC, AD ( AC;
точки F, C, D принадлежат одной прямой.
Доказательство:
1)
·ABF =
· ЕCB (BF = CB, BE = AB, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), значит АF = СЕ и SАВF = SЕСВ
2)
·ADF =
· АЕC (АС = АD, АF = СВ, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), значит SАDF = SАЕС
3) четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. SАDFВ = SАВF + SАDF = SЕСВ + SАЕС = SАСВЕ
4) SАDFВ = SАВС + SСВF +S СDА= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, SАСВЕ = S АСВ + SАЕВ = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или а2+ b 2 = с 2.

2.4. Другие доказательства теоремы Пифагора.
Рассмотренные выше доказательства теоремы Пифагора во многом опираются на геометрические свойства фигур, тогда как существуют другие доказательства теоремы Пифагора, которые носят скорее вычислительный (алгебраический) характер.
XIV. Доказательство Харди (английский математик, 20 в). Рассматривая чертёж (рис. 16) и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Пользуясь методом разделения переменных, находим:
Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем
c2 = a2 + b2 + const.
Таким образом, мы приходим к желаемому ответу: c2 = a2 + b2.
Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.
Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим
ХV. Доказательство Хоукинса (английский математик, 1909 г.). Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С повернем на 90° так, чтобы он занял положение С'С В' (рис. 17). Продолжим гипотенузу B'C' за точку С' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок B'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник С'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САС' и СВВ' (или на два треугольника С'В'А и С' В' В. Площадь треугольника САС' равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а площадь треугольника СВВ' = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; таким образом, площадь четырехугольника С'АВ'В равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.Треугольники С'В'А и С'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DВ; поэтому площадь четырехугольника С'АВ'В можно также выразить в виде: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Сравнивая два полученных выражения для площади S, получим: а2 + b2 = с2.
ХVI. Доказательство Гарфилда (американский математик, 1882 г.). Площадь S изображенной на рис. 18 фигуры можно найти, если рассматривать ее как сумму площадей трех треугольников: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
С другой стороны, рассматривая эту фигуру как трапецию, получаем: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Приравнивая найденные выражения, получим: а2 + b2 = с2.
ХVII. Доказательство Вальдхейма (немецкий математик, нач. 20 в.). Площадь S изображенной на рис. 19 фигуры можно найти, если рассматривать ее как сумму площадей прямоугольного треугольника и четырехугольника: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
С другой стороны, рассматривая эту фигуру как трапецию, получаем: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Приравнивая найденные выражения, получим: а2 + b2 = с2
ХVIII. Доказательство с помощью подобия. В прямоугольном
· АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD (рис. 20), тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол
·, треугольники CBD и АВС – общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Откуда следует:
1) АD : АС = АС : АВ или АС2 = АD · АВ.
2) ВС : АВ = ВD : ВС или ВС2 = ВD · АВ.
3) Сложим получившиеся равенства:
АС2 + ВС2 = АD · АВ + ВD · АВ = АВ·(АD + ВD) = АВ2, т.е. aІ + bІ = cІ.
XIX. Доказательство Валлиса (английский математик, 1690 г.). Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С. Из точки А, как из центра, опишем окружность радиуса b, точки ее пересечения с гипотенузой и с продолжением гипотенузы обозначим через D и Е (рис. 21). Из подобия треугольников BCD и ВСЕ вытекает: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15или aІ + bІ = cІ.

ХХ. Векторное доказательство. Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах (рис. 22). Тогда справедливо векторное равенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, откуда имеем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . Возведем обе части в квадрат, получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или aІ + bІ = cІ.





Глава 3. Практическое применение теоремы Пифагора.
3.1. Применение в геометрии.
Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы – это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.
1) Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а (рис. 23). Таким образом,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


2) Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b (рис. 24) вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) Высота h равностороннего треугольника со стороной а (рис. 25) может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом, имеем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничивается планиметрией, а так же рассматривается в стереометрии.
4) Диагональ куба, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника (рис. 26). Катетами треугольника служат ребра куба и диагональ квадрата, лежащего в основании. Отсюда имеем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


5) Диагональ прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с (рис. 27) и получить для диагонали выражение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6) Исследуем правильную пирамиду (рис. 28), например, такую, в основании которой лежит квадрат, и высота которой проходит через центр этого квадрата. Пусть сторона квадрата – а, и высота пирамиды – h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов – высота h, а другой – половина диагонали квадрата HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Вследствие этого имеем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
или
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими – большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: «Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь».

3.2. Применение в архитектуре.
В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рис. 29 представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны:
1) ширине окна (b) для наружных дуг
2) половине ширины, (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) для внутренних дуг
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и, следовательно, радиус равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. И тогда становится ясным и положение ее центра.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рис. 30. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и r = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + p, один катет равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а другой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15– p. По теореме Пифагора имеем:











При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC = а м, и AB = BF (рис.31).  Треугольник ADC – равнобедренный, причем AB = BC = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м, BF = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м. Если предположить, что FD = b м, тогда:
из треугольника DBC: DB = (а – b) м,
из треугольника ABF: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


3.3. Применение в астрономии.
На рис. 32 показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч – прямой.
Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то уравнение примет вид
c · t = l ( произведение затраченного времени на скорость).
Если взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.
Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим уравнение в виде:
v · t' = d (буквой v обозначена скорость движения космического корабля)
Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?).
Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получится уравнение:
c · t' = s
( c – скорость света, а t' – тоже самое время, которое рассматривалось в формуле выше)
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять на нее.
Треугольник ABC составлен из двух половинок – одинаковых прямоугольных треугольников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов – это d, которое рассчитали только что. Второй катет – это s, который проходит свет, и который тоже рассчитан.
Получается уравнение: s2 = l 2 + d 2
В конце 19 века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

3.4 Применение в мобильной связи.
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе R, если известно, что радиус Земли равен 6 380 км (рис. 33).
Согласно свойству касательной:
· ВСО – прямоугольный (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Пусть AB = x км, BC = R км, OC = r = 6380 км, OB = OA + AB, OB = r + x.
Используя теорему Пифагора, получаем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Итак, длина вышки должна быть: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 км.

Заключение.
В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Обобщенность и систематизированность данных позволяет заинтересовать учащихся для более глубокого изучения геометрии и сделать ее привлекательней и интересней.
В первой главе исследовательской работы была рассмотрена биография Пифагора и история возникновения теоремы Пифагора.
Пифагор – это греческий ученый, религиозный и политический деятель. Считается, что он родился на острове Самос (откуда и пошло прозвище Пифагор Самосский). Пифагор происходил из аристократической семьи (считается, что его отец был ювелиром – резчиком драгоценных камней) и в детстве получил превосходное по тем временам образование. Однако этих знаний ему показалось недостаточно, и он отправился в трудное и небезопасное путешествие по странам восточной части Средиземного моря, Египту и Вавилону, чтобы постичь премудрости других народов.
О том, что теорема «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» восходит к Пифагору, утверждали древнегреческий писатель и историк Плутарх (I в.) и древнегреческий философ – идеалист Прокл (V в.).
Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, и поэтому ее назвали «теоремой Пифагора». С таким названием она и сейчас изучается в курсе планиметрии средней школы.
Однако, известно, что она применялась для решения различных задач задолго до Пифагора древними египтянами, вавилонянами, китайцами, индусами и другими древними народами.
Во второй главе мы рассмотрели различные способы доказательства теоремы Пифагора. Пифагором сначала был доказан лишь частный случай теоремы: им рассматривался равнобедренный прямоугольный треугольник. Чертеж, который используют для доказательства этого случая, в шутку называют «пифагоровы штаны» и добавляют: во все стороны равны.
Знакомясь с разными способами доказательства теоремы Пифагора, мы заметили, что одни из них основаны на свойстве равносоставленных фигур, другие – на дополнении до равных фигур, а третьи – на свойстве равновеликих фигур (имеющие равные площади). В этой работе мы рассмотрели лишь несколько способов доказательства знаменитой теоремы, однако их существует гораздо больше.
Изучив историю открытия теоремы Пифагора, выяснилось, что Пифагор открыл не саму теорему, а ее доказательство. Исследовав различные методы доказательства теоремы Пифагора, оказалось, что таких доказательств огромное количество и разделить их можно на следующие:
доказательство методом достроения
доказательство методом разложения
алгебраический метод доказательства
векторное доказательство
доказательство с помощью подобия и др..
В третьей главе мы рассмотрели несколько элементарных примеров практических задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.
Выяснив практическую значимость теоремы Пифагора, оказалось, что теорема имеет большое применение в повседневной жизни в разных сферах человеческой деятельности: астрономии, строительстве, мобильной связи, архитектуре.
Итак, в результате проведённого исследования мы нашли иные интерпретации теоремы Пифагора и выяснили некоторые области применения теоремы. Нами собрано и обработано много материала из литературных источников и Интернета по данной теме. Мы изучили некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме, рассмотрели ряд исторических задач на применение теоремы Пифагора. В результате решения поставленных задач мы пришли к выводу, что выдвинутые нами гипотезы нашли подтверждение. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла своё применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи.
Результатом нашей работы является:
приобретение навыка работы с литературными источниками;
приобретение навыка поиска нужного материала в Интернете;
мы научились работать с большим объёмом информации, отбирать нужную информацию.
Список литературы.
Алексеев И. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие, М., 2011.
Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М., 1956.
Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.
Глейзер Г. Еще раз о теореме Пифагора //Учебно-методическая газета «Математика, № 4, 2005.
Ильяшенко М. П., Яценко Е. В. Универсальный справочник школьника. М., 2008.
Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
Остренкова Г. Несколько способов доказательства теоремы Пифагора // Учебно-методическая газета Математика, № 24, 2010.
Семёнов Е. Изучаем геометрию, М., 2007.
Ткачева М. В. Домашняя математика. М., 1994.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Г. Глейзер, академик РАО, Москва
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], материал взят из книги В. Литцмана.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]









HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER1423HYPER15



HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 26a=0 \Rightarrow c^2 = b^2 = \mathrm{constant}.Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc rabota.doc
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 4

Добавить комментарий