Урок по теме: «Конус. Площадь поверхности конуса», 11 класс


Марина Анатольевна КашенцеваНОУ СОШ №41 ОАО "РЖД", г.Лиски, Воронежская обл.
учитель математики
(2010 / 2011 учебный год)
Конус. Площадь поверхности конуса. 11-й класс
Тип урока: урок изучения нового материала с применением элементов проблемно-развивающего метода обучения.
Цели урока:
познавательные:
ознакомление с новым математическим понятием;
формирование новых ЗУН;
формирование практических навыков решения задач.
развивающие:
развитие самостоятельного мышления учащихся;
развитие навыков правильной речи школьников.
воспитательные:
     воспитание навыков работы в коллективе.
Оборудование урока: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, модель конуса, презентация к уроку, раздаточный материал.Задачи урока (для учащихся):
познакомиться с новым геометрическим понятием - конус;
вывести формулу для вычисления площади поверхности конуса;
научиться применять полученные знания при решении практических задач.
Ход урока
I этап. Организационный.
Сдача тетрадей с домашней проверочной работой по пройденной теме.
Учащимся предлагается узнать тему предстоящего урока, разгадав ребус (слайд 1):

Рисунок 1.
Объявление учащимся темы и задач урока (слайд 2).
II этап. Объяснение нового материала.
1) Лекция учителя.
На доске – таблица с изображением конуса. Новый материал объясняется в сопровождении программного материала «Стереометрия». На экране появляется трёхмерное изображение конуса. Учитель даёт определение конуса, рассказывает о его элементах.(слайд 3). Говорится о том, что конус – это тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника относительно катета. (слайды 4, 5).Появляется изображение развёртки боковой поверхности конуса. (слайд 6)
2) Практическая работа.
Актуализация опорных знаний: повторить формулы для вычисления площади круга, площади сектора, длины окружности, длины дуги окружности. (слайды 7–10)
Класс делится на группы. Каждая группа получает вырезанную из бумаги развёртку боковой поверхности конуса (сектор круга с присвоенным номером). Учащиеся выполняют необходимые измерения и вычисляют площадь полученного сектора. Инструкции по выполнению работы, вопросы – постановки проблем – появляются на экране (слайды 11–14). Результаты вычислений представитель каждой группы записывает в заготовленную на доске таблицу. Участники каждой группы склеивают модель конуса из имеющейся у них развёртки. (слайд 15)
3) Постановка и решение проблемы.
Как вычислить площадь боковой поверхности конуса, если известны только радиус основания и длина образующей конуса? (слайд 16)
Каждая группа производит необходимые измерения и пытается вывести формулу вычисления искомой площади с помощью имеющихся данных. При выполнении этой работы школьники должны заметить, что длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора – развёртки боковой поверхности этого конуса. (слайды 17–21) Используя необходимые формулы, выводится искомая формула. Рассуждения учащихся должны выглядеть примерно таким образом:
Радиус сектора – развёртки равен l, градусная мера дуги – φ. Площадь сектора вычисляется по формуле  длина дуги, ограничивающей этот сектор, равна  Радиус основания конуса R. Длина окружности, лежащей в основании конуса, равна С = 2πR. Заметим, что  Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развёртки его боковой поверхности, то 
Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле SБПК = πRl.
После вычисления площади боковой поверхности модели конуса по выведенной самостоятельно формуле представитель каждой группы записывает результат вычислений в таблицу на доске в соответствии с номерами моделей. Результаты вычислений в каждой строке должны быть равны. По этому признаку учитель определяет правильность выводов каждой группы. Таблица результатов должна выглядеть таким образом:
№ модели I задание II задание
1 48π ~ 48 π
2 (125/3)π ~ 41,67 π ~ 41,67 π
3 75π ~ 75 π
4 (425/9)π ~ 47,22 π ~ 47,22 π
5 (539/9)π ~ 59,89 π ~ 59,89 π
 Параметры моделей:
l=12 см, φ =120°
l=10 см, φ =150°
l=15 см, φ =120°
l=10 см, φ =170°
l=14 см, φ =110°
Приближённость вычислений связана с погрешностями измерений.
После проверки результатов вывод формул площадей боковой и полной поверхностей конуса появляется на экране (слайды 22–26), ученики ведут записи в тетрадях.
III этап. Закрепление изученного материала.
1) Учащимся предлагаются задачи для устного решения на готовых чертежах.
Найти площади полных поверхностей конусов, изображённых на рисунках (слайды 27–32).

2) Вопрос: равны ли площади поверхностей конусов, образованных вращением одного прямоугольного треугольника относительно разных катетов? Учащиеся выдвигают гипотезу и проверяют её. Проверка гипотезы осуществляется путём решения задач и записывается учеником на доске.
Дано: Δ АВС, ∠С=90°, АВ=с, АС=b, ВС=а;
ВАА', АВВ' – тела вращения.
Найти: SППК 1, SППК 2.

Рисунок 5. (слайд 33)
Решение:
1) R=ВС= а ; SППК 1= SБПК 1+ Sосн 1= π а с+π а2 = π а (а + с).
2) R=АС= b ; SППК 2 = SБПК 2 + Sосн 2 = π b с+π b2= π b (b + с).
Если SППК 1 = SППК 2, то а2+ас = b2 + bc, a2 - b2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Т.к. a, b, c – положительные числа (длины сторон треугольника), торавенство верно только в случае, если a = b.
Вывод: Площади поверхностей двух конусов равны только в случае равенства катетов треугольника.(слайд 34)
3) Решение задачи из учебника: № 565.
IV этап. Подведение итогов урока.
Домашнее задание: п.55, 56; № 548, № 561. (слайд 35)
Объявление поставленных оценок.
Выводы по ходу урока, повторение основных сведений, полученных на уроке.
Литература (слайд 36)
Геометрия 10–11 классы – Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М., «Просвещение», 2008.
«Математические ребусы и шарады» – Н.В. Удальцова, библиотечка «Первого сентября», серия «МАТЕМАТИКА», выпуск 35, М., Чистые пруды, 2010.


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

УРОК ГЕОМЕТРИИ В 11 КЛАССЕ УГАДАЙТЕ ТЕМУ УРОКА: УРОК ГЕОМЕТРИИ В 11 КЛАССЕ Тема: КОНУС. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА. О А В К С D E F G КОНУС OK=H OA=OB=OC=R KA=KB=KD=l К О В КОНУС – ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ Δ КОВ : КО – ось вращения. К В О КОНУС РАЗВЁРТКА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА – круговой сектор AK=lПЛОЩАДЬ КРУГА: α РАЗВЁРТКА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА – круговой сектор. AK=lПЛОЩАДЬ КРУГА: S=πl2 ПЛОЩАДЬ РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА S1=πl2/360AK=l AK = l ,< AKA’ = φ φ ПЛОЩАДЬ РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА φ φ ПЛОЩАДЬ РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА AK=l∟AKA’=φ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1. ИЗГОТОВЬТЕ РАЗВЁРТКУ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2. ИЗМЕРЬТЕ ДЛИНУ ОБРАЗУЮЩЕЙ (РАДИУС КРУГОВОГО СЕКТОРА)l=16.2 см. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3. Измерьте центральный угол развёртки боковой поверхности конуса:α=122о ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4. Выполните вычисления по формуле:Sc= πl2 φ /360Пример:Sc= π*16,22 *122 /360≈88,94 π ≈279,4 см2 . ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5. Склейте из заготовки развёртки боковой поверхности модель конуса: ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6. Измерьте радиус основания конуса:R= 5.5 см ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА КАК ВЫРАЗИТЬ ВЕЛИЧИНУ УГЛА φ –ЦЕНТРАЛЬНОГО УГЛА РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА –ЧЕРЕЗ РАДИУС ОСНОВАНИЯ R И ДЛИНУ ОБРАЗУЮЩЕЙ l КОНУСА ? l l ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА КАК ВЫЧИСЛИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ?С=2π R,АК= l,С=2π l. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА КАК ВЫЧИСЛИТЬ ДЛИНУ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ?С1= π l /180 –длина дуги величиной 1о . φ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА КАК ВЫЧИСЛИТЬ ДЛИНУ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ? ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ДЛИНА ДУГИ АА’ СЕКТОРА РАВНА ДЛИНЕ ОКРУЖНОСТИ ОСНОВАНИЯ КОНУСА: ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ПОДСТАВЬТЕ НАЙДЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ φ В ФОРМУЛУ ПЛОЩАДИ РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА ПОЛУЧАЕМ: ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА: SБПК = π R l R – радиус основания, l – длина образующей конуса. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ВЫПОЛНИТЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ МОДЕЛИ КОНУСА ПО ФОРМУЛЕ SБПК = π R l .SБПК = π*5,5*16,2= 89,1π ≈279,9π (см2) О К А В ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА Sппк = Sбпк + SоснSппк = πRl + π R2Sппк = π R(R+l) О А В К 3 5 О ЗАДАЧА 1. По данным чертежа (ОВ=3, КВ=5) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса: О А В К 3 5 О ЗАДАЧА 1 Дано: конус; R=3,l=5.Найти: SБПК , Sппк.Решение.SБПК = π*3*5=15 π;Sосн = π*32 =9 π;Sппк =15π+9π=24π. А О В К 5 12 ЗАДАЧА 2. По данным чертежа (ОВ=5, КО=12) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса: О В К 5 12 А ЗАДАЧА 2. Дано: конус; R=5, h=12.Найти: SБПК , Sппк.Решение.l2=144+25=169, l=13;SБПК=π*13*5=65 π;Sосн = π*52 =25 π;Sппк =65π+25π; Sппк =90π. о30 К А В О 6 ЗАДАЧА 3. По данным чертежа (ОВ=6, ∟АКО=30о) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса: о30 К А В О 6 ЗАДАЧА 3. Дано: конус; R=6,∟АКО=30о.Найти: SБПК , Sппк.Решение.l=R/sin30о,l=6/0.5=12;SБПК=π*12*6=72π;Sосн = π*62 =36π;Sппк =72π+36π; Sппк =108π. А В С А В С С В С ЗАДАЧА 4. РАВНЫ ЛИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДВУХ КОНУСОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ВРАЩЕНИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА АВС ВОКРУГ КАТЕТОВ? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4 1) R=ВС= a ; SППК 1= SБПК 1+ Sосн1=π a с+π a2 = π a (a + с).2) R=АС= b ; SППК 2= SБПК 2+ Sосн2=π b с+π b2= π b (b + с).Если SППК 1 = SППК 2, то a2 +aс = b2 +bc, a2-b2+ac - bc=0, (a-b)(a+b+c)=0. Т.к a,b,c – положительные числа (длины сторон треугольника), то равенство верно только в случае, если a = b. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: УЧЕБНИК СТЕРЕОМЕТРИИ ПОД РЕД. Л. С. АТАНАСЯНА - п.55, 56; № 548, № 561. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! ЛИТЕРАТУРА: 1. ГЕОМЕТРИЯ 10 - 11 классы – Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М., «Просвещение», 2008;2. «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ И ШАРАДЫ» - Н.В. Удальцова, библиотечка «Первого сентября», серия «МАТЕМАТИКА», выпуск 35, М., Чистые пруды, 2010.


Рецензия
на урок по теме: «Конус. Площадь поверхности конуса»
учителя математики НОУ СОШ №41 ОАО "РЖД", г.Лиски, Воронежская обл. Кашенцевой Марины Анатольевны 
Тип данного урока - урок изучения нового материала с применением элементов проблемно-развивающего метода обучения. На уроке школьники знакомятся с новым геометрическим понятием – конусом. Им предлагается самостоятельно вывести формулы для вычисления площади поверхности тела вращения. Также учащиеся выполняют упражнения по применению выведенных формул для решения практических задач. На уроке используется групповая форма работы, что способствует формированию коммуникативных УУД, выработке у учащихся умения аргументировано доказывать свою точку зрения, отстаивать свою позицию; прислушиваться к мнению других, коллективно находить правильные решения. Такой урок способствует развитию различных качеств личности учащегося: сообразительности, критичности мышления, самостоятельное создание способов решения проблемтворческого и поискового характера, а также общеучебных и логических УУД.
Данная разработка имеет практическую значимость, поскольку после небольшой корректировки её можно применять в учебном процессе.
В этом её актуальность и практическая значимость.
Чернова Ирина Николаевна, преподаватель математики КОГПОАУ «Техникум промышленности и народных промыслов города Советска»

Приложенные файлы

  • docx konus. ploschad poverhnosti konusa
    Материал опубликовала Чернова Ирина Николаевна, преподаватель математики КОГПОАУ "Техникум промышленности и народных промыслов города Советска"
    Размер файла: 90 kB Загрузок: 20
  • ppt pril1
    Размер файла: 669 kB Загрузок: 20
  • docx recenziya
    Размер файла: 14 kB Загрузок: 10

Добавить комментарий