Проекты учеников (Решение задач с помощью уравнений)


Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа пгт Лебяжье Кировской области
Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио»


Авторский коллектив: Дудоров Никита , 7 «Б» класс
Жгулев Антон, 7 «Б» класс
Осетров Александр, 7 «Б» класс
Самигуллин
Артем ,7 «Б» класс
Локосов Дмитрий, 7 «Б» класс
Руководитель: Мошкина Татьяна Ивановна, учитель математики
Лебяжье, 2013

План работы
Введение 3
Глава 1.Анализ научной, учебно- методической литературы. 1.Анализ текстовых задач, решаемых с помощью уравнений, в курсе математики 5 класса в учебнике под редакцией Н.Я.Виленкина. 4
2.Анализ текстовых задач, решаемых с помощью уравнений, в курсе математики 6 класса в учебнике под редакцией Н.Я.Виленкина. 5
3.Анализ текстовых задач, решаемых с помощью уравнений, в курсе алгебры 7 класса в учебнике под редакцией С.А.Теляковского. 5
Глава 2.Методика работы над решением задач с помощью уравнений. 1.Подготовительная работа по устранению затруднений, которые испытывают учащиеся при решении задач составлением уравнений в курсе математики 5 и 6 классов. 5-6
2.Логико-психологические этапы решения задачи с помощью составления уравнения. 6
3.Классификация задач по условию в курсе математики 5 -7 классов. 6
4.Примеры решения задач с помощью уравнений в курсе математики 6 класса. 7-14
5. Составление задач по готовому уравнению. 14-16
Заключение 17
Используемая литература 18
Приложения 19-25

Введение
Состояние математической подготовки учащихся характеризуется в первую очередь умением решать задачи. Среди текстовых задач важную роль играют задачи, решаемые с помощью составления уравнений. Многие испытывают затруднения при установлении функциональной зависимости между искомыми и данными и составлении уравнения по условию задачи. Проблемой стало исследование возможностей осознанного решения таких задач на более ранних этапах в курсе математики 5 и 6 классов.
Цель работы: составление пособия по решению задач с помощью уравнений, которое могут использовать учащиеся, учителя и родители при изучении данной темы. Важно, чтобы учащиеся научились не только решать готовые задачи, но и сами могли их составлять по данному уравнению. Считаем, что наша работа актуальна в связи с переходом к новым образовательным стандартам II поколения.
Перед нами стояли задачи: проанализировать содержание учебного материала по теме в курсе математики основной школы, выделить основные типы задач по условию, составить алгоритм их решения; разработать подготовительные упражнения, позволяющие преодолеть трудности при решении задач составлением уравнений; показать образец их решения с использованием схем и таблиц, научить решать задачи разными способами и умению выбирать самый рациональный, на основании проделанной работы сделать выводы.
Проблемой настоящей работы явилось исследование возможностей осознанного решения задач с помощью уравнений на более ранних этапах в курсе математики 5 и 6 классов. Решению таких задач отводится мало времени, делается это без всякой предварительной подготовки, нет классификации задач по условию, четкого алгоритма и образца решения в учебниках. Поэтому возникают трудности в курсе алгебры 7 класса. В 5 классе ограничится решением задач, сводящихся к уравнению F(x)=a (1вида), а в 6 классе и к уравнению вида(2 вида).

Глава 1. Анализ научной, учебно - методической литературы.
1.В учебнике «Математика-5» под редакцией Н.Я.Виленкина содержится около ста задач, решаемых с помощью уравнения. Это задачи, сводящиеся к уравнению F(x) = а (1 типа).
Параграф 2.Сложение и вычитание натуральных чисел, п.10 «Уравнение». Задачи №373, 374,377,397.Они достаточно просты:
1.В корзине было несколько грибов. После того как в нее положили еще 27 грибов, их стало 75.Сколько грибов было в корзине?
2.В мотке было несколько метров проволоки. После того как отрезали 9 м, осталось 25 м. Сколько метров проволоки было в мотке?
3.На первой остановке в пустой автобус вошли несколько человек. На второй остановке вошли 10 человек, а на третьей – вышли 12 человек, после чего в автобусе осталось 17 человек. Сколько человек вошли в автобус на первой остановке?
Параграф 3. «Умножение и деление натуральных чисел», в п.12 «Деление» содержатся задачи сложнее: №486,489.
4.Для покраски стен потребовалось 4 одинаковые банки белил и еще 3 кг зеленой краски. Всего израсходовали 19 кг краски. Сколько килограммов белил было в каждой банке?
Наиболее содержательные задачи содержатся в п.14 «Упрощение выражений»: №578-588, 618-624.
5.Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев - в 9 раз больше, чем столов. Сколько купили столов и сколько стульев?
6.Для приготовления бутылочного клея берут 25 частей песка, 9 частей соды и 5 частей извести (по массе). Сколько потребуется соды, чтобы приготовить 390 кг стекла?
Задачи на уравнение встречаются и дальше в темах: «Площади», «Объемы». «Деление и дроби», «Проценты». Тематика их связана с текущим материалом. Предложенных задач вполне достаточно для того, чтобы учащиеся научились решать задачи вида F(x) = а.
7.Найти площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 23,2 га меньше площади первого.
2.В учебнике «Математика-6» под редакцией Н.Я.Виленкина такие задачи содержатся во всех разделах. Причем рассматриваются задачи 1 и 2 типов в большом количестве. О них будет рассказано ниже.
3.В курсе алгебры 7 класса под редакцией С.А.Теляковского в теме «Выражения, тождества, уравнения» (18 часов) на решение задач с помощью уравнений отводится 3 часа. Первая тема курса алгебры 7 класса является связующим звеном между курсом математики 5-6 классов и курсом алгебры. В ней закрепляются вычислительные навыки, систематизируются и обобщаются сведения о преобразованиях выражений и решении уравнений. Усиливается роль теоретических сведений при рассмотрении уравнений, продолжается работа по формированию у учащихся умения использовать аппарат уравнений для решения текстовых задач. Уровень сложности задач здесь остается таким же, как в 6 классе. Можно уделить внимание решению задач с помощью уравнений при изучении темы «Многочлены». Только в конце учебного года рассматриваются задачи, которые решаются с помощью системы двух уравнений с двумя неизвестными. Материал 7 класса обширный, лишнего времени для обучения решению задач с помощью уравнений нет, поэтому основная работа должна быть проведена в 6 классе.
В курсе алгебры-8 после изучения темы «Квадратные уравнения» расширяется аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач. В курсе алгебры-9 эта работа продолжается, там уже можно решать текстовые задачи с помощью уравнений с помощью составления систем двух уравнений второй степени с двумя переменными.
Итак, на протяжении пяти лет обучения, начиная с 5 класса, учащиеся решают задачи составлением уравнений и вся основная работа по этому вопросу должна быть осуществлена в курсе математики 6 класса. Учащиеся должны научиться решать задачи 1 и 2 видов, уметь различать текстовые задачи по условию и знать методы их решения.
Глава 2.Методика работы над решением задач с помощью уравнений.
1. Подготовительные упражнения можно разбить на две группы:
1)система упражнений, не связанных с изучением текущего материала. Цель таких упражнений – систематическое повторение основных фактов и теоретических положений, уяснение логики и структуры изучаемой дисциплины.
2)система упражнений, преследующих подготовку учащихся к решению составных задач, с которыми ученики ранее не встречались.
Развивать умения решать задачи с помощью уравнений в курсе математики 5-6 классов – одна из главных целей обучения начальной алгебре.
Имеются два основных затруднения учащихся при решении задач составлением уравнений:
1)затрудняет выявление зависимости между искомыми и данными;
2)затрудняет символическая запись зависимостей и уравнения по условию задачи.
Преодолеть эти трудности помогают многочисленные подготовительные упражнения: (приложение1)
Эту работу необходимо начинать уже в 5 классе до решения задач составлением уравнений, целесообразно включать их при изучении тем «Числовые выражения», «Буквенные выражения», систематически повторяя. Затем эта работа продолжается в 6 классе и во всех последующих. Необходимо выполнять подготовительные упражнения во всех разделах в сочетании с изучением текущего материала.
2.Логико-психологические этапы решения задачи с помощью составления уравнения.
Методика работы над решением задачи с помощью уравнений должна состоять из следующих этапов: (приложение 2).
Учитывая принцип наглядности в обучении математике, полезно делать рисунки, иллюстрации, таблицы. Таблица есть средство, орудие мышления при расчленении задачи на составные части, а также и при синтезе этих частей, необходимом для составления уравнения. В законченном виде таблица дает возможность охватить одним взором соотношения между элементами всей задачи, обозреть задачу с целью поиска ее решения.
Рассмотрим этапы решения на примере следующей задачи за 6 класс.
В одном элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, а во второй элеватор добавили 350 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько тонн зерна было первоначально в каждом элеваторе?
1.Анализ и запись условия задачи.
Объекты исследования - количество зерна в элеваторах. Процессов два: изменение запасов зерна в одном и другом элеваторах. Величины, подлежащие рассмотрению: начальное количество H тонн, изменение количества зерна U тонн, конечное количество зерна K тонн, эти величины связаны формулой: HU=K.
Элеваторы Зерна в начале
H,т Изменение
U,т Зерна в конце
K,т Стало поровну
Первый 2x -750 2x-750 Второй x +350 x+350 2.Основание для уравнения.
После изменения зерна в обоих элеваторах стало поровну.
3.Уравнение: 2x- 750 = x +350
4.Решение: 2x-x=750+ 250; x=1100
5.Заполнение таблицы, смысловой анализ решения уравнения: проверка расчетов.
После заполнения таблицы устанавливаем, что найденное значение x удовлетворяет условию задачи.
6.Ответ: 2200т, 1100т.
7.Анализ решения задачи.
Одному из учеников предложить прокомментировать решение. Полезно провести беседу о том, что если за x принять начальное количество зерна в первом элеваторе, то составление уравнения не вызовет затруднений, зато само уравнение несомненно будет сложнее, у него появятся дробные числовые коэффициенты. Можно предложить решить задачу в общем виде, предположив, что из 1 элеватора вывезли a тонн, а во 2 добавили b тонн, оставив остальную часть условия без изменения. Рациональнее I способ решения.
В условии всегда есть предложение, которое служит основанием для составления уравнения. В курсе математики 5 класса задачи, решаемые с помощью уравнений можно разбить на 2 группы, а в 6 классе уже на 4 группы. Эту классификацию мы оформили в виде таблицы – опоры: (приложение 3)
4.Примеры решения задач с помощью уравнений в курсе математики 6 класса.
Учитывая основные дидактические принципы доступности изучаемого материала и дифференцируемого (индивидуального) подхода, предлагаем задачи разбить на 4 группы:
1)для слабых учащихся;
2)для среднего ученика;
3)для сильных учащихся:
4)для сильных учащихся, в основном на занятиях математического кружка.
I Слабым ученикам (базовый уровень) достаточно научиться в 6 классе решать задачи 1 вида, сводящиеся к уравнению вида F(x) = а, а из 2 вида с условием «стало поровну».
В два вагона погрузили 78 тонн груза. В один из них вошло в 2 раза больше, чем, в другой. Сколько груза вошло в каждый вагон?
1 способ 2 способ

Пусть x тонн вошло во 2 вагон, 2 x тонн вошло в 1 вагон
х+2 x= 3х (тонн) вошло в 1 и 2 вагоны вместе, что по условию задачи равно 78 тонн.
Уравнение: 3х=78, х=78:3, х=26
26 т вошло во 2 вагон, (т) вошло в 1 вагон Ответ: 52 т; 26т.
Во 2 способе уравнение: x+=78. Дробные коэффициенты. Рациональнее 1 способ.
В первой бригаде было в 4 раза меньше людей, чем во второй. После того как из второй бригады ушло 6 человек, а в первую поступило 3 человека, то людей в бригадах стало поровну. Сколько человек было в первой бригаде?
1 способ
Бригады Было, человек Изменение, человек Стало, человек
Стало поровну
Первая ? x +3 х+3 Вторая ? 4x -6 4x-6 2способ
Бригады Было, человек Изменение, человек Стало, человек
Стало поровну
Первая +3 Вторая x -6 x-6 Пусть x человек было в 1 бригаде
4x человек было во 2 бригаде
x + 3 человека стало в 1 бригаде
4x- 6 человек стало во 2 бригаде
По условию задачи рабочих в бригадах стало поровну.
4x- 6 = x + 3
4 x- x=6+3
3 x=9
x =3
3 человека было в 1 бригаде.
Ответ: 3 человека было в 1 бригаде.
Пусть x человек было во 2 бригаде
человек было в 1бригаде
человека стало в 1 бригаде
x-6 человек стало во 2 бригаде
По условию задачи рабочих в бригадах стало поровну.
= x-6
- x = -3-6

x =12
12 человек было во 2 бригаде
(человека) было в 1
Ответ: 3 человека было в 1 бригаде.
Рациональнее 1 способ.
II Средний ученик (повышенный уровень), кроме данных задач, должен научиться решать 2 вида , где в условии есть разница «на» и «в», а задачи 1 вида усложнить.
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
В первом мешке было в 2 раза больше муки, чем во втором. Когда из первого мешка взяли 30 кг муки, а во второй добавили 5 кг, то во втором мешке стало в 1,5 раза больше, чем в первом. Сколько килограммов муки было в двух мешках первоначально?
Бригада должна была изготовить определенное количество стульев за 10 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 20 стульев больше, чем планировала. Поэтому за 3 дня до срока ей осталось изготовить 58 стульев. Сколько стульев должна была изготовить бригада?
1 способ
Производительность труда Время Работа (изготовление стульев)
План x стульев / день 10 дней 10х стульев ?
Фактически (х+20) стульев / день 7 дней 7(х+20) стульев
По условию задачи бригаде осталось изготовить 58 стульев.
Уравнение:

66 стульев в день должна была изготовить бригада
стульев должна была изготовить бригада
Ответ: 660 стульев
2 способ
Производительность труда Время Работа (изготовление стульев)
План (х-20) стульев / день 10 дней 10(х-20) стульев ?
Фактически Х стульев / день 7 дней 7х стульев
По условию задачи бригаде осталось изготовить 58 стульев.
Уравнение:

86 стульев в день фактически изготовляла бригада
стульев должна была изготовлять бригада
Ответ: 660 стульев
III Сильный ученик (творческий уровень) должен хорошо владеть всеми предыдущими методами решения задач. Умение решать такие задачи должно быть доведено до навыка. Класс задач еще расширяется, включаются задачи, требующие глубокого развития мышления.
Колхоз купил для детского сада 36 трехколесных и двухколесных велосипедов. У этих велосипедов 93 колеса. Сколько трехколесных и сколько двухколесных велосипедов купил колхоз для детского сада?
1 способ Велосипеды Количество велосипедов Колес у одного Колес у каждого вида Трехколесные ?x 3 3x
Двухколесные ?36-x 2 2(36-x)
2 способ Велосипеды Количество велосипедов Колес у одного Колес у каждого вида Трехколесные 36-x 3 3(36-х)
Двухколесные x 2 2x Оба способа равнозначны.
Ответ: 21трехколесный и 15двухколесных велосипеда.
.
В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?
1 способ Название Штук Ног у одного Ног у каждого вида Фазаны ?19-x 2 2(19-x)
Кролики ?x 4 4x 2 способ Название Штук Ног у одного Ног у каждого вида Фазаны ?x 2 2x
Кролики ?19-x 4 4(19-x) Оба способа равнозначны.
Ответ: 7 фазанов, 12 кроликов.
В двух мешках было по 50 кг сахару. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в нем осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько сахара осталось в каждом мешке?
1 способ
Мешки Было, кг Взяли, кг Осталось, кг 1 50 3х ?50-3х 2 50 x ?50-х в 2 раза меньше
Пусть x кг сахара взяли из 2 мешка, 3x кг сахара взяли из 1 мешка
50-3х кг осталось в 1 мешке, 50-х кг осталось во 2 мешке
По условию задачи в 1 мешке осталось в 2 раза меньше, чем во втором. Уравнение: . Решая его, получаем: x=10
10 кг взяли из 2 мешка, 30 кг – из 1 мешка.
50-10=40(кг) осталось во 2 мешке, 50-30=20(кг) осталось в 1 мешке.
Ответ: 20 кг, 40 кг.
2 способ
Мешки Было, кг Взяли, кг Осталось, кг 1 50 x 50-х 2 50 в 2 раза меньше
Уравнение: . Здесь будут дробные коэффициенты. Рациональнее 1 способ, когда через x обозначаем меньшее число.
IV На занятиях математического кружка в 6 классе предлагаем сильным ученикам (творческий уровень) решать нестандартные задачи на составление уравнения в сочетании с другими методами решения, в частности, использовать круги Эйлера.
В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17- в хоккей, 18 – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта: баскетболом и хоккеем – 4, баскетболом и волейболом – 3, волейболом и хоккеем – 5. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем.
а)Сколько ребят увлекаются лишь одним из этих видов спорта?
б)Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Пусть x человек увлекаются всеми тремя видами спорта одновременно. Эти x элементов будут в пересечении множеств B, Б и Х. Только Б и Х – четыре человека, Б и В – три человека, В и Х – пять человек.
Только Б: 16-(4+3+x)= 9-x человек
Только Х: 17-(4+5+x)=8-x человек
Только B: 18-(3+5+x)=10-x человек
По условию задачи 35 человек увлекаются хотя бы одним видом спорта.
Уравнение:

2 человека занимаются одновременно тремя видами спорта. Только одним видом спорта: 7+6+8=21 человек.
Ответ: а) 21 человек, б) 2 человека.
Медведь с базара плюшки нес,
Но на лесной опушке
Он половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки.
Шел, шел, уселся отдохнуть
И под «ку-ку» кукушки
Вновь половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки. Стемнело, он ускорил шаг,
Но на крыльце избушки
Он снова пол-остатка съел
И плюс еще полплюшки.
С пустой кошелкою – увы!
Он в дом вошел уныло…
Хочу, чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

Ответ: 7 плюшек.
5.Составление задач по готовому уравнению.

На первой машине было в 8 раз больше груза, чем на второй. После того как с первой машины сняли 50 тонн груза, а на вторую погрузили 20 тонн, на второй машине стало в 5 раз меньше груза, чем на первой. Сколько тонн груза было на каждой машине первоначально? (Бронников Коля)
В одном лесу было в 8 раз больше деревьев, чем в другом. После того как в первом лесу вырубили 50 деревьев, а во втором посадили 20 деревьев, то в первом лесу стало в 5 раз больше деревьев, чем во втором? Сколько деревьев было в первом лесу первоначально? (Мартышева Даша)
Во втором ящике было в 8 раз меньше игрушек, чем в первом. После того как из первого ящика взяли 50 игрушек, а во второй ящик положили 20 игрушек, то во втором ящике стало в 5 раз меньше игрушек, чем в первом. Сколько игрушек было во втором ящике первоначально? (Манылова Марина)
На первой стоянке было в 8 раз больше машин, чем на второй. Когда на вторую стоянку приехало еще 20 машин, а с первой уехало 50, то на первой стоянке машин стало в 5 раз больше. Сколько машин было первоначально на каждой стоянке? (Редькина Таня)

В каждом из двух ящиков было по 40 кг яблок. Когда из первого ящика взяли яблок в 2 раза больше, чем из второго, то во втором ящике их стало в 3 раза больше, чем в первом. Сколько килограммов яблок взяли из каждого ящика? (Бронникова Маша)
Масса каждого из двух айсбергов была 40 тонн. Когда от первого айсберга откололся кусок вдвое больший, чем от второго, то масса первого айсберга стала в 3 раза меньше. Какова масса куска, отколовшегося от первого айсберга? (Сухорукова Валерия)
На каждой полке лежало по 40 книг. Когда с первой полки взяли в 2 раза больше книг, чем со второй, то на второй полке стало в 3 раза больше книг, чем на первой. Сколько книг взяли с каждой полки? (Кокорева Наташа)
На каждой из двух полок лежало по 40 дисков. Когда с первой полки взяли в 2 раза больше дисков, чем со второй, то на второй полке их стало в 3 раза больше. Сколько дисков взяли со второй полки? (Скаредина Аня)

На столе лежало 36 монет достоинством 2 рубля и 3 рубля. Всего было 93 рубля. Сколько было двухрублевых монет? (Дудин Дима)
В коллекции у Коли было 36 марок по цене 2 рубля и 3 рубля. Всего за марки он заплатил 93 рубля. Сколько было у коли марок по 3 рубля? (Кокорев Дима)
Для ремонта пола купили 36 плиток по 2 рубля и 3 рубля. За всю покупку заплатили 93 рубля. Сколько купили плиток каждого вида? (Копылов Алексей)
Для столовой закупили 36 тарелок по 2 рубля и 3 рубля. За всю покупку заплатили 93 рубля. Сколько купили тарелок каждого вида? (Окунева Ксения)

Коля затратил на решение второй задачи втрое больше времени, чем на решение первой, а третью задачу решил на 5 минут быстрее первой. Сколько времени затратил Коля на решение третьей задачи, если всего он решал 40 минут? (Баталов Иван)
На второй клумбе было посажено в 3 раза больше кустов роз, чем на первой, а на третьей клумбе – на 5 кустов роз меньше, чем на первой. Сколько было посажено кустов роз на каждой клумбе, если всего рассадили 40 саженцев? (Хохлова Анна)
За второй день туристы прошли втрое большее расстояние, чем за первый день, а за третий – на 5 км меньше, чем за первый день. Сколько километров прошли туристы во второй день, если всего за три дня они прошли 40 км? (Гремитских Антон)
Во второй день трактористы вспахали в 3 раза больше пашни, чем в первый день, а в третий день – на 5 га меньше, чем в первый. Сколько га вспахали в третий день, если всего за 3 дня вспахали 40 га? (Теплых Анна)
Во второй день Ваня выучил в 3 раза больше экзаменационных билетов, чем в первый, а в третий день – на 5 билетов меньше. Сколько билетов учил Ваня каждый день, если всего было 40 билетов? (Швецов Алексей)

На первой полке лежало в 1,5 раза больше книг, чем на второй. Когда с первой полки взяли 3 книги, а на вторую положили 2 книги, то книг на полках стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? (Казанцев Алексей)
На второй машине было груза в 1,5 раза меньше, чем на первой. Когда на вторую машину погрузили еще 2 тонны, а с первой сняли 3 тонны, то груза на обеих машинах стало поровну. Сколько тонн груза было первоначально на первой машине? (Юферев Антон)
На первой стоянке было в 1,5 раза больше машин, чем на второй. Когда с первой стоянки уехало 3 машины, а на вторую прибыло еще 2 машины, то машин на стоянках стало поровну. Сколько машин было на каждой стоянке первоначально? (Чиликов Артем)
В зоопарке медведей было в 1,5 раза больше, чем слонов. Когда поступило 2 слона, а 3-х медведей отправили в цирк, то зверей в зоопарке стало поровну. Сколько было медведей первоначально в зоопарке? (Щеголихина Маша)


Заключение
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы:
1)предлагаемые задачи доступны учащимся;
2)данный материал вызывает у них интерес;
3)использование схем и таблиц облегчает работу по составлению уравнения по условию задачи;
4)материал усваивается успешнее, если проведена подготовительная работа в 5 классе и ребята обучены решению задач 1 вида: F(x) =a;
5)после решения задач обоих видов: F(x) =a и в курсе математики 6 класса эти задачи не вызывают затруднений в курсе алгебры 7 класса, частично они применяются и в курсе геометрии 7 класса;
6)формы обучения могут быть самыми разными: решение задач по теме урока, математический кружок; факультативное занятие;
7)решение задач методом составления уравнений и составление задач по готовому уравнению приучает учащихся к логике рассуждений, систематичности, последовательности, подвижности и гибкости мышления.
Мы думаем, что наша работа является хорошим пособием для учителей, учащихся и их родителей при изучении темы «Решение задач с помощью уравнений» в курсе математики 5-7 классов. Четкая классификация задач по условию, оформленная в виде таблицы – опоры, оказывает огромную помощь при составлении уравнения. Разбиение задач на группы поможет определить уровень усвоения данной темы. Считаем, что наша работа актуальна в связи с переходом к новым образовательным стандартам II поколения.

Используемая литература
1.Виленкин Н.Я.Математика.5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений- М.: Мнемозина, 2010.
2.Виленкин Н.Я.Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений- М.: Мнемозина, 2010.
3.Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра.7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С.А.Теляковского - М.: Просвещение, 2010.
4.Орехов Ф.А. Решение задач методом составления уравнений.- М.: Просвещение, 1971.
5.Канин Е.С. Алгебраические упражнения в восьмилетней школе.- Йошкар – Ола, 1973.

Приложение 1
«Подготовительные упражнения»
I Упражнения в чтении и записи алгебраических выражений.
Например:
1.Записать сумму, разность, произведение и частное следующих пар чисел:
а) 4и 8; б) 3,7 и 5,3; в)2 и а; г) в и 1; д)2 и 7n; е)m и 0,82; ж)c и d; з)x и y; и) и p.
2. В 7 «а» классе 37 учеников, в 7 «б» на n учеников больше. Сколько учеников в 7 «б» классе?
3.Записать числа: а) на 5большее (меньшее) числа p;б) на q большее (меньшее) числа ; в) в 2,6 раза больше числа b ; г) в h раз большее (меньшее) числа 5,82; д) в p раз большее (меньшее) числа q.
4.Завод выпустил за t дней p тонн продукции. Что означают при этих условиях записи:
5.Расстояние от станции до деревни (23 км) лыжник прошел за 2,5 часа. Первые 1,5 часа он шел со скоростью на 2 км/ч большей, чем в последний час. Обозначив буквой v скорость лыжника в последний час, составьте алгебраическое выражение: а) начальной скорости лыжника; б) пути, пройденного за первые 1,5 часа; в) всего пути от станции до деревни.
6.Одну сторону квадрата увеличили на 8 м, другую уменьшили на 4 м. Выбрав обозначение для длины стороны квадрата, запишите: а) длины сторон полученного прямоугольника; б) его периметр; в) его площадь.
7. Проехав за 1 час половину пути, шофер подсчитал, что если он увеличит скорость машины на а км/ч, то вторую половину пути он проедет за 45 мин. Обозначив буквой x скорость машины за первый час, запишите: а) скорость машины за второй час; б) остаток пути, который пройдет машина при этой скорости; в) длину всего пути.
8.Записать в виде равенства:
а)число m вдвое меньше (больше) числа n;
б)число x в сумме с половиной числа y составляет число z.
9.Прочесть, применяя термины «сумма», «разность», «произведение», «частное»:
а); б) ab-c; в) a-bc; г)1- abc; д) a+b+c; е) ab-c; ж) ; з); и); к)(1,5+); л)(1,5+)a – c.
II Упражнения на истолкование алгебраических выражений для различных условий задачи.
Например:
1.Что означает для следующих условий задачи:
а)поезд прошел a км за b часов; б) кусок металла весит a кг, 1куб.дм этого металла весит b кг; в)кусок металла объемом a куб.дм весит b кг ?
2.Комбайнер должен был убрать a га за t дней, но закончил работу на 3 дня раньше срока. Что означают при этих условиях задачи выражения:
а); б); в); г); д)?
3.Записать с помощью знаков действий и равенства:
1)а) p больше 3 на 2; б) b меньше a на 0,25; в) m больше 2 на -2,5; г) a больше m в 2 раза; д) x меньше y в 1,5 раза.
2)p-q=25. На сколько p больше q ,q больше p?
3)a+2 = d. На сколько a больше d, d больше a?

Приложение 2
«Методика работы над решением задачи с помощью уравнений»
1) Анализ и собственная запись условия задачи:
а) прочтение условия задачи и выделение величин, о которых говорится в условии;
б) установление зависимости между величинами условия задачи;
в) выбор и обозначение неизвестных, исходя из вопроса задачи (или иногда вспомогательных величин);
г) перевод условия задачи на язык алгебры.
2) Выявление основания для составления уравнения или системы уравнений.
3) Составление уравнения или системы уравнений.
4) Решение уравнения (системы).
5) Проверка найденных значений.
6) Запись ответа.
7) Анализ решения задачи (поиск более рациональных приемов решения, установление общих правил для решения подобных задач).
Приложение 3
« Классификация задач по условию»
5 класс 1.Сумма выражений задана числом

2. Разница «на» (3) б-м=3 м - меньшее выражение
б - большее выражение
6 класс 1. Стало поровну 3х-5=х+4
2. Разница «на» (3) а) м+3=б
б) б-м=3
в) б-3=м
3. Разница «в» (3 раза) а)3
б) б: м =3
в) б: 3=м

4. Сумма выражений задана числом

7 класс
8 класс
9класс
Приложение 4
«Задачи базового, конструктивного и творческого уровней»
Задачи базового уровня
1.На одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустом малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?
2.За 9ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11ч против течения. Найдите скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
3.По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдёт столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?
4.У барина 900 рабочих сил. Сколько у него пахарей, фермеров, слуг, если известно, что пахарей в 3 раза больше, чем фермеров и в 2 раза меньше, чем слуг?
5.Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвёртый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132 рупий. Сколько дал каждый?
6.В двух мешках 1,28 центнеров муки. В первом мешке на 0,12 центнера муки больше, чем во втором. Сколько центнеров муки в каждом мешке?
7.В двух корзинах 18,6 кг яблок. В первой корзине яблок на 2,4 кг меньше, чем во второй. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?
8.С трёх лугов собрали 19,7 тонн сена. С первого и второго луга собрали сена поровну, а с третьего собрали на 1,1 т больше, чем с каждого из первых двух. Сколько сена собрали с каждого луга?
9.Магазин за три дня продал 1240,8 кг сахара. В первый день было продано 543 кг, во второй – в два раза больше, чем в третий. Сколько килограммов сахара продано в третий день?
10.Сумма двух чисел 15,9. Одно число на 3,7 больше другого. Найдите эти числа.
Задачи повышенного уровня
1.Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4км/ч, то опоздает к поезду на 30 мин. А если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придет на станцию за 6 минут до оправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?
2.От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно он возвращался со скоростью 10 км/ч. Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 1 ч больше, чем на путь от деревни до станции.
3.Из пункта A связной доставил донесение в пункт B за 30 минут, на обратном пути он уменьшил скорость на 1км/ч и затратил на дорогу 36 минут. Определите, с какой скоростью шел связной из пункта A в пункт Б.
4.За 4 ч езды на машине и 7 ч езды на поезде туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда, если она на 5 км/ч больше скорости машины?
5.Теплоход проходит за 3 часа по течению и 2 часа против течения 240 км, этот же теплоход за 3 часа против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению. Найди скорость теплохода против течения и его скорость по течению.
6.Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 часа. С какой скоростью шел каждый турист, если известно, что первый шел до встречи на 2км больше второго?
7.Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 часа, а обратный путь за 5 часов. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5часа?
8.За 3 часа по течению и 4 часа против течения теплоход проходит 380 км. За 1 час по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
9.На двух полках 55 книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?
10.Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду ещё четырёх маляров, а двух плотников перевёл на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?
Задачи творческого уровня
1.Два автомата изготовляют детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за 3 часа и вторым за 2 часа, составляет 720 штук. Четвертая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 часа, составляет 150 штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за час?
2.Из пункта A в B, расстояние между которым равно 280 км, выходят одновременно 2 автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдет через 2 ч, если они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из A , догонит автомобиль, вышедший из B, через 14 ч. Какова скорость каждого автомобиля?
3.За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль. Сколько стоит один бублик?
4.Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучают математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?
5.Карандаши разделили на 2 неравные кучки. Когда из первой переложили половину имевшихся в ней карандашей во вторую кучку, а затем из второй кучки переложили в первую половину карандашей, оказавшихся во второй, то в первой стало 18 карандашей, а во второй 8 карандашей. Сколько карандашей было в каждой кучке первоначально?
6.Шестеро рабочих могут выполнить некоторую работу за 12 часов. Сколько рабочих необходимо нанять дополнительно, чтобы выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее?
7.Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?
8.Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась 1/4 этой суммы, на долю второго 1/7, а на долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
9.Если A получит от B 100 рупий, то станет вдвое его богаче, а если A даст B 10 рупий, то B станет вшестеро его богаче. Сколько денег у каждого?
10.Ослица и мул шли вместе, нагруженые равными по весу мешками. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Что ты жалуешься,- сказал мулл,- если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются». Сколько мешков нёс каждый?

Приложенные файлы

  • docx proekt2
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий