Методические разработки (модуль действительного числа)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа
пгт Лебяжье Кировской области






Элективный курс
«Модуль действительного числа»












Учитель математики Мошкина Татьяна Ивановна
Категория Высшая
Стаж работы 27 лет













Лебяжье,2013
Пояснительная записка

Данный элективный курс предназначен для учащихся 9 классов, выбирающих физико-математический профиль в старшей школе.
Курс рассчитан на 16 часов.
Цель данного курса – создание ориентационной и мотивационной основы для осознанного выбора физико-математического профиля обучения.
Данный курс решает следующие задачи:
-углубление знаний о методах решения уравнений и неравенств с модулем, основанных на его определении, свойствах и графической интерпретации; построение графиков функций с модулем.
-развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей, самостоятельного приобретения знаний с использованием различных источников информации;
-расширение кругозора;
-создание условий для умения работать и группе, вести дискуссию, отстаивать свою точку зрения, интереса к изучению математики.
В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:
-применять известные алгоритмы;
-обсуждать результаты решения, делать выводы, участвовать в дискуссии;
Ожидаемыми результатами данного курса являются:
-овладение методами решения уравнений и неравенств с модулем на высоком уровне развития;
-применение нестандартных приемов рассуждений;
-формирование умений в построении графиков функций с модулем;
-развитие творческих способностей учащихся;
-сознательное самоопределение ученика дальнейшего профиля обучения
















Учебно-тематическое планирование



п/п

Тема

Количество
часов
Форма контроля


1.





Определение модуля числа и его применение при решении простейших уравнений и неравенств с использованием геометрической интерпретации



1











2.




Решение простейших уравнений и неравенств с использованием алгебраического определения числа

2


Математический
диктант



3.





Метод интервалов решения уравнений,
содержащих модуль
1
Проверка контрольных заданий для домашней работы

4.
Метод интервалов решения неравенств, содержащих модуль
2
Решение контрольных заданий

5.
Графики функций HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2
Решение контрольных заданий

6.
Графический способ решения уравнений и неравенств с модулем
2
Решение контрольных заданий

7.
Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств
1
Проверка контрольных заданий для домашней работы

8.
Решение уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметры
3
Решение контрольных заданий

9.
Подведение итогов
2
Зачет


Программа курса (содержание и рекомендации по проведению)

Тема1
Определение модуля числа и его применение при решении простейших уравнений и неравенств с использованием геометрической интерпретации (1 час).

Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.
Иногда вместо термина «модуль» используется термин «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа. Обозначается символом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Термин «модуль» (от латинского modulus – мера) ввел английский математик Р. Котес (1682- 1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841 году.
При изучении расстояния между двумя точками HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 координатной прямой выводится формула: AB=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Используя ее, можно решать простейшие уравнения и неравенства.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение геометрического определения модуля, при решении простейших уравнений и неравенств вида: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151. Решите уравнения:
а)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Изобразим число 2 точкой A на координатной прямой.




Тогда по определению модуля следует, что точка x отстоит от точки A на расстоянии 4 единицы. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату x=2+4=6, вторая имеет координату x=2-4= -2. Следовательно, данное уравнение имеет два решения: x=6и x= -2.
б)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Приводим данное уравнение к виду: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.



Ответ: -2; 1.
в)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Запишем данное уравнение в виде: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Его корнем является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и -2,т.е. -0,5.


Ответ: -0,5.
2. Решите неравенства:
а)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
На координатной прямой найдем множество точек, расстояние от которых до точки с координатой 4 не больше 2.




Отметим на координатной прямой точку с координатой 4, слева от нее точку с координатой 2 (4-2=2) и справа от нее точку с координатой 6 (4+2=6). Все точки, заключенные между точками с координатами 2 и 6, удалены от точки с координатой 4 на расстояние не больше, чем 2 единицы. Значит, искомое множество координат точек есть числовой промежуток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: xЄHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
б)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Заменим данное неравенство ему равносильным: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Проведем рассуждения, аналогичные приведенным выше. Их геометрическая интерпретация:



Ответ: xЄHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
в) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Данное неравенство имеет следующий геометрический смысл: расстояние от точки с координатой x до точки с координатой -1 меньше ее расстояния до точки с координатой 2. Отметим на прямой точку, равноудаленную от точек с координатами -1 и 2, а затем точки, расположенные к -1 ближе, чем к 2.



Ответ: xЄHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Приведенный метод позволяет находить решения достаточно узкого класса уравнений и неравенств с модулем. Однако использование именно таких неравенств при изучении пределов диктует целесообразность его рассмотрения.
Упражнения для самостоятельной работы:
1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 6) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 7) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 8) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 9)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 10) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Тема2
Решение простейших уравнений и неравенств с использованием алгебраического определения модуля числа (2 часа).

Модулем ( абсолютной величиной) отрицательного числа называется противоположное ему положительное число, модулем положительного числа и числа 0 называется само это число.
Алгебраическое определение модуля кратко пишется так:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Например: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения простейших уравнений и неравенств с модулем с применением этого определения вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
1. Решение уравнений вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,где a>0 равносильно f(x)=a или f(x)= - a.
б)Если a<0, то уравнение не имеет решений.
в) Если a=0, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 равносильно f(x)=a.
Примеры.
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как модуль x-6 равен 8, то значение выражения под знаком модуля равно либо 8 , либо -8. Имеем совокупность двух уравнений:
x-6=8 или x-6= -8 . Получаем: x=14 или x= -2.
Ответ: x=14; -2.
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 нет решений, т.к. -2<0.
в) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,2x-3=0, 2x=3, x=1,5.
2. Решение уравнений вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Уравнение равносильно:
g (x)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Решите уравнение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Данное уравнение равносильно системе:
2x-1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Решая, получим корни уравнения: 1; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: 1; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3. Решение уравнений вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15равносильно: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример. Решите уравнение:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решая, получим корни данного уравнения: -4; -0,5; 2.
Ответ: -4; -0,5; 2.

4. Решение неравенств вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15равносильно –af(x)f(x)>-a.
Пример. Решите неравенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Неравенство равносильно системе неравенств:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решая, получим: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: xЄ(1-HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
5. Решение неравенств вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15равносильно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Решите неравенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Имеем совокупность неравенств:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 3x+1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Система HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и неравенство 0xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 не имеют решений. Следовательно,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

решением совокупности и данного неравенства является числовой луч HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Упражнения для самостоятельной работы:

HYPER13 EMBED Equation.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·HYPER15
6) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Тема 3

Метод интервалов решения уравнений, содержащих модуль (1час).

При решении таких уравнений необходимо раскрыть модули. Для этого выделяют интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме:
Если на интервале (a ; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет знак.
Пример. Решить уравнение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль: 2x-12=0 , 6x+48=0
x=6 x= -8
Найденные значения x разбивают числовую прямую на 3 промежутка:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение уравнения рассматриваем в каждом промежутке отдельно.
1) В промежутке x<- 8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Поэтому при записи уравнения без знаков модуля в этом промежутке знаки выражений меняем на противоположные. Получим уравнение: -(2х-12)-(6х+48)=160. Откуда x= -24,5. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения.
2)Во втором промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 первое выражение отрицательно, а второе положительно. Имеем: -(2х-12)+(6х+48)=160. Откуда x=25 не принадлежит промежутку.
3) В третьем промежутке xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 оба выражения положительны. Уравнение запишется так: (2х-12)+(6х+48)=160. Откуда x=15, 8. Оно принадлежит промежутку.
Значит, решениями данного уравнения будут значения x=-24,5 и x=15,8.
Ответ: -24,5; 15,8.
Упражнения для самостоятельной работы:

1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6) Докажите тождество:
а)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Тема 4
Метод интервалов решения неравенств, содержащих модуль (2часа).
Применяется теоретический материал, рассмотренный в теме 3, и при решении неравенств с модулем.
Пример. Решите неравенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
1) Найдем нули выражения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Это x=0 и x=3.
2) Разобьем числовую прямую на интервалы и установим знак выражения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15на каждом интервале.
3) Раскроем модуль:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение первой системы: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Решение второй системы: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Решение данного неравенства: (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER152-HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Упражнения для самостоятельной работы:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8) Найти целые решения неравенства:
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Тема 5
Графики функций y=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15и y=f(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
1.График функции y= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15можно получить из графика функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, оставив на месте ту его часть, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, и симметрично отразив относительно оси x другую его часть, гдеHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Это следует из равенства:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Построить график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Строим график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Часть графика, расположенную ниже оси x, отражаем симметрично относительно нее.




2.График функции y=f(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) можно получить из графика функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15следующим образом:
1) построить часть графика функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15для неотрицательных значений аргумента;
2) с помощью симметрии относительно оси y построить другую часть графика функции, соответствующую отрицательным значениям аргумента.
Пример. Построить график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
График функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15есть парабола с вершиной в точке (1;-4), т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Построим ту часть параболы HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, которая соответствует неотрицательным значениям аргумента. Затем построим другую часть графика, симметричную первой относительно оси y.
Получим график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.













Упражнения для самостоятельной работы:
Построить:
1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 6) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 11)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 16)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 7)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 12)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 13)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 9)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 14)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5)y=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 10)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 15)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Тема 6

Графический способ решения уравнений и неравенств с модулем (2 часа)

До этого были рассмотрены аналитические способы решения уравнений и неравенств с модулем.
Примеры.
1)Решите уравнение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Строим графики функций HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15












Графики функций HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15совпадают для всех xЄHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: xЄHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2)Решите неравенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Строим графики функций y=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.












При x<-2 и x>4 график расположен выше прямой y=6 . Поэтому решениями неравенства являются все такие x, что x<-2, а также все такие x, что x>4.
Ответ: xЄHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Упражнения для самостоятельной работы:

1)Решите уравнения:
а)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 е) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ж) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 з) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
г) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
д)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 к) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) Решите неравенства:
а)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 е) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ж) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 з) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
г) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
д) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 к) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Тема 7

Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств (1 час).

При решении некоторых заданий находят применение основные свойства модуля.
I Свойства со знаком равенства:
1.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
2.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,где bHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
II Свойства со знаком неравенства:
5.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Условия равенства: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
8.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Условия равенства: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Примеры:
1)Решите уравнение:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Поскольку 1=2-HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то исходное уравнение можно переписать в виде: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Все числа x, являющиеся его решениями по 7 свойству, удовлетворяют неравенству: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. После решения этого неравенства, считая неизвестным HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получим: 1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Отсюда следует, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2)Решите неравенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
По свойству 8 множество решений этого неравенства совпадает с множеством решений неравенства HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15является решением исходного неравенства.
Ответ: xЄHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Упражнения для самостоятельной работы:
1)Решите систему уравнений:
а)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) Решите уравнения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) При каких x справедливы равенства:
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4) Найти наименьшее значение суммы:
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Тема 8

Решение уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметры
(3 часа)

В общеобразовательных классах параметрам отводится в программах по математике незначительное место. Параметр – фиксированное, но неизвестное число. После рассмотрения методов решения уравнений и неравенств с модулем можно усложнить задания, включив еще и параметры.
Примеры.
1)Решите уравнение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Это уравнение с параметром a. Оно равносильно совокупности систем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Находим, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, но должно выполняться условие 3x-1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, т.е.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Значит, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
При a=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15имеем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2) ДHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ля всех a решите неравенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
x+2a=0, x-a=0
x=-2a x=a
1. Если a=0, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2.Если a>0, то -2aа)x<-2a -x-2a-x+a<3x
-5x x>HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
a>0
x< -HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER152a HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
x> HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

б)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x+2a-x+a<3x; -3x<-3a; x>a
Имеем: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

в) xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x+2a+x-a<3x; -x<-a; x>a

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. Если а<0, то -2a>a
а) x
-5x x>HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 -x-2a+x-a<3x; -3x<3a; x>-a
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x+2a+x-a<3x; -x<-a; x>a

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Из HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Упражнения для самостоятельной работы:

1) Решите уравнение:
а)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
г) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
д)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
е)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
ж)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) Решите неравенство:
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 д) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 е)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
г) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Тема 9

Зачетная работа по теме элективного курса «Модуль действительного числа»
(2 часа)

1вариант
2 вариант

1.Решите уравнения и неравенства, используя геометрическую интерпретацию модуля числа:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2. Решите уравнения и неравенства посредством равносильных переходов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3.Решите методом интервалов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4.Решите графически:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5.Решите, используя свойства модуля:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6.Решите уравнения и неравенства с параметром:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Дополнительно:

1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


1.Решите уравнения и неравенства, используя геометрическую интерпретацию модуля числа:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2. Решите уравнения и неравенства посредством равносильных переходов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3.Решите методом интервалов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4.Решите графически:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5.Решите, используя свойства модуля:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6.Решите уравнения и неравенства с параметром:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Дополнительно:

1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Литература


1.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г «Алгебра» (дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса), Москва, «Просвещение», 2000.
2. «Электив. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике», Москва, методкнига,2006.
3.Вересова Е.Е. «Практикум по решению математических задач», М., «Просвещение», 1979.
4.Петраков И.С. «Математические кружки в 8-10 классах», М., «Просвещение», 1986.
5.Петров К. «Сборник задач по алгебре» М., «Просвещение», 1984.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6.Шабунин М.И. «Уравнения и системы уравнений» (для поступающих в вузы), М., Аквариум,1997.
7.Шабунин М.И. «Неравенства и системы неравенств» (для поступающих в вузы), «Аквариум»,1997.
8.Контрольные работы по математике (для учащихся заочных подготовительных курсов), Вятский технический университет, Киров, 2008-2009.
6

х

-0,5

1

-2

В

С

А

х

-0,5

х

1

-2

В

А

С

х

6

0

2

-2

В

А

С

0

2



4

х

-3

0

1

-3

x



0

1

-1

x



2

2,5,, 5





0,5



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc rabota3
    Размер файла: 937 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий