Методическая разработка «Основы логики»

АЛГЕБРА ЛОГИКИ

Автор: Брайко Светлана Анатольевна
Учитель ИКТ
МБОУ «СОШ № 43»












г. Норильск, 2013г.
Тема: Логика. Основные понятия логики

Цели урока:
Учебная: формирование знаний о логике как науке;
формирование знаний о понятии – как одной из форм человеческого мышления, содержании и объеме понятия, отношениях между понятиями;
формирование умений применять полученные знания при решении задач с помощью кругов Эйлера.
Развивающая: развитие логического мышления, памяти, внимания, стимулирование интереса учащихся к данной теме.
Воспитательная: воспитание ответственности, взаимоуважения, аккуратности.

Ход урока.
Логика – как наука. Познание истины – одна из важнейших потребностей человека. Каждый человек и человечество в целом стремятся к истине, добру и красоте. Все люди нуждаются в истинном знании, получении новой информации о мире, в котором они живут. Для получения информации о каком-либо предмете обычно используют два пути. Первый путь - изучение того, что сделано до нас, для этого пользуются справочниками, энциклопедиями, обращаются к специалистам. Второй путь - самостоятельный поиск решения, наблюдения, эксперименты и как результат - умозаключение, т.е. новое знание, полученное на основе известного.
Нетрудно сделать вывод, что именно вторым путем получена вся собранная до нас информация. Именно второй путь познания является логической категорией, именно этим путем шли древние философы, более 2300 лет назад пытаясь понять законы мышления. Действительно, каждый человек, не всегда подозревая о том, пользуется логикой, принимая какое-либо решение на основе известных или предполагаемых событий или фактов, истинных или ложных.
В Древней Греции, Древней Индии, Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяло ораторам более убедительно доносить до аудитории их точку зрения, склонять людей на свою сторону.
Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.
Представьте себе, что вас спросили: «Почему днем бывает светло?». А вы ответили: «Потому что днем свет делает день светлым». Вы нарушили правила логики и, по сути, ничего не объяснили.
Логика – одна из древнейших наук. Ее название происходит от древнегреческого многозначного слова «logos» - мысль, речь, слово, понятие, разум. Древние философы пытались найти ответ на вопрос, как и по каким законам мыслит человек, какими путями мышления можно прийти к истине в рассуждениях о событиях и явлениях окружающего мира.

Логика наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств. По дошедшим до нас рукописям Аристотеля считают, что именно он явился основоположником логики как науки. В логике Аристотеля сформированы логические категории «понятие», «суждение», «умозаключение», законы логики, метод дедукции, понятие гипотезы. Логика Аристотеля - это так называемая классическая, формальная логика.
Это название происходит от основного принципа логики как науки, который гласит, что правильность рассуждения определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений.
Итак, основной принцип формальной логики предполагает, что:
каждое рассуждение, выраженное на некотором языке, имеет содержание и форму;
содержание и форма различаются и могут быть разделены;
содержание не оказывает влияния на правильность рассуждения;
для оценки правильности рассуждения существенна лишь его форма;
форму рассуждения необходимо выделить в «чистом» виде и затем на основе только формы решать вопрос о правильности рассуждения.

Понятие – как одна из форм человеческого мышление.
Итак, предметом исследования науки логики является человеческое мышление. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. В логике выделяют следующие формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.
Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединенные понятием, образуют некоторое множество.

Понятие форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Понятия в языке выражаются словами.
Примеры понятий:
апельсин;
трапеция;
река Нил;
ураганный ветер;
студент медицинского института.

Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их помощью отличить данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество. Например, признаками понятия апельсин являются: круглый, оранжевый, упругий, сладкий, ароматный. Можно ли по этим признакам отличить апельсин от не апельсина? По ним легко отличить апельсин от яблока, но нельзя отличить от мандарина. Поэтому для точной идентификации апельсина необходимо ввести дополнительные признаки.

Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов.
Например, содержанием понятия хороший ученик включает в себя признаки: познавать новое и иметь интерес к учебе, быть исполнительным, быть обязательным, быть воспитанным, помогать отстающим. Любой ли отличник может в соответствии с этими признаками называться хорошим учеником? Заметим, что даже если ученик плохо учится, но проявляет интерес к учебе, всегда выполняет домашние задания, воспитан и помогает по мере сил тем, кто слабее его, то его можно отнести по данной совокупности признаков к хорошим ученикам.
Всех тех учеников, которые обладают выделенными признаками, можно объединить в множество.

Объем понятия множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия. Выделяют понятия общие и единичные.
Например, объем понятия река – это множество, состоящее из рек, носящих иена Обь, Иртыш, Енисей, Волга и др.
Наглядная геометрическая иллюстрация объемов понятий и отношений между ними была предложена математиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером и носит название кругов Эйлера.

Отношения понятий по объему:
Если имеются два каких-либо понятий можно представить в виде круга, а отношение между этими объемами – в виде пары кругов.

тождество или совпадение объемов, означающее, что объем одного понятия равен объему другого понятия;






Х – Ю. Гагарин,
У – первый космонавт.
 пересечение или частичное совпадение объемов;







Х – школьник,
У– спортсмен.

 подчинение или включение объемов: объем одного из понятий полностью включен в объем другого;






Х – лев,
У – хищник.

соподчинение объемов случай, когда объемы двух понятий, исключающие друг друга, входят в объем третьего.








А – береза,
В – ель,
С – дерево.

исключение объемов случай, в котором нет ни одного признака, который бы находился в двух объемах;




А – рыбы,
В – птицы.


Формальная логика не утратила своего значения со временем и используется в гуманитарных науках, таких, как криминалистика, философия, юриспруденция, психология.


Решение логических задач с помощью кругов Эйлера.
Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?

23 - 16 = 7(только значки.)
35 – 16 = 19 (только марки.)
7 + 16 + 19 = 42(коллекционеры)
52 – 42 = 10.

Ответ: 10 человек.

2. На рисунке круг А изображает всех сотрудников института, говорящих по-английски, круг Н – говорящих по-немецки, круг Ф – говорящих по-французски. Сколько сотрудников института говорит:

а) на всех трёх языках;
б) по-английски и по-немецки;
в) по-французски.
Сколько всего сотрудников в институте?
Сколько из них не говорит по-французски?





3. На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром – 60 человек, с ветчиной – 40 человек, с сыром и колбасой – 30 человек, с колбасой и ветчиной – 15 человек, с сыром и ветчиной – 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?













4. Из 54 человек 24- занимается баскетболом, 25 – волейболом, 26 – футболом. Секцию по баскетболу и волейболу посещает 9 человек, по волейболу и футболу – 7 человек, по футболу и баскетболу – 8 человек. Сколько человек посещает все три секции?
1 способ.














54 – (24 + 25 –9) = 14 (только футбол)
54 _ (25 + 26 –7) = 10 (только баскетбол)
54 – (24 + 26 –8) = 12 (только волейбол)
54 – (14 + 10 + 12) = 18
18 –9 = 9
(8 + 70 – 9 =6
6 : 2 = 3 (все три секции)
2 способ.
Пусть все три секции посещает х человек. Тогда секцию по футболу и баскетболу посещают (8-х) человек, баскетболу и волейболу – (9-х) человек, футболу и волейболу – (7-х) человек. Только баскетболом занимается (7+х) человек, только волейболом – (9+х) человек и только футболом занимается (11+х) человек. Составляем уравнение:
8 – х + 9 – х + 7 – х + 7 + х + 9 + х + 11 + х + х = 54,
х = 3.
Ответ: все три секции посещает три человека.

Домашнее задание. Решить задачи с помощью кругов Эйлера.
В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и тем и другим?
15 – 10 = 5(только баскетболом)
15 – 9 = 6 (только волейболом)
15 – (5 + 6) = 4 (и тем и другим)
Школа представила отчет: «Всего в школе 60 шестиклассников, из них 37 отличников по математике, 33 – по русскому языку и 42 – по физкультуре. При этом у 21 человека «пятерки» и по математике и по русскому, у 23 – по математике и по физкультуре, у 22 – по русскому и по физкультуре. При этом 20 человек учатся на «отлично по всем трем предметам». Верен ли отчет школы? (нет, всего 66 человек)

Тема: Суждения, умозаключения – формы абстрактного мышления

Цели урока:
Учебная: формирование знаний о таких формах мышления, как суждение и умозаключение;
формирование умений выводить из двух посылок заключение;
формирование навыков решения логических задач табличным методом.
Развивающая: развитие словарного запаса, умений анализировать, выделять главное, сравнивать, стимулирование интереса учащихся к данной теме.
Воспитательная: воспитание ответственности, добросовестности, требования к себе, взаимоуважения.
Ход урока.
Повторение пройденного материала.
Дайте определение логики, понятия, объема понятия, содержания понятия.
Какими бывают отношения понятий по объему?
Определите вид отношения между понятиями, изобразите его с помощью кругов Эйлера.
Разведка, контрразведка.
Университет, высшее учебное заведение, учебное заведение, гимназия, гимназия №11 г. Кайеркана.
Писатель, русский писатель, автор романа «Тихий Дон», М. А. Шолохов.
Писатель, журналист, ученый, человек.
Эрудиция, невежество.
Виновность, невинность.
Печать, телевидение, средство массовой информации.
Какие известные вам понятия определяются следующими предложениями:
группа слов, которая выражает законченную мысль;
значимая часть слова, которая стоит после корня и служит для образования новых слов;
часть речи, которая указывает на предметы, признаки и количества, но не называет их;
расстояние, преодолеваемое за единицу времени;
часть прямой, ограниченная с двух сторон;
многоугольник с наименьшим числом сторон;
фигура – боковые грани которой – треугольники, а основание – многоугольник;
два числа, произведение которых равно 1.
последовательность команд, которую выполняет компьютер в процессе обработки данных;

Изучение нового материала.
Суждение это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах, или отношениях между ними.
Примеры суждений:
Этот апельсин вкусный.
Если прошел дождь, то на улице весна.
На Луне живут лунатики, а на Марсе – марсиане.
Суждения бывают простыми и сложными.
Например: Наступила весна – простое суждение, а Наступила весна, и прилетели грачи – сложное, состоящее из двух простых.
Всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным по своему содержанию.
Содержание суждения – это то, о чем в нем идет речь, его смысл.
Умозаключение форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение.
Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений, получать заключение, т.е. новое знание. Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения:
Все люди смертны.
Сократ – человек.
Сократ смертен.
Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае, можно придти к ложному умозаключению.
Выведите заключение из каждой пары посылок:
а) Тем, кто лыс, расческа не нужна.
Ни одна ящерица не имеет волос.
Ответ: Ни одной ящерице расческа не нужна.
б) Ни один добрый поступок не является незаконным.
Все, что законно, можно делать без страха.
Ответ: Все добрые поступки можно делать без страха.
в) Некоторые уроки трудны.
Все, что трудно, требует внимания.
Ответ: Некоторые уроки требуют внимания.
г) Лишь глупые люди верят в конец света.
Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.
Ответ: Всегда найдется глупец, который не верит в гармонию мира.
д) Тот и только тот, кто верит в себя – Человек с большой буквы.
Ни один Человек не верит политикам.
Ответ: Все, кто верит политикам, не верит в себя.
е) Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве.
Только 12% членов парламента составляют юристы.
Ответ: Не все, кто создает законы, являются юристами.
ж) Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.
Настоящий бизнесмен не боится инфляции.
Ответ: Некоторые юристы не опасаются инфляции.
з) Только в споре рождается истина.
Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.
Ответ: Лишь глупец или мошенник может достичь истины.

Решение логических задач с помощью таблиц.
1) Беседуют трое друзей: Степанов, Иванов, Петров. Ваня сказал Степанову: «Любопытно, один из нас Иван, Другой – Петр, третий Степан, но ни у кого имя не соответствует фамилии». Как звали каждого друга?

Степан
Иван
Петр

Степанов
-
-
+

Иванов
+
-
-

Петров
-
+
-

2) В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке. Лимонад стоит между кувшином и квасом. В банке не лимонад и не вода. Стакан стоит между банкой и молоком. В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

Молоко
Лимонад
Квас
Вода

Бутылка
-
+
-
-

Стакан
-
-
-
+

Кувшин
+
-
-
-

Банка
-
-
+
-

В каком порядке расположены жидкости, если стакан стоит перед бутылкой, а банка после бутылки? (кувшин, стакан, бутылка, банка)
3) Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что:
а) Ваня и С. – отличники;
б) Петя и В. – троечники;
в) В. ростом выше П.;
г) Коля ростом ниже П.;
д) У Саши и Пети одинаковый рост.
На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

В
П
С
К

Ваня
-
+
-
-

Петя
-
-
-
+

Саша
+
-
-
-

Коля
-
-
+
-

4) После традиционного вечера в школьной газете появилась заметка о трех бывших выпускниках. В ней было сказано, что Иван, Андрей и Борис стали учителями. Теперь они преподают разные дисциплины: математику, физику и химию. Живут они тоже в разных городах: Витебске, Минске и Москве. В заметке было также сказано, что их первоначальные планы осуществились не полностью:
Иван живет не в Минске;
Андрей – не в Витебске;
Житель Минска преподает не математику;
Андрей преподает не физику;
Повезло только жителю Витебска: он преподает любимую им химию.
Определите, кто где живет и что преподает.
Ответ. Андрей преподает математику и живет в Москве, Борис – физику и живет в Минске, Иван – химию и является жителем Витебска.
Домашнее задание.
1. Выведите заключение из каждой пары посылок:
а) Среди болтунов нет логиков.
Только болтун может стать политиком.
Ответ: Ни один логик не станет политиком.
б) Некоторые проходимцы – ясновидцы.
Ясновидцы не лгут.
Ответ: Существуют проходимцы, которые говорят правду.
в) Лишь двоечник по убеждению – лентяй.
Ни один студент не любит получать двойки.
Ответ: Среди студентов нет лентяев.
г) Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.
Только демократическое государство может быть правовым.
Ответ: Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.
2. Решить задачи.
1) Однажды в туристическом лагере оказалось вместе пять ребят Леонид, Сергей, Олег, Николай и Петр. Их фамилии: Антонов, Борисов, Васильев, Дроздов и Иванов. Кроме того, известно, что Петр знаком со всеми, кроме одного, Борисов знаком только с двумя, Леонид знает только одного из всех, Дроздов и Сергей не знакомы, Николай и Иванов хорошо знают друг друга. Сергей, Николай и Олег давно знакомы между собой, а Антонов знаком только с Петром. Определите, у кого из мальчиков какая фамилия.
Решение: Установили, что Леонид Антонов. Но Дроздов и Сергей не знакомы, поэтому Дроздовым может быть только Петр. Борисовым тогда является один из троих (Сергей, Николай и Олег), но он знаком только с двумя, поэтому он не знает Петра, значит Борисовым является Сергей (Дроздов и Сергей не знакомы).

Антонов
Борисов
Васильев
Дроздов
Иванов

Леонид
+
-
-
-
-

Сергей
-
+
-
-
-

Николай
-
-
+
-
-

Олег
-
-
-
-
+

Петр
-
-
-
+
-


2) Три одноклассника – Влад, Тимур и Юра – встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой – физиком, а третий – юристом. Один полюбил туризм, другой – бег, третий – регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра – единственный врач в семье – заядлый турист. Врач сказал, что разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква из их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

врач
физик
юрист
туризм
бег
регби

Влад
-
-
+
-
-
+

Тимур
+
-
-
+
-
-

Юра
-
+
-
-
+
-

(У Тимура в имени имеются буквы из названия всех профессий, значит, Влад не может быть врачом, а Юра не может быть юристом и регбистом).
Тема: Алгебра высказываний

Цели урока:
Учебная: проверить знания и умения по пройденным темам;
формирование знаний о высказываниях, типах высказываний.
Развивающая: развитие мышления, словарного запаса; умений анализировать, выделять главное, сравнивать; стимулирование интереса учащихся к данной теме.
Воспитательная: воспитание ответственности, добросовестности, требования к себе, взаимоуважения.

Ход урока.
Проверочная работа.
Вариант 1.
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический – 14, химический – 10. Кроме того, известно, что 8 учеников не посещают никаких кружков, 8 человек – и математический и физический, 5 – и математический и химический, 3 – и физический и химический. Сколько человек посещают все три кружка?
Жили-были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было 3 дома: один дом был с окном и трубой, другой - с окном, но без трубы, а третий - с трубой, но без окна. Каждая фигура жила в своем доме. Круг и Квадрат жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло и часто топил печку. Кто в каком доме жил?
Есть пять коробочек - белая, черная, красная, синяя и зеленая. В каждой из коробочек по два шарика одного из цветов (два белых, два черных, два красных, два синих и два зеленых), причем выдвинуты следующие предположения:
ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;
в красной коробочке нет синих шариков;
в черной коробочке лежат по одному шарику каждого из холодных (зеленых или синих) тонов;
в коробочке нейтрального (белого или черного) цвета лежат один красный и один зеленый шарик;
в синей коробочке находится один черный шарик;
в одной из коробочек лежат один белый и один синий шарик.
Определить, какие шарики лежат в какой коробке.
Вариант 2.
После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 38 учеников класса двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре – 11, в цирке – 17; и в кино, и в театре – 6; и в кино, и в цирке – 10; и в театре, и в цирке – 4. Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Встретились три подруги - Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье сказала Черновой: «Нам троим надо поменяться платьями, а то цвета наших платьев не соответствуют нашим фамилиям». Кто в каком платье был?
- Мои четыре внучки - замечательные девочки, - рассказывала бабушка Палагея с нескрываемой гордостью. - Каждая из них играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из иностранных языков.
- На чем играет Маша? - спросил я.
- На рояле.
- А кто играет на скрипке?
- Что-то не могу вспомнить, но, по-моему, та девочка, которая говорит по-французски, - ответила бабушка.
Поговорив с бабушкой, я также узнал, что Оля играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Маша не знает итальянского языка, а Оля не владеет английским. Валя не знает французского, Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Я совсем запутался.
Скажите мне, кто на каком инструменте играет и на каком языке говорит.
Вариант 3.
Из 57 школьников 28 собирают значки, 22 собирают марки, 30 собирают открытки; 10 – и значки, и марки, 8 – и марки, и открытки; 13 – и значки, и открытки; 3 человека не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников собирает и марки, и значки, и открытки?
Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в спортивном соревновании. На вопрос, какие места они заняли, они ответили:
Коля не занял ни первое, ни четвертое места.
Боря занял второе место.
Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
Три дочери писательницы Дорис Кей – Джуди, Айрис и Линда – тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств – пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что:
Джуди живет не в Париже, а Линда – не в Риме;
парижанка не снимается в кино;
та, кто живет в Риме, певица;
Линда равнодушна к балету.
Где живет каждая девочка и какова ее профессия?

Ответ:
Вариант 1.
2 человека.
Круг – дом с окном; квадрат – дом с окном и трубой.
Белая коробочка – красный и зеленый шарик, черная – синий и зеленый, красная – белый и черный, синяя – черный и красный, зеленая – белый и синий.
Вариант 2.
3 человека.
Белова была в черном платье; Краснова – в белом; Чернова – в красном.
Маша – рояль, английский; Оля – виолончель, немецкий; Лена – скрипка, французский; Валя – арфа, итальянский.
Вариант 3.
5 человек.
Коля – 3 место, Боря – 2 место, Вова – 1 место, Юра – 4 место.
Джуди – пение, Рим; Айрис – балет, Париж; Линда – кино, Чикаго.

Объяснение нового материала.
Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII в. немецкий логик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное суждение или ложно. То есть он предполагал, что споры между людьми можно будет разрешать посредством вычислений. Но идея Лейбница оказалась неподтвержденной, так как до сих пор не найден способ свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.
Подлинный прогресс науки, называемой математической логикой, был достигнут в середине XIX в. Прежде всего благодаря труду английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики». Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логический операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.
Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область и находит широкое применение как внутри математики, так и вне ее.
Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Таким образом, объектами изучения алгебры высказываний являются высказывания.
Высказывание это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.
Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может.
Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например: Х = Число 12345 кратно 3.
Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А - истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А - ложно».
Истинность или ложность высказывания не обязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и его субъективного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых специально разработанных объективных методов.
Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.
Например: Сегодня я пойду в театр.
Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).
Например: Он сделает уроки, и мы пойдем гулять.
Этим летом мы либо поедем к морю, либо поедем в Москву.
Если я буду хорошо учиться, то мне купят плейер.
Неверно, что Париж – столица Испании.
Я получу хорошую оценку тогда и только тогда, когда выучу весь материал.
Существуют кошки с белыми лапками.

Высказывания бывают общими, частными и ли единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство. Во всех других случаях высказывание является единичным.
Пример: Какие из приведенных высказываний являются общими или частными?
Не все книги содержат полезную информацию (частное).
Кошка является домашним животным (единичное).
Все солдаты храбрые (общее).

Закрепление пройденного материала.
1. Какие из предложений являются высказываниями? Определить их тип и истинность.
Число 6 – четное (истина, единичное)
Посмотрите на доску (не высказывание)
Все роботы являются машинами (истина, общее)
У каждой лошади есть хвост (истина, общее)
Внимание! (не высказывание)
Кто отсутствует? (не высказывание)
Есть кошки, которые дружат с собаками (истина, частное)
Не все то золото, что блестит (истина, частное)
Некоторые люди являются художниками (истина, частное)
Выразите 1 час 15 минут в минутах (не высказывание)
Всякий моряк умеет плавать (ложь, общее)
Чему равно расстояние от Земли до Марса? (не высказывание)
Внимание! Посмотрите направо.(не высказывание)
Не нарушайте правил дорожного движения! (не высказывание)
Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы. (истина, единичное)


2. Определите истинность и тип высказываний:
Все ребята умеют плавать.
Киев – столица Украины.
Некоторые кошки не любят рыбу.
Человек все может.
Невозможно создать вечный двигатель.
Каждый человек – художник.
Прямоугольник есть геометрическая фигура.
Некоторые рыбы – хищники.
Домашнее задание.
Определите истинность и тип высказываний:
Ни один внимательный человек не совершит оплошность.
Некоторые ученики двоечники.
Все ананасы приятны на вкус.
Мой кот страшный забияка.
Любой неразумный человек ходит на руках.
Некоторые мои друзья собирают марки.
Все лекарства приятны на вкус.
А – первая буква в алфавите.
Некоторые медведи – бурые.
Тигр – хищное животное.
У некоторых змей нет ядовитых зубов.
Многие растения обладают целебными свойствами.
Все металлы проводят тепло.
Всегда ли можно определить истинность высказывания? Тема: Логические операции
Цели урока:
Учебная: формирование умений применять основные логические операции.
Развивающая: развитие памяти, внимания, логического мышления.
Воспитательная: воспитание требовательности к себе, аккуратности, желания достичь наивысших результатов.

Ход урока.
Проверка домашнего задания. Анализ проверочной работы.
Повторение пройденного материала и актуализация опорных знаний.
1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:
Установите, является ли данное предложение высказыванием.
Определите, истинное это или ложное высказывание.
Определите тип высказывания.
Ответьте, простое это или сложное высказывание.
Число 8456 является простым (делится только на 1 и само себя).
Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
Как хорошо быть генералом!
Революция может быть мирной и немирной.
Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость или близорукость.
Познай самого себя.
Не может быть, что ни один человек не дышит жабрами.
Талант всегда пробьет себе дорогу.
Некоторые животные мыслят.
Информатика, в частности, изучает алгоритмы.
Всякая истина является конкретной.
Это утверждение ложно.

Объяснение нового материала.

Высказывания могут быть выражены не только с помощью естественных языков, но и с помощью формальных языков. Например, высказывание на естественном языке имеет вид «Два умножить на два равно четырем», а на формальном, математическом языке, оно записывается в виде «2х2 = 4».
Конечно, иногда истинность того или иного высказывания является относительной. Истинность высказываний может зависеть от взглядов людей, от конкретных обстоятельств и т. д.
Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.
Из простых высказываний можно получить сложное высказывание, объединив их с помощью логических связок. Логические связки - это слова, которые подразумевают определенные логические связи между высказываниями.
Для связок введена специальная терминология: (опорный конспект)
Логические связки и кванторы
Название логических связок и кванторов
Математическое обозначение

«и»; «а»; «но»; «хотя»; «который»; «зато»
Конъюнкция
(; (; (

«или»
Дизъюнкция
(

«либолибо»
Строгая дизъюнкция
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

«Если , то»
Импликация
(; (

«Наверно, что», «не»
Отрицание
(; (; (

«необходимо», «достаточно», «тогда и только тогда»
Эквиваленция
(; (; (

«Все; всякий; каждый»
Квантор общности
(

«Некоторые», «существуют»
Квантор существования
(


Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Логическое отрицание.
Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что».
Например: «Машина не роскошь», «Неверно, что все люди умеют водить автомобиль».
Пример: У меня есть компьютер. – высказывание.
Пусть у вас его нет, тогда это высказывание ложно. «Неверно, что у меня есть компьютер» или «У меня нет компьютера». Обозначение инверсии: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 НЕ А. Нас интересует истинность высказывания, имеющего форму HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Определяется она по специальной таблице истинности.
А
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

1
0

0
1

Таблица истинности:
Смысл высказывания А для указанных значений
Значение высказывания: У меня нет компьютера

У меня нет компьютера
Истина

У меня есть компьютер
Ложь





Пояснение:





Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции инверсии.
Логики при образовании инверсии предпочитают иметь дело с оборотом речи «неверно, что», поскольку тем самым подчеркивается отрицание всего высказывания.

Логическое умножение (конъюнкция).
Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказывание в одно с помощью союза «и».
Приведем пример конъюнкции.
Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.
Обозначим высказывания:
А – На автостоянке стоит «Мерседес».
В – На автостоянке стоят «Жигули».
(А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».
Обозначение конъюнкции: А и В; АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В; А$В; АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В.
Таблица истинности: Пояснения:
А
В
А&В

0
0
0


0
1
0


1
0
0


1
1
1



Смысл высказываний
А и В для указанных значений
Значение высказывания:
На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

«Мерседес» не стоит
«Жигули» не стоят
Ложь

«Мерседес» не стоит
«Жигули» стоят
Ложь

«Мерседес» стоит
«Жигули» не стоят
Ложь

«Мерседес» стоит
«Жигули» стоят
Истина
















Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Логическое сложение (дизъюнкция).
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».
Союз «или» может быть использован в объединительном или разделительном смысле. Например, в предложении «Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай» союз «или» взят в объединительном смысле, так как можно или только смотреть телевизор, или только пить чай, или смотря телевизор пить чай. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией.
В высказывании «Данный глагол I или (либо) II спряжения» союз «или» используется в разделительном смысле. Такая операция называется строгой дизъюнкцией.
Примеры строгой и нестрогой дизъюнкций:
Петя сидит на западной или восточной стороне стадиона (строгая).
Студент едет в электричке или читает книгу (нестрогая).
Оля любит писать сочинения или решать логические задачи (нестрогая).
Завтра дождь будет или не будет (строгая).
Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В; А | В.
Под дизъюнкцией понимают нестрогую дизъюнкцию, если не оговорено иное.
А (дизъюнкция) В = На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».
Таблица истинности: Пояснения:
А
В
АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В

0
0
0


0
1
1


1
0
1


1
1
1



Смысл высказываний
А и В для указанных значений
Значение высказывания:
На автостоянке стоят
· «Мерседес» или «Жигули».

«Мерседес» не стоит
«Жигули» не стоят
Ложь

«Мерседес» не стоит
«Жигули» стоят
Истина

«Мерседес» стоит
«Жигули» не стоят
Истина

«Мерседес» стоит
«Жигули» стоят
Истина















Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции.
Обозначение строгой дизъюнкции: А ЛИБО В; АHYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15 В.
А (строгая дизъюнкция) В = На автостоянке стоят «Мерседес» либо «Жигули».
Таблица истинности: Пояснения:
А
В
АHYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15 В

0
0
0


0
1
1


1
0
1


1
1
0



Смысл высказываний
А и В для указанных значений
Значение высказывания:
На автостоянке стоят «Мерседес» либо «Жигули».

«Мерседес» не стоит
«Жигули» не стоят
Ложь

«Мерседес» не стоит
«Жигули» стоят
Истина

«Мерседес» стоит
«Жигули» не стоят
Истина

«Мерседес» стоит
«Жигули» стоят
Ложь















Из таблицы истинности следует, что строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истинно, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

Логическое следование (импликация).
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если . . ., то . . .».
Например: Если число делится на 9, то оно делится на 3.
Обозначение импликации: АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В; АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В.
Пусть даны высказывания:
А = На улице дождь.
В = Асфальт мокрый
Таблица истинности: Пояснения:
А
В
АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В

0
0
1


0
1
1


1
0
0


1
1
1



Смысл высказываний
А и В для указанных значений
Значение высказывания:
«Если на улице дождь, то асфальт мокрый»

Дождя нет
Асфальт сухой
Истина

Дождя нет
Асфальт мокрый
Истина

Дождь идет
Асфальт сухой
Ложь

Дождь идет
Асфальт мокрый
Истина















Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Логическое равенство (эквиваленция).
Логическое равенство (эквиваленция) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «. . . тогда и только тогда, когда. . .».
Примеры эквиваленции:
Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90(.
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.
Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает.
Обозначение эквивалентности: АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В; АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В; АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В; А ~ В.
Пусть даны высказывания:
А = Число делится на 3 без остатка (кратно 3).
В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.
АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.
Таблица истинности: Пояснения:
А
В
АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В

0
0
1


0
1
0


1
0
0


1
1
1



Смысл высказываний
А и В для указанных значений
Значение высказывания:
«Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3».

Число не кратно трем
Сумма цифр не кратна трем
Истина

Число не кратно трем
Сумма цифр кратна трем
Ложь

Число кратно трем
Сумма цифр не кратна трем
Ложь

Число кратно трем
Сумма цифр кратна трем
Истина















Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истина тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
В алгебре логики из логических переменных, логических констант (0 и 1), знаков логических операций и скобок составляются логические выражения.

Приоритет логических операций
При вычислении значения логического выражения логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:
инверсия;
действия в скобках;
конъюнкция;
дизъюнкция;
импликация;
эквиваленция.
Закрепление:
Определить форму сложного высказывания.
1) Если вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ или регулярно сохраняете свои файлы на дискетах, то снижается вероятность потери данных.

А = Вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ;
В = Вы регулярно сохраняете свои файлы на дискетах;
С = Снижается вероятность потери данных.
(АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15С.
2) Идет дождь, а у меня нет зонта.
А = Идет дождь.
В = У меня есть зонт.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) Когда живется весело, то и работа спорится.
А = Живется весело.
В = Работа спорится.
А HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В.
4) Идет налево – песнь заводит, направо – сказку говорит.
А = Идет налево.
В = Идет направо.
С = Песнь заводит.
D = Сказку говорит.
(АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15С) ( (ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15D).
Определите истинность составного высказывания: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, состоящего из простых высказываний:
А = {Принтер – устройство вывода информации},
В = {Процессор – устройство хранения информации},
С = {Монитор – устройство вывода информации},
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.
 
Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.
Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Составное высказывание ложно.

Домашнее задание:
1. Определить форму сложного высказывания.
1) Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.
А = Ваш приезд необходим.
В = Ваш приезд желателен.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал.
А = Поиски врага длились три часа.
В = Врага нашли (результат есть).
С = Враг себя выдал.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.
А = Вчера было пасмурно.
В = Сегодня ярко светит солнце.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4) И добродетель стать пороком может, когда ее неправильно приложат.
А = Добродетель неправильно приложат.
В = Добродетель стать пороком может.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2. По форме высказывания HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получить фразу на естественном языке.

А = Некто является врачом.
В = Больной поговорил с врачом.
С = Больному стало легче.

Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач.

3. Даны простые высказывания:
А = {Принтер – устройство ввода информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С = {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.
Определите истинность составных высказываний:
а) (А(В) ( (C
· D); б) (А(В)
·   (C
· D);
в) (А
· В)
·   (C ( D); г) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Тема: Построение таблиц истинности сложных высказываний
Цели урока:
Учебная: проверка полученных знаний, формирование навыков построения таблиц истинности.
Развивающая: овладение выразительными свойствами языка, развивать умение анализировать, выделять главное, сравнивать.
Воспитательная: воспитание гуманности, товарищества, вежливости, добросовестности.

Ход урока.
Проверка домашнего задания (собрать тетради).
Проверка ранее полученных знаний.

Тест: Логические высказывания. В-1
Признаками понятия обладает высказывание:
«Грачи прилетели»;
«Низко летающие птицы»;
«Птицы летают низко»;
«Грачи весну принесли».
«Наступил сентябрь, и начался учебный год» - это суждение:
простое и истинное;
сложное и истинное;
простое и ложное;
сложное и ложное.
«Все растенья съедобны» - это суждение следующего типа:
простое и истинное;
сложное и истинное;
простое и ложное;
сложное и ложное.
Выбрать пример, не являющийся высказыванием:
«Не можете ли вы передать соль?»;
«Гоголь писал «Мертвые души» в Риме»;
«Рукописи не говорят»;
«Некоторые лекарства опаснее самих болезней».
Из предложенных посылок:
«Память компьютера делится на внутреннюю и внешнюю»;
«Данная память не является внешней» вытекает заключение:
«Данная память не является внутренней»;
«Данная память является внутренней»;
«Данная память является внешней»;
«Данная память не делится».
Отрицанием высказывания
«Для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый»
является высказывание:
«Не для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый»;
«Для каждого из нас не учить второй иностранный язык легче, чем первый»;
«Неверно, что для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый»;
«Неверно, что для каждого из нас учить второй иностранный язык не легче, чем первый».
Знаком ^ в логике обозначается следующая операция:
инверсия; 3) дизъюнкция;
конъюнкция; 4) импликация.
Знаком =>в логике обозначается следующая операция:
конъюнкция; 3) импликация;
дизъюнкция; 4) эквиваленция.
Логическая операция с использованием ключевых слов «Если . . . то . . .», называется:
конъюнкцией; 3) импликацией;
дизъюнкцией; 4) эквиваленцией.
Формулой логического высказывания
«Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку» является:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ; 4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Тест: Логические высказывания. В-2
Признаками понятия обладает высказывание:
«Собеседник говорил громко»;
«Громко говорящий собеседник»;
«Говорите громко!»;
«Громкий голос раздражает».
«Если прошел снег, то на улице лето» - это суждение:
простое и истинное;
сложное и истинное;
простое и ложное;
сложное и ложное.
«Все ученики любят физику» - это суждение следующего типа:
простое и истинное;
сложное и истинное;
простое и ложное;
сложное и ложное.
Выбрать пример, не являющийся высказыванием:
«Никакая причина не извиняет невежливость»;
«Если совет разумен, то следует выполнить его»;
«Обязательно стань отличником»;
«Спортом заниматься полезно».
Из предложенных посылок:
«Все улетающие на юг птицы, называются перелетными»;
«Все грачи зимой улетают на юг» вытекает заключение:
«Все перелетные птицы - грачи»;
«Все птицы зимой живут на юге»;
«Грачи – перелетные птицы»;
«Некоторые грачи не живут зимой на юге».
Отрицанием высказывания
«Некоторые школьники предпочитают изучать китайский язык»
является высказывание:
«Некоторые школьники не предпочитают изучать китайский язык»;
«Некоторые школьники предпочитают изучать не китайский язык»;
«Неверно, что некоторые школьники предпочитают изучать китайский язык»;
«Неверно, что школьники предпочитают не изучать китайский язык».
Знаком HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15в логике обозначается следующая операция:
инверсия; 3) дизъюнкция;
конъюнкция; 4) импликация.
Знаком HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15в логике обозначается следующая операция:
конъюнкция; 3) импликация;
дизъюнкция; 4) эквиваленция.
Логическая операция с использованием ключевых слов «тогда и только тогда, когда . . .», называется:
конъюнкцией; 3) импликацией;
дизъюнкцией; 4) эквиваленцией.
Формулой логического высказывания
«Без Вас хочу сказать Вам много,
При Вас я слушать Вас хочу» является:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ; 4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответы:
Вариант 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
2
3
1
2
3
2
3
3
1


Вариант 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2
4
3
3
3
3
3
4
4
1


Актуализация опорных знаний.
1) Дана формула: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Определить порядок вычисления.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2) Дана формула: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Определить порядок вычисления.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3) Найдите значения логических выражений:
       а) (1
·1)
·(1
·0); 1
       б) ((1
·0)
·1)
·1; 1
       в) (0
·1)
·(1
·0); 1
       г) (0HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151; 0
       д) 1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151; 1
       е) ((1
·0) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151)) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (0
·1); 1
       ж) ((1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150)
·(1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150))
·1; 1
       з) ((1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151)
·0) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151; 0
       и) ((0HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150)
·0) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(1
·1). 1

Объяснение нового материала.
Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.
Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.
Алгоритм построения таблицы истинности:
1)       подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2)       определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;
3)       подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
4)       ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5)       заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
6)       провести заполнение таблицы истинности по столбцам.
Например: Для формулы A HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(B
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) построить таблицу истинности.
Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23 = 8.
Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.
A
B
C
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
B
· ( [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])
A HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(B
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])

0
0
0
1
1
1
1
0

0
0
1
1
0
0
0
0

0
1
0
0
1
0
1
0

1
0
0
1
1
1
1
1

0
1
1
0
0
0
1
0

1
0
1
1
0
0
0
0

1
1
0
0
1
0
1
1

1
1
1
0
0
0
1
1


Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией.
Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным.
Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называются равносильными, тождественными, эквивалентными.

Закрепление.
Построить таблицу истинности для следующих формул:
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
A
B
C
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
1
1
1
1
1

0
0
1
1
0
1
0
0

0
1
0
0
1
1
1
1

1
0
0
1
1
1
1
1

0
1
1
0
0
1
0
0

1
0
1
1
0
1
0
1

1
1
0
0
1
1
1
1

1
1
1
0
0
1
0
1


б)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
A
B
C
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
1
1
0
1
0

0
0
1
1
0
0
1
0

0
1
0
0
1
0
1
0

1
0
0
1
1
0
1
1

0
1
1
0
0
0
1
0

1
0
1
1
0
0
1
1

1
1
0
0
1
0
1
1

1
1
1
0
0
0
1
1


в) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
A
B
C
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
А (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
1
1
1
0
0
1

0
0
1
1
1
1
0
0
1

0
1
0
0
1
0
0
0
0

1
0
0
1
1
1
1
1
1

0
1
1
0
1
1
0
0
1

1
0
1
1
1
1
1
1
1

1
1
0
0
1
0
1
1
1

1
1
1
0
1
1
1
1
1


6. Домашнее задание.
1) Постройте таблицы истинности следующих сложных высказываний и определите, являются ли эти высказывания тождественно истинными.
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
г) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
д) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
е) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
ж) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
з) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
и) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
к) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
л) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: все высказывания, кроме л) являются тождественно истинными.

Тема: Законы алгебры высказываний
Цели урока:
Учебная: формирование знаний учащихся о законах алгебры высказываний, умений применять их при упрощении сложных высказываний.
Развивающая: развитие логического мышления, памяти, внимания.
Воспитательная: воспитание ответственности, взаимоуважения, аккуратности.

Ход урока.
1. Проверка полученных знаний и актуализация опорных знаний:
С помощью таблиц истинности определите, какие из следующих пар высказываний являются эквивалентными, а какие нет (самостоятельная работа по вариантам):

Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.

1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
А (В; В (А
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2) А(В(А; А(В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3) А ((В (С);
(А (В) (С
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
А((В(С);
(А( В) ( (А( С)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Ответы:
А
В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
0

0
1
1
1

1
0
1
1

1
1
1
1

1)
А
В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
А(В(А
А(В

0
0
0
1
0

0
1
0
1
1

1
0
0
0
1

1
1
1
1
1

2)





Вариант 1.










3)

А
В
С
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
А ((В (С)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(А (В) (С

0
0
0
0
0
0
0

0
0
1
0
0
0
0

0
1
0
0
0
0
0

1
0
0
0
0
0
0

0
1
1
1
0
0
0

1
0
1
0
0
0
0

1
1
0
0
0
1
0

1
1
1
1
1
1
1












Вариант 2.
1) 3)
А
В
А (В
В (А

0
0
0
0

0
1
0
0

1
0
0
0

1
1
1
1


А
В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
1
1
1
1
1
1

0
1
1
0
0
1
1
1

1
0
0
1
0
0
0
0

1
1
0
0
1
1
1
1







А
В
С
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
0
0
0
0

0
0
1
1
1
0
1

0
1
0
1
1
1
1

1
0
0
0
1
1
1

0
1
1
1
1
1
1

1
0
1
1
1
1
1

1
1
0
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1

2)











А
В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
0

0
1
1
0

1
0
1
1

1
1
1
1


А
В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
1
1
1

0
1
0
1
0

1
0
1
0
1

1
1
0
1
1





А
В
С
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
1
1
0
0
0
0

0
1
0
1
0
0
0
0

1
0
0
0
0
0
0
0

0
1
1
1
0
0
0
0

1
0
1
1
1
0
1
1

1
1
0
1
1
1
0
1

1
1
1
1
1
1
1
1





Вариант 3.

Вариант 4.
1)
А
В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)
А
В
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


0
0
1
1
1
1

0
0
0
0


0
1
1
0
1
1

0
1
0
0


1
0
0
1
0
0

1
0
0
1


1
1
0
0
1
1

1
1
1
1


3)
А
В
С
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
1
0
0
0
1
0

0
1
0
0
0
1
0
0

1
0
0
0
1
1
1
1

0
1
1
1
1
1
1
1

1
0
1
0
1
1
1
1

1
1
0
0
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1


Изучение нового материала.
При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.
В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.
Основными законами алгебры высказываний являются следующие:
Закон тождества: А = А.
Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.
Например, рассуждение «Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев» неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.

Закон непротиворечия: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Не могут быть одновременно истинными суждениями и его отрицание. То есть если высказывание А – истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение всегда будет ложным. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.
Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.
Например: «На Марсе есть жизнь» и «На Марсе жизни нет».

Закон исключенного третьего: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.
Например: Число 12345 либо четное, либо нечетное.
Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний.

Закон двойного отрицания: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Определим, чему эквивалентно (равносильно) двойное отрицание для А. для этого построим таблицу истинности.
А
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
1
0

1
0
1

По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со значениями столбца HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таковым является столбец А. Таким образом, если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, «Матроскин - кот» эквивалентно высказыванию «неверно, что Матроскин не кот».
Аналогичным способом (с помощью таблиц истинности) можно вывести и проверить следующие законы.

Свойства констант: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (отрицание лжи есть истина); HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (отрицание истины есть ложь);
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Закон идемпотентности: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Например, сколько бы раз не повторять: телевизор включен или телевизор включен ... значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения: на улице тепло, на улице тепло  ни на один градус теплее не станет.

Закон коммутативности: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Закон ассоциативности: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Закон дистрибутивности: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Закон поглощения: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Законы де Моргана: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Правила замены операции импликации:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Правила замены операции эквиваленции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Применение изученного материала при упрощении сложных высказываний.

Упростить: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. По закону дистрибутивности вынесем А за скобки: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Упростить: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Применив закон дистрибутивности, получим: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Упростить: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Умножим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Путем преобразований докажите равносильность следующих высказываний:
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Домашнее задание.
Упростить следующие логические формулы:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Контрольная работа №1.
Цели урока:
Учебная: проверить знания учащихся по теме: «Понятие логики, логические операции и законы логики» и умения применять их при решении задач.
Развивающая: развитие логического мышления, памяти, внимания.
Воспитательная: воспитание ответственности, добросовестности, требования к себе, аккуратности.

Вариант I.
1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:
Установите, является ли данное предложение высказыванием.
Определите, истинное это или ложное высказывание.
Ответьте, простое это или сложное высказывание.
Определите тип высказывания.
Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики:
а) Каждый четырехугольник имеет 4 угла и 4 стороны.
б) пейте, дети, молоко!
в) CD – ROM устройство вывода информации.
г) Все волки – хищники.
д) Х принадлежит промежутку [-10; 10].
е) Низко ласточки летают – о дожде предупреждают.
ж) Неверно, что Земля вращается вокруг Солнца.
2. Вычислите: ((1 & 0) ( 1) & (1 ( А). _ _
3. Составьте таблицу истинности для логической функции: P = X ( Y ( X & Y.
Есть три молодых человека: Андрей, Бронислав и Борис. Один из них - аптекарь, второй - бухгалтер, третий - агроном. Один живет в Бобруйске, второй - в Архангельске, третий - в Белгороде.
Известно, что:
Борис бывает в Бобруйске лишь наездами и то весьма редко, хотя все его родственники живут в этом городе;
У двух из этих людей названия их профессий и городов, в которых они живут, начинаются с той же буквы, что и их имена;
Жена аптекаря доводится Борису младшей сестрой;
Требуется выяснить, кто где живет и у кого какая профессия.

Вариант II.
1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:
Установите, является ли данное предложение высказыванием.
Определите, истинное это или ложное высказывание.
Ответьте, простое это или сложное высказывание.
Определите тип высказывания.
Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики:
а) В 1/4 килобайта содержится 256 байтов.
б) Сканер – устройство ввода информации.
в) Какого цвета ваш автомобиль?
г) Летом дети катаются на лыжах или коньках.
д) Неверно, что 41 – простое число.
е) х + 2 > 10.
ж) Если идёт дождь, то, выходя на улицу, берут зонтик.
2. Вычислите: ((0 & 0) ( 0) & (1 ( А). _ _
3. Составьте таблицу истинности для логической функции: F = X ( Y ( X & Y.
4. Один психолог решил заняться изучением того, как влияет на нервную систему человека поездка в переполненном трамвае в часы пик. Для этого он опросил по одному пассажиру с каждого из четырех маршрутов трамвая: 55, 15, 25 и 33-го. Среди опрошенных, которых звали Андрей, Петр, Виктор и Иван, оказалось по одному представителю четырех профессий: слесарь, электромонтер, маляр и фрезеровщик.
К сожалению, поездки в битком переполненном трамвае основательно истрепали нервы самому психологу. Не удивительно, что он напрочь забыл, у кого из опрошенных какая профессия и кто на каком трамвае ездит.
В памяти нашего психолога сохранились лишь бессвязные отрывки из того, что рассказал каждый из опрошенных о своем маршруте.
Вот что ему удалось припомнить:
номер трамвая, на котором ездит Виктор, начинается с единицы;
О трамвае № 33 рассказывал кто-то из рабочих-металлистов;
номер трамвая, на котором ездит фрезеровщик, составлен из таких цифр, что их сумма равна количеству букв в имени фрезеровщика;
Иван ездит на трамвае, номер которого состоит из двух одинаковых цифр;
Имя электромонтера начинается на букву «П»;
Андрей спросил психолога, где лучше сойти, чтобы пересесть на 25-й трамвай;
В памяти психолога вдруг отчетливо всплыла фраза, сказанная Иваном кому-то из пассажиров: «Вы сели не на тот трамвай, вам надо пересесть на 55-й».
Определите имя и профессию каждого пассажира, а также номер трамвая, на котором он ездит.
Тема: Логические основы ЭВМ
Цели урока:
Учебная: формирование умений определять структурную формулу по заданной функциональной схеме и по заданной структурной формуле строить функциональную схему.
Развивающая: развитие умений анализировать, выделять главное, сравнивать, стимулирование интереса учащихся к данной теме.
Воспитательная: воспитание ответственности, добросовестности, требования к себе, взаимоуважения.
Ход урока.
Актуализация опорных знаний.
Фронтальный опрос:
дать определение логических операций: инверсия, дизъюнкция, конъюнкция;
правила замены операции импликации, эквивалентности;
Объяснение нового материала.
При разработке вычислительной техники широкое применение находит алгебра логики. Рассмотрим, как применяется алгебра высказываний при конструировании устройств.
Задача. Пусть в некотором конкурсе решается вопрос о допуске того или иного участника к следующему туру тремя членами жюри: P, Q, R. Решение положительно тогда и только тогда, когда хотя бы двое членов жюри высказываются за допуск, причем среди них обязательно должен быть председатель жюри Q. Необходимо разработать устройство для голосования, в котором каждый член жюри нажимает на одну из двух кнопок – «За» или «Против», а результат голосования всех трех членов жюри определяется по тому, загорится(решение принято) или нет(решение не принято) сигнальная лампочка.
Формально это можно выразить так: требуется составить Функциональную схему устройства, которое на выходе выдавало бы 1, если участник допускается к следующему туру, и 0, если не допускается.
Решение:
Работу жюри можно легко представить в виде таблицы истинности:
P
Q
R
F(P,Q,R)

0
0
0
0

0
0
1
0

0
1
0
0

1
0
0
0

0
1
1
1

1
0
1
0

1
1
0
1

1
1
1
1


Чтобы сконструировать устройство, мы должны знать:
каким образом следует реализовать логические значения 0 и 1 в виде электрических сигналов на входе и выходе устройства;
каким образом описать работу этого устройства: в виде формулы, схемы, таблицы истинности;
существует ли алгоритм, позволяющий по известной таблице истинности построить схему устройства;
из каких элементов должно состоять устройство.
Постановка подобных вопросов и поиск ответов на них привели к построению простейших преобразователей информации, составляющих основу любой вычислительной техники.

Использование алгебры логики высказываний в вычислительной технике

Средством обработки двоичных сигналов в ЭВМ являются логические элементы.
Логические элементы - это электронные схемы с одним или несколькими входами и одним выходом, через которые проходят электрические сигналы. Для реализации любых логических операций над двоичными сигналами достаточно элементов трех типов: НЕ, И, ИЛИ.
Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс - логическое значение сигнала 1, нет импульса значение 0. На вход логических элементов поступают сигналы-аргументы, на выходе появляется сигнал-функция.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции.

Логический элемент «НЕ»
Логический элемент «НЕ» (инвертор) выдает на выходе сигнал, противоположный сигналу на входе.
На вход Х логического элемента последовательно подаются два сигнала, на выходе получается последовательность из двух сигналов, значения которых определяются в соответствии с таблицей истинности логической инверсии.
Х
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
1

1
0




Физически это можно реализовать при помощи реле с нормально замкнутыми контактами.


Условное обозначение инвертора:



Логический элемент «И»
Логический элемент «И» (конъюнктор) выдает на выходе значение логического произведения входных сигналов.
Х
Y
X(Y

0
0
0

0
1
0

1
0
0

1
1
1






Физически это можно реализовать последовательным соединением переключателей:

Условное обозначение конъюнктора:




Логический элемент «ИЛИ»
Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) выдает на выходе значение логической суммы входных сигналов.

X
Y
XvY

0
0
0

0
1
1

1
0
1

1
1
1







Физически это можно реализовать параллельным соединением переключателей:







Условное обозначение дизъюнктора:
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15
Наряду с инвертором, дизъюнктором и конъюнктором в логических схемах часто используются комбинированные логические элементы «И – НЕ» и «ИЛИ – НЕ», реализующие соответственно отрицание конъюнкции (элемент Шеффера) и отрицание дизъюнкции(элемент Вебба).
Условные обозначения:
«И – НЕ»
«ИЛИ – НЕ»

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15



Закрепление пройденного материала.
Определите структурную формулу по заданной функциональной схеме:
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15
Ответ: F(А, В) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Определите структурную формулу по заданной функциональной схеме:
















Ответ: F(A,B)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15AHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15BHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Дана структурная формула: F(А, В) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.Постройте соответствующую ей функциональную схему и изобразите переключательную схему. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ:
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15


Дана структурная формула: F(А, В) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Постройте соответствующую ей функциональную схему и изобразите переключательную схему.
Ответ:
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

Домашняя работа.
Дана структурная формула. Постройте соответствующую ей функциональную схему и изобразите переключательную схему.
F(А, В, С) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ:
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15
Определите структурную формулу по заданной функциональной схеме:
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15
Ответ: F(А, В, С) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Определите структурную формулу по заданной переключательной схеме:
HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15
Ответ: F(А, В, С) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15











Логика. Основные понятия логики Урок 1 HYPER13 PAGE HYPER144HYPER15

Логика. Основные понятия логики Урок 1 HYPER13 PAGE HYPER146HYPER15



Суждения, умозаключения. Табличный способ решения задач. Урок 2. HYPER13 PAGE HYPER1410HYPER15

Алгебра высказываний Урок 3. HYPER13 PAGE HYPER1414HYPER15

Логические операции. Урок 4. HYPER13 PAGE HYPER1421HYPER15

Построение таблиц истинности. Урок 5. HYPER13 PAGE HYPER1426HYPER15

Законы алгебры высказываний. Урок 6. HYPER13 PAGE HYPER1431HYPER15

Контрольная работа №1 Урок 7 HYPER13 PAGE HYPER1438HYPER15


Х

У

Х, У

У

Х




С

А

В

А

В

Значки
7

Марки
19

16

А
40



Ф
8

Н
22

5

3

7

8


Заполняем с центра
40 – 35 = 5 (ветчина)
60 – 50 = 10 (сыр)
50 – 40 = 10(колбаса)
92 – 85 = 7(пирожки)

К
10



В
5

С
10

20

5

10

25

Б
10



Ф
14

В
12

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15




Приложенные файлы

  • doc Logika
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 2

Методическая разработка «Основы логики»: 1 комментарий

Добавить комментарий