Сообщение на тему «Алгебра в экономике»












На тему:
«Алгебраический метод при решении экономических задач»


Выполнила: учитель математики
Карпеева Оксана Валерьевна.























Алгебраический метод при решении экономических задач.

По мнению большинства, экономика считается гуманитарной наукой. Однако экономика лишь по недоразумению зачислена в число гуманитарных наук. На самом деле – это наука точная. Чтобы убедиться в этом, достаточно открыть любой университетский учебник экономики, который просто «нашпигован» хитрыми формулами и графиками. А раз так, то и учить экономике нужно примерно так же, как и другим точным наукам, – математике, физике, химии – с использованием задач.
При решении экономических задач используются самые различные способы решения. В том числе и самые распространённые методы – арифметический, алгебраический и графический. Однако, решая задачи на уроках экономики необходимо учитывать, какие знания и способы решения задач известны детям. Здесь на помощь могут придти учителя математики. Проще если вы с математикой дружите, сложнее если нет. Однако можно выделить такие темы, при изучении которых возможно проведение интегрированных уроков – экономики и математики.

Класс
Время
Наименование темы



По математике
По экономике

7
Сентябрь
Уравнение с одним неизвестным
Расчет простого процента по вкладам и кредитам.


Март
Линейная функция и её график
Издержки производства.
Спрос и предложение.


Апрель
Системы двух уравнений с двумя неизвестными.
Взаимодействие спроса и предложения.

8
Январь
Решение систем, содержащих уравнение 2 порядка
Решение задач на расчет условий равновесия.

9
Сентябрь
Системы нелинейных уравнений
Уравнение обмена


Ноябрь
Степень с рациональным показателем
Решение задач на расчет банковского процента


Март
Прогрессии
Прибыль


При выборе материала к этим урокам можно предложить следующие задачи с экономическим содержанием, которые решаются алгебраическим способом. Напомним, что алгебраический метод заключается в составлении одного уравнения или системы нескольких уравнений.
Приведём несколько примеров таких задач.

Задача 1. (источник 1).
Предложение денег на Крите упало на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Объём продаж снизился в 1,2 раза. Скорость обращения не изменилась. На сколько % в среднем изменились цены?
Решение. Пусть в х раз – изменилась исходная средняя цена Р.
Выпишем уравнения обмена для исходной и конечной ситуаций на Крите.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
где M – исходное предложение денег,
P – исходная средняя цена,
Q – исходный объём продаж,
V – скорость обращения.
Разделим второе уравнение на первое, получим
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
откуда х = 1,1.
Таким образом, цены на Крите в среднем выросли на 10%.
Ответ. 10 %.

Задача 2 (источник 1).
В прошлом году АО «Никифоров и Ко» получило максимально возможную прибыль, выпустив и реализовав 1296 тонн продукции. Средние переменные издержки на предприятии не зависели от объёма выпуска и составляли 2 тыс. руб. на тонну. Постоянные издержки были равны 400 тыс. руб. Связь между объёмом продаж (в тоннах), который совпадает с объёмом производства, и ценой на продукцию Р (в тыс. руб. за тонну) описывается функцией:
Q (P) = - P2 – 2P + q ,
где q (в тоннах) – максимально возможный годовой объём потребления продукции АО «Никифоров и Ко». Определить размер прибыли, полученной АО в прошлом году, учитывая, что в течение года цена на продукцию не менялась.
Решение. AVC = 2 тыс. руб.
FC = 400 тыс. руб.
Q = 1296 тонн.
Пусть х - цена, по которой АО реализовало 1296 тонн продукции и, соответственно, получило максимальную прибыль. Воспользуемся функцией Q (P), и выразим х через q. Для этого решим уравнение:
Р2 – 2Р + q = 1296,

корнями этого уравнения являются:

х 1= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и х 2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Величина х1 при всех допустимых значениях q отрицательна и поэтому экономически бессодержательна.
Второе значение цены – х 2 – имеет экономический смысл при q > 1295.

Значит, Р = - 1 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Данные о средних переменных и постоянных издержках позволяют выписать функцию зависимости годовых издержек TC (в тыс. руб.) от объёма выпуска продукции:

TC (Q) = AVC*Q + FC = 2Q + 400.

Рассчитаем значение этой функции при Q = 1296.

ТС = 2*1296 + 400 = 2992 (тыс. руб.)

Годовую прибыль – Pr (в тыс. руб.) – находим из выражения:

Pr = P*Q – TC.

Подставив в это выражение функции Q(P) и TC(Q) и проведя элементарные преобразования, получаем функцию зависимости размера прибыли от цены:

Pr = P*( - P2 – 2P + q ) – (2Q + 400) = - P3 + P(q + 4) - 2 q – 400.

Чтобы определить максимальное значение прибыли необходимо решить элементарную задачу математического анализа с применением понятия производной:

Pr’ (P) = -3P2 + q + 4 = 0,

Решением этого уравнения являются особые точки:

Р1 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и Р2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Величина Р1 при всех допустимых значениях q отрицательна, т.е. экономически бессодержательна. Точка Р2 является точкой максимума, т.к. при переходе через эту точку производная Pr’ меняет свой знак с плюса на минус.


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Р2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Действительно, учитывая, что q > 1295, то при Р=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15< P2:
Pr’=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
А при Р = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15>P2:
Pr’ = -3(q + 4) + q +4 = -2q – 8 < 0.

Таким образом, х = Р2. Используя это условие, можно вычислить q – значение максимально возможного годового объёма потребления:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)2 = (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1+2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ q – 1295
q +4 = 6HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 +3q – 3882
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 2q – 3886
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= q – 1943
Это уравнение равносильно системе уравнения и неравенства:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Решая первое квадратное уравнение, получаем следующие значения q:

q 1 = 1871 и q2 = 2024.

1871 не является решением смешанной системы, т.к. оно меньше чем 1943, поэтому максимально возможным годовым объёмом может быть только 2024.
Вычислим значение х:
х = Р = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 26 (тыс. руб. на тонну).
Подставляя рассчитанные значения Р и ТС, а также известное по условию задачи Q в равенство:

Pr = P*Q – TC.
Получим максимальное значение прибыли:

Pr = 26*1296 – 2992 = 30704 тыс. руб.

Ответ. 30704 тыс. руб.
Задача 3. (источник 2).
При цене 5 руб. величина спроса на репчатый лук за день на базаре составит 200 кг. Найти величину спроса при цене 7 руб., если дуговая эластичность спроса при изменении цены от 5 до 7 руб. составляет 2.
Решение. Пусть х - величина спроса при цене 7 руб.
Дуговая эластичность имеет вид:

E = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где

Q1 = 200, P1 = 5, Q2 = х, P2 = 7.
Подставив данные и решив уравнение с одной неизвестной, получим х:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

6(200 – х) = 2(200 + х)

1200 – 6х = 400 +2х
– 8 х = - 800
х = 100.
Таким образом, величина спроса составит 100 кг при цене 7 руб.
Ответ. 100 кг.

Таким образом, приведённые задачи демонстрируют применение алгебраического метода не только на уроках алгебры, но и экономики.


Список используемой литературы:

Винокуровы Е. и Н. Экономика в задачах //Математика, №34, 1998.
Волков С., Корнейчук Б., Любарский А. Экономика. Сборник задач. М., 2002.
Перельман Я. И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия, М., 1999.
Прикладная экономика. М., 1992.
Симонов А. С. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике //Математика в школе, №3, 1998.


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc fail13.doc
    Размер файла: 94 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий