МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.


МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.
Выполнила: учитель математики
Артемова Ирина Константиновна
МБОУ СОШ №11
Ст.Стародеревянковская2016г.
Основной целью изучения данной темы является:
1. Актуализировать знания о методе дифференциального исчисления.
2. Определить место, цели и значение изучения метода дифференциального исчисления в школе.
3. Показать, что рассматриваемый метод — важнейший аппарат изучения естественных наук и математики.
4. Рассмотреть возможность применения метода при изучении математики.
5. Установить межпредметные связи.
1. Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие методические задачи:
1. Установить содержание метода дифференциального исчисления.
2. Установить цели изучения этого метода в школьном курсе «Алгебра и начала анализа».
3. Определить знания и умения, которыми должны овладеть учащиеся при изучении метода.
4. Уточнить содержание и уровень изложения соответствующего учебного материала, выделив «ядерный» и сопутствующий (неосновной) материал.
Одна из задач курса «Алгебра и начала анализа» заключается в завершении изучения функциональной линии курса алгебры неполной средней школы, где учащиеся знакомятся с основными понятиями, результатами, методами математического анализа в объеме, который позволяет исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи.
Общая учебная задача, которая может быть поставлена при изучении элементов математического анализа,— изучить метод, позволяющий применять понятие производной к решению различных учебно-практических задач.
Без понимания метода математического анализа невозможно разобраться в естественных науках, в технической и научно-популярной литературе. Это обусловлено тем, что математика проникает во все области деятельности человека.
Фундаментальным методом математического анализа является дифференциальное исчисление.
Основная идея метода дифференциального исчисления состоит в том, что, зная функцию и указав точку (или не указывая ее), можно дать локальную характеристику изменения функции при изменении аргумента.
Метод дифференциального исчисления выступает методом математического анализа, так как с его помощью изучаются свойства различных классов функций. Кроме того, производная выступает инструментом и языком, на котором описываются многие процессы естествознания и техники, исследуются и изучаются многие явления реального мира.
Математика применяется в естествознании и технике для расчетов и количественных характеристик. Но получить расчетную формулу, например, траектории ракеты или прочности балки трудно. Здесь и используется аппарат математического анализа, который дает возможность по исследованию бесконечно малых элементов линий (поверхностей) — дифференциальное исчисление — в результате получить требуемые формулы для объекта в целом — интегральные исчисления.
Обращение к бесконечно малым дает возможность «кусок» кривой заменить отрезком (секущей или касательной), установить какие-либо закономерности, используя отрезки, проще, чем дуги кривых.
II. Выяснив суть метода дифференциального исчисления, необходимо обратить внимание на образовательные, развивающие и воспитательные цели изучения рассматриваемого метода:
— систематизировать знания о функциях, которые имеются у учащихся к началу изучения темы;
— ознакомить с новым методом исследования свойств функций;
— показать применение нового метода исследования свойств функций к решению различных прикладных задач;
— разъяснить учащимся, что метод дифференциального исчисления — мощнейший аппарат познания законов природы, и раскрыть роль этого аппарата для практики;
— выявить широкие возможности более глубокого и всестороннего воспитания диалектико-материалистического мировоззрения.
Указанных целей можно достичь после самостоятельного анализа соответствующих разделов программы по математике для средней общеобразовательной школы.
III. Анализ программы и учебного пособия по математике дает основание дать правильные ответы на следующие вопросы:
Задание 1.
1) Каков понятийный аппарат метода дифференциального исчисления?
2) В чем специфика этого метода математического анализа?
3) Какие знания и умения необходимо актуализировать для сознательного и прочного овладения методом дифференциального исчисления?
4) Какие знания и умения формируются при изучении метода? Детальное обсуждение поставленных вопросов приводит к следующим выводам:
Сознательное усвоение метода дифференциального исчисления невозможно без введения фундаментальных понятий, таких, как приращение аргумента и приращение функции, отношение этих приращений, производная, тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в указанной точке, предельный переход.
Метод дифференциального исчисления является основным методом исследования различных процессов, решения различного класса задач, поэтому учащимся необходимо знание всех названных понятий. Решение задач позволяет сделать интуитивно ясными такие понятия, как непрерывность функции, производная, геометрический и механический смысл производной и применение ее к приближенным вычислениям; сформулировать критерии возрастания и убывания функции, признаки минимума и максимума. Весьма важным является решение учебно-практических задач средствами математического анализа, так как на этом материале учащихся знакомят с построениями математических моделей и их решениями.
Для успешного и сознательного овладения методом необходимо актуализировать знания и умения учащихся.
Знания:
— функции числового аргумента;
— приращения аргумента и функции;
— скорости неравномерного движения, средней скорости, мгновенной скорости;
— таблицы производных элементарных функций.
Умения:
— находить значение функции в точке;
— находить приращение функции по заданному приращению аргумента;
— находить отношение приращения функции к приращению аргумента при заданных условиях;
— находить среднюю скорость неравномерного движения. В результате изучения метода учащиеся должны приобрести знания:
— определений понятия производной, точки максимума, точки минимума;
— алгоритма нахождения производной, составления уравнения касательной к кривой в указанной точке;
— плана исследования функций и построения графика;
— основных формул дифференцирования, включая сложную функцию;
— геометрического смысла производной и интеграла;
— физического смысла производной;
— достаточного условия возрастания (убывания) функции.
Считается, что учащиеся овладели методом, если в результате изучения материала у них удалось сформировать умения:
— находить производную функцию в точке и на отрезке;
— использовать понятие производной для исследования свойств функции;
— устанавливать характер изменения функции по знаку производной;
— выявлять точки, подозрительные на экстремум;
— вычислять наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке;
— применять метод дифференциального исчисления для решения сюжетных задач (математических и физических);
— применять понятие производной для приближенных вычислений.
IV. Указанные выше цели и поставленные задачи дают возможность выделить «ядерный» и сопутствующий материал, который позволит учащимся усвоить рассматриваемый метод.
«Ядерным» материалом являются определения понятия производной и алгоритм нахождения производной.
Сопутствующим материалом в первом случае — примеры вычисления производных элементарных функций, дифференцируемость функций.
Обучение методу дифференциального исчисления не должно сводиться к сообщению определения производной и на основе определений вычислениям производной. Чтобы учащиеся убедились, что дифференцирование действительно является методом математического анализа, необходимо рассмотреть различные по фабуле и требованиям задачи из разных областей знаний.
Приведем примеры таких задач:
Задача 1. Определить скорость тела, движущегося прямолинейно по закону s=t2+5 (м), в момент времени t=5 с.
Задача 2. В тонком неоднородном стержне длиной 35 см масса (в граммах) распределена по закону m=3l2+2l, где l— длина части стержня, отсчитываемая от начала. Найти плотность в точке, отстоящей от начала на 3 см.
Задача 3. Закон свободного падения тела в пустоте определяется формулой, где g—постоянная величина. Найти скорость этого движения в некоторый фиксированный момент времени t0.
Анализ решения приведенных задач позволяет обнаружить, что при поиске ответов на поставленные требования каждый раз выполнялась одна и та же последовательность операций. Можно привести еще много задач из техники, физики, для решения которых необходимо вычислять предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Оказалось целесообразным выделить такой предел, дать ему термин «производная» и изучить его основные свойства. После введения термина формулируется определение производной, которое является конструктивным, что позволяет «построить» алгоритм вычисления производной в точке.
На основе определения производной формулируются теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного двух функций, рассмотрен частный случай дифференцирования сложной функции («внутренняя» функция—линейная) и постулируется, что это верно и в общем случае.
Задание 2.
1) Установите, какие знания необходимо актуализировать для понимания геометрического смысла производной.
2) Составьте серию задач, с помощью которой раскрывается геометрический смысл производной.
3) Выясните, какие свойства функций изучаются с помощью производной.
4) Составьте серию задач, с помощью которой вырабатывается аппарат данного метода.
5) Выясните, какие формы контроля эффективно использовать для определения сформированности метода.
Перечисленные задания для самостоятельной работы предполагают групповую форму работы.
V. Далее рассматривается возможность применения метода дифференциального исчисления при изучении различных вопросов математики, раскрывается методика установления межпредметных связей.
Реализовать эти цели можно при решении следующих методических задач:
Задание 3.
1) Разработайте серию тестовых задач на экстремум, которая позволит выяснить алгоритмическое предписание, с помощью которого в дальнейшем будет осуществляться решение таких задач.
2) Разработайте методику формирования умения применять изученный метод для составления уравнения касательной к графику функции в указанной точке, определите шаги алгоритма.
3) Установите, на каких задачах целесообразно показать применение метода дифференциального исчисления для приближенных вычислений значений функции.
4) Приведите примеры физических, технических задач, на которых можно показать установление межпредметных связей.
В результате анализа нескольких серий задач формулируется предписание решения текстовых задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения. Предписание имеет следующие шаги:
— установить переменные и постоянные, используемые в задаче, и установить, какая из переменных исследуется;
— составить математическую модель задачи (в данном случае функцию, наибольшее или наименьшее значение которой требуется определить);
— найти производную функции;
— вычислить критические точки функции;
— выбрать критические точки, которые принадлежат промежутку;
— вычислить значение функции в критических точках, лежащих внутри промежутка и на его концах;
— установить вид экстремума в критических точках внутри промежутка с помощью достаточного условия экстремума;
— из всех полученных чисел выбрать наименьшее (наибольшее);
— записать ответ.
Следует обратить внимание на то, что полученное предписание не будет усвоено учащимися формально, если оно является следствием решения серии математических задач.
Результатом решения второй методической задачи является предписание, состоящее из шагов:
— найти производную функции;
— вычислить значение производной в указанной точке;
— сравнить значение производной с нулем;
а) если значение производной в данной точке вычислить нельзя, то либо касательную в этой точке провести нельзя, либо касательная перпендикулярна оси х, ее уравнение х=х0б) если значение производной равно нулю, то касательная в данной точке параллельна оси jc, ее уравнение y=f(xo),
в) если производная существует и ее значение отлично от нуля, то в этой точке можно провести касательную к кривой, наклоненную к оси х;
— вычислить значение функции в указанной точке;
— составить выражения у-f(х0) и (х—x0)f(x0);
— из полученных выражений составить равенство.
Остановиться необходимо на частичном решении четвертой методической задачи, привести примеры только применения производной к решению физических и технических задач.
Задание 4. Какими математическими задачами можно продолжить предложенный список математических задач и какова должна быть методика их решения, чтобы можно было считать, что учащиеся понимают значение метода математического анализа для других областей знаний?
Примеры задач:
1. Вычислить работу электрического тока, напряжение которого меняется со временем.
2. Длина стержня равна 10 см, а его линейная плотность в точке, находящейся на расстоянии х см от левого конца, равна (0,7x3+x) (г/см). Определить массу стержня.
Итоговое задание. Разработайте содержание учебного материала с привлечением данных из истории развития математического анализа, на основе которого можно показать различие методов изучения свойств функций элементарными средствами (с помощью уравнений и неравенств) и с помощью методов математического анализа.

Приложенные файлы

  • docx file9
    Размер файла: 26 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий