Тригонометрические уравнения, отличающиеся от простейших


Реферат на тему: «Тригонометрические уравнения, отличающиеся от простейших».
Выполнила: учитель математики
Артемова Ирина Константиновна
Ст. Стародеревянковская2016г.
Оглавление
Оглавление………………………………………………………………………...2
Введение…………………………………………………………………………...3
Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших………………………………………………………………………..6
Замена переменных при решении тригонометрических уравнений. Примеры……………………………………………………………….........6
Решение тригонометрических уравнений, приведением к одной переменной (с одним аргументом). Примеры……………………………8
Решение однородных тригонометрических уравнений и приведение тригонометрического уравнения к однородному. Примеры…………..10
Решение уравнений вида f(x)=0 с помощью разложения на множители. Примеры…………………………………………………………………...12
Заключение……………………………………………………………………….15
Используемая литература……………………………………………….............16
Введение.
Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Тригонометрия изучает важный класс функций – так называемых тригонометрических, а также их применение в геометрии. Само название "тригонометрия" греческого происхождения, обозначающие "измерение треугольника": τρі γωνоν (тригонон) – треугольник, μετρειω (метрейн) – измерение, показывает что этот раздел математики связан с задачами решения треугольников, т. е. с задачами нахождения одних элементов треугольника по другим его известным элементам.
Исторически тригонометрия и возникла из таких задач, но ими далеко не исчерпывается широкое применение тригонометрических функций в самых различных разделах математики, естествознания и техники. Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще за долго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.
Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинения "великое построение" (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея жившего во второй половине II в. до н. э.
Эти таблицы являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые пол градуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку" а считалась частью астрономии.
Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть "линию синусов"). Линия синусов именовалась ими "архаджива", что буквально означало “половина тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45'). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.
В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.
Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.
Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу ("тригонометрический круг" или "единичная окружность"). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sin α, cos α, tg α, ctg α. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.
Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.
В курсе алгебры и начала анализа в 10 классе начинается изучение темы «Решение тригонометрических уравнений». Рассматриваются приёмы решения простейших тригонометрических уравнений, а также тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших. Я задумалась над тем, а есть ли другие приёмы решения тригонометрических уравнений. И выбирая данную тему реферата, я решила исследовать этот вопрос и попытаться выяснить: что же предлагает школьный курс алгебры и начал анализа для решения тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших. Методы решения тригонометрических уравнений разрабатывались математиками уже многие годы. Ими выделены были различные классы тригонометрических уравнений, для которых известны алгоритмы решения.
Цель работы:
- систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений.
Задачи:
- повторить решение простейших тригонометрических уравнений;
-провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа;
Используемые методы:
- научный (изучение литературы);
- исследовательский.
Замена переменных при решении тригонометрических уравнений. Примеры.
Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.
Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.
Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).
Пример 1.
Решить уравнение: 2 sin2x - 5 sinx + 2=0.
Решение.
Введём новую переменную: sin x=t, тогда уравнение примет вид:
2t2– 5 t + 2 = 0, откуда находим: t1= 2, t2= 0,5.
Значит, либо sinx = 2, либо sinx = 0,5.
Первое из этих уравнений не имеет решений, т.к |2|>1,а для второго получаем: x = (-1)n π6 + πn, nϵZ.
Комментарий.
Анализируя вид этого уравнения, замечаем, что в его запись входит только одна тригонометрическая функция sinx. Поэтому удобно ввести новую переменную sin x=t. После решения квадратного уравнения необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.
Ответ: x = (-1)n π6 + πn, nϵZ.
Пример 2.
Решить уравнение: cos2x – sin2x – cosx = 0.
Решение.
Воспользуемся тем, что sin2x = 1 – cos2x, тогда получаем:
cos2x – (1 – cos2x) – cosx = 0;
2cos2x – cosx – 1 = 0.
Введём новую переменную: cosx=t, тогда уравнение примет вид:
2t2–t– 1=0, откуда находим: t1= 1, t2= -0,5; т. е. либо cosx = 1, либо
cosx = -0,5.
Из первого уравнения cosx = 1, получаем: x = 2πn, n ϵ Z.
Из второго cosx = -0,5, получаем: x = ± 2π3 + 2πn, n ϵ Z.
Ответ: x = 2πn, nϵZ; x = ± 2π3 + 2πn, n ϵ Z.
Пример 3.
Решить уравнение: tg x2 + 3 ctgx2 = 4.
Решение.
Поскольку ctg x2 = 1tg x2 есть смысл ввести новую переменную: z = tg x2.
Это позволит переписать уравнение в более простом виде: z + 3z = 4. Далее получаем: z2+ 3 = 4z;
z2– 4z + 3 = 0;
z1= 1, z2= 3.
Возвращаясь к переменной x, получаем два уравнения:
tg x 2 = 1,
x 2 = arctg1 + πn, т.е. x 2 = π 4 + πn, x = π2 + 2πn, n ϵ Z.
или tg x 2 = 3,
x 2 = arctg3 + πn, x = 2 arctg3 + 2 πn, n ϵ Z.
Ответ: x = π2 + 2πn, n ϵ Z; x = 2 arctg3 + 2 πn, n ϵ Z.
Пример 4.
Решить уравнение: tg32x – tg2x = 0.
Комментарий.
В данное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому удобно ввести переменную tg2x=t. После выполнения обратной замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений следует в ответ записать все полученные корни.
Решение.
Пусть tg 2x = t. Тогда получаем: t3 –t = 0. Отсюда t(t2- 1) = 0, то есть
t =0 или t2- 1 = 0. Из последнего уравнения имеем t2= 1, тогда t = 1 или t = -1. Выполняем обратную замену:
При t =0 имеем tg 2x = 0, тогда 2x = πn, nϵZ. Таким образом:
x = πn2, n ϵ Z.
При t =1 имеем: tg 2x = 1, тогда 2x =arctg1 + πn, n ϵ Z.
2x = π4 + πn, n ϵ Z. Отсюда x = π8 + πn2, n ϵ Z.
При t = -1 имеем: tg2x = -1, тогда 2x =arctg(-1) + πn, n ϵ Z.
2x = - π4 + πn, n ϵ Z. Отсюда x = - π8 + πn2 , n ϵ Z.
Ответ: x = πn2, n ϵ Z; x = π8 + πn2, n ϵ Z; x = - π8 + πn2 , n ϵ Z.
При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений можно воспользоваться таким ориентиром.
Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.
Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.
Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции – нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.
В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение или используем специальные приемы решения.
Решение тригонометрических уравнений, приведением к одной переменной (с одним аргументом). Примеры.
Пример 5.
Решить уравнение: cos 2x – 5 sin x – 3 = 0.
Решение.
Используя формулу косинуса двойного угла аргумента и основное тригонометрическое тождество, получаем:
cos2 x - sin2x-5sinx-3=0,
1 - sin2x-sin2x-5sinx-3=0,
-2sin2x -5sinx-3=0.
Замена sinx = t дает уравнение: -2t2 - 5t - 2 = 0.
Тогда 2t2 + 5t + 2 = 0, t1=-2, t2= - 12.
Выполняем обратную замену.
При t = -2 имеем sin x = -2 – корней нет, поскольку |2|>1.
При t = - 12 имеем sin x = - 12. Тогда x = (-1)narcsin (- 12) + πn,
x = (-1)narcsin (- π6) + πn, n ϵ Z.
Комментарий.
Все тригонометрические функции приводим к одному аргументу x, используя формулу cos2x = cos2 x - sin2x. Потом все тригонометрические выражения приводим к одной функции sin x (учитываем, что cos2 x = 1 - sin2x. В полученное уравнение переменная входит в одном и том же виде sin x, поэтому удобно выполнить замену sinx = t.
Ответ: x = (-1)narcsin (- π6) + πn, n ϵ Z.
Пример 6.
Решить уравнение: tg x + 2 ctg x = 3.
Решение.
tg x + 2tg x = 3. Замена tg x = t дает уравнение t + 2t = 3.
При t ≠ 0 получаем равносильное уравнение t2 -3t + 2 = 0.
Отсюда t1= 1, t2= 2.
Выполняем обратную замену:
При t = 1 имеем tg x = 1, тогда x = arctg 1 + πn,x = π4 + πn, n ϵ Z.
При t = 2 имеем tg x = 2, тогда x = arctg 2 + πn, n ϵ Z.
Комментарий.
Все аргументы уже одинаковые (x), поэтому приводим все тригонометрические выражения к одной функции tg x (учитываем, что ctg x = 1tg x). В полученное уравнение переменная входит в одном и том же виде tg x, поэтому удобно выполнить замену tg x = t.
Ответ: x = π4 + πn, n ϵ Z; x = arctg 2 + πn, n ϵ Z.
Решение однородных тригонометрических уравнений и приведение тригонометрического уравнения к однородному Рассмотрим уравнение sin2x-sinxcosx-2cos2x=0. Для поиска плана решения этого уравнения(но не для его решения) выполним замены: sin x = u, cos x = v. Тогда первоначальное уравнение будет иметь вид u2-uv-2v2=0. Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2 (напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае полученное уравнение и первоначальное уравнение называются однородным, и для распознания таких уравнений и их решения можно применять следующий ориентир.
Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень, то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.
Замечание.
Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни (если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю, и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.
Пример 7.
Решить уравнение sin 3x = 5 cos3x.
Решение.
При cos3x = 0 уравнение не имеет корней, поэтому разделим обе его части на cos3x ≠ 0. Получаем:
sin3xcos3x=5, то есть tg 3x = 5. Тогда 3x = arctg 5 + πn, n ϵ Z;
x = 13arctg 5+πn3, n ϵ Z.Комментарий.
Данное уравнение однородное, поскольку все его члены имеют одинаковую степень 1. Его можно решить делением обеих частей на sin 3x или на cos 3x. Если мы будем делить на cos 3x, то, чтобы не потерять корни, случай cos 3x = 0 рассмотрим отдельно.
Подставляя cos 3x = 0 в данное уравнение, получаем sin 3x = 0. Но одновременно sin 3x и cos 3x не могут равняться нулю. Таким образом, при cos 3x = 0 уравнение не имеет корней. А при cos 3x≠0 можно разделить обе части данного уравнения на cos 3x≠0 и получим уравнение, равносильное заданному (при этом учесть, что sin3xcos3x= tg 3x).
Ответ: x = 13arctg 5+πn3, n ϵ Z.Пример 8.
Решить уравнение 10 cos2x-5sin2x=4.Решение.
Преобразуем обе части уравнения, воспользовавшись тождествами:
sin2x = 2sinxcosx, sin2x+cos2x=1. Последовательно имеем:
10 cos2x-5sin2x=4;10 cos2x-5∙2sin xcos x = 4(sin2x+cos2x);
2sin2x+5sin xcos x -3cos2x = 0.
Заметим, что среди значений x, для которых cos x = 0, корней уравнения нет, поскольку, если cos x = 0, то из уравнения следует, что и sin x = 0, а одновременно эти два равенства выполняться не могут. Значит, можно разделить обе части уравнения на cos2x, не опасаясь потери корней. После деления получим уравнение 2tg2x+5tg x-3=0. Решив его как квадратное уравнение относительно tg x , найдем: tg x = 0,5, tg x = -3, откуда x = arctg 0,5 +πn, n ϵ Z; x= - arctg 3 + πn, n ϵ Z.Ответ: x = arctg 0,5 +πn, n ϵ Z; x= - arctg 3 + πn, n ϵ Z.Решение уравнений вида f(x)=0 с помощью разложения на множители.
Один из основных подходов к решению тригонометрических уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Для упрощения используются тригонометрические формулы. Универсально ответа на вопрос, какие формулы следует применит в том или ином случае, нет, однако есть ряд приемов, которые полезно иметь в виду при поиске решения.
Довольно часто в результате преобразований удается привести уравнение к виду f1x∙ f2x∙… ∙fkx=0. В этом случае дальнейшее решение сводится к поиску корней уравнения f1x=0, f2x = 0, …, fkx=0 и дальнейшему отбору тех из них, которые принадлежат области определения исходного уравнения.
Такой подход к решению уравнений, известный как метод разложения на множители, являются универсальным (его применяют при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений).
Пример 9.
Решить уравнение cos 8x tg x = tg x.
Решение.
tg x ∙ (cos 8x – 1) = 0.
Функции, входящие в последнее уравнение, определены при всех x, кроме x = π2+ πn, n ϵ Z. На этом множестве последнее уравнение равносильно совокупрости уравнений tg x = 0 и cos 8x = 1, решения которых определяются формулами x = πn, n ϵ Z и x = πn4, n ϵ Z Теперь необходимо отобрать из полученных значений x те, которые удовлетворяют условию cos x ≠0, т.е. x ≠ π2+ πn, n ϵ Z. Для первой серии корней условие cos x ≠0 выполняется. Для отбора корней серии
x = πn4 воспользуемся следующим.
Представим число n в виде n = 4k + p, k ϵ Z, а p – принимает значения 0, 1, 2 и 3. Тогда при разных значениях p корни второй серии будут иметь следующий вид:
x = πk при p = 0; x = π4 + πk при p =1;
x = π2 + πk при p =2 и x = 3π4 + πk при p =3.
Значит, при p = 2 получаются «запрещенные» значения, а все оставшиеся решения можно задать, например, как совокупность серий: π4 + πn2 и πn, n ϵ Z, причем вторая из этих серий была получена ранее.
Ответ: x = π4 + πn2, n ϵ Z; x = πn, n ϵ Z.
Пример 10.
Решить уравнение cos 2x – sin x + cos x = 0.
Решение.
Так как cos 2x =cos2x- sin2x, то данное уравнение равносильно следующим: (cos x – sin x)(cos x + sin x) + (cos x – sin x) = 0;
(cos x – sin x)(cos x + sin x + 1) = 0.
Полученное уравнение в свою очередь равносильно совокупности уравнений cos x – sin x = 0 и cos x + sin x + 1= 0.
cos x – sin x = 0; 2cos (x + π4) = 0;
x + π4 = π2 + πn, n ϵ Z;
x = π4 + πn, n ϵ Z.
cos x + sin x + 1= 0;
2cos (x - π4) = -1;
cos (x - π4) =-12;
x = ±3π4 + π4 + 2πn, n ϵ Z.
Ответ: x = π4 + πn, n ϵ Z; x = ±3π4 + π4 + 2πn, n ϵ Z.
Заключение
Изучив литературу по выбранной теме, я узнала очень много интересных фактов из истории развития тригонометрии как науки, узнала очень много до сих пор не известных мне имён математиков прошлого.
Рассмотрев данную тему, я смогла:
1) закрепить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения»;
2) обрела некие навыки решения более сложных тригонометрических уравнений; способность к исправлению допущенных ошибок на основе рефлексии собственной деятельности; научилась решать уравнения, выделив общую идею решения: приведение уравнения к виду, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию одного аргумента с последующей заменой переменной, или разложение на множители;
3) получить развитие способности к порождению оригинальных идей к использованию нестандартных способов интеллектуальной деятельности, развитию логического мышления, аналитической и информационной культуры.
Используемая литература
1. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2003.
2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.
3. Королёв С. В. Тригонометрия на экзамене по математике: учебное пособие. – М.: «Экзамен», 2006.
4. Решетников Н. Н. Материалы курса «Тригонометрия в школе». Лекции 1 – 8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

Приложенные файлы

  • docx file11
    Размер файла: 58 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий