Методичка для заочников Пределы.Производная.Интегралы.

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области
государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области «Ростовский колледж рекламы, сервиса и туризма «Сократ»

УТВЕРЖДАЮ
Директор ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ»
__________________А.Ю.Ковалев
« 31 » августа 2016г.


Методические рекомендации
к выполнению домашней контрольной работы №3
Пределы.Производная.Интегралы.
по дисциплине общеобразовательного цикла ОУДП.01 Математика:
алгебра и начала математического анализа; геометрия.
для студентов, осваивающих
ППССЗ по специальностям 43.02.10 Туризм, 43.02.11 Гостиничный сервис,
(базовый уровень, год начала подготовки 2016)

форма обучения заочная






Составитель: Куликова Ольга Васильевна, преподаватель высшей квалификационной категории
Место работы: ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ»




Ростов-на-Дону
2016г.
Подготовлены на основании законодательных и иных нормативных правовых актов в сфере СПО по организации учебного процесса по заочной форме обучения в образовательных учреждениях среднего профессионального образования и на основании ППССЗ 43.02.10 «Туризм», 43.02.11 «Гостиничный сервис».
Составлены в соответствии с рабочей учебной программой общеобразовательной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.» предназначены для студентов, осваивающих ППССЗ 43.02.10 «Туризм», 43.02.11 «Гостиничный сервис»Рассматриваются вопросы подготовки, определения структуры и оформления домашней контрольной работы по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.»
В методических рекомендациях обозначен круг теоретических и практических вопросов, выносимых на промежуточную аттестацию. Приводится перечень источников по курсу, с учетом действующих нормативно-правовых актов.
Одобрены на заседании цикловой методической комиссии естественнонаучных и математических дисциплин, протокол №1 от 29.08.2016г

Рецензент: Былинская Ирина Анатольевна зам. директора ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ» по общеобразовательной подготовке, преподаватель высшей категории













© Ростовский колледж рекламы, сервиса и туризма «Сократ» ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ» , 2016

СОДЕРЖАНИЕ


Введение
3

1. Варианты контрольной работы соответствует номеру студента в списочном составе группы


6

2. Задания по темам
7

3. Справочные материалы
11

Список рекомендуемой литературы
22



Введение


Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, таких как информатика, физика, химия, экономика, а так же для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.
При изучении дисциплины постоянно обращается внимание студентов на то, что математическое образование занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, показывается, где и когда изучаемые теоретические знания и практические умения могут быть использованы в будущей профессиональной деятельности. Изучение материала ведется в форме доступной пониманию студентов.
В результате изучения дисциплины «Математика» студенты должны: знать/понимать
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
уметь:
выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма,
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
строить графики изученных функций;
решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;
вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;
решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;
решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;
решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;
анализа информации статистического характера;
исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.
Настоящее методическое пособие призвано, в первую очередь, помочь студенту-заочнику в выполнении домашней контрольной работы. Поэтому в него включены задания для выполнения контрольной работы в 16 вариантах и подробные решения типовых задача также указана литература в которой отражен необходимый теоретический материал для выполнения этих заданий.
Контрольная работа по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» выполняется студентами 1-го курса заочного отделения всех специальностей во втором семестре и включает в себя задания по следующим темам:
- правила вычисления производных;
- вычисление пределов;
- правила нахождения первообразных;
- вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница.
По каждой теме в методических указаниях представлен основной теоретический материал и указана литература, где этот материал можно изучить в полном объёме. А так же представлены решения типовых заданий.
Вариант работы закрепляется за студентом на первом занятии и сохраняется в течение всего времени изучения дисциплины и оформляется в отдельной тетради. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту. Решение заданий должно быть хорошо продумано, логически последовательно и обосновано. Если в работе допущены недочеты и ошибки, то студент должен их исправить в этой же тетради, используя замечания преподавателя, отмеченные в рецензии.
Студенты должны показать в ходе решения контрольной работы, что они умеют мыслить, анализировать, применять теоретические знания к решению практических задач.
Обучающая и развивающая функции контрольной работы состоят в том, что в процессе работы над ней студенты углубленно осваивают конкретные темы курса, овладевают знаниями и умениями самостоятельной работы.
Контролирующая функция контрольной работы заключается в том, что на основании ознакомления с ней преподаватель делает заключение о качестве самостоятельной работы студента, о его умении работать с литературой, ориентироваться в потоки информации, выделять наиболее важные вопросы темы, умении применять формулы и алгоритмы к решению задач. Контрольная работа – одна из форм общения преподавателя со студентом, в процессе которой преподаватель оценивает уровень его подготовки, отношение к выполнению задания. Замечания, сделанные в рецензии, имеют целью помочь студентам в дальнейшем изучении дисциплины.
Контрольная работа должна быть написана грамотно, четко и разборчиво.
При выполнении всех требований, предъявляемых к контрольной работе, студент получает положительную рецензию, и работа рекомендуется к защите. На защите контрольной работы студент представляет преподавателю свою контрольную работу, рецензию и работу над ошибками. По заданиям контрольной работы, для проверки выполнения студентами указаний, сделанных преподавателем в рецензии, и для методической помощи студентам проводится защита контрольной работы в виде собеседования. На ней студент должен продемонстрировать знания содержания своей работы, ответить на дополнительные вопросы. Результаты собеседования учитываются преподавателем в период зачетно-экзаменационной сессии.
1. Варианты контрольной работы

Вариант контрольной работы закрепляется за студентом под подпись


варианта

Задания по темам

1
1
17
33
49

2
2
18
34
50

3
3
19
35
51

4
4
20
36
52

5
5
21
37
53

6
6
22
38
54

7
7
23
39
55

8
8
24
40
56

9
9
25
41
57

10
10
26
42
58

11
11
27
43
59

12
12
28
44
60

13
13
29
45
61

14
14
30
46
62

15
15
31
47
63

16
16
32
48
64






2. Задания по темам

Тема. Правила вычисления производных.
Задания 1-16
Найти производную.

№ з-ия
Задания
№ з-ия
Задания

1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
11
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
12
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

5
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
13
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

6
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
14
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

7
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

8
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
16
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




Тема. Вычисление пределов.
Задания 17-32

Найдите предел.

№ з-ия
Задания

з-ия
Задания

17
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
25
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

18
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
26
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

19
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
27
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Тема. Правила нахождения первообразных.
Задания 33 – 48

Найдите одну из первообразных функции.


з-ия
Задания

з-ия
Задания

33
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
41
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

34
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
42
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

35
HYPER13 EMBED Equati
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Тема. Вычисление определенного интеграла
по формуле Ньютона – Лейбница.
Задания 49 – 64


Вычислить интеграл.

№ з-ия
Задания
№ з-ия
Задания

49
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
57
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

50
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
58
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

5
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3. Справочные материалы

Тема. Правила вычисления производных.

Литература:
М.И.Башмаков. Учебник. Математика Изд. М.- ОИЦ «Академия» 2014г.
Глава 9. Занятие 4 стр 174-180.
Ш.А. Алимов. Учебник. Математика Изд. М.- «Просвещение» 2013г.
Глава VIII параграфы 44,45,46,47 стр 225-246

Теоретические положения.
3.2.Производная функции у=f(х)

Определение. Пусть задана функция ((x), x((a;b), и пусть xo некоторая точка интервала (а;b). Предел HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 называется производной функции ((x) в точке xo и обозначается (((хo).
Таким образом, по определению, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1)
Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Согласно определения предела функции равенство (1) можно записать в следующем виде:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 где ((x)(0 при x(xo.
Следовательно,HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15где ((x)( 0 при
x(xo
· (2)
или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где ((x) ( 0 при x ( xo (3)
Часто для обозначения производной используется символ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (читается «де эф по де икс»).


Производная суммы и разности функций.

Теорема. Если функции u(х) и ((х) имеют производные во всех точках интервала (а;b), то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15для любого х((а;b).
Эту формулу можно записать в сокращенном виде: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Примеры.
1) (x2 + x + 5)’=(x2)’+(x + 5)’=2x + 1;
2) (x3 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)’=(x3)’+(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)’=3x2 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

3) (x2 + 4x + 15)’=(x2)’+(4x + 15)’=2x +4.

Производная произведения функций.

Теорема. Если функции u(x) и ((x) имеют производные во всех точках интервала (а;b), то [u(x)((x)]’=u’(x)((x)+u(x)(’(x) для любого х((а;b).
Данная формула также записывается в следующем виде: (u()’=u’( + u(’.

Примеры.

1) ((х + 5) (х8))' = (х + 5)' (х- 8) + (х - 8)' (х + 5)=1 (x8)+1 (x + 5)=2x3;

2) (х2(2х7))' = (x2)' (2x7) + х2(2х7)' =2x(2x7) + x22=6x214x;

3)(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(5–3x))'=(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)'(5–Зх)+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(5–3x)'=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(5–3x)+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(–3) = =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (a((x))’=a(’(x).

Примеры.

1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Производная частного двух функций.

Теорема. Если функции u(х) и ((х) имеют производные во всех точках интервала (а;b), причем ((x) ( 0 для любого х((а; b),то
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 для любого х((а;b).
В сокращенном виде формула записывается так: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Примеры.

1.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Таблица производных.

1. (c) ґ = 0 (c константа).
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15где ((R.
В частности, (x)ґ=1, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. (ax)ґ = ax ln a.
В частности, (ex) ґ = ex.
4.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В частности, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5. (sin x)ґ = cos x.
6. (cos x)ґ = sin x.
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
11. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
12. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
13. (((x)+g(x))( = (((x) + g((x).
14. (((x)g(x))( = (((x)g(x) + ((x)g((x).
15. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Сложная функция. Понятие сложной функции широко используется в математике. Со сложными функциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики при рассмотрении различных вопросов.
Пусть заданы две функции у = g(х) и z = ((у), причем область определения функции ( содержит множество значений функции g. Функция, заданная формулой z = ((g(x)), называется сложной функцией, составленной из функций g и (, или суперпозицией функций g и (.
Например, функция ( = 3lg(1 + х2)есть сложная функция, составленная из более простых функций z = 3 lg y и y = 1+ x2.
Подобным же образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций. Например, функция z =lg(1 +HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)может быть рассмотрена как суперпозиция следующих функций: z = lg (, ( = 1 + y, y = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Производная сложной функции.
Теорема. Пусть функция у =g(х), х((а;b), имеет производную в точке хo((а;b), а функция z = ((y) определена на интервале, содержащем множество значений функции g, и имеет производную точке уo = g(хo). Тогда сложная функция ((хo) = ( (g(х)) имеет производную в точке хo, которая вычисляется по формуле (((xo) = (((yo)g((xo)

Примеры

1.((x2+3x+10)2)=2(х2+ 3х + 10) (х2+ 3х + 10)=2(х2+ 3х + 10)(2х + 3);
2.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 3HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 3 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= =3HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=3HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=3HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. (x1/3) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4.(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(x2 + 1) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15· 2x.

5.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9. ((x2 + 3) ln(2x + 1))=
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER1510.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
11. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
12. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

13.((x2 + 3) ln(2x + 1))=
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

14. (sin 5x)' = соs5x(5x)' = 5соs5x;

15. (sin 3x2)' = соs 3x2(3x2)' = 6x соs 3x2;

16. (sin3 2x)' = 3 sin2 2x(sin 2x)' = 3 sin2 2x соs 2x(2x)' = 6 sin2 2x соs 2x.

17. (соs 3x)'= sin 3x(3х)' = 3sin 3x;

18. (соs 3х)'= sin3х2(3x2)'= 6x sin 3x2;

19. (соs2 3x)' = 2соs 3x(соs 3x)' = 2соs 3x ( sin 3x)(3x)' = 3sin 6х.
20. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
21. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
22. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Тема. Вычисление пределов.
Литература:
1. М.И.Башмаков. Учебник. Математика Изд. М.- ОИЦ «Академия» 2014г.
Глава 9 Занятие 2 стр 163-168

Теоретические положения.
О п р е д е л е н и е: Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к числу а, если для всякого положительного числа Е>0 можно указать такую окрестность точки а, что как только |x-a|Особо важную роль в математике играют функции, предел которых равен нулю.
Т е о р е м а 1. Предел алгебраической суммы двух или нескольких переменных равен алгебраической сумме пределов слагаемых. Здесь и далее имеется в виду, что такие пределы (слагаемых, сомножителей и т.д.) существуют.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,где lim z =A, lim y = B, lim u =C.

Т е о р е м а 2. Предел произведения двух или нескольких переменных равен произведению пределов отдельных множителей:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
С л е д с т в и е. Если одна из переменных величин есть постоянная, то lim (My) =M lim y= MB, так как предел постоянной равен самой постоянной. (Постоянный множитель можно выносить за знак предела).
Пример: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т е о р е м а 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя не равен 0
Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то, в другой записи: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
П р и м е р. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Т е о р е м а 4. Предел степени переменной равен той же степени предела основания: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
П р и м е р ы:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Т е о р е м а 5. Если переменная z заключена между двумя другими переменными y, u, стремящейся к общему пределу, то z стремится к тому же пределу.
П р и м е р 1. Найти HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Сначала применяем теорему о пределе алгебраической суммы и одновременно выносим постоянные множители за знак предела, потом – теорему о пределе степени

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Предел в данном случае можно было получить проще, если сразу на место x подставить его предельное значение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

П р и м е р 2. Найти HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если в этом примере подставим на место x его предел 3, то получим неопределенность: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 что говорит о том, что теорема о пределе частного неприменима (предел знаменателя равен 0), но HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1)
Равенство (1) имеет место при всяком x неравном 3. В таком случае, считают, что пределы у левой и правой частей должны быть одинаковы: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
П р и м е р 3. Найти HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 предел знаменателя оказывается равным 0, то мы не можем применить теорему о пределе частного; преобразуем данную дробь до перехода к пределу:

Таким образом, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

П р и м е р 4. Найти HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Так как с символом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 нельзя обращаться как с числом, то надо преобразовать данную дробь, поделив числитель и знаменатель дроби на х в наибольшей степени: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при .
Тема. Правила нахождения первообразных.
Литература:

1. М. И. Башмаков. Учебник. Математика. Изд. М. – ОИЦ «Академия» 20104г. Глава 9 Занятие 8 стр 191 – 193.
2. Ш. А. Алимов. Учебник. Математика. Изд. М. – «Просвещение» 2013г. Глава 10. §54; 55 стр 287 – 292.

Теоретические положения.

Определение:
Функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15называется первообразной функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(x) на некотором промежутке, если для всех HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 из этого промежутка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Замечание:
Если функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 является первообразной функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на некотором
промежутке, то все первообразные функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 записываются в виде
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15– произвольная постоянная.

Операцию нахождения первообразных называют интегрированием стр 290

Правила нахождения первообразных.

Задача 1. Найти одну из первообразных функции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Используя правила интегрирования и таблицу первообразных для функций HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, находим одну из первообразных данной функции: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 2. Найти все первообразные функции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
По таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 является функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а одной из первообразных функций HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 является функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. По правилам интегрирования одна из первообразных данной функции:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.





Таблица первообразных.

Функция
Первообразная

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Примеры.

Найти одну первообразных функции:
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Тема. Вычисление определенного интеграла по
формуле Ньютона – Лейбница.

Литература:
1. М.И. Башмаков. Учебник. Математика. – М.: ОИЦ – «Академия» 2014г.
Глава 9 Занятие 8 стр 191 – 193.
Глава 10 Занятие 2 стр 199 – 202.
2. Ш. А. Алимов. Учебник. Математика. Изд. М – «Просвещение» 2013г.
Глава X §56 стр 293 – 299.

Теоретические положения.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [а;b]. Разобьем отрезок [а;b] на n частей точками а = х0 < х1 < х2 < ... < хп = b, выберем на каждом элементарном отрезке [хk-1;xk] произвольную точку
·k и обозначим через
·хk длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции f (х) на отрезке [a;b] называется сумма вида
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1)
Определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а;b] называется предел интегральной суммы (1) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (2)
Если функция f (х) непрерывна на [а;b], то предел (2) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на элементарные отрезки и от выбора точек
·k (теорема существования определенного интеграла).
Основные свойства определенного интеграла
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Для вычисления определенного интеграла от функции f(х) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл
F(х), служит формула Ньютона Лейбница:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (3)
т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Пример1. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение. На основании формулы (3) находим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример 2. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример 3. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример 4.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



Список рекомендуемой литературы

Основная литература

1.Башмаков Н.И. Математика:Учебник – М.,2014г. ОИЦ «Акадимия».
2. Башмаков Н.И. Математика:Задачник– М.,2014г. ОИЦ «Акадимия».

Дополнительная литература


1.Алимов Ш.А. Математика:Учебник – М.,2013г. «Просвещение»
2.Дорофеев Г.В.Метематика:Сборник заданий для подготоаки и проведения писменого экзамена за курс средней школы.11класс - М.,2012. ООО «Дрофа»








HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER141HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file1.doc
    Куликова Ольга Васильевна
    Размер файла: 583 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий