Методичка для заочников. Задачи по стереометрии

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области
государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
Ростовской области «Ростовский колледж рекламы, сервиса и туризма «Сократ»


УТВЕРЖДАЮ
Директор ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ»
__________________А.Ю.Ковалев
« 31 » августа 2016г.




Методические рекомендации
к выполнению домашней контрольной работы №2
Задачи по стереометрии
по дисциплине общеобразовательного цикла ОУДП.01 Математика:
алгебра и начала математического анализа; геометрия.
для студентов, осваивающих
ППССЗ по специальностям 43.02.10 Туризм, 43.02.11 Гостиничный сервис,
(базовый уровень, год начала подготовки 2016)

форма обучения заочная



Составитель: Куликова Ольга Васильевна, преподаватель высшей квалификационной категории
Место работы: ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ»



Ростов-на-Дону
2016г.


Подготовлены на основании законодательных и иных нормативных правовых актов в сфере СПО по организации учебного процесса по заочной форме обучения в образовательных учреждениях среднего профессионального образования и на основании ППССЗ 43.02.10 «Туризм», 43.02.11 «Гостиничный сервис».
Составлены в соответствии с рабочей учебной программой общеобразовательной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.» предназначены для студентов, осваивающих ППССЗ 43.02.10 «Туризм», 43.02.11 «Гостиничный сервис».Рассматриваются вопросы подготовки, определения структуры и оформления домашней контрольной работы по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.»
В методических рекомендациях обозначен круг теоретических и практических вопросов, выносимых на промежуточную аттестацию. Приводится перечень источников по курсу, с учетом действующих нормативно-правовых актов.
Одобрены на заседании цикловой методической комиссии естественнонаучных и математических дисциплин, протокол №1 от 29.08.2016г

Рецензент: Былинская Ирина Анатольевна зам. директора ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ» по общеобразовательной подготовке, преподаватель высшей категории













© Ростовский колледж рекламы, сервиса и туризма «Сократ» ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ» , 2016


СОДЕРЖАНИЕ

Введение
3

1. Варианты контрольной работы
6

2. Задания по темам
7

3. Справочные материалы
14

Список рекомендуемой литературы
20



Введение
Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, таких как информатика, физика, химия, экономика, а так же для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.
При изучении дисциплины постоянно обращается внимание студентов на то, что математическое образование занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, показывается, где и когда изучаемые теоретические знания и практические умения могут быть использованы в будущей профессиональной деятельности. Изучение материала ведется в форме доступной пониманию студентов.
В результате изучения дисциплины «Математика» обучающиеся должны: знать/понимать
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
уметь:
выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма,
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
строить графики изученных функций;
решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;
вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной; решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;
решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;
решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;
анализа информации статистического характера;
исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.
Настоящее методическое пособие призвано, в первую очередь, помочь студенту-заочнику в выполнении домашней контрольной работы. Поэтому в него включены задания для выполнения контрольной работы в 16 вариантах и подробные решения типовых задача также указана литература в которой отражен необходимый теоретический материал для выполнения этих заданий.
Контрольная работа по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» выполняется студентами 1-го курса заочного отделения всех специальностей во втором семестре и включает в себя задания по следующим темам:
- векторы в пространстве;
- прямые и плоскости в пространстве;
- многогранники;
- тела вращения.
По каждой теме в методических указаниях представлен основной теоретический материал и указана литература, где этот материал можно изучить в полном объёме. А так же представлены решения типовых заданий.
Вариант работы закрепляется за студентом на первом занятии и сохраняется в течение всего времени изучения дисциплины, и оформляется в отдельной тетради. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту. Решение заданий должно быть хорошо продумано, логически последовательно и обосновано. Если в работе допущены недочеты и ошибки, то студент должен их исправить в этой же тетради, используя замечания преподавателя, отмеченные в рецензии.
Студенты в должны показать в ходе решения контрольной работы, что они умеют мыслить, анализировать, применять теоретические знания к решению практических задач.
Обучающая и развивающая функции контрольной работы состоят в том, что в процессе работы над ней, обучающиеся углубленно осваивают конкретные темы курса, овладевают знаниями и умениями самостоятельной работы.
Контролирующая функция контрольной работы заключается в том, что на основании ознакомления с ней преподаватель делает заключение о качестве самостоятельной работы студента, о его умении работать с литературой, ориентироваться в потоки информации, выделять наиболее важные вопросы темы, умении применять формулы и алгоритмы к решению задач. Контрольная работа – одна из форм общения преподавателя со студентом, в процессе которой преподаватель оценивает уровень его подготовки, отношение к выполнению задания. Замечания, сделанные в рецензии, имеют целью помочь студентам в дальнейшем изучении дисциплины.
Контрольная работа должна быть написана грамотно, четко и разборчиво.
При выполнении всех требований, предъявляемых к контрольной работе, студент получает положительную рецензию, и работа рекомендуется к защите. На защите контрольной работы студент представляет преподавателю свою контрольную работу, рецензию и работу над ошибками. По заданиям контрольной работы, для проверки выполнения студентами указаний, сделанных преподавателем в рецензии, и для методической помощи студентам проводится защита контрольной работы в виде собеседования. На ней студент должен продемонстрировать знания содержания своей работы, ответить на дополнительные вопросы. Результаты собеседования учитываются преподавателем в период зачетно-экзаменационной сессии.


1. Варианты контрольной работы
Вариант контрольной работы закрепляется за студентом под подпись

варианта
Задания по темам

1
1
17
33
49

2
2
18
34
50

3
3
19
35
51

4
4
20
36
52

5
5
21
37
53

6
6
22
38
54

7
7
23
39
55

8
8
24
40
56

9
9
25
41
57

10
10
26
42
58

11
11
27
43
59

12
12
28
44
60

13
13
29
45
61

14
14
30
46
62

15
15
31
47
63

16
16
32
48
64



2. Задания по темам
Тема: Векторы в пространстве.

Задания 1-16
Решить задачу.

№ варианта
Задача №1
№ варианта
Задача №1

Найдите периметр треугольника ABC если даны координаты его вершин.
Найдите медианы треугольника ABC |HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15если даны координаты его вершин.

1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 2

Найдите координаты вектора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , если даны координаты векторов.

Найдите координаты вектора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15’ если даны координаты векторов


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equatio
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Тема: Прямые и плоскости в пространстве.
Задания 17-32
Решить задачу.
№ задания
Задача

17
Через вершину к треугольника ДКР проведена прямая КМ, перпендикулярная плоскости этого треугольника . Известно, что КМ = 15см ; ДР=12см; ДК=РК=10см. Найти расстояние от точки М до прямой ДР.

18
Через вершину прямого угла С равнобедренного треугольника СДЕ проведена прямая СК, перпендикулярная к его плоскости. Найти расстояние от точки К до прямой ДЕ , если СК=35см ; СД=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15см.

19
Дан прямоугольный параллелепипед АВСД HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите двугранный угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, если известно, что четырехугольник АВСД – квадрат, АС=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15см.

20
Дан прямоугольный параллелепипед АВСД HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите двугранный угол АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15СДВ, если АС=13см, ДС=5см, ААHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15см

21
Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 4 см, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояния от точки К до вершин квадрата, если ОК=9 см.

22
Отрезок АМ перпендикуляром плоскости квадрата АВСД, угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите тангенс угла АСМ.

23
Сторона квадрата равна 4 см . Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находиться на расстоянии 6см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояния от этой точки до вершин квадрата.

24
Сторона квадрата АВСД равна 2см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Найдите расстояния от точки М до прямой ВД.

25
Сторона квадрата АВСД равна 1 см. Отрезок АМ перпендикуляре плоскости квадрата, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите расстояние от точки М до прямой ВД.

26
Диагональ квадрата АВСД равна10 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . Найдите расстояние от точки М до прямой ВД.

27
Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника; расстояния от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найти длину отрезка СМ.

28
Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 8 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

29
Сторона квадрата равна 2 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите расстояние от точки М до прямой ВД.

30
Треугольник ABC – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 6см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника, угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15MCA =60HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите длину отрезка MB.

31
Из точки O пересечения диагоналей квадрата ABCD к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM так, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15OBM= 60HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите косинус угла ABM.

32
Сторона квадрата ABCD равна 1 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ABM =30HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите расстояние от точки M до прямой BD.




Тема: Многогранники
Задания 33-48
Решить задачу
№ задания
Задача

33
Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 13 см. Найдите объем пирамиды.

34
Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Высота пирамиды опущена в точку пересечения его диагоналей. Меньшие боковые ребра пирамиды равны 5 см. Найдите объем пирамиды.

35
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите высоту пирамиды.

36
Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды, равная 12 см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите боковые ребра пирамиды.

37
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

38
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, стороны основания 4 см и 6 см. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда.

39
Площадь полной поверхности куба равна 24 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите его диагональ.

40
Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов равен 8 см, вращается вокруг своего большего катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.

41
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, площадь основания 12 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Одна сторона основания в три раза больше другой. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда.

42
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите объем пирамиды.

43
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, стороны основания 4см и 6см. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

44
В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Высота пирамиды равна 6см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

45
В правильной четырехугольной пирами
·де апофема образует с плоскостью основания угол 30HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.


46
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

47
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

48
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с боковым ребром угол 45HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите объем пирамиды.


Тема: Тела, вращения.
Задания 49-64
Решить задачу

№ задания
Задача

49
Радиус основания цилиндра равен 4см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите объем цилиндра.

50
Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите площадь его боковой поверхности.

51
Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15см. Найдите объем цилиндра.

52
Образующая конуса равна 12 см и составляет с плоскостью основания угол 30HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите объем конуса.

53
Объем конуса с радиусом основания 6 см равен 96HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

54
Радиус основания цилиндра равен 8см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите объем цилиндра.

55
Площадь боковой поверхности конуса равна 20HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а площадь его основания на 4HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 меньше. Найдите объем конуса.

56
Высота конуса равна 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите площадь полной поверхности конуса.

57
Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая конуса равна 13 см. Найдите объем конуса.

58
Отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего основания цилиндра с центром его верхнего основания, равен 2 см и наклонен к плоскости основания под углом 30HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

59
Образующая конуса равна 5 см, площадь его боковой поверхности равна 15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите объем конуса.

60
Высота цилиндра равна 6 см, а площадь его боковой поверхности вдвое меньше площади его полной поверхности. Найдите объем цилиндра.

61
Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см плоскостью, проведенной на расстоянии 29 см от центра шара.

62
Высота конуса равна 8 см, объем 24HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найдите площадь полной поверхности конуса.

63
Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол в 30HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а радиус основания конуса равен 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

64
Площадь осевого сечения цилиндра равна 64 смHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а его образующая равна диаметру основания. Найдите объем цилиндра.

3. Справочные материалы
Тема: Векторы в пространстве
М.И. Башмаков. Учебник. Математика Изд. М.-ОИЦ «Академия» 2014г.
Глава 5 задание 1,2,3 стр77-85.
Л.С. Атанасян. Учебник «Геометрия 10-11» Изд. М-Просвещение 20012г.
Глава IV §1,2,3 стр. 77-88
Глава V §1,2 стр. 95-108
Теоретические положения
Определение.
Любой вектор HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 можно разложить по координатам векторам, т.е. представить в виде HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
причем коэффициенты расположения x,y,z определяются единственным образом.
Коэффициенты x, y и z в расположении вектора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 по координатным векторам называются координатами вектора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в данной системе координат.
Правила действий над векторами.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - данные векторы, то вектор HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеет координаты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - данные вектора, то вектор HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеет координаты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - данный вектор, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - данное число, то вектор HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеет координаты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
III. Простейшие задачи в координатах. Вычисление координат середины отрезка [АВ], где А(x1; y1;z1), В(x2; y2;z2)
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
б) Вычисление длины вектора по его координатам. Докажем, что длины векторов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 вычисляется по формуле
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
в) Расстояние между точками HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 вычисляется по формуле HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Тема. Прямые и плоскости в пространстве

М.И Башмаков Глава3. Занятия 1,2,3 стр. 50-60
Л.С. Атанасян
Глава 1. §1,2,3,4 стр. 9-29
Глава 2. §1,2,3 стр. 34-50

Теоретические положения
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Три случая взаимного расположения прямой и плоскости.
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
3) Теорема (без доказательства).
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
4) Определение.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема (без доказательств)
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Определение.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Определение.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DАВ, DВС и DСА. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DАВ, DВС и DСА называется тетраэдром и обозначается так DАВС.
Определение.
Поверхность, составленная их двух равных параллелограммов АВСD и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и четырех параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: АВСDHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Определение.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) если угол между ними равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Перпендикулярность прямых a и b обозначается так: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Теорема. (без доказательства)
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимися прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Определение.
Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Определение.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащие одной плоскости.

Тема. Многогранники и тела вращения
М.И. Башмаков
Глава 8 Занятия 1;2;3;4;5 стр. 141-145
Л.С. Анасян
Глава 3. § 1,2,3 стр. 57-70
Глава 6. § 1,2,3 стр.119-135

Теоретические положения
1) Поверхность, составленную на многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
2) Составляющие многогранника.. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
3) Призма. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , называется призмой.
Многоугольники АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 называются основаниями, а параллелограммы (1) – боковыми гранями призмы. Отрезки АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,,АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), последовательно приложенных к друг другу, равны или параллельны. призму с основаниями АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ВHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и называется n-угольной призмой.
4) Площадь поверхности призмы. Площадью поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. Площадь SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 полной поверхности и площадь SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 боковой поверхности и площадь SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 основание призмы формулой

SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+2 SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
5)Площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
6) Пирамида. Многоугольник, составленный из n-угольника АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и n треугольников (1), называется пирамидой. Многоугольник АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 называется основанием, а треугольник (1) – боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РАHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, РАHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,,РАHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и вершиной Р обозначают так: Р АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - и называют n-угольной пирамидой.
7) Площадь поверхности пирамиды. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней. Очевидно
SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
8) Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равна, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
9) Площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
10) Апофема. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
11) Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и LHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ООHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- осью цилиндра.
Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.
12) Сечение цилиндра. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующая, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то секущая является кругом.
13) Площадь поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Площадью поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то для вычисления площади SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 полной поверхности цилиндра получаем формулу
SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+h)
14) Конус. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом . Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие конуса равны друг другу (объясните почему). Прямая ОР, проходящая через основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.
15) Сечение конуса. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг.
16) Площадь поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 полной поверхности конуса получается формула
SHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
17) Сфера. Шар. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется называется центром сферы, а данное расстояние радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.
18) Площадь сфера. S=4HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
19) Объем тел:
Призма: V=S HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15*H
Пирамида: V=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 S HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15*H
Цилиндр: V=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15*H
Конус: V=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15*H
Шар: V=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




Список рекомендуемой литературы

Основная литература

1.Башмаков Н.И. Математика:Учебник – М.,2014г. ОИЦ «Акадимия».
2. Башмаков Н.И. Математика:Задачник– М.,2014г. ОИЦ «Акадимия».

Дополнительная литература

1.Алимов Ш.А. Математика:Учебник – М.,20014г. «Просвещение»
2.Дорофеев Г.В.Метематика:Сборник заданий для подготовки и проведения писменого экзамена за курс средней школы.11класс - М.,2012. ООО «Дрофа»»








HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER141HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file2.doc
    Куликова О.В.
    Размер файла: 459 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий