Учебное пособие по комплексным числам. Конспекты лекций.

Министерство образования и науки Челябинской области

Копейский филиал Государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования (среднее специальное учебное заведение)
«Челябинский техникум текстильной и легкой промышленности»








КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

учебное пособие по математике по теме:
«Комплексные числа»













Копейск 2014


РАССМОТРЕНЫ
на заседании комиссии общеобразовательных дисциплин, протокол №__8__ от «_15__»
апреля 2014 г.

Председатель: А.Р.Озарко
СОСТАВЛЕНЫ
в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям социально – экономического и технического профилям обучения
Зам. директора по УПР: Л.А.Рыбакова





Рекомендованы методическим советом филиала, протокол №_8__ от «_22_» апреля 2014г. для всех специальностей социально – экономического и технологического профилей обучения



Разработал: Никифорова Т.В., преподаватель математики
Копейского филиала

Рецензент: Балясникова Н.Н., преподаватель математики
Копейского филиала










РЕЦЕНЗИЯ
на учебное пособие «Конспекты лекций по теме
«Комплексные числа»»
преподавателя математики Никифоровой Т.В.

Учебное пособие разработано согласно рекомендациям Минобразования РФ от 29.12.2000 № 16-52-138 ин/16-13 «По планированию и организации самостоятельной работы студентов ОУ СПО» в условиях действия ГОС среднего (полного) общего образования, рабочей программы учебной дисциплины «Математика».
Автор предлагает собственный подход в части определения последовательности изучения конспектов лекций.
Содержание включает в себя:
- пояснительную записку;
- методическое руководство;
- тексты лекций;
- образец решения задачи или примеров;
- задания для самостоятельной работы;
- список литературы.
Данное учебное пособие может быть использовано преподавателями СПО в процессе организации и проведения внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся по данной учебной дисциплине.

Рецензент Н.Н.Балясникова
КФ ГБОУ СПО (ССУЗ) «ЧТТЛП», преподаватель математики
( учреждение, должность)








СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка........5

Комплексные числа.....6

Понятие мнимой единицы...6
Степени мнимой единицы...6
Определение комплексного числа...6
Действия над комплексными числами в алгебраической форме......7
Геометрическая интерпретация комплексного числа...7
Тригонометрическая форма комплексного числа..8
Показательная форма комплексного числа.....9
3. Литература9
















ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данные конспекты лекций – это учебное пособие, содержащее материал по темам: «Комплексные числа». Предназначается для внутреннего пользования в учебном заведении. Содержит курс лекций по данной теме.
По объему соответствует количеству часов, отведенных рабочей программой и календарно - тематическим планом: 4часа.
Работа с конспектами лекций является одним из видов учебных аудиторных и внеаудиторных занятий по самостоятельному изучению нового материала.
ЦЕЛИ:
формирование умений работать с конспектами;
изучение нового материала;
ликвидация пробелов в знаниях;
сочетание фронтального, группового и индивидуального обучения;
применение полученных знаний к решению упражнений;
формирование обобщенных умений и навыков при решении упражнений.
Организация самостоятельной работы с конспектами лекций предусматривает формирование у студентов обобщенных умений и навыков, которые им будут необходимы при изучении дисциплин на старших курсах, при выполнении курсовых и дипломных проектов в их расчетной части, написанию рефератов, при выполнении практических и лабораторных заданий и т.д.
Конспекты лекций по комплексным числам это основное учебное пособие при подготовке студентов к экзамену по математике на 1 курсе обучения.


2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
2.1 Понятие мнимой единицы
Число i называется мнимой единицей, если i2 = -1.
Образец:
·-36 =
·36
·
·-1 = 6i .

Самостоятельно: а)
·-4 = ; б)
·-25
·
·- 49 = .

2.2 Степени мнимой единицы
Рассмотрим степени мнимой единицы:
i2 = -1;
i3 = - I;
i4 = 1;
i5 = I; самостоятельно: i6 = ; i7 = ; i8 =
Таким образом, если показатель степени числа I делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно I; если в остатке 2, то значение степени равно -1; если остаток 3, то значение степени – i.
2.3 Определение комплексного числа
Числа вида а +в i, где а и в – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными числами.
Число а называется действительной частью комплексного числа, вi –мнимой частью комплексного числа.
Запись вида а +вi называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа равны, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице.
Образец: найти х и у из равенства:
3у + 5хi = 15 - 7i.
Решение: 3у = 15, 5х = -7, следовательно: у = 5, х = -7/5.
Самостоятельно: а) 7х + 5i = 1 - 10iу; б) (2х +3у) + (х-у)i = 7 +6i.


2.4 Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам действий над многочленами.
Образец: даны комплексные числа а1 = 2 +3i, а2 = 5 - 7i . Найти:
а) а1 + а2 б) а1 - а2 в) а1
· а2 г) а1 : а2
Решение: а) а1 + а2 = (2 +3i) + (5 - 7i ) = 2 + 5 + 3i - 7i = 7 - 4i;
б) а1 - а2 = (2 +3i) - (5 - 7i ) = 2 - 5 + 3i + 7i = -3 + 10i;
в) а1
· а2 = (2 +3i)
· (5 - 7i ) = 10 + 15i - 14i - 21i2 = 10 +i + 21 = 31+ I;
г) 2 +3i = (2 +3i) (5 + 7i) = -11 + 29 i = -11 + 29 i
5 - 7i ( 5 - 7i)( 5 + 7i ) 74 74 74
Самостоятельно: а) а = (3 + 5 i), в = 7 - 2 i. Выполните сложение, вычитание, умножение.
б) (3 + 5 i)2; в) (7 - 2 i)3; г) (2 +3i)
·(2 - 3i); д) 7 - 4i
2 +3i
е) 2 +3i + 7 - 4i
5 - 7i 2 +3i
ж) х2 – 6х +13 = 0

2.5 Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число а +в i можно изобразить вектором плоскости с координатами: ОА (а; в):
у
А
в (а; в)


х
0 а


Самостоятельно: изобразите числа геометрически:
а) а = 5;
б) в= -2 i ;
в) с=3 + 5 i.

2.6 Тригонометрическая форма комплексного числа
Модулем комплексного числа а +в i называется длина вектора, которую можно найти по формуле: r =
· а2 + в2.
Аргументом комплексного числа называется угол
·, который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс. Величину угла
· можно найти с помощью формул : cos
· = a/r, sin
· = b/r.
Форма записи комплексного числа в виде z =r (cos
· + isin
·) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Правила перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической:
Находят модуль комплексного числа r по формуле r =
· а2 + в2.
Для нахождения
· определяют, в какой четверти находится точка z.
Составляют уравнение: cos
· = a/r, sin
· = b/r. По решению одного из них находят угол
·.
Записывают комплексное число в тригонометрической форме.
Образец: записать комплексное число z = 1+i в тригонометрической форме.
Решение: 1. Находим а=1, в=1, r =
·12 + 12 =
·2
2. Числу z соответствует точка, лежащая в 1 четверти: (1;1).
3. Находим cos
· = a/r и sin
· = b/r : cos
· = 1/
·2, sin
· = 1/
·2.
Этим соотношениям соответствует угол
· = 450 или
· = п/4.
Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: z = 1+i =
·2(cos 450 + isin 450) или z =
·2(cos п/4 + isin п/4).
Самостоятельно: запишите число в тригонометрической форме:
а) z = 5; б) z =3i; в) z = -3 + 3i.




2.7 Показательная форма комплексного числа
Запись комплексного числа в форме z = r ei
· называется показательной формой комплексного числа или формулой Эйлера.
Так как z =r (cos
· + isin
·), имеем: cos
· + isin
· = r ei
·.
Образец: записать число z = 3(cos 3п/2 + isin 3п/2) в показательной форме.
Решение: r = 3,
· =3п/2, следовательно: показательная форма записи данного комплексного числа z = 3 e3п/2 i .
Самостоятельно:
Записать число в показательной форме:
а) z = 5i; б) z= 1+ i; в) z = -2 -2i.


ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов, Н.Б. Практические занятия по математике/Н.Б. Богомолов. М.: Высшая школа, 2001.
5. Денищева, Л.О. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика 2008г./Л.О. Денищева. М.: Интеллект-Центр, 2008.
6. Контрольные и проверочные работы по алгебре и началам анализа 10- 11.
7. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов/ И.Л.Соловейчик – М.: ООО «Издательский дом «Оникс. 21 век», ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003.
8. Оценка выполнения требований стандарта//Вестник образования, 2007.
9. Яковлев, Г.Н. Алгебра и начала анализа/Г.Н. Яковлев. М.: Наука, 1987.
10. Шляпочник, Л.Я. Обязательные результаты обучения.














HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER144HYPER15


HYPER13PAGE HYPER15










Приложенные файлы

  • doc Uchebn.posobie2
    Никифорова Т.В.
    Размер файла: 84 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий