Первообразная и интеграл

Министерство образования и науки Челябинской области

Копейский филиал государственного бюджетного образовательного учреждения среднего профессионального образования (среднего специального учебного заведения)
«Челябинский техникум текстильной и легкой промышленности»












ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
Методические рекомендации по планированию, организации и подготовке практических занятий по математике
1 курс













Копейск 2015


ОДОБРЕНЫ
методсоветом № _3_ от «_18__»ноября 2015г
секретарь: Т.В.Никифорова









Указания разработаны согласно рекомендаций Минобразования РФ от 05.04.99 № 16-52-58 ин/16-13 «По планированию, организации и проведению лабораторных работ и практических занятий в ОУ СПО», в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины по специальностям социально – экономического и технического профилям подготовки


Разработал: Т.В.Никифорова, преподаватель филиала










ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Практические занятия по математике относятся к основным видам учебных занятий и в соответствии с учебным планом включены в аудиторные занятия.
Ведущей дидактической целью практических занятий является формирование практических умений: профессиональных (выполнять определенные действия, операции, необходимые им в профессиональной деятельности) или учебных (решать ситуационные задачи), необходимых обучающимся для успешной сдачи экзамена.
Выполнение практических заданий направлено на:
обобщение, систематизацию, углубление, закрепление знаний по теме;
формирование умений применять полученные знания на практике;
развитие интеллектуальных умений у будущих специалистов: аналитических, проектировочных, конструктивных и др.;
выработку профессионально-значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность, творческая инициатива.
Рабочей программой предусмотрено проведение 4-х практических занятия по данной теме. Каждая практическая работа состоит из нескольких заданий, они задают обязательный уровень подготовки.
Требование ГОС:
уметь:
- вычислять первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
-вычислять площадь криволинейной трапеции;
- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
знать/понимать:
-идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения внутренних задач математики;
-широту и ограниченность математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной образовательной программы.
Практическое занятие № 1
Тема: первообразная

Образцы примеров:
Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2.
Решение:
Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:
F(x) = x^4/4 – 1/x +C.
Ответ: F(x) = x^4/4 – 1/x +C.
Пример 2. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x).
Решение:
Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:
F(x) = 5*sin(x).
Ответ: F(x) = 5*sin(x) +С.
Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2).
Решение:
Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция –cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2) + С
Ответ: F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2) + С
Пример 4. Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5
Решение:
Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:
F(x) = 1/(12*(7-3*x)^4).
Ответ: F(x) = 1/(12*(7-3*x)^4).

Решите самостоятельно:
Найти первообразную для функций:
А) f(x) = 2х – 5sin x +6,
Б) f(x) = 6х2 – 5/cos2x - 13
В) f(x) = 8х3 + 1/х2 – 12 х – 8
Контрольные вопросы:
Дайте определение первообразной
Перечислите правила вычисления первообразных
Назовите первообразные элементарных функций


ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Тема: вычисление площади криволинейной трапеции

Задание: запишите образцы примеров с 1 по 3
Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-xІ;y=0; x=0; x=4.
Решение.  Строим графики данных линий. 1) y=4x-xІ  парабола (вида y=axІ+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде:y=-xІ+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.
Вершина параболы находится
в точке O(m; n), где
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
О(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью ОХ) найдем из уравнения:
4х-хІ=0.
Выносим х за скобки, получаем:  х (4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4.  Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю  искомые точки: (0; 0) и (4; 0).
2) y=0  это ось Ох; 3) х=0  это ось Оy; 4) х=4  прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Находим площадь:
4 4 2
S= F (X) = (2х2 – х3) = (2
·42 - 43) - 0 = 32 – 64 = 10 3 (кв.ед)
0 3 0 3 3
Ответ: 10 2 кв.ед.
3
Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решение. Строим графики данных линий
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Площадь данной криволинейной трапеции:
п/6 п/6
S= F (X) = sin x = sin п/6 – sin (- п/3) = 1/2 +
·3/2 (кв.ед)
-п/3 -п/3

Ответ: 1/2 +
·3/2 кв.ед

 Пример 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3х2 – 2х + 1, х = 1, х = 3.
 Решение:
Найдем первообразную F (x) для функции f (x)=3xІ-2x+1: F(x) = х3 – х2+1
Находим площадь: s = F(x) 3 = (х3 – х2+1) 3 = (33 – 32 + 3) – (13 – 12 + 1 ) =
1 1
= 27 – 9 + 3 -1 +1 -1 = 20 (кв.ед.)
Ответ: 20 кв.ед.

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

у = х2, у = 0, у = 3 «3»
у = х3, у = 0, у = 2 «4» - с графиком
у = (х+1)4, у = 0, у = 1 «5» - с графиком

Контрольные вопросы:
Что называется криволинейной трапецией?
Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции.
 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Тема: вычисление определенных интегралов

Определение 1. Множество всех первообразных для функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на промежутке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется неопределенным интегралом для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и обозначается [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Функцию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называют подынтегральной функцией для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а произведение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  подынтегральным выражением.
Таким образом, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
На практике принята более короткая запись:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Простейшие правила интегрирования. 1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])
2.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона – Лейбница: Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Образцы примеров:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример 2
Вычислить определенный интеграл: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример 3
Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
Вычислите определенные интегралы:
2 а)
· 5х4 dx =
-1

б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

п/2
в)
· cos x dx =
- п/2


г) 1
· (5х + 3)4 dx =
-2

д) 3
· (6х2 + 4х + 3) dx =
0

п/2
в)
· 2 cos x dx =
п/6


Контрольные вопросы:
Дайте определение интеграла.
Перечислите его основные свойства.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Тема: применение интеграла в физике
1. Пусть материальная точка движется с ускорением a (t). Тогда ее скорость равна 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

а перемещение – 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

где v0, x0 – постоянные, определяемые из начальных условий, t0 и t – начальный и конечный моменты времени.
2. 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

Рисунок 3.4.5.1.
Центр масс

Пусть плотность 
· (x) стержня с постоянным сечением S зависит от расстояния до начала стержня. Тогда масса стержня равна 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

где L – длина стержня, а центр масс стержня находится на расстоянии 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

3. Работа газа при его расширении от объема V1 до объема V2 равна 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

где P (V) – давление газа в этом процессе.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ:
1. Скорость движения точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Следовательно, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] м/с, второе со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,29,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,29,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22  0,2 = 0,02 (м), b=0,32 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Реши задачи самостоятельно:
Вариант 1
Вариант 2

Вычислите массу участка стержня от [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если его линейная плотность задается формулой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вычислите работу за промежуток времени [4;9 ], если мощность вычисляется по формуле [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]/

Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени
[ 2;3 ], если сила тока задается формулой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вычислите работу по переносу единичной массы, совершенную силой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ -1;2].


Контрольные вопросы:
Перечислите применение интеграла в физике.
Приведите примеры применения интеграла в геометрии.

\textstyle{\int f(x)\,dx}

Приложенные файлы

  • doc Metod.posobie1
    Никифорова Т.В.
    Размер файла: 295 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий