Методические материалы для слушателей подготовительных курсов по математике МКЖТ (часть 2)


МОДУЛЬ 11
Тема. Линейные неравенства. Системы линейных неравенств.
Повторение
11.1
Докажите, что сумма кубов А и В делится на 36:
А=1445-61112+1234-72151023-31112+223∙334В=3623:15+823∙71213+867:247+238:34+24∙79723-15745:2411.2
Упростите выражение при допустимых значениях переменных:
А 3ab2:(-0,2a3b)Д 36a2c5y318c6y2a2Б 512(-x)3yz∙6:(-xyz2)Е 18kd3-6kd35k2d+7k2dВ -0,8m2nk2∙12,5:((-m)4n2k3)Ж 27∙x3∙(-x3)2∙x464∙(-x2)5∙x2∙x3Г b2∙bn∙b3bn-2∙b6З492∙(m3)5∙n8∙k674∙k∙k5∙(n4)2∙(m2)711.3
Решите уравнение:
А 3x-211-x3=3x-57-5x-39В x+23+6-x2=2x+43-5x-36Б 5y+16+3y-15=9y+18-1-y3Г 2y-12+6y-54=y+18-5-y411.4
Функция задана с помощью таблицы. Задайте ее графически.
А x -5 -3 0 2 4
y 6 4 2 0 -2
Б x -9 -4 0 3 5
y -5 -3 2 4 6
11.5
Используя приводимую таблицу, вычислите значение выражения:
1 a1+a4 4 e2-e3 7 a1+c5 10 6c2+9b1
2 a1+b3 5 a2+d3 8 d3-a5 11 2c5-2b3
3 b4-b1 6 b4-e3 9 4a1:5d2 12 5d3∙a5∙b5
1 2 3 4 5
a 1217231120,4b 1318342230,25c 1419354561,75d 15110455783,12e 161125695124,511.6 Решите задачи:
А) Две пловчихи, Катя и Даша, поплыли по реке из одного места. Катя поплыла по течению, а Даша – против течения. Через четверть часа девушки развернулись и поплыли навстречу друг другу. Через сколько времени после старта они встретятся, если они поплывут с одинаковой собственной скоростью?
Б) От пристани Киевского вокзала вниз по течению отправился прогулочный теплоход, затем он развернулся и вернулся на пристань Киевского вокзала через 7 часов. Сколько километров проплыл теплоход за время этой прогулки, если теплоход плыл с собственной скоростью, равной 21 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч.
В) Поднимаясь вверх по движущемуся эскалатору, Ваня насчитал 20 ступенек, при этом весь путь занял у него 60 секунд. Маша же, поднимаясь вверх по тому же эскалатору, насчитала 16 ступенек, а весь путь у нее занял 72 секунды. Сколько ступенек насчитает Ваня, поднимаясь вверх по неподвижному эскалатору, если эскалатор движется с постоянной скоростью?
Опорный конспект
Линейные неравенства
      Линейным неравенством относительно переменной   x   называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

где   k   и   b  – произвольные действительные числа.
     Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Помогалки:
< >
( )( ∞ )≤ ≥
[ ]Системы линейных неравенств
     Рассмотрим решение систем линейных неравенств на примерах.
Пример 1. Решить систему неравенств

 Решение. Решим каждое из неравенств системы:

      Изобразив на одной координатной прямой (Рис. 1) оба точечных множества, составляющих  последнюю систему, получаем ответ примера.
Рис.1
 Ответ: 
 Пример 2. Решить систему неравенств

Решение. Решим каждое из неравенств системы:

      Изобразив на одной координатной прямой (Рис. 2) оба точечных множества, составляющих  последнюю систему, получаем ответ примера.     
Рис.2
Ответ: 
Пример 3. Решить систему неравенств

 Решение. Решим каждое из неравенств системы:

      Изобразив на одной координатной прямой (Рис. 3) оба точечных множества, составляющих  последнюю систему, получаем ответ примера
Рис.3
Ответ: 
Задания:
11.7
Выясните, какие из чисел a, b, c, d расположены на указанном промежутке:
a b c d
А -6,3≤x≤2,1-7 -6 0 2,4
Б -7≤x<0-7 -4 0 1
В 5<x≤11,55 9 11 12
Г 1<x<71 3 5 7
11.8
Решите неравенство:
1 8x+23-2x>10-6x-177 4x-32+6x-16+3x≤-102 15x+3-17x≤7-5x-198 9x-37-(4x-25)>113 30>3x-x+8x+7x-2x9 7x-6-5x≥4-3x-2-x4 5x+8≤6x+12+3x+210 12x-9+8x≤5+(4x+2)5 4x+18+7x<17+11x-8+1011 4x+2-3x<14x+1-(6x+4)6 16-9x-23+7x≤22-2x-3412 7-5x+9+5x<6-3x+15x11.9
Решите неравенство:
1 2x-3(5-x)>37 2,5a-42a+1,5+0,3>4,6a-62 46y-1<19+3(8y-9)8 2,22b-1-1,6≥3,13+b-73 73+5z+6≥23z-7-179 1,2c-4-0,5<2,12c-25+44 8s-22-7s>54s+3+3s10 5,7d+89-0,1d>3-1,3(1-d)5 -63t-7+3t<59-3t+10t11 7,3p-70,6p-1+1,3≥-1,5-p6 5r-34r-2+7r>-4(2-3r)12 -2,5x+1-3x-2,5≤-x+811.10
Докажите, что данное неравенство не имеет решений:
А 5x+1+6(x+2)>11(x+2)В 73z+6+5z-3-13(2z+3)≥0Б 6y-1+3(8-y)≤3(y+2)Г 45t+2-25t+2-10(t-4)<011.11
Докажите, что неравенство верно при любых значениях переменных:
А 5x+1-x+10>2-4x-3+8xГ -5-4a-5a+4≥5-3a-3-6aБ 12-6y+2+5y+9<6y-7(y-3)Д -2b+8+6b+8≤3-7b-9+11bВ 7z+5-4z+5≤-1-2z-7+5zЕ 9c-6+3c+7>25-6c-15+24c11.12
Выясните, при каких значениях переменной:
А значение выражения 3а-7 больше 11
Б значение выражения 12-2b меньше 8
В значение выражения 9с-5 больше или равно значению выражения 6с+4
Г сумма значений выражений 4d+3 и 2-9d не больше 2
Д разность значений выражений меньше 15
Е значение выражения 11z-4 больше утроенного значения выражения 2z+3
Ж удвоенное значение выражения 7-y не меньше значения выражения 5y+3
11.13
Выясните, при каких значениях переменной:
А значение выражения 2x-52 меньше значения выражения 7+3x3Б значение выражения 3+4y6 меньше или равно значению выражения 11-2y4В значение выражения 9x-118 больше или равно значению выражения 4-7x5Г значение выражения 2+2-3c7 больше значения выражения 6с+52+311.14 Решите задачи:
А) найти решение неравенства 1-2x3≤4-3x6+34, принадлежащие промежутку -10;0;
Б) найти решение неравенства x-22+2x-5<x+33 , принадлежащие промежутку 2;5;
В) при каких целых положительных значениях х верно неравенство x-x-32-3x-43>5x+14;
Г) При каких целых отрицательных значениях х верно неравенство 4x+1310+1≥5+2x4+6-7x20;
Д) Найти наименьшее целое значение х, при котором сумма дробей 1-6x7 и 2x-32 положительна.
11.15
Решите систему неравенств:
1 6-3x≥7-2(x+4)7+9x≤-1+5(x+8)11 3x+2<2+5x16-32x-5<3-16x2 1-3x≤166+2x≤612 1,5x+2>9,5-x0,6+1,9x>0,4(x-3)3 2-x2>x3+131-x<1+x3+x13 4x-57<x+33x+84>2x-54 x-43-2x+54>3x6-x-34<214 1-1-x2≤4-5+5x32-x+84>05 10x-3>2-3(x-7)4-x≥2x+1515 5x+1-x>2x+24x+1-2≤22x+1-x6 2-3+2x3>1-x+623-x4<x16 4x-57<3x-846-x5-1≤14x-327 2x-54-2≤3-x35x+15>4-x417 10x-13-2-5x4<5-3x62x+12≥3+7x4-5+4x58 6x-53-115<4x+35-358x+12-9x5<6x-15-11018 8x+13>4x+92-x-135x-23≤2x+132-x+239 2x-1-3<52x-1-7x3x+1-2≤61-x+7x19 3(x+8)≥4(7-x)4x+2-5x>3(x-4)10 7-x2-3≤3+4x55x3+4-x>24-x+1320 3(x-1)2-3x≥x5-2x-35<x+53 Задания для самоконтроля:
11.16
Решите уравнение:
А m2-m3+m4-m6-m8-m12=11Д n-3n2+5=2n3+5n6-6n5+110Б p+2p5+15p+2p5∙15=6Е p+3p8∙27+7p+3p8=42В x-1-3x24-2-x44=2Ж y+2-2y-4-3y515=7y-y-325Г z-z2-3+z42=3-0,5(1-6-z3)2З1-t-1+t33=t2-2t-10-7t3211.17
Постройте график функции y=Ax+B, где
А=0,1955+0,187:0,085+15,76267:100,6+42,697-1,51В=86,9+667,6:37,1+13,2:3+9,09-9,0252∙25,007-12,507-0,8111.18
Сократите дробь при допустимых значениях переменных:
А 64a2-25b28a+5bД 16p2-9q264p3+27q3Б 16x2-72xy+81y24x-9yЕ 27a3-8b39a2-12ab+4b2В 18zt-21t2-84zt+36z2+49t2Ж x+3yx3+9x2y+27xy2+27y3Г 4p2-121q24p2+44pq+121q2З64a3-48a2+12a-116a2-8a+111.19
Решите неравенство:
1 x7+4>37 p6-3≤-p9+42 y4-5<98 3-q4>-q7-23 -z2+3≤59 3x-22>6x+134 6-t3≥-410 2-8y5<9+y45 p2+2<p3-611 1-z-37<2+z46 4-m4≥m5+712 3-7x-8≤1-7-3x-511.20
Выполните действия:
А ab+b23∙3ab2+a+bbВ ba+b-b-ab:abБ 3m-3mm-4:(m-6m-25m-4)Г (3c+1c-1+c)∙1c+111.21 Решите задачи:
А) найти решение неравенства 7x-23+1-x2≤3-2x-76, принадлежащие промежутку -2;4;
Б) при каких целых отрицательных значениях х верно неравенство x+2x-15-x-23>13x-115;
В) при каких целых положительных значениях х верно неравенство x-7+x4+8-11x12>x-53;
Г) найти наибольшее значение х, при котором разность дробей 16-3x3 и 3x+74 положительна.
11.22
Решите систему неравенств:
1 x+47≤2x-356(x-8)≤2(3+5x)8 x+23≤x+3224x-1-2x>5x-2+72 3-x<x+23x-1>1-2x9 2x+4<0-4x>x-2,53 3x+17<23-4x<1910 2x+3>14-x>24 5x-1-9x-3>-6(x-2)33+2x<7x-2(x-8)11 103x-1-20x+2<2(x+4)-12-11x<11x+105 3+4x≤12-7x>612 2-4x>33x+2≤16 2-1-2x3>x+14x4-78>34x-5213 3-3x-5x+13<25x+33-3x<11+4x7 x+27-1≥2x+16x-26+1>x+1514 5-x-2≤8-3x54x+7-4≥10+x-911.23 Решите задачи:
А) Длина одной стороны прямоугольника на 8 см больше длины другой. Какой может быть длина большей стороны, если периметр этого прямоугольника меньше 32 си?
Б) Длина прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника, чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см?
В) От дома Вани до школы более 1,3 км. С какой средней скоростью должен идти Ваня, чтобы дойти до школы за 24 минуты?
Г) Какое количество целых мешков с чаем можно перевезти за один раз на машине грузоподъемностью 3,5 тонны, если масса каждого мешка равна 60 кг?
МОДУЛЬ 12
Тема. Квадратный трехчлен и его разложение на множители. Квадратные уравнения и их виды.
Повторение
12.1
Вычислите:
А 1445-61112+1234-72151023-31112+223∙334Б 1916∙315+1623-9:22517712-613+1223-6112:634223В (9-538)∙4512-4:223+(310-12:4)∙47124+14:1313Г (325+157)∙1123129-1118-(1034-156)∙6(5320-414)∙119:421212.2
Решите уравнение:
1 38∙x+25=1007 19∙x-20=562 715∙x-5034=19148 40-38∙x=35123 34x+24-12x=24459 56x-213+12x=4234 25x+112=434-13x10 214x-516-112x=112-3135 (a+7)2-4=011 64(c+5)2-4c2=06 (7b-5)2-64=012 49(2x-1)2-9x2=012.3
Приведите дроби к общему знаменателю:
А 5511 и 7949Б 31691 и 42047В 72813 и 2358912.4
Сократите дробь при допустимых значениях переменных:
А 36a2-16c26a-4cГ 27p3+64q39p2-16q2Б 64x2+48xy+9y28x+3yД 5x+y125x3+75x2y+15xy2+y3В 25p2-49q225p2-70pq+49q2Е 8a3-12a2+6a-14a2-4a+112.5
Решите неравенство:
А 4(x+5)>28(x-9)Г -14(3t+12)≤49(6-7t)Б 8(y-5)<24(7-y)Д -186a-15≥-63(7-3a)В 648-2z>-483-zЕ 15(21-4b)<60(11-5b)12.6
Постройте график кусочно – линейной функции:
А y=2x-6, если x≥3;6-2x, если x<3В y=3-2x, если x≥-1;5, если x<-1Б y=2x+1, если x≥3;7, если-4≤x<3;-2x-1, если x<-4Г y=2-x, если x≥-1,5;3x+8, если-5≤x<-1,5;x-2, если x<-512.7 Решите задачи:
А) Смешали 300 г воды и 60 г соли. Сколько воды надо добавить к этому раствору, чтобы получить раствор, концентрация соли в котором 10%?
Б) Смешали 30 л 45%-го раствора кислоты с 10 л 60%-го раствора той же кислоты. Определите процентную концентрацию кислоты в получившемся растворе.
В) Сумма двух рациональных чисел равна 2490. Найдите эти числа, если 6,5% одного из них равны 8,5% другого.
Г) Разность двух рациональных чисел равна438. Найдите эти числа, если 2,25% одного из них равны 8% другого.
Опорный конспект
Квадратные уравнения
      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен
ax2 + bx + c , (1)
где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем 
     Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение
ax2 + bx + c = 0, (2)
где a, b и c – произвольные действительные числа, причем 
      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение ax2 + bx + c = 0, где a, b и c – произвольные действительные числа, отличные от нуля.
      Неполными  квадратными  уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:



Решение неполных квадратных уравнений
      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.
      Пример 1. Решить уравнение 5x2 = 0 .
      Решение.
Следует учесть, что данный корень является кратным.
      Ответ: 0 .
      Пример 2. Решить уравнение 2x2+3x=0.
      Решение. Вынося в левой части уравнения переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде
x2x+3=0.
      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то получим:
x=0 или x=-1,5.
Ответ:  -1,5.
 Пример 3. Решить уравнение 2x2 – 5 = 0 .
 Решение.

Ответ:  . Пример 4. Решить уравнение 3x2+11=0.
Решение. Поскольку левая часть уравнения положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.
Ответ: .
Выделение полного квадрата
      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:
(3)
      Для того, чтобы получить формулу (3), совершим следующие преобразования:

      Формула (3) получена.
Дискриминант
      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:
D = b2 – 4ac. (4)
      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.
      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде
(5)
Разложение квадратного трёхчлена на множители
      Утверждение. В  случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0,  квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.
      Доказательство.  В случае, когда   D = 0,  формула (5) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:
(6)
     В случае, когда   D > 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (5), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:
      Таким образом, в случае, когда   D > 0,  разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид
(7)
      В случае, когда  D < 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (5), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.
Формула для корней квадратного уравнения
     В случае, когда   D = 0 получаем, что уравнение (1) имеет два одинаковых корня, которые вычисляются по формуле
(8)
      В случае, когда   D > 0, получаем, что уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам
(9)
(10)
      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:
(11)
      В случае, когда   D = 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (6):
ax2 + bx + c = a (x – x1)2. (12)
      В случае, когда   D > 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители с помощью формул и переписывается так:
ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) .(13)
Прямая и обратная теоремы Виета
(14)
      Формулы (14) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета) .     Прямая теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются корнями квадратного уравнения (1),   то они удовлетворяют равенствам (14)».
      Обратная теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются решениями системы уравнений (14), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».
Задания.
12.8
Решите уравнения:
1 x25-2x3=x+567 x2-53x-26=02 5(x-1)4=x6+6x8 x2-412x+412=03 x2+212x+1=09 x(x-7)3-1=11x10-x-434 x2+3512x+2=010 7x-21+65x7+8x+11=05 (x+3)25+1-(3x-1)25=2x2-3x211 5x-x23-(5x-11)24=6-(7-x)226 (x-12)26-x9+x(x-9)18=(x-14)22+512 6x+(3+5x)22=8-2x5-x+3(x+7)212.9
Не решая уравнения, определите, какие из них имеют различные корни, два равных корня или не имеют корней:
1 x2-4x+4=09 x2-4x+3=02 x2+7x+15=010 x2-2x+5=03 x2-10x+25=011 x2+16x+48=04 x2-14x+49=012 x2+x-1=05 x2-4x-8=013 4x2+6x+9=06 7x2-x-1=014 2x2-3x+1=07 x2=12x-415 4x2+5-10x=08 4x2+9x=-216 2x2+3x=212.10
Не решая уравнения, определите знаки его корней:
1 x2-6x+5=07 x2+4x-5=02 x2+20x+19=08 x22x+1=03 x2+9x-22=09 x2-20x-300=04 2x2+5x=-210 3x2+8x=45 4x2+5-10x=011 8x2-2x-1=06 2x2+3x=212 4x2+9x+2=012.11
Решите уравнение:
1 x410x2+9=07 x4-13x2+36=02 x4-29x2+100=08 x4-5x2+4=03 x4-17x2+16=09 x4-37x2+36=04 x4-50x2+49=010 x4-25x2+144=05 4x4-5x2+1=011 3x4-28x2+9=06 2x4-19x2+9=012 3x4-7x2+2=012.12
Решите систему уравнений:
1 x+y=4x2-4y=57 x2-y=-22x+y=22 x+y=4x2-y=28 x-y=1x2+2y=333 x2-3y=-9x+y=39 x+y=3x2-3y=14 y-x=2y2-4x=1310 x-y=1xy=125 x2+4y=8x+y=211 x2-y=-1x+y=16 x+y=5xy=1412 x-y=4xy=1212.13 Решите задачи:
А) В середине прямоугольной площадки со сторонами 12 м и 10 м требуется разбить прямоугольную клумбу площадью 8 м2 так, чтобы ее края были на одинаковом расстоянии от краев площадки. На каком расстоянии от края площадки должен быть расположен край клумбы?
Б) В крышке ящика, имеющей форму прямоугольника длиной 30 см и шириной 20 см, требуется вырезать прямоугольное отверстие площадью 200 см2 так, чтобы края его были везде на одинаковом расстоянии от краев крышки. На каком расстоянии от края крышки должен быть расположен край отверстия?
В) Фотокарточка размерами 12 см х 18 см имеет рамку одинаковой ширины. Определить ширину рамки, если ее площадь равна площади карточки.
Задания для самоконтроля:
12.14
Выясните, при каких значениях а уравнения имеют по два разных корня:
А x2+ax+9=0Д 4x2+ax+9=0Б ax2+4x+1=0Е x2+2a-4x+a2+6a+3=0В x2+12x+a=0Ж (2+a)x2+6ax+4a+1=0Г 9x2+6x+a=0З(a-1)x2+2a+1x+a-2=012.15
Разложите трехчлен на множители:
1 x2-4x+39 x2-10x+92 x2-2x-3510 x2-4x-603 x2+7x+1011 x2+25x+1144 a2-17a+7212 a2-29a+1985 m2-m-5613 m2-m-126 3x2-7x-4014 5x2-17x-1267 2a2-5a+215 3a2-2a-18 5m2+m-416 2m2-m-312.16
Постройте график кусочно – линейной функции:
А y=2x-1, если x≥0,5;1-2x, если x<0,5Г y=3-6x, если x≥2;6-3x, если x<2Б y=x+1, если x≥0;1-x, если x<0Д y=x, если x≥1;2-x, если x<1В y=x-1, если x≥0;-x-1, если x<0Е y=2x-1, если x≥0;-2x-1, если x<012.17
Сократите дробь при допустимых значениях переменных:
А 4x2+28xy+49y22x+7yД 27a3-125b39a2+15ab+25b2Б ab+7a-3b-21b2+14b+49Е 6x+y216x3+108x2y+18xy2+y3В 25p2-81q225p2+90pq+81q2Ж 8a3-12a2+6a-14a2-4a+1Г 64p3+8q316p2-4q2Зc3+9c2d+27cd2+27d3c2-9d212.18
Найдите корни уравнения:
А (x+5)2-(x-9)2=140Д 5(b-1)2-2(b+3)2=3(b+2)2-42b+7Б (y-3)2-(y-4)2=37Е 2c2+(c+5)2-2(c+7)2=6c-145+(c-6)2В (z-6)2=75+(z-7)2Ж (d+1)3-(d-1)3=6(d2+d+1)Г 55+(t+3)2=(t+2)2З(a+8)2+(a-5)2=(a-4)2+(a-6)2+9312.19
Решите уравнения, используя формулы сокращенного умножения:
1 a2-6a+9=06 m3+12m2+48m+64=02 (3b+4)2-64=07 n3+8=03 c+8c-8-(c+6)2=-128 x3+1+(x-1)2=04 12x3x-1-6x+46x-4=-29 y3-(y+5)3=75-15y25 2(y+7)2+(3y+5)2=11y2-9910 8x3-16x2-(2x-3)3=108+20z212.20 Решите задачи:
А) На прямоугольном участке земли, длина которого на 18 м больше его ширины, построили дом, занимающий площадь 210 м2. Найдите длину этого участка, если известно, что площадь участка, не занятая домом, равна 70 м2.
Б) Найдите периметр прямоугольника, ширина которого на 8 см меньше длины, а площадь равна 240 см2.
МОДУЛЬ 13
Тема. Квадратичная функция Решение квадратных неравенств.
Повторение
13.1
Вычислите:
А 216+412∙38:(234-1,5)В 211720:43,7+812:325:4,5:125Б 12+1916:2,5:10-91323:2350Г 125+3,5:114:225+3,4:218-72013.2
Упростите выражение:
А a4-4a3b-7a2b2-ab3-2a4+6ab3-a3b-b4-(a3b+a2b2-ab3)Б x4+x3y-x2z-rx+s+x4-x3y-x2z+rx-s+(-x4+x3y+s)В 2a2a-b+3a(a-b)2-5(a-b)3+c-(-4a-b2+a2a-b+c)Г 3x2+4y2-(x+y)2-2xx+y-3y2+4xy13.3
Сократите дробь при допустимых значениях переменных:
А 18a9b7+24a7b936a7b7В 12a12b52c3448a61b16cc35Б 75m57n69k3925k39m58n68Г 49x9y5-54x7y627x7y7-63x9y913.4
Прямая проходит через начало координат и точку А. Выясните, является ли эта прямая графиком функции y=kx, если:
А k=3, А(2;6)Г k=-0,5, А(2;-1)Б k=-2, А(-1;-2)Д k=-1,5, А(3;-4)В k=4, А(-2;-8)Е k=2,1, А(3;6,3)13.5
Решите уравнение:
А 0,8x=0.210.875В 22a+1=2a-140Б 3.6:91.1=0.44:yГ 2x+162x=x613.6
Найдите значение выражения:
А x25∙x31∙x19∙(x3)6∙(2x)34232∙(x78:x34)∙x36∙x46+3x0x=-3Б 549∙(y59:y37)∙z27∙z37∙(yz)61z35∙y26∙(y97:y63)∙(z4)10∙(5z)49∙y23-11(yz)0y=-5;
z=413.7
Решите неравенство ax≥b:
a=4,06∙0,0058+3,3044895-(0,7584:2,37+0,0003:8)0,03625∙80-2,43b=5,7∙16,220,52+127,68∙0,54,56+34,68∙15,46,8∙3,57-0,5 Опорный конспект
Парабола на координатной плоскости
      Определение 1. Параболой называют график функции
y = a x2 , (1)
где a – любое число, не равное нулю. Точку О (0;0) называют вершиной параболы (1).
      При   a > 0   и   a < 0   график функции (1) изображён на рисунках 1 и 2 соответственно.

Рис.1 Рис.2
     Функция (1) обладает следующими свойствами:
областью определения функции (1) является вся числовая ось;
функция (1) является чётной функцией, поскольку для всех значений аргумента выполнено равенство y (x) = y (– x);
при   a > 0   у функции (1) существует единственный минимум на всей области определения, который достигается в точке  x = 0;
при   a < 0   у функции (1) существует единственный максимум на всей области определения, который достигается в точке  x = 0;
при   a > 0   ветви параболы (1) направлены вверх;
при   a < 0   ветви параболы (1) направлены вниз;
и при   a > 0, и при  a < 0   вершиной параболы (1) является начало координат;
и при   a > 0, и при  a < 0   осью симметрии параболы (1) является ось ординат.
      Рассмотрим теперь функцию, заданную формулой
y = a x2 + b x + c , (2)
где  a, b, c – любые числа, но число a не равно нулю.
      Поскольку выражение, стоящее в правой части формулы (2), является квадратным трёхчленом, то, в соответствии с материалом, изложенным в разделе «Квадратные уравнения», формулу (2) можно переписать в виде (3)
      Из формулы (3) вытекает, что график функции (2) может быть получен из графиков, изображенных на рисунках 1 или 2 (в зависимости от знака числа a ) при помощи параллельного переноса, в результате которого вершина параболы (1) передвигается из начала координат в точку V (рис. 3, 4) с координатами
(4)

Рис.3 Рис.4
      Поскольку дискриминант квадратного трёхчлена вычисляется по формуле
D = b2 – 4ac , (5)
то координаты вершины параболы (3), определяемые по формуле (4), можно записать так:
(6)
      Замечание. Парабола (2) пересекает ось ординат в точке (0; c).
Решение квадратных неравенств
      Зная расположение параболы (2) на координатной плоскости, можно, в частности, решать квадратные неравенства как показано в таблице.
Знаки чисел a и D a > 0,       D > 0
Корни уравненияa x2 + b x + c = 0 Два различных корня:  x1 и  x2   Расположение вершины Под осью OxПересечения с осью OxВ точках  x1 и  x2   Решение неравенстваa x2 + b x + c > 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≥0 Решение неравенстваa x2 + b x + c < 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≤ 0 Знаки чисел a и D a > 0,       D = 0
Корни уравненияa x2 + b x + c = 0 Два совпавшихкорня: x1 = x2 Расположение вершины Лежит на оси OxПересечения с осью OxКасается в точке  x1 Решение неравенстваa x2 + b x + c > 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≥0 Решение неравенстваa x2 + b x + c < 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≤ 0 x = x1 Знаки чисел a и D a > 0,       D < 0
Корни уравненияa x2 + b x + c = 0 Корней нет Расположение вершины Над осью OxПересечения с осью OxНе пересекает Решение неравенстваa x2 + b x + c > 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≥0 Решение неравенстваa x2 + b x + c < 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≤ 0 Знаки чисел a и D a < 0,       D > 0
Корни уравненияa x2 + b x + c = 0 Два различных корня:  x1 и  x2 Расположение вершины Над осью OxПересечения с осью OxВ точках  x1 и  x2 Решение неравенстваa x2 + b x + c > 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≥ 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c < 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c > 0≤ Знаки чисел a и D a < 0,       D = 0
Корни уравненияa x2 + b x + c = 0 Два совпавшихкорня: x1 = x2 Расположение вершины Лежит на оси OxПересечения с осью OxКасается в точке  x1 Решение неравенстваa x2 + b x + c > 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≥ 0 x = x1 Решение неравенстваa x2 + b x + c < 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≤ 0 Знаки чисел a и D a < 0,       D < 0
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 Корней нет Расположение вершины Под осью OxПересечения с осью OxНе пересекает Решение неравенстваa x2 + b x + c > 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≥ 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c < 0 Решение неравенстваa x2 + b x + c ≤ 0 Задания.
13.8
Решите неравенство:
1 4x3-4x<011 3x-5(4-x)≥02 2x3-8x≤012 7x2-x+3>4x2-6x+53 6x2+x-1>013 -3x2+4x+4>04 3x3-12x≥014 x2-4x+1<3x2-11x+45 2x2-5x+3≥015 2x2+5x-12≤06 5x3-45x≤016 2x2-3x+8<13-5x-x27 3x2+7x-6>017 8x2-4x>08 6x2+8x-7>4x2+5x-218 x-8x+12x+3(x-5)<09 2x2-9x+4≥019 3x2-7x+9>11-4x-2x210 13x2-9x-6<8x2-2x-820 x+2x-14x-3(x+9)≤013.9
Найдите область определения функции:
1 y=1-x-2x27 y=x2-6x+52 y=x2-2x-38 y=2-5x-3x23 y=2x2-x-19 y=3x2-4x+14 y=10+3x-x210 y=3-5x-2x25 y=14+x-3x211 y=4-7x-2x26 y=3x+4-x212 y=3x+2-5x213.10 Постройте график функции и выполните задание:
y=-14x2 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=-x2+1 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=x2-x и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=x2+x-6 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=2x2-4 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=x2-2x и найдите значения х, при которых функция отрицательна;
y=x2-4 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=12x2 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=x2-3x-4 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=x2+4x и найдите значения х, при которых функция отрицательна;
y=-x2+8 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=x2-8x+15 и найдите значения х, при которых y>0;
y=x2-4x-5 и найдите значения х, при которых y>0;
y=x2-1 и y=x+1. Укажите координаты точек пересечения графиков;
y=x2-3x+2 и найдите значения х, при которых y<0;
y=x2-1. Проходит ли график через точку А(-2;-7)?
y=x2+2. Проходит ли график через точку А(2;-3)?
y=-x2+2. Чему равно наибольшее значение функции?
y=x2-3. Чему равно наибольшее значение функции?
y=-0,5x2. Проходит ли график через точку А(8;-32)?
13.11 Решите задачи:
А) Если каждый ученик шахматного турнира сыграет по одной партии с каждым из остальных участников, то всего будет сыграно 231 партия. Сколько участников турнира?
Б) Учащиеся выпускного класса обмениваются своими фотокарточками. Сколько было учащихся, если для обмена потребовалось 870 фотокарточек?
В) Через несколько точек, расположенных на плоскости так, что ни какие три из них не лежат на одной прямой, проведены все прямые, соединяющие эти точки по парам. Определить, сколько было точек, если число проведенных прямых оказалось равным 45?
Г) В выпуклом многоугольнике проведены всевозможные диагонали; оказалось, что их всего 14. Сколько сторон у этого многоугольника?
Задания для самоконтроля:
13.12
Выполните действия:
А 3920:2,3+3:415+(316-134)∙67В 1984:51342-21328+524-13∙49Б (423+0,75)∙39135445-416:5815Г (325-11140)∙1617518∙(1785+6217)13.13
Упростите выражение:
А (m+nm-m+nn)∙mm+nВ a4-b44a2-2a+b-b2:a3-a2b+ab2-b32a-bБ aba2-b2-b2a-2b:ba-bГ (x-yx-x2-y2-4xyx2-xy):x3+x2yx4-x2y213.14
Решите уравнения:
А x2-64=0Г 49-(4a+6)2=0Б 144-y2=0Д (b+7)2-(5b-6)2=0В (3z-4)2-100=0Е (6c-1)2-(2c+8)2=013.15
Решите уравнение:
А x2-3x-54=0В a2-19a+60=0Б y2+15y+56=0Г -b2-3b+70=013.16
Постройте график кусочно – линейной функции:
А y=4x-5, если x≥2;x+1, если-2≤x<2;-2, если-3≤x<-2;-4x-1, если-4≤x<-3;3, если x<-4Б y=x-8, если x≥5;-x+2, если 2≤x<5;x-2, если 1≤x<2;-x, если-3≤x<1;-3x-6, если x<-313.17
Решите неравенство:
А 7(2x+6)>35(3x-4)Д 725t+3≤-24(16-9t)Б 93x-7<-3(12-5x)Е -257a-5≥-40(2-4a)В 4x-34>2x+35Ж 2x+52-7≤3x+73-12Г 1-3y3<8+7y-4З3y-67-15≥2y+5-4-1613.18
Выясните, при каких значениях переменной верно неравенство:
А 4a+73-5a>3a-112В 5a≥2a-13+3a-14+4a-15+2Б 3b-b-34<8-b5Г b+37+b+45-b+53≤b-72113.19 Постройте график функции и выполните задание:
y=x2+1 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=x2-1 и найдите значения х, при которых функция отрицательна;
y=x2-4 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=-x2+1 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=-x2+4 и найдите значения х, при которых функция отрицательна;
y=x2+2x-3 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=x2-2x-3 и найдите значения х, при которых y>0;
y=-0,5x2 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=x2-2 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=0,5x2. Проходит ли график через точку А(-12;72)?
y=x2+4. Чему равно наименьшее значение функции?
y=-x2+3 и укажите промежутки возрастания и убывания;
y=x2+3. Чему равно наименьшее значение функции?
y=2x2. Проходит ли график через точку А(-4,5;40,5)?
y=-x2+4. Проходит ли график через точку А(-9;85)?
y=x2-4 . Проходит ли график через точку А(-8;60)?
y=x2-2 и y=x, укажите координаты точек пересечения графиков;
y=-x2 и y=-x, укажите координаты точек пересечения графиков;
y=2x2+5x-3 и найдите значения х, при которых функция положительна;
y=2x2-x-3 и найдите значения х, при которых функция отрицательна.
МОДУЛЬ 14
Тема. Дробно-рациональные уравнения. Обратная пропорциональность.
Повторение
14.1
Вычислите рациональным способом:
А 234-112+3112Г 745∙5-6916∙8Б 523-356-1518Д 3556:5+42712:7В 3914∙7+2518∙9Е 54910:9-72815:814.2
Приведите дроби к общему знаменателю:
А 2589 и 4899Б 3287 и 5697В 1559 и 2817Г 3196 и 414714.3
Решите уравнение:
А (x-7)2-36=0В 16(z-3)2-9z2=0Б (5y+3)2-81=0Г 49(6c-1)2-9c2=014.4
Упростите выражение:
А x4-x3y-7x2y2-xy3-2y4+6xy3-x3y-y4-(-x3y+x2y2-xy3)Б y2x+y-y(x+y)2+(x+y)3+x2y-4(x+y)3-8y(x+y)2+y2(x+y)14.5
Сократите дроби при допустимых значениях переменных:
А 55x12y34z2311x11y35z22Г 102m69n35k706m78n70k34Б 21a4b8+49a8b435a5b5Д 81a54b33c6527a56b34c65В 36p10q15-54p8q1218p10q12Е 32x4y6-40x8y956x6y6-24x8y814.6
Постройте график кусочно – линейной функции. Определите по графику, при каких значениях х значение y=0, y>0, y<0.
А y=5, если x≥3;x+2, если-7≤x<3;-6, если x<-7В y=3x-14, если x≥6;x-3, если 2≤x<6;3x-7, если x<2Б y=4x+8, если x≥-2;-x-4,5, если-4≤x<-2;2x+6, если x<-4Г y=-4x+7, если x≥2;2x-5, если-3≤x<2;-3x-20, если x<-314.7
Найдите значение выражение:
А -42+-17∙7:(-3)2В 0,5∙(-0,1)2:10-3-(0,93:(-0,9)3)4Б -3∙(-2)3:135+(-72:(73)2)2Г (252:53)∙314∙75∙(72)9∙159719∙(712:78)∙322∙5914.8 Решите задачи:
А) Два туриста вышли одновременно с туристических стоянок навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Найдите расстояние между этими тур. стоянками, если скорости туристов были равны 5 км/ч и 4 км/ч.
Б) Из пунктов А и В, находящихся на реке на расстоянии 130 км друг от друга, отплыли одновременно в противоположных направлениях два катера. Скорость первого катера равна 25 км/ч. С какой скоростью плыл второй катер, если через 5 часов расстояние между катерами стало равно 405 км?
В) Увидев нарушителя, полицейский побежал за ним и догнал его через 15 минут. Какое расстояние было между полицейским и нарушителем в тот момент, когда полицейский начал погоню, если скорость полицейского была равна 200 м/мин, а скорость нарушителя – 180 м/мин?
Опорный конспект
Определение. Уравнение вида p(x)q(x)=0, где p(x) и q(x) – целые выражения, называется дробно-рациональным.
Дробно-рациональные уравнения решают:
- либо с использованием равносильного перехода и условия равенства дроби нулю;
- либо с использованием неравносильного перехода к уравнению-следствию
и обязательной проверкой корней.
19050123825
1 способ:
А) перенести все слагаемые в одну часть уравнения;
Б) привести дроби к общему знаменателю и представить уравнение в виде p(x)q(x)=0;
В) равносильно перейти к системе вида p(x)q(x)=0 ⟺ px=0q(x)≠0, после чего отдельно решают первое уравнение и проверяют его корни на втором неравенстве (т.к. не всегда удобно решать второе неравенство системы).
Пример 1. Решить уравнение xx+5+x+5x-5=50x2-25.
Решение.
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем дроби к общему знаменателю:
x(x-5)x+5(x+5)+x+5(x+5)x-5(x+5)-50x-5(x+5)=0;
приведем уравнение к стандартному виду и перейдем к системе:
2x2+5x-25x-5(x+5)=0 ⟺ 2x2+5x-25=0 (1)x-5x+5≠0 (2);
решаем уравнение (1): D=225, x1=2,5 , х2=-5;
проверим, выполняется ли при найденных значениях х неравенство (2): при x1=2,5 – неравенство (2) верно, при х2=-5 - неравенство (2) неверно.
Ответ: 2,5.
Обратная пропорциональность.
Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
 
y = kx,
где  k - постоянная величина.
График обратной пропорциональности – гипербола 
Гипербола на координатной плоскости. 
       Определение 1. Гиперболой (равносторонней гиперболой) называют график функции
(1)
где k – любое, отличное от нуля, число.
Рассмотрим график функции y=1x:

      Функция (1) обладает следующими свойствами:
областью определения функции (1) является вся числовая ось, за исключением точки  x = 0, в которой знаменатель обращается в нуль;
функция (1) является нечётной функцией, поскольку для всех значений аргумента выполнено равенство
y (-x) = - y ( x);
при k > 0 функция убывает на всей области определения, при k < 0 функция возрастает на всей области определения.
Примеры графиков дробно–линейных функций
Функция График




Задания:
14.9
Решите уравнения:
1 3x+7+70x2-49=x-2x-711 xx+2+x+2x-2=8x2-42 2x+1x+3-x+1x-3+26x2-9=012 27x2+3x-2x-3x2-3x=03 3x-8x+2+18x-2=7x2-28x2-413 6x-1(x-3)+13-7xx-1=3x-34 22-x+12=42x-x214 4x-6x+2-xx+1=9x+2(x+1)5 x-3x-2+x-2x-3=5215 2xx-1-3x+1x2-1+3x+1=06 2x2x-3-15-32x24x2-9=3x2x+316 1x+4-8x2-16=x-5x-47 1x-6+4x+6-3x-4=017 x+4x-4+x-4x+4=1038 2xx+5+5x-5=25x2-2518 3x2-6x+9+69-x2=1x+39 x2x+3+52x-3=15x+94x2-919 2x2+10x+25-1025-x2=1x-510 2x+5x2+x-2x-3xx+1=020 34-x-5x=73-x14.10 Постройте график функции и выполните задание:
y=-5x и укажите промежуток, где она положительна;
y=-3x и укажите промежуток, где она отрицательна;
y=6x и укажите промежуток, где она положительна;
y=4x и укажите промежуток, где она положительна;
y=2x и найдите значения х, при которых y<0;
y=-8x и найдите значения х, при которых y>0;
y=2x и y=-x+3. Укажите точки пересечения графиков;
y=-6x и укажите промежуток, где она отрицательна;
y=10x и укажите промежуток, где она положительна;
y=2x и укажите промежуток, где она положительна.
14.11
Решите графически систему уравнений:
А y=x2y=x+2Г y=2x+2y=4+xБ y=x2y=x+3Д y=x2y=3-2xВ y=x2y=1xЕ y=-xy=-1x14.12 Решите задачи:
А) В зрительном зале клуба было 320 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще 1 ряд, в зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?
Б) Колхоз должен был засеять 200 га к определенному сроку, но он засевал на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончил сев на 2 дня раньше срока. Во сколько дней был закончен сев?
В) Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго. Определить скорость того и другого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 560 км.
Г) С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от него на 1600 км, два самолета. Скорость первого из них на 80 км/ч больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на час раньше второго. Найти скорость каждого самолета.
Задания для самоконтроля:
14.13
Выполните действия:
А 2yb-x2+yb2-x2∙x-b2y+2xb+xВ 4aa2-1+a-1a+1∙aa+1-aa-1Б 20x25-x2+5-x5+x:5+x5-55-xГ ba-b:(aa-b-a+bb)14.14
Упростите выражение при допустимых значениях переменных:
А 2x+5y-((y-7x)-7y)-(2x-6y)-(3x+9y)Б 5a-3b-9b-2a+-3a-7b+4a-6a-8b+4a-(3a-7b)В 4p-3r-6t-5r-3s-7s-s-3t-5r-(7t+3r-5t+s)Г 9mn:7:3nm3p2∙-7mn3p∙3pm:15p2:6mn:-mpn2∙(-5mp3)14.15
Решите уравнения:
А x+52=4x+34-1-3x8Д 5a-1425-3a-520=a-1,26Б 3y+124=3-5y-73Е b+45-b+5=b+33-b-22В 7x12+2-x4-1=5x-69-12Ж 8-c6-5-4c3=c+62Г 5t+1,753-t-t-38=t16З9+7x2-1+1-2x7=3x14.16
Функция задана формулой. Найдите ее область определения:
А y=x3Д y=12:x2Б y=-5x+4Е y=(3x+6):5В y=42x-7Ж y=58x3Г y=x+3x-4(2x+6)Зy=6(x-4)2x(x+8)14.17
Решите уравнения:
1 1x+105x-x2=x-35-x11 6x2-2x-12x2+2x=1x2 1x+243x-x2=x+53-x12 x-2x+1+x+1x-2=1743 2xx+1+2xx-1=16313 8x-2(x-4)-1-3xx-2=4x-44 1x+6+7x-3-5x-6=014 2x+9x2-3x=2x-3x-35 16x2-16+xx+4=2x-415 3x2-2x+1+21-x2=1x+16 3x2x+5-28-53x4x2-25=4x2x-516 2x+10x2-2x=1+2xx-27 92x+1-62x-1-12x2-154x2-1=017 1x-4+24x2-16=x+1x+48 xx+4+4x-4=20x2-1618 5x2+2x+1-21-x2=1x-19 15-x+9025-x2=4-x5+x19 1x2-12x+36+1236-x2=1x+610 xx+5+x-5x-5=50x2-2520 4x2+6x+9-69-x2=1x-3МОДУЛЬ 15
Тема. Арифметическая прогрессия.
Повторение
15.1
Найдите остаток от деления А на В:
А=5435:212-20815∙712:31321∙825-2925+56∙115-2125В=79∙127+4334:1123-31825+1145∙3712:2112-1323∙9-310015.2
Запишите в стандартном виде многочлен, противоположный данному:
А 2a+3b+4c+2b-3c+4d-(2c+3d-4a)Б 4,25p2q-3,75pq2-(-1,3pq2+2,8p2q)В 3m2-1+6m4-5m2+2-(2m4-3m2-5)Г 0,75y2+0,75xy2-0,8yx2-1,2y2-(0,3xy2-0,2yx2+0,25xy2)15.3 Решите задачи:
А) Трем братьям вместе 48 лет. Средний из них в 2 раза старше младшего. А старшему столько лет, сколько среднему и младшему вместе. Сколько лет каждому из братьев?
Б) Пассажирский поезд шел со скоростью 72 км/ч. Пассажир, смотревший в окно, заметил, что встречный товарный поезд, длина которого равна 500 м, проехал мимо него за 15 с. С какой скоростью ехал товарный поезд?В) По окружности, длиной 378 см движутся навстречу друг другу два муравья, один со скоростью 10 см/с, а другой со скоростью 8 см/с. Через какие промежутки времени будут происходить их встречи?
15.4
Сократите дроби при допустимых значениях переменных:
А 21x21y62z3514x20y34z20В 42a9b15-49a15b928a12b9-63a9b12Б 40p12q18-56p18q1264p12q12Г 77a5bb31cc14121aa6bb47c15.5
Решите уравнения:
А 3x-2-6x+4=3xД 2x-2x+3-x+33-x=5Б 4x-2=7x-3+215Е 2x-4+4x2-4x=58В 1x-2x-1=x+1x+2Ж x2+3x-53x-2=15x+104-9x2Г 4-xx+2+x-1x-2=x2x2-4З5x2-4+x2-x=2xx+2 Опорный конспект
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с постоянным для данной последовательности числом.
Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается обычно буквой d. Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если , и убывающей, если .
Таким образом, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением  и первым членом .
Формула n-го члена арифметической прогрессии
an=a1+d(n-1)Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Числовая последовательность  является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов:
, .
Сумма n первых членов арифметической прогрессии обычно обозначается Sn и вычисляется по формуле:
.
При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:
;
, ;
, ;
.
Задания.
15.6
Определите последний член арифметической прогрессии:
a1 d n
А 8 5 15
Б 110 -10 11
В 4 -0,25 13
Г -1,6 -0,2 23
15.7
Найти сумму арифметической прогрессии, в которой:
a1 d n
А 1 3 12
Б 100 -2 50
В -10 5 25
Г -10 -2 6
Д 2 -4910
Е 5,2 0,4 43
15.8
Определите сумму членов арифметической прогрессии, в которой:
a1 аnn
А 5 105 26
Б -10 -20 6
В 3437826
Г а 9а+8b 9
15.9
Найти первый член и сумму арифметической прогрессии, в которой:
an d n
А 459 10 45
Б -10 2 15
В 1 -0,25 13
Г 28+27q 1+q 28
15.10
Определите число членов и сумму арифметической прогрессии, в которой:
a1 d an
А 0 0,5 5
Б -4,5 5,5 100
В -37,5 4 46,5
Г 14,5 0,7 32
15.11
Заполните пустые клетки таблицы:
a1 d n an Sna1 d n an Sn1 1,5 54 999 7 3 31 0
2 0,2 5,2 137,7 8 1337 209233 -28 9 0 9 -9 0,5 -75
4 0,7 30 108 10 56-13-158235 14 140 1050 11 2,5 27 157,5
6 10 -37 -55 12 0,3 50,3 2551,3
15.12 Решите задачи:
Второй член арифметической прогрессииравен8, десятый член равен 40. Найти сумму двенадцати первых членов прогрессии.
Седьмой член арифметической прогрессии равен 16, пятнадцатый член равен 40. Найти сумму двадцати первых членов прогрессии.
Первый член арифметической прогрессии равен4, пятнадцатый член равен 48. Найти разность прогрессии.
Второй член арифметической прогрессии равен (-2), разность прогрессии равна 3. Найти сумму десяти первых членов прогрессии.
Третий член арифметической прогрессии равен (-2), четвертый равен 2. Найти сумму четырех первых членов прогрессии.
Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 6, первый ее член равен 5. Найти разность и сумму десяти первых членов прогрессии.
Третий член арифметической прогрессии равен 11, первый член равен 3. Найти сумму десяти первых членов прогрессии.
Второй член арифметической прогрессии равен (-2), разность прогрессии равна 3. Найти первый член и сумму семи первых членов прогрессии.
Восьмой член арифметической прогрессии равен 23, третий член равен 8. Найти сумму пятнадцати первых членов прогрессии.
Третий член арифметической прогрессии равен 13, шестой член равен 22. Найти сумму восьми первых членов прогрессии.
Найти разность и тринадцатый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 6, а двадцать первый член равен 46.
В арифметической прогрессии второй член равен 2,2, третий член равен (-1,8). Найдите сумму первого и четвертого членов прогрессии.
Найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии 46; 44,5; …
В арифметической прогрессии второй член и разность прогрессии равны соответственно (-2) и 3. Найти сумму трех первых членов прогрессии
Арифметическая прогрессия задана двумя первыми членами: 4,9; 3,5; … Найдите следующие четыре ее члена.
Найдите разность арифметической прогрессии, в которой второй член равен 15,3, а пятнадцатый член равен 54,1.
Второй член арифметической прогрессии равен 13, седьмой член равен 20. Найти сумму девяти первых членов прогрессии.
Четвертый член арифметической прогрессии равен 19, разность прогрессии равна 4. Найти сумму восьми первых членов прогрессии.
В арифметической прогрессии 10 членов. Сумма членов с четными номерами равна 25, а сумма членов с нечетными номерами равна 10. Найдите седьмой член прогрессии.
Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии равна 20, а сумма первых ее двадцати членов равна 15. Найти сумму тридцати пяти первых членов прогрессии.
Задания для самоконтроля.
15.13
Решите уравнение:
1 x7-2=97 3q+43=5q+65+2152 y5=y9-2+4y458 x-17+x-25-x-33=x+4153 3z-53=2z-3.529 3x+7=144 6-t4=12-2t510 5p-2=7p-45 2s-17=3-2s-3211 mm-2=2m-26 3p-59=2p-26+112 n-1n+3=n+4n-215.14
Функция задана формулой. Найдите ее значение в точках х1, х2, х3:
Х1Х2Х3
А y=4x30 1 -2
Б y=-3x+40 2 -2
В y=5x-60 -3 5
Г y=8x-240 4 -6
15.15
Выполните действия:
А (a-5+15a+5):a2-10a2+10a+25В 4a2-a-a:(2+a2+4a-2)Б (b+3+18b-3)∙b2-6b+9b2+9Г (1a-b-1a+b):2a-b15.16 Решите задачи:
Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 19, разность прогрессии равна (-1,5). Найти первый член и сумму десяти первых членов прогрессии.
Третий член арифметической прогрессии равен 11, пятый член равен 19. Найти сумму десяти первых членов прогрессии.
Второй член арифметической прогрессии равен 6, третий член равен 3. Найти сумму девяти первых членов прогрессии.
Третий член арифметической прогрессии равен 25, восьмой член равен 35. Найти сумму пяти первых членов прогрессии.
В арифметической прогрессии пятнадцатый и двадцатый члены соответственно равны 5 и 40. Найдите разность и первый член этой арифметической прогрессии.
В арифметической прогрессии: -2; 1; … найдите разность между двенадцатым и шестым членами.
Арифметическая прогрессия задана формулой аn=3n+4. Найти сумму шестнадцати первых членов прогрессии.
Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 99, если эта прогрессия задана формулой аn=4n-13.
Первый член арифметической прогрессии равен 3, а сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 580. Найдите десятый член и разность прогрессии.
В арифметической прогрессии сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов равна 52. Найти сумму двадцати первых членов прогрессии.
МОДУЛЬ 16
Тема. Геометрическая прогрессия.
Повторение
16.1
Найдите значение выражения:
А 1245∙334-4411∙4181123:247В 1528-1136∙2129+667:1621:1612Б 2845:1357+635:2311116:214Г 457-11114∙423+1718∙1825:23416.2
Найдите сумму многочленов P и Q и запишите получившейся многочлен в стандартном виде:
P Q
А 2,1x3+3+(6-4x3)0,5x3+0,4x2-(0,4x3-0,5x2)Б 0,2 a2+0,25b2-(5,1a2+0,5b2)0,6a2+0,7b2+(0,4a2-0,3b2)В 5a2+6ab+4b2-(7a2+3ab+5b2)4a2-6ab+9b2+(3a2+7ab-8b2)Г a2b+b2a-b3-(a2b+b2a-b3)6a2b+b2a-9b3-(a2b+b2a-b3)16.3
Не строя график функции y=f(x), определите, проходит ли он через точку А.
А fx=6x-7, А(3;-11)В fx=-3x+12, А(-5;-3)Б fx=4,2x+3, А(1;7,2)Г fx=-9x-7, А(-6;-47)16.4
Решите уравнения:
А x2-3x-18=0Г a2+12a+27=0Б y2-2y-35=0Д b2+4b-32=0В -z2+10z-24=0Е a2-4a-77=016.5
Постройте множество точек плоскости, для которых:
А x>5;y≤-2В -5≤x<6;2<y≤9Б x≤-1;y>-3Г 4≤x<9;y>-616.6
Упростите выражение при допустимых значениях переменных (n∈N):А a4n+8:(-a)5Г -b7n+1:b5n-4Б a8n∙a9a6∙a5n-3∙a7Д x16∙x38∙x8nx7n∙x45∙x11В 102x18y44z5617x17y43z55Е 45a33b71c9327a32b72c9416.7 Решите задачи:
А) Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма первых семи ее членов равна 105. Найдите первый член и разность прогрессии.
Б) В арифметической прогрессии сумма пятого, восьмого, семнадцатого и двадцатого членов равна 43. Найти сумму двадцати четырех первых членов прогрессии.
Опорный конспект
Геометрическая прогрессия
Определение 1.  Числовую последовательность b1 ,  b2 , … bk , …все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

Определение 2.  Если последовательность чисел b1 ,  b2 , … bk , … является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.
      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b1 и знаменатель геометрической прогрессии   q .
Если числа b1 и q   известны, то все члены прогрессии можно найти по формулам:
b2 = b1 q , (1)
… bk = bk – 1 q…    Из формул (1) вытекает формула общего члена геометрической прогрессии
bk = b1 qk – 1,       k = 1, 2, 3, … (2)
     Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии: «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что  при   справедливо равенство
(3)
      В случае, когда
  b1 > 0   и   q > 0  
все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:
(4)
      Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.
 При справедливо равенство
, которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.
      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
      Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если  её знаменатель удовлетворяет неравенству
  |q| < 1 .
Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии пользуются формулой: S= b11-q Задания.
16.8
Найдите сумму геометрической прогрессии, в которой:
a1 q n
А 3 2 6
Б 8 0,5 5
В 12-136
Г 2,5 1,5 5
16.9
Определите знаменатель и сумму членов геометрической прогрессии:
a1 n an
А 2 7 1458
Б 1,5 4 96
В 74236 213Г -1,5 4 96
16.10
Определите первый член и сумму членов геометрической прогрессии:
q n an
А 4 7 1024
Б 2,5 6 3125
В 0,5 10 7
Г 345 111512816.11
Определите первый и последний члены геометрической прогрессии:
n q SnА 8 2 756
Б 5 12378В 4 2365
Г 12 2 4095
16.12
Определите число членов геометрической прогрессии:
a1 an SnА 3 96 189
Б 2 -18378В 1 -512 -341
Г 2 96 189
16.13
Заполните пустые клетки таблицы:
a1 q n an Sna1 q n an Sn1 1 3 10 5 1211281271282 128 2 6 1313165613 2 7 1458 7 -2 19 262144 4 3 567 847 8 -3 4 121,5 16.14
Определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии:
А a5-a1=15a4-a2=6Б a2+a5-a4=10a3+a6-a5=2016.15
Определите первый член, знаменатель и число членов геометрической прогрессии, в которой:
А a7-a5=48a6+a5=48Sn=1023Б a6-a4=216a3-a1=8Sn=40 Задания для самоконтроля.
16.15
Решите уравнения:
А 10,2-(4,3х-5,3)+5,6=4,2х-(3,5-0,5х)+0,8х-(3,9х-4,8)+0,7х
Б 3,4х-12,5-4,6+(6,4-1,2х)=12,3+6,5х-(9,3-3,6х)-5,8
В a+82-25=0Г (3b-9)2-36=0Д 16(c+6)2-9c2=016.16
Постройте график кусочно-линейной функции:
А y=3x-1, если x≥0;-1, если-2≤x<0;2x+3, если x<-2В y=2x+1, если x≥1;4x+1, если-2≤x<-1;-9-x, если x<-2Б y=-2x, если x≥1;2-4x, если-1≤x<1;-x+5, если x<-1Г y=-x+5, если x≥2;3x-3, если 0≤x<2;-3, если x<016.17
Выполните действия:
А 28bb2-49+b-7b+7∙bb+7-bb-7В 8aa2-4+a-2a+2∙aa+2-aa-2Б (ba-b-ba+b)∙a-bbГ 2c-32+3c2-9c-32-5cc+316.18 Решите задачи:
Первый член геометрической прогрессии равен 8, второй член равен 16. Найти сумму пяти первых членов прогрессии.
Первый член геометрической прогрессии равен 96, знаменатель равен 0,5. Найти седьмой член прогрессии.
Четвертый член геометрической прогрессии равен 9, пятый член равен 27. Найти сумму четырех первых членов прогрессии.
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 14, знаменатель прогрессии равен 2. Найти сумму шести первых членов прогрессии.
Шестой член геометрической прогрессии равен 96, четвертый равен 24. Найти первый член и сумму первых пяти членов.
Седьмой член геометрической прогрессии равен 192, четвертый член равен 24. Найти сумму четырех первых членов прогрессии.
Второй член геометрической прогрессии равен 0,5, седьмой член равен 16. Найти сумму шести первых членов прогрессии.
Второй член геометрической прогрессии равен 12, четвертый член равен 192. Найти сумму пяти первых членов прогрессии.
В геометрической прогрессии второй и третий члены равны соответственно 1,2 и (-4,8). Найдите произведение первого и четвертого членов прогрессии.
Геометрической прогрессии задана двумя первыми ее членами: 8; 2. Найдите следующие четыре ее члена.
Выпишите первые четыре члена геометрической прогрессии, если ее первый член равен 2, а знаменатель 4.
Найдите третий член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 4, а знаменатель 3.
МОДУЛЬ 17
Тема. Тригонометрические основные тождества. Преобразование тригонометрических выражений.
Повторение
17.1
Найти значение выражения:
А А+В А=3623:15+823∙71213+867:247В=238:34+24∙79723-15745:24Б 2а:3b а=(34)2+112∙23:18b=56∙115-(12)3:3417.2
Найдите сумму многочленов P и Q и запишите ответ в стандартном виде:
P Q
А 4a2-7+(8-2a2)7a+4a2-(4a-7a2)Б 3b2+4bc-(3b2-2bc-4b2)-5b2-3bc+(9b2-7bc-5b2)17.3
При каких значениях b график функции y=-2x+b проходит через данную точку?
А А(1;2) В С(2;3)
Б В(-1;-4) Г D(-2,5;0)
17.4
Решите неравенства:
А 2x-13>3x+52В 4x+13+9≤5x-93+12Б 3-8y5<7+y3Г 3y-64-2≥2y+13-317.5
Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1:
А 57∙511∙51Д (-a)6∙(-a)1∙(-a)8∙(-a)3Б x12:x4Е c27:c13∙c15:c7∙c8В ((-p)7)9Ж d7∙d16:d9∙d8:d11Г ((-q)4)5З(6m-n)32:(6m-n)33:(6n-n)-517.6
Решите систему уравнений:
А x-y=1x2-y=3В x+y=5xy=6Б x2-3y=1x+y=3Г x-y=2x-y2=217.7 Решите задачи:
А) Два почтальона, работая вместе, разнесли все телеграммы за 5 часов. Зная, что производительность первого почтальона составляет 150% от производительности второго, определите, сколько часов потребовалось первому почтальону, чтобы разнести эти телеграммы самостоятельно.
Б) Для погрузочно–разгрузочных работ на складе используются 2 погрузчика. Первый погрузчик может выполнить заданный объем работы за 8 часов. Производительность второго погрузчика на 60% больше первого. Сколько времени понадобится этим двум погрузчикам на выполнение данного объема работы, если они будут работать вместе?
В) Первый насос наполняет пустой бассейн за 8 часов, а второй насос выкачивает всю воду из бассейна за 18 часов. Считая, что скорости работы насосов постоянны, определите, за какое время будет наполнен этот бассейн, если он пустой и оба насоса начнут работать одновременно.
Г) В переплетной мастерской все мастера работают с одинаковой производительностью. Семь стажеров и три мастера выполняют за 5 часов тот же объем работы, что десять стажеров и восемь мастеров за 2 часа. Во сколько раз производительность мастера больше производительности стажера, если производительность всех стажеров также одинаковая?
Опорный конспект
Тригонометрические функции произвольного угла.
Определение тригонометрических функций произвольного угла.
   Рассмотрим окружность радиуса   R  с центром в начале системы координат Oxy.
   Положительным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении движения против часовой стрелки (рис.1).      
Отрицательным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки( рис. 2).

Рис.1 Рис.2
      Если для координат точки   M0 , лежащей на окружности радиуса R с центром в начале координат O (рис. 3),

Рис.3
ввести обозначение  M0 = (x0 ; y0 ), то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство:
x02 + y02 = R2,
и можно сформулировать следующее общее определение тригонометрических функций произвольного угла.
      Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом произвольного угла α называют числа, определяемые по формулам:

      Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг
      Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если для координат точки   M1 (рис. 4), лежащей на этой окружности,

Рис.4
ввести обозначение  M1 = (x1 ; y1 ), то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство
x12 + y12 = 1 ,
а синус, косинус, тангенс и котангенс угла α будут вычисляться по формулам

      Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество:
sin2α + cos2α = 1 .
      Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.
   Окружность радиуса 1, изображенную на рисунке 4, называют тригонометрическим кругом или числовой окружностью.   
Основные тригонометрические формулы
Связи между тригонометрическими функциями одного угла
sin2α + cos2α = 1





Задания.
17.8
Вычислить:
А 4sin2-π4+3tg(-π6)1-0,5ctg(-π4)В -2cos2-π4+4sin2π42+ctg(-π4)Б 4sin2π4-3cosπ3+tg2π6Г 2cos2π4-2tg2π4+3ctg2π317.9
Докажите тождество:
А (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2В 3-2sin2α-2cos2α=1Б ctgαctgα+tgα=cos2αГ 1-sin2α1-cos2α=1tg2α17.10
Найдите неизвестные величины:
sinαcosαtgαА 35Б 725В 815Г 81717.11
Упростите выражение:
1 sinα1+cosα+1+cosαsinα14 ctgα+sinα1+cosα2 sin2α1-ctgα+cos2α(1+tgα)15 (tgαcosα)2+(ctgαsinα)2-cos2α3 tgα+cosα1+sinα16 sin2α1-cosα-cosα4 1-cosα(1+cosα)sinα17 1-sinα(1+sinα)cosα5 sin2α1+ctg2α-cos2α18 (sinα-cosα)2+2sinα*cosα6 sinα*cosα*(tgα+ctgα)19 -cos2α+cos4α-sin4α7 tgα+ctgα*(1-cos2α)20 sin2α+tg2α*sin2α*ctgα8 sin2α1+cosα+cosα21 1-2cos2αcosα+sinα9 1-cosα1+cosα+1*1+1+cosα1-cosα22 1+2sinα*cosα(sinα+cosα)2-110 1-sinα+sin2α-cos2α23 cos2α-ctg2α+1*sin2α11 11+ctg2α+cos2α24 11+tg2α+sin2α12 1sinα-1-11+sinα25 ctgα-cosα-1sinα13 1-cosα1+cosα-sin2α26 1-sinα1+sinα-cos2α Задания для самоконтроля.
17.12
Упростите выражение:
А b2b2-1+1b2-1:(22b-b2-12-b)В 2b+1+b-12b(bb-12+bb2-1)Б (x+5x50x-5):x2+25x2-10x+25Г xx2-y2-xx-y2y-x22x-xx+y17.13
Найдите рациональным способом значение выражения:
А 612Д 1332-672Б 19,92Е 482+96∙52+522В 1218∙1178Ж 573-23334+54∙23Г 3252-1523092-1З972-1321052-212+94∙8417.14
Решите уравнения, используя формулы сокращенного умножения:
1 a2-6a+9=06 m3+12m2+48m+64=02 (3b+4)2-64=07 n3+8=03 c+8c-8-(c+6)2=-128 x3-1+(x-1)2=04 12x3x-1-36x2-16=-29 y3-(y+5)3=75-15y25 2(y+7)2+(3y-5)2-11y2-9=010 8z3-(2z-3)3=108+36z217.15
Решите уравнения:
А 3xx+3+2=x+3xВ 36x2-12x-3x-12=3Б 4x+3+1=1x-3+53-xГ 2x2-4+x-4x2+2x=1x2-2x17.16 Решите задачи:
А) Строительная компания получила заказ на облицовку здания декоративной плиткой. Первая бригада может выполнить этот заказ за 75 рабочих дней, а вторая может выполнить 20% заказа за 12 рабочих дней. Сколько рабочих дней потребуется этим двум бригадам для выполнения всего заказа, если они будут работать вместе с указанной производительностью?
Б) На шоколадной фабрике имеются 18 фасовочных линий, работающих с одинаковой производительностью. Они выполняют дневное производственное задание за 14 часов. Сколько нужно добавить фасовочных линий, чтобы выполнить эту же работу за 9 часов?
В) Для наполнения бассейна используются три трубы. Через первую трубу пустой бассейн наполняется за 27 часов, через вторую – за 18 часов, а через третью – за 54 часа. За какое минимальное время можно наполнить пустой бассейн, одновременно открыв сразу три трубы?
Г) На заводе по производству мороженого работают 420 рабочих. Профсоюз рабочих принял решение сократить рабочий день с 8 часов до 6 часов. Сколько рабочих необходимо будет принять на завод для того, чтобы сохранить неизменным ежедневный выпуск продукции, считая, что все рабочие работают с одинаковой производительностью?
17.17
Упростите выражение:
1 ctg2α*cos2α-1+113 1+sin2α-cos2α2 tgα+11+ctgα14 sin2α-11-cos2α3 (sinα+cosα)2-1ctgα-sinαcosα15 1+tg2α+1sin2α*sin2α*cos2α4 tgα+ctgα*2sinαcosα16 sin4α+sin2αcos2α-sin2α+15 tgαcosα-sinα+sinα+tgαctgα+1sinα17 1-1cos2α-2-1cos2αctgα+16 tg2α-sin2αtg2α18 2cos2α∙1sin2α+1:(1-sin4α)7 1tgα+sinα1+cosα19 sin2αsinα-cosα+sinα+cosα1-tg2α8 1-cos2α+(cos2α-sin2α)2sinαcosα20 sin3α-cos3αsinα-cosα-tgα*ctgα9 cosα-cos3αsin2α+tgα*ctgα21 1+cosαsinα*(1+(1-cosα)2sin2α)10 sin2αcos2α+sin4αcos2αsin2α+cos4α-122 cos2α-sin2α-1(sinα+cosα)2-111 ctgα-cosα(tg2α+sinα1-sin2α)23 tgα-sinα(ctg2α+cosα1-cos2α)12 sin2α1-tg2α+cos2α1-ctg2α24 sin2α1-tg4α+cos2α1-ctg4αМОДУЛЬ 18
Тема. Треугольник и его виды. Решение треугольников. Площадь треугольника.
Повторение
18.1
Вычислить наиболее простым способом:
А 16∙25+25∙13+56∙25В (34)2+516+(14)2Б (15)2+4∙15-215∙145Г (1634+456-634+116):5618.2
Найдите разность многочленов P и Q и запишите ответ в стандартном виде:
P Q
А 5x3+2xy2+3x2x3+4xy2+5xБ 9p2-7pq-6q2+(5pq-4p2+4q2)2p2-2pq-7q2В m2+3mn+2n2-(3m2+mn+3n2)3m2-4mn-n2Г 5a2b-a2b2-ab2-(8a2b-a2b2)2a2b+a2b2-(3a2b+a2b2-5ab2)18.3
Найдите значение выражения:
А a15∙a36∙a21∙(a4)6∙(3a)8(3a2)7∙(a56:a28)∙a34∙a27-3a0a=2Б 756∙(c28:c3)∙b27∙b63∙(bc)68c9∙b34∙(b72:b53)∙(b6)9∙b51∙(7c)56∙c27-2(bc)0b=-6, c=218.4
Решите неравенства:
А m2-m4-m6-m8<9Д x+1-4x35-3-6x53≥4Б 2n-4n5>2n3+2-5n6+3n4+120Е 4z-z2-3+z42>5-0,5(1-6-z2)2В (3p+3p4+142p+2p3)∙8≤7Ж 3y+4-2y-4-3y24<5y-y-342Г (4q-3q8∙85-3q-2q7)∙7≥2З6-t-1+t52≤t10-2t-9-7t2518.5
Постройте график кусочно-линейной функции:
А y=6x-2, если x≥1;-x+5, если-2≤x<1;x+9, если x<-2Б y=4x+1, если x≥-1;-2x-3, если-3≤x<-1;x+6, если x<-318.6
Решите уравнение:
А x+5x2-7-x3-125=0В z2+63-16z=0Б y-2y2+9-y3+8=0Г k2+7k-44=018.7
Решите неравенства:
А x2-14x+45>0Д 3x2-5x-2>0Б x2-11x+30>0Е 3x2-7x-6<0В x2+2x>6x-15Ж 5x2-7x+2<0Г x2-4x+3>0З3x2-2x+5>018.8 Решите задачи:
А) Три человека разделили между собой некоторую сумму денег. Первый получил пятую часть этой суммы и еще 190р., второй – четверть суммы и еще 170р., а третий – треть суммы и еще 160р. Какую сумму денег разделили?
Б) Число строк на странице на 15 меньше, чем букв в каждой строке. Если уменьшить число букв в каждой строке на 3 и убрать после этого 5 строк, то число всех букв уменьшится на 300. Сколько строк на странице и сколько букв в каждой строке?
В) Переднее колесо повозки, длина окружности которого равна 2,4 м, сделало на некотором расстоянии на 2900 оборотов больше, чем заднее колесо, длина окружности которого равна 3,2 м. Найдите, чему равно это расстояние.
Г) Из Москвы в Смоленск отправился со скоростью 40 км/ч товарный поезд. Через 1 час после его выхода из Смоленска в Москву со скоростью 80 км/ч отправился пассажирский поезд. На каком расстоянии от Москвы встретятся эти поезда, если расстояние между Москвой и Смоленском 400 км?
Опорный конспект
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.
Виды треугольников
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.
Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.
Основные линии треугольника
Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.right0
Свойства медиан треугольника
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.Биссектриса
right0Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: xy=ab.
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.Высота
right0Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.
Свойства высот треугольника
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Срединный перпендикуляр
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.Свойства серединных перпендикуляров треугольникаright0
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Средняя линия
right0Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Формулы и соотношения
Признаки равенства треугольников
Два треугольника равны, если у них соответственно равны:
две стороны и угол между ними;
два угла и прилежащая к ним сторона;
три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:
гипотенуза и острый угол;
катет и противолежащий угол;
катет и прилежащий угол;
два катета;
гипотенуза и катет.
Подобие треугольниковДва треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:right0
два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.
Теорема Пифагора. Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через  и :

Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки положительных чисел ,  и , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами  и  и гипотенузой .
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:right0

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a2= b2+ c2- 2bc cos α Формулы площади треугольника
Произвольный треугольник
a, b, c — стороны;  — угол между сторонами a и b;— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.
right0S = aha
S = ab sin 

S = pr
Прямоугольный треугольник
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.right0
S = abS = chcРавносторонний треугольник
right0right0
Задания.
18.9 Решите задачи:
Гипотенуза треугольника 17 см, один из катетов 15 см. Найдите второй катет и площадь треугольника.
Основание равнобедренного треугольника 24 см, боковая сторона 24 см. Найдите высоту и площадь треугольника.
Гипотенуза треугольника равна 20 см, один из острых углов 300. Найдите катеты и площадь треугольника.
Стороны треугольника равны 10 см, 12 см, и 18 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную на меньшую сторону.
Основание равнобедренного треугольника равно 30 см; высота, проведенная на основание, равна 20 см. Найдите высоту, проведенную на боковую сторону.
Гипотенуза треугольника равна 16 см, один из углов равен 600. Найдите катеты и площадь треугольника.
Катет, лежащий против угла 600, равен 30 см. Найдите гипотенузу, второй катет и площадь треугольника.
Один катет на 10 см больше другого катета и на 10 см меньше гипотенузы. Найдите периметр и площадь треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника 48 см2, высота 8 см. Найдите длину боковой стороны.
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его площадь равна 54 см2, а один из катетов равен 12 см.
Стороны треугольника 25 см, 30 см, 11 см. Найдите высоту, опущенную на сторону 11 см.
Площадь равнобедренного треугольника 120 см2, высота 15 см. Найдите боковую сторону этого треугольника.
В треугольнике со сторонами 12 см и 8 см проведена высота к большей стороне, равная 7 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 2 см, а угол при основании – 750. Чему равна площадь треугольника.
В треугольнике АВС АВ=4 см, угол С равен 300, угол В равен 450. Найдите сторону АС.
Стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 14 см. Какой угол, острый или тупой, лежит против стороны, равной 14 см?
В треугольнике АВС АС=10 см, угол В равен 450, угол С равен 600. Найдите сторону АС.
Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна 12 см.
По сторонам треугольника, равным 20 см и 45 см, и биссектрисе угла между этими сторонами, равной 24 см, Найдите отрезки третьей стороны.
Площадь треугольника 9 м2, его стороны относятся как 3:26:25. Найдите стороны треугольника.
Основание треугольника АС=26 дм, стороны АВ и ВC относятся как 3:5, медиана ВК=16 дм. Найдите стороны АВ и ВС.
Две стороны треугольника 7 см и 11 см, площадь треугольника 1210 см2. Найдите третью сторону.
Стороны треугольника 11 см, 13 см и 12 см. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты.
В Равнобедренном треугольнике угол при основании равен 450, а основание больше высоты на 9 см. Найдите площадь треугольника.
Задания для самоконтроля.
18.10
Вычислите устно:
А -56-14Б -223∙916В -59:(-313)18.11
Найдите значение выражения:
1 2:67+38:9+112:6+6:112-123:2232 235:6115+1114-13973∙(557-5116)3 (1,238+2,762)∙0,1(36,987-34,487):3,125+(4,37-3,12)∙0,80,2∙(47,8-45,55):0,2254 4,625-1318∙926:214+212:1,25:634:15368-7275 12-0,375:18-356-3712:(0,358-0,108)6 15∙9+19∙13+113∙17+117∙21+121∙25+125∙297 111∙18+118∙25+125∙32+132∙3918.12
Найдите сумму многочленов P, Q, R:
А P=3p2-p2+q2Q=5q2-(q2-4p2)R=8q2-(10q2+5p2)В P=(x-y)3Q=-(x3+5x2y+4xy2-2y3)R=-4x2y+4xy2-2y3Б P=5a2-3a2-2b2Q=7b2-(6b2+4a2)R=3a2-(6b2-3a2)Г P=8p3-4p2q+6pq2-2q3Q=-(10p3+7p2q+pq2-3q3)R=8p2q+2pq2-2q318.13
Решите систему линейных уравнений графически:
А x+y=24x-y=3Г 2x+3y=54x+6y=8Б 3x+y=4-5x-y+4=0Д x+y=23x+2y=6В x-y=1-2x+y=1Е x+y=42x+2y=818.14
Упростите выражение:
А 12+3aa+3-3:(aa2-9-6a+18a+3)В x+43x+3-1x+1:x+13+2x2-1Б 2mm2-4-2m2-4:(m+12m-2-1m-1)Г 1b-1-1b2-b*bb+2+4b2-418.15 Решите задачи:
В равнобедренном треугольнике (АВ=ВС) высота ВD=45 см. Основание АС в 43 раза больше боковой стороны. Найдите боковую сторону и площадь треугольника.
В равнобедренный треугольник с углом при вершине 1200 вписан круг с радиусом 8 см. Найдите высоту, проведенную на основание.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза 20 см, а один катет составляет 75% от другого катета.
Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 2 см, сумма длин трех сторон равна 12 см. Найдите площадь треугольника.
Расстояние от середины гипотенузы треугольника до его катетов 7 см и 8 см. Найдите гипотенузу.
Гипотенуза треугольника на 20% больше одного из катетов. Найдите гипотенузу и катет, если другой катет равен 11 см.
В равнобедренном треугольнике высота равна 16 см, а боковая сторона относится к основанию, как 5:6. Найдите периметр и площадь треугольника.
Катет, лежащий против угла 300, равен 10 см. Найдите высоту, проведенную на гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике один из катетов составляет 50% другого. Найдите площадь треугольника, если гипотенуза равна 35 см.
Стороны треугольника равны 8 см, 13 см и 15 см. Не вычисляя углы, определите вид треугольника и найдите его площадь.
МОДУЛЬ 19
Тема. Четырехугольники и их виды. Решение четырехугольников. Площадь параллелограмма, трапеции. Круг. Окружность.
Повторение
19.1
Выполнить указанные действия:
А 412∙523∙21312В 44∙8335:12:213:31215:58∙318∙135Б 4141113∙514Г 2:2215318:623:478:135-17819.2
Упростите выражение:
А a3b-c+ca3-b+bac+c-ab(c+3)Б m+34-m+5-mm+5+m-6m+6В 8x5-2y4-6x3y-3x2y2-2xy3-9x5+4xy3-4x3y-y4-x3yГ 3p4+5p3q-7p2r-5pq-3p3q-3p2r+6pq+(4p2r-4p4-2p3q)19.3
Найдите значение выражения:
А a7∙a16∙a32∙(a2)8∙(5a)6(5a3)5∙(a34:a21)∙a19∙a29-a0a=-4Б 1143∙(c32:c26)∙b31∙b29∙(bc)52c8∙b37∙(b53:b29)∙(b3)8∙b27∙(11c)43∙c6+6(bc)0b=7, c=-119.4
При каких значениях переменной истинно неравенство:
А 3a+27-2a>4a-9-4Д d+65-3d-114≥dБ 3b-b-9-6<5-2b4Е a≤a-23+3a-45-4a-36В 6c-54≤5c-7c-113Ж b-42+b-23-b-14≥b+3619.5
Постройте график кусочно-линейной функции. Определите по графику, при каких значениях аргумента функция y=0, y>0, y<0.
А y=3x, если x≥13, если-1≤x<1;-3x, если x<-1В y=6x-5, если x≥2;x+5, если-2≤x<2;7+2x, если x<-2Б y=4x+5, если x≥0;5, если-1≤x<0;x+6, если x<-1Г y=-2x+5, если x≥3;x-4, если 0≤x<3;-3x-4, если x<019.6
Сократите дробь при допустимых значениях переменных:
А 36a2-81b26a+9bГ 216a3-108a2+18a-136a2-12a+1Б 25x2-110xy+121y25x-11yД 64a3-27b316a2+12ab+9b2В 2x+5y8x3+60x2y+150xy2+125y3Е 25a2+40ab+16b2125a3+64b319.7
Решите уравнения:
А xx-2-7x+2=8x2-4Д xx+1-x+2x-2=0Б 6x+2+x+22-x=x24-x2Е x2x-3=4xВ 3x3-x+9x-3=xЖ 1x+1x+1=x2-2x2+xГ xx-4-1x+1=2-xx+1+3x-4З2x+5x2+x-2x=3xx+119.8 Решите задачи:
А) Длина ломаной АВСD равна 54 см. Известно, что длина ВС – в 3 раза больше АВ, а длина СD – на 1 см меньше, чем АВ. Чему равна длина СD?
Б) Величина первого угла треугольника на 300 меньше второго, а величина третьего – в 4 раза больше, чем второго. Найдите величину большего угла.
В) Выручка компании за год составила 974,8 тыс. р. В первом квартале выручка была на 56,1 тыс. р. больше, чем во втором, в третьем – в 1,5 раза больше, чем во втором, а в четвертом была равна среднему арифметическому выручки первых трех кварталов. Сколько денег компания получила от покупателей в четвертом квартале?
Опорный конспект
Виды четырехугольников:
- произвольный четырехугольник 
- параллелограмм
- трапеция (прямоугольная, равнобокая)
- прямоугольник 
- ромб
- квадрат 

 Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные – боковыми сторонами.

Свойства трапеции:
В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне:
.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

В равнобедренной трапеции
углы при основании равны,
проекции боковых сторон на основание равны.
Площадь трапеции


произведение полусуммы оснований на высоту;

произведение средней линии на высоту;

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны:

Свойства параллелограмма:
противоположные стороны и противоположные углы равны
диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

Соответственно, если  четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.
Площадь параллелограмма


произведение основания на высоту;

полупроизведение сторон на синус угла между ними;

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны:

Свойства ромба:
диагонали взаимно перпендикулярны
диагонали ромба являются биссектрисами углов
Плюс все свойства сторон, углов и диагоналей параллелограмма.
a - сторона ромба
D - большая диагональ
d - меньшая диагональ
α - острый угол
β - тупой угол 
Площадь ромба


Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:  S=AB*AD.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны
или Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.
Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Длина окружности и площадь круга. Правила
          
Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой   π  (читается - "пи" ). Обозначим длину окружности буквой    , а ее диаметр буквой d и запишем формулу  Число   π   приблизительно равно   3.14   
Более точное его значение   π   =   3,1415926535897932   Исходя из формулы выше, выведем, чему равна окружность, если известен диаметр (d ) Если известен радиус ( r ) , то формула длины окружности будет выглядеть так: Площадь круга вычисляется по формуле где:     S   —   площадь круга           r   —   радиус
Задания.
19.9 Для каждой из геометрических фигур найти площадь, назвав используемую формулу.
19.10 Решите задачи:
В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, а высота 8 см. Найдите площадь трапеции.
Площадь ромба равна 24 см2, высота ромба 6 см. Найдите периметр ромба.
Одна сторона прямоугольника 6 см, другая в 2 раза больше. Найдите площадь и и диагональ прямоугольника.
Диагонали ромба 14 см и 48 см. Найдите периметр и площадь ромба.
Основания равнобедренной трапеции 8 см и 14 см, боковая сторона 5 см. Найдите площадь трапеции.
Диагональ квадрата равна 82 см. Найдите периметр и площадь квадрата.
Одна сторона прямоугольника 8 см, радиус, описанной окружности около прямоугольника, равен 5 см. Найдите периметр и площадь прямоугольника.
Основание равнобедренной трапеции равны 8 см и 20 см, острый угол 600. Найдите площадь трапеции.
Периметр квадрата равен 36 см. Найдите диагональ и площадь квадрата.
Стороны параллелограмма равны 5 см и 8 см, угол между ними 600. Найдите диагональ, лежащую против угла 600 и площадь параллелограмма.
Основания трапеции равны 20 см и 30 см, площадь трапеции равна 500 см2. Найдите высоту трапеции.
Стороны прямоугольника относятся как 3:4, его площадь 300 см2. Найдите стороны прямоугольника и диагональ.
Стороны прямоугольника относятся как 4:9, его площадь 144 см2. Найдите стороны прямоугольника и диагональ.
Основания равнобедренной трапеции 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
Найдите стороны ромба, если его диагонали относятся как 1:2, а площадь равна 36 см2.
Стороны параллелограмма 15 см и 12 см, угол между ними 300. Найдите сторону равновеликого ему квадрата.
Площадь равнобедренной трапеции 420 см2, основания трапеции 40 см и 30 см. Найдите боковую сторону.
Площадь параллелограмма 64 см2, его смежные стороны 16 см и 8 см. Найдите острый угол.
Диагонали параллелограмма равны 6 см и 4 см, а один из углов между ними – 1500. Найдите площадь параллелограмма.
В равнобокой трапеции, один из углов которой равен 450, большее основание равно 70 см, а высота 10 см. Найдите площадь трапеции.
Большая сторона параллелограмма 5 см, высоты параллелограмма 2 см и 2,5 см. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
В трапеции АВСD (AB∥CD) диагональ ВD делит среднюю линию трапеции на отрезки 6 см и 12 см. Найдите основание этой трапеции.
Биссектриса угла А прямоугольника АВСD делит сторону ВС на части 2 см и 6 см. Найдите периметр прямоугольника.
Стороны прямоугольника относятся как 8:15, а его диагональ равна 34 см. Найдите площадь прямоугольника.
Стороны параллелограмма 4 см и 6 см. Меньшая его высота равна 3 см. Найдите вторую высоту параллелограмма.
Найдите площадь трапеции, если основания 10 см и 24 см, а боковые стороны 13 см и 15 см.
Диагональ равнобокой трапеции, равная 12 см, перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой угла при основании, равного 600. Найдите площадь трапеции.
Найдите сторону ромба, если острый угол равен 300, а площадь равна 18 см2.
В окружность вписан треугольник, стороны которого относятся как 8:15. Найдите стороны, если радиус окружности 34 см.
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности 3 см, а меньший катет равен 10 см.
Задания для самоконтроля.
19.11
Выполнить указанные действия:
А 2415+556∙(41718-359)В 425+7101317-(3723-24546)∙2360Б (10715-81360)∙(334-178)Г 1237712-51736-1346∙(3-2913)19.12
Выполните действия:
А xx2-25-5x-5+1x+5:(x-5+28-x2x+5)Б (14x2-y2:2x+y2x-y2-2x-y4x2+2xy)∙(2x+y)2y2В x2+3x(x-3)2:(3x+3+x2+9x2-9+3x-3)Г aab+b2-aa2+ab∙(b2a3-ab2-ba2-ab)19.13 Решите задачи:
В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна меньшему основанию. Диагональ из вершины тупого угла перпендикулярна большей боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание 7 см
Площадь трапеции равна 320 см2, высота - 8 см. Найдите основания трапеции, если длина одного составляет 60% другого.
Какую часть площадь правильного треугольника со стороной 6 см составляет от площади вписанного в него круга?
В параллелограмме АМВК диагональ МК перпендикулярна стороне АК и составляет 50% этой стороны. Найдите периметр и площадь параллелограмма, если АМ=65 см.
Из точки, удаленной от центра окружности на 2 см, проведены две касательные к этой окружности. Найдите расстояние между точками касания, если радиус окружности 1 см.
В прямоугольной трапеции диагональ, перпендикулярная боковой стороне, равна 5 см и составляет 450 с большим основанием. Найдите площадь трапеции.
Найдите длину окружности с центром в вершине правильного треугольника со стороной 23 см и касающейся его стороны.
В равнобедренной трапеции диагональ делит угол при нижнем основании, равный 600, пополам. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание равно 6 см.
Диагонали ромба относятся как 2:3, а их сумма равна 25 см. Найдите площадь ромба.
В окружности, радиус которой равен 2 см, проведена хорда, длина которой составляет 13 диаметра. Найдите расстояние от центра окружности до хорды.
Медиана правильного треугольника равна 18 см. Найдите длину вписанной окружности.
Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если диагонали ромба равны 14 см и 48 см.
Периметр ромба равен 20 см, длина одной из диагоналей 8 см. Найдите площадь ромба.
Найдите угол между диагоналями прямоугольника со сторонами 7 см и 73 см.
В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший катет равен 43 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Большая диагональ ромба равна 32 см, а острый угол ромба равен 600. Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб.
Около окружности описана равнобедренная трапеция с острым углом, равным 300. Периметр трапеции равен 160 см. Найдите диаметр окружности.
В окружность радиуса 4 см вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
Стороны параллелограмма 8 см и 12 см, меньшая его высота равна 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма.
В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с радиусом 23 см. Высота BD делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2, считая от вершины В. Найдите периметр треугольника АВС.
МОДУЛЬ 20
Тема. Задачи. Итоговое повторение.
ВАРИАНТ 20.1
Вычислить:
Выполнить действие:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции: . Найти значения x, при которых y<0.
В геометрической прогрессии . Найти сумму пяти членов прогрессии.
Вычислить:
Упростить:
Площадь параллелограмма равна , а его стороны 12 см и 20 см.
Найти большую диагональ параллелограмма.
ВАРИАНТ 20.2
Вычислить:
Выполнить действие:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции: . Найти значения , при которых .
В арифметической прогрессии . Найти сумму пяти ее членов.
Вычислить:
Упростить:
10)В равнобедренном треугольнике углы при основании равны , а высота, опущенная на это основание , равна 3 см. Найти площадь треугольника.
ВАРИАНТ 20.3
Вычислить:
Выполнить действие:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции: . Найти значения , при которых y<0.
В геометрической прогрессии . Найти сумму ее трех членов.
Вычислить:
Упростить:
10)В круг вписан квадрат со стороной , равной см.
Найти площадь круга.
ВАРИАНТ 20.4
Вычислить:
Выполнить действие:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции . Найти значения , при которых .
В арифметической прогрессии . Найти сумму четырех ее членов.
Вычислить:
Упростить:
10) Площадь ромба равна , а одна из диагоналей равна 6 см.
Найти длину сторон ромба
ВАРИАНТ 20.5
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции . Найти значения х, при которых у=0.
В геометрической прогрессии . Найти сумму пяти членов прогрессии.
Вычислить:
Упростить:
10)Стороны параллелограмма равны 6см и 16 см, а его тупой угол равен .
Найти длину меньшей диагонали.
ВАРИАНТ 20.6
Вычислить:
Выполнить действие:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции . Найти значения х, при которых у<0.
В геометрической прогрессии b1=3; q=2. Найти сумму пяти членов прогрессии.
Вычислить:
Упростить:
10)В равнобедренной трапеции основания равны 10см и 24 см, боковая сторона равна 25см. Найти площадь трапеции.
ВАРИАНТ 20.7
Вычислить:
Выполнить действия:
Решить систему уравнений:
Найти наименьшее положительное значение , при котором верно неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции . Проходит ли график через точку А?
В арифметической прогрессии . Найти сумму первых шести членов.
Вычислить:
Найти , если острый угол.
10)В треугольнике со сторонами 3 см, 4 см и 5 см найти высоту, проведенную на меньшую сторону и радиус вписанной окружности.
ВАРИАНТ 20.8
Вычислить:
Выполнить действия:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции . Найти значения , при которых функция возрастает.
В геометрической прогрессии . Найти сумму пяти ее членов.
Вычислить:
Упростить:
Найти площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а диагонали относятся как 3:4.
ВАРИАНТ 20.9
Вычислить:
Выполнить действие:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции: . Найти значения , при которых .
В геометрической прогрессии . Найти сумму четырех ее членов.
Вычислить:
Упростить:
10)Найти большую сторону прямоугольника, площадь которого равна 400 , а стороны относятся как 4:1.
ВАРИАНТ 20.10
Вычислить : ;Упростить : ;Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции: . Проходит ли график через точку А?
Вычислить:
Первый член арифметической прогрессии равен 4 , восьмой член равен 11. Найти сумму десяти членов прогрессии.
Упростить:
10)Найти стороны прямоугольника, если его стороны относятся как 4:9, а площадь равна 144
ВАРИАНТ 20.11
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
При каких значениях «х» разность дробей и положительна?
Решить уравнение:
Решить графически:
Вычислить:
Первый член геометрической прогрессии равен 3 , второй член равен 12.Найти .Упростить:
10)Найти площадь ромба, если его высота равна 12 см, а меньшая диагональ равна 13 см.
ВАРИАНТ 20.12
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить систему неравенств:
Решить уравнение:
Построить график функции: и найти значения , при которых функция отрицательна.
Вычислить:
Пятый член арифметической прогрессии равен 57, разность прогрессии равна (-2). Найти сумму тридцати членов прогрессии.
Упростить:
10)Длины высот параллелограмма равны 3 см и 6 см, а периметр его равен 36 см. Найти площадь параллелограмма.
ВАРИАНТ 20.13
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить неравенство:
Решить неравенство:
Построить график функции и найти наименьшее значение функции.
Вычислить:
Пятый член геометрической прогрессии равен 16, знаменатель прогрессии равен 2. Найти сумму пяти членов прогрессии.
Упростить:
10)Периметр ромба равен 80 см, острый угол 600. Найти площадь круга, вписанного в ромб.
ВАРИАНТ 20.14
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
При каких целых отрицательных значениях верно неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции: и найти значения , при которых функция положительна?
Вычислить:
Первый член арифметической прогрессии равен 20, третий член равен 12. Найти сумму шести членов.
Упростить:
10)Найти меньшую высоту треугольника, если его стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.
ВАРИАНТ 20.15
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить систему неравенств:
Решить уравнение:
Построить график функции : и найти значения , при которых функция положительна?
Вычислить:
Первый член геометрической прогрессии равен 11, знаменатель прогрессии равен 2.Найти сумму четырех членов прогрессии.
Упростить:
10)Стороны треугольника равны 25 см , 24 см и 7 см. Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
ВАРИАНТ 20.16
Найти 20 % от
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить систему неравенств:
Решить уравнение:
Построить график функции: и найти значение , при которых функция положительна.
Вычислить:
Третий член арифметической прогрессии равен 64, разность прогрессии равна (-3). Найти сумму десяти членов прогрессии.
Упростить:
10)В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки 5 см и 4 см. Найти площадь треугольника.
ВАРИАНТ 20.17
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить систему неравенств:
Решить уравнение:
Решить графически:
Вычислить:
Пятый член геометрической прогрессии равен 64, знаменатель прогрессии равен 2. Найти сумму пяти членов прогрессии.
Упростить:
10)В равнобочной трапеции большее основание равно 44 см, боковая сторона 17 см, диагональ 39 см. Найти площадь трапеции.
ВАРИАНТ 20.18
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить систему неравенств:
Решить уравнение:
Построить график функции: . Найти наименьшее значение функции.
Вычислить:
Четвертый член арифметической прогрессии равен 19, разность прогресс равна 4. Найти сумму восемнадцати членов.
Упростить:
10)Найти площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 2 см и 4 см, а один из углов 600.
ВАРИАНТ 20.19
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
При каких целых отрицательных значениях верно неравенство:
Решить уравнение:
Построить график функции: . При каких значениях функция положительна.
Вычислить:
Третий член арифметической прогрессии равен 32, пятый член равен 44. Найти сумму семи членов прогрессии.
Упростить:
Найти площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 50 см, а основание меньше боковой стороны на 1 см.
ВАРИАНТ 20.20
Вычислить:
Упростить:
Решить систему уравнений:
Решить систему неравенств:
Решить уравнение:
Построить график функции: и найти значения , при которых функция положительна.
Вычислить:
Второй член геометрической прогрессии равен 2, знаменатель прогрессии равен . Найти сумму пяти членов прогрессии.
Упростить:
10)Найти площадь трапеции, если ее диагонали равны 20 см и 15 см, а высота равна 12 см.
Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x2 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
x 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x2 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900
x 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
x2 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
x 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
x2 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 2500
x 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
x2 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 3600
x 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
x2 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 4900
x 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
x2 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 6400
x 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
x2 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 8100
x 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
x2 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 10000
Содержание

модуля Тема Страница
11 Линейные неравенства. Системы линейных неравенств 3
Задачи на повторение 3
Линейные неравенства 4
Системы линейных неравенств 5
Задачи по теме 7
Задачи для самоконтроля 10
12 Квадратный трехчлен и его разложение на множители. Квадратные уравнения и их виды 12
Задачи на повторение 12
Квадратные уравнения 14
Решение неполных квадратных уравнений 15
Выделение полного квадрата 15
Дискриминант 16
Разложение квадратного трёхчлена на множители 16
Формула для корней квадратного уравнения 17
Прямая и обратная теоремы Виета 18
Задачи по теме 18
Задачи для самоконтроля. 20
13 Квадратичная функция Решение квадратных неравенств 22
Задачи на повторение 22
Парабола на координатной плоскости 23
Решение квадратных неравенств 25
Задачи по теме 28
Задачи для самоконтроля 30
14 Дробно-рациональные уравнения. Обратная пропорциональность. 32
Задачи на повторение 32
Дробно-рациональные уравнения 34
Обратная пропорциональность 35
Гипербола на координатной плоскости 35
Примеры графиков дробно–линейных функций 36
Задачи по теме 37
Задачи для самоконтроля 39
15 Арифметическая прогрессия 40
Задачи на повторение 40
Формула n-го члена арифметической прогрессии 42
Характеристическое свойство арифметической прогрессии 42
Сумма n первых членов арифметической прогрессии  42
Задачи по теме 43
Задачи для самоконтроля 45
16 Геометрическая прогрессия 46
Задачи на повторение 46

модуля Тема Страница
16 Геометрическая прогрессия 48
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 49
Задачи по теме 49
Задачи для самоконтроля 51
17 Тригонометрические основные тождества. Преобразование тригонометрических выражений 52
Задачи на повторение 52
Тригонометрические функции произвольного угла.
Определение тригонометрических функций произвольного угла. 54
Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг 55
Основные тригонометрические формулы. Связи между тригонометрическими функциями одного угла 56
Задачи по теме 56
Задачи для самоконтроля 58
18 Треугольник и его виды. Решение треугольников. Площадь треугольника 60
Задачи на повторение 60
Виды треугольников 62
Основные линии треугольника 62
Формулы и соотношения 63
Теорема Пифагора. Алгебраическая формулировка 64
Обратная теорема Пифагора 64
Теорема синусов 64
Теорема косинусов 64
Формулы площади треугольника 65
Задачи по теме 65
Задачи для самоконтроля 67
19 Четырехугольники. Их виды. Решение четырехугольников. Площадь параллелограмма, трапеции. Круг. Окружность 69
Задачи на повторение 69
Виды четырехугольников 71
Трапеция 71
Параллелограмм 72
Ромб 73
Прямоугольник 74
Квадрат 74
Длина окружности и площадь круга. Правила 74
Задачи по теме 75
Задачи для самоконтроля 77
20 Задачи. Итоговое повторение. 79
Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100 90

Приложенные файлы

  • docx file2.doc
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий