материал для практического занятия по теме»Дифференциальные уравнения»


Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения
Императора Николая II» (МГУПС (МИИТ)Институт прикладных технологий
Московский колледж железнодорожного транспорта
РАССМОТРЕНО
на заседании цикловой комиссии
от «___»_________2016 г.
Протокол №__________
Председатель___________ УТВЕРЖДАЮ
Зам.директора института по УМ и НР
___________ Н.И. Воронова
«___»_____________2016 г.
Специальность 23.02.06
Дисциплина МАТЕМАТИКА
РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ
Практическое занятие 3
Применение обыкновенных дифференциальных уравнений при решении прикладных задач.
Преподаватель Тракич Н.В.
Москва 2016
Тема Применение обыкновенных дифференциальных уравнений при решении прикладных задач..Цель: Овладеть навыками решения дифференциальных уравнений и решения задач на составление дифференциальных уравнений.
Формируемые компетенции:
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ПК 2.2. Планировать и организовывать мероприятия по соблюдению норм безопасных условий труда.
ПК 2.3. Контролировать и оценивать качество выполняемых работ.
ПК 3.1. Оформлять техническую и технологическую документацию.
Порядок выполнения:
1-10.Найти общее решение уравнения.
1. у/-у=x2∙ех
2. у/-ух=х∙cosх3. у/-2ху=х ∙еx24. у/+у=x2ех5. у/-у ∙cosх=х∙еsinx6. у/+у ∙sinx=еcosхх7. у/-у=х∙ех8. у/+у=cosхех9. у/-2ху=еx2х10. у/+уx2=х∙е1х11-20.Найти частное решение уравнений.
11. d2ydx2=cosх-sinx; при х=π, dydx=-1, у=2.
12. d2ydx2-x2=0; при х=1, dydx=1, у=0.
13. d2ydx2+1x2=0; при х=1, dydx=0; у=0.
14. d2ydx2=6х-2; при х=2, dydx=8; у=1.
15. d2ydx2=ех+1; при х=0, dydx=1; у=2.
16. у//-3y/+2y=0; при х=0, у=2, у/=3.
17. у//-6y/+9y=0; при х=0, у=0, ; при х=1, у=ех.
18. у//-2y=0; при х=0, у=4, у/=4.
19. у//-y=0; при х=0, у=4, у/=0.
20. у//+2y/+y=0; при х=0, у=0; при х=1, у=1е.
21-30.
21. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;8), если угловой коэффициент касательной к ней равен квадрату абсциссы.
22. Найти закон движения точки по оси Ох, если в момент времени t=3 проходит положение (0;0), и скорость точки V=2t-3.
23. Скорость тела прямо пропорциональна пройденному пути. Найти уравнение движения тела, если при t=0, S=1 м , коэффициент пропорциональности к=-0,5.
24. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;0), если угловой коэффициент касательной в каждой точке обратно пропорционален абсциссе и коэффициент пропорциональности равен 0,5.
25. Точка движется по прямой с ускорением a=t+2 (м/с2). Найти скорость тела при t=3с, если при t=1с V=2,5 м/с.
26. Найти уравнение распада радия, если период полураспада составляет примерно 1575 лет.
27. Какое количество радия останется через 1000 лет, если при t=0, m0=1кг? Принять к=0,00044.
28. Точка движется по прямой с ускорением a=-2t (м/с2). В какой момент времени скорость станет равной нулю, если при t=0 V=100 м/с?
29. Какое количество радия останется через 500 лет, если при t=0, m0=0,5кг? Принять к=0,00044.
30. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (-1;0), если угловой коэффициент касательной в каждой точке обратно пропорционален абсциссе и коэффициент пропорциональности к=13.
Критерии оценки:
«3»- верное решение задачи 1-10 своего варианта
«4»- верное решение задач на 1-20 своего варианта
«5»- верное решение всех задач работы своего варианта
Методические указания:
Ι. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение вида:
y/-y∙f(x)=g(x)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Подстановкой y=U∙V, где U и V функции от х это уравнение сводится к двум уравнениям первого порядка с разделяющимися переменными.
Пример. Найти общее решение уравнения:
y/+2yx=e-xx2.
Введем подстановку y= U∙V, где U и V функции от х, тогда y/= U/∙V+U∙V/ в исходное уравнение, получим U/∙V+U∙V/+2UVх=e-xx2 .
Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части
U/∙V+U∙(V/+2UVх)=e-xx2 (*)
Выберем функцию V таким образом, чтобы выражение, стоящее в скобках равнялось нулю V/+2Vх=0
Мы получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем одно из частных решений этого уравнения, приняв С=0.
dVdx+2Vx=0dVV+2dxx=0dVV+2dxx=0lnV+2lnx=0
lnV=-2lnx
lnV=lnx-2V=1x2Подставим найденное значение V=1x2 в уравнение (*), учитывая, что выражение в скобках равно нулю, получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
U/ ∙ 1x2= e-xx2dUx2dx=e-xx2dU=e-x ∙dxdU=e-xdxU=-e-x+CПеремножив найденные функции U и V, находим общее решение данного дифференциального уравнения
y= U∙Vy=C-e-xx2.
Ответ: y=C-e-xx2.
ΙΙ. Дифференциальное уравнение второго порядка.
1. d2ydx2=f(x)Примеры.
1) Найти общее решение уравнения d2ydx2=х-3.
Решение.
Положим dydx=Z, тогда d2ydx2=dzdx. Запишем данное уравнение в виде
dzdx=х-3, отсюда
dZ=(x-3)dxdZ=(x-3)dxZ=x22-3x+C1.
Следовательно,
dydx=x22-3x+C1.
Решаем последнее уравнение
dy=(x22-3x+C1)dxdy=(x22-3x+C1)dxY= x36-3x22+C1x+C2
Мы получим общее решение данного уравнения.
Ответ: x36-3x22+C1x+C2.
2) Найти частное решение уравнения
d2ydx2=cosх, если при х=π: y=2; dydx=0.
Решение.
Положим dydx=cosх, отсюда
dZ=cosхdxdZ=cosхdxZ=sinx+C1 или dydx=sinx+С1
Найдем С1 из условия dydx=0 при х=π
0= sinπ+С1, отсюда С1=0, тогда
dydx=sinxdy= sinxdxdy=sinxdxY=- cosх+C.
Найдем С из условия y=2 при х=π
-2=- cosπ+С, отсюда С=1.
Подставим значение С=1 в уравнение (*), получим частное решение данного уравнения.
у=1- cosх.
Ответ: у=1- cosх.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Уравнения вида у//+py/+qy=0, где p и q постоянные величины, называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Для нахождения общего решения этого вида уравнения составляется характеристическое квадратное уравнение k2+pk+q=0, которое получается из данного уравнения заменой вида: k2=y//, y/=k, y=1.
Первый случай. D>0,тогда корни К1 и К2 действительные и различные. В этом случае общее решение дифференциального уравнения имеет вид
У=С1 ∙еК1х+С2∙еК2хВторой случай. D=0, тогда К1= К2=К, и общее решение дифференциального уравнения имеет вид
У=еКх∙(С1+С2х).
Третий случай. D<0, тогда К1 и К2 комплексные корни: К1;2=a±bi, где i=-1.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
у=еax(C1cosbх+C2sinbx).
Примеры:
1. Найти общее решение уравнения у//-5y/-6y=0.
Решение.
Составим характеристическое уравнение
К2-5К-6=0
D=49
К1;2=5±72, К1=-1, К2=6.
Корни К1 и К2 действительные и различные.
Общее решение уравнения имеет вид:
У=С1 ∙е-х+С2∙е6хОтвет: У=С1 ∙е-х+С2∙е6х.
2. Найти частное решение уравнения у//+4y/+4y=0, если у=0 при х=0, у=1е2 при х=1.
Решение.
Найдем общее решение уравнения у//+4y/+4y=0. Составим характеристическое уравнение: К2+4К+4=0
D=0
К1;2=-2
Общее решение уравнения имеет вид У=еКх∙(С1+С2х).
Найдем частное решение , подставив начальные условия
0=е-2∙0(С1+С2∙0)1е2=е-2∙0(С1+С2∙1)0=1∙(С1)1е2=1е2(С1+С2)⇒С1=01е2=1е2∙С2⇒С1=0С2=1Отсюда получаем частное решение у=х∙e-2x.
Ответ: у=х∙e-2x.
ΙΙΙ. При решении задач мы составляем дифференциальное уравнение, находим его общее, а затем и частное решение.
1. В задачах на нахождение уравнения кривой при заданном угловом коэффициенте касательной К=f/(x) составляем уравнение у/=К или у/=f(x).
В задачах на движение составляем уравнение
S/=V либо V/=a.
3. В задачах на радиоактивный распад мы составляем уравнение
m/=-k ∙m, где k- это коэффициент пропорциональности. При этом коэффициент kсвязан с периодом полураспада Т соотношением
К=ln2T.
Контрольные вопросы:
Определение производной
Таблица производных
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Приложение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы
Геометрический смысл производной
Физический смысл производной
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения в частных производных
Литература:
Богомолов Н.В. Математика: Учебник для ссузов. М.: Дрофа, 2010.
2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: Учебное пособие для ссузов. М.: Дрофа, 2012.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ссузов. М.: Дрофа, 2007.

Приложенные файлы

  • docx fie8.doc
    Тракич Н.В.
    Размер файла: 34 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий