Методические указания и контрольные задания по математике для студентов специальности «Менеджмент организации», часть 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Мончегорский филиал




Кафедра естественнонаучных
и общепрофессиональных дисциплин


МАТЕМАТИКА.
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников специальности 080507.65 «Менеджмент организации»
ЧАСТЬ 1.










Мурманск 2010г.
УДК 510(022)
ББК 22.11
М-34


Составитель – Кулдыркаева Инна Анатольевна, старший преподаватель кафедры естественнонаучных и общепрофессиональных дисциплин Мончегорского филиала ФГОУ ВПО «Мурманский государственный технический университет».
Методические указания и контрольные задания предназначены для студентов первого курса специальности 080507.65 «Менеджмент организации» заочной формы обучения. Содержат краткие теоретические сведения, примеры решений задач и задания для контрольных работ.
Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры ЕН и ОПД МФ МГТУ (протокол № __ от __.__.2010).
Рецензент – Иванова Маргарита Алексеевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕН и ОПД.

Оригинал макет издаётся в авторской редакции
Электронная верстка





Мурманский государственный
технический университет, 2010

Содержание.
13 TOC \o "1-1" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc265247922" 14Введение. 13 PAGEREF _Toc265247922 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc265247923" 14ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА. 13 PAGEREF _Toc265247923 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc265247924" 14ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. 13 PAGEREF _Toc265247924 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc265247925" 14ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 13 PAGEREF _Toc265247925 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc265247926" 14ТЕМА 4. ФУНКЦИИ. 13 PAGEREF _Toc265247926 \h 14271515
13 LINK \l "_Toc265247927" 14ТЕМА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ. 13 PAGEREF _Toc265247927 \h 14291515
13 LINK \l "_Toc265247928" 14ТЕМА 6. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 13 PAGEREF _Toc265247928 \h 14311515
13 LINK \l "_Toc265247929" 14ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 13 PAGEREF _Toc265247929 \h 14351515
13 LINK \l "_Toc265247930" 14КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. 13 PAGEREF _Toc265247930 \h 14481515
13 LINK \l "_Toc265247931" 14Правила выполнения и оформления контрольных работ. 13 PAGEREF _Toc265247931 \h 14571515
13 LINK \l "_Toc265247932" 14Вопросы к экзамену. 13 PAGEREF _Toc265247932 \h 14581515
13 LINK \l "_Toc265247933" 14Литература. 13 PAGEREF _Toc265247933 \h 14631515
15















Введение.
Методические указания составлены в соответствии с государственным образовательным стандартом специальности 080507.65 «Менеджмент организации» по дисциплине «Математика». Программа курса рассчитана на два семестра. Предлагаемые методические указания предназначены для студентов 1 курса заочной формы обучения для организации самостоятельной работы в первом семестре.
Учебными планами для студентов-заочников предусмотрены лекции, практические занятия, самостоятельная работа и выполнение контрольных работ. Данные методические указания содержат краткие теоретические сведения в объеме, позволяющем получить представление о содержании тем курса. По каждой теме приведены примеры решения задач, ознакомившись с которыми, студент сможет выполнить контрольные задания. При изучении теоретического материала рекомендуется составлять краткие конспекты тем и ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в конце каждой темы.

Тематический план осеннего семестра.
Множества. Числа.
Линейная алгебра.
Аналитическая геометрия.
Функции.
Комплексные числа. Многочлены.
Предел и непрерывность функции.
Дифференциальное исчисление.


ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА.
Понятие множества. Подмножество, объединение, пересечение, дополнение. Числовые множества: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Модуль числа. Интервал, окрестность, отрезок. Числовая ось.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающих общим для них характеристическим свойством. Эти объекты называются элементами множества. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут а(А, если не принадлежит, а(А. множество может состоять как из конечного, так и бесконечного числа элементов.
Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит одновременно множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В, обозначается С=А(В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением А и В ( обозначается А ( В).
Если множество А является подмножеством В, то дополнением подмножества А до множества В называется множество D, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не принадлежащих А ( обозначается
D= В\А).
Пример. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Вопросы для самопроверки.
Приведите примеры множеств, состоящих из конечного и из бесконечного числа элементов.
Сколько подмножеств можно образовать из множества Х={ х1, х2, х3}?
Изобразите на бумаге два множества в виде двух частично перекрывающихся геометрических фигур (каждое множество состоит из точек, расположенных внутри соответствующей фигуры). Заштрихуйте объединение и пересечение множеств.
Приведите пример числового множества, состоящего из конечного числа элементов.
Приведите примеры интервала и отрезка. Чем отличается отрезок от интервала?
При каких х справедливо равенство |xі|= - xі?

ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.
Векторы в n-мерной системе координат. Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Линейной комбинацией векторов а1, а2,,аn называется выражение вида: k1a1 + k2a2 ++ knan, где ki – числа.
Векторы а1, а2,,аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k1, k2,, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k1a1 + k2a2 ++ knan = 0. Если же равенство возможно только при всех ki = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.
Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации: d = xi + yj +zk.
Числа x, y, z называются декартовыми координатами вектора d.
Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Матрицей А=||aij || размера n(m называется прямоугольная таблица чисел.
13EMBED Unknown1415
Обозначения: А – матрица, 13EMBED Unknown1415 - элемент матрицы, 13EMBED Unknown1415 номер строки, в которой стоит данный элемент, 13EMBED Unknown1415 номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Числа m и n называются размерностями матрицы. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.13EMBED Unknown1415

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом: 13EMBED Unknown1415.
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
Примеры.
1. 13EMBED Unknown1415 2. 13EMBED Unknown1415
Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:
13EMBED Unknown1415

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

13EMBED Unknown1415 образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: 13EMBED Unknown1415

Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.
Линейные операции над матрицами.
Суммой матриц А и В одинаковой размерности m13EMBED Unknown1415n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: 13EMBED Unknown1415
Свойства сложения:
А + В = В + А.
(А + В) + С = А + (В + С).
Если Е – нулевая матрица, то А + Е = Е + А = А
Пример.
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415
Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Свойства умножения матрицы на число:
(km)A=k(mA).
k(A + B) = kA + kB.
(k + m)A = kA + mA.
Пример.
13EMBED Unknown1415. Тогда 13EMBED Unknown1415
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.
Произведением матрицы А размерности m13EMBED Unknown1415p и матрицы В размерности 13EMBED Unknown1415 называется матрица С размерности 13EMBED Unknown1415, каждый элемент которой 13EMBED Unknown1415 определяется формулой: 13EMBED Unknown1415 Таким образом, элемент 13EMBED Unknown1415 представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример.
13EMBED Unknown1415. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет 13EMBED Unknown1415 Найдем элементы матрицы С: 13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
Итак, 13EMBED Unknown1415
Квадратная матрица А называется вырожденной, если 13EMBED Unknown1415, и невырожденной, если 13EMBED Unknown1415.
Квадратная матрица 13EMBED Unknown1415называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если А13EMBED Unknown1415 =13EMBED Unknown1415А = Е.
Элементами обратной матрицы являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.
Вычисление обратной матрицы
13EMBED Unknown1415 = 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415
где 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415 - определитель матрицы
13EMBED Unknown1415 - алгебраические дополнения элементов 13EMBED Unknown1415
Пример. Вычислить матрицу 13EMBED Unknown1415, обратную матрице
= 13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415= 13EMBED Unknown1415 = 13EMBED Unknown141513EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Проверка 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown141513EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 = 13EMBED Unknown1415
Линейным уравнением называется уравнение вида
13EMBED Unknown1415 где 13EMBED Unknown1415 и b – числа, 13EMBED Unknown1415- неизвестные.
Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.
Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида
13EMBED Unknown1415
где 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415- числа, 13EMBED Unknown1415- неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.
Решением линейной системы называется набор чисел 13EMBED Unknown1415 которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Метод Гаусса решения линейных систем.
Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.
Дана система линейных уравнений: 13EMBED Unknown1415
Пусть 13EMBED Unknown1415 (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на 13EMBED Unknown1415 и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на 13EMBED Unknown1415 где i – номер очередного уравнения. Коэффициенты при 13EMBED Unknown1415 во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:
13EMBED Unknown1415.
Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можно таким же образом исключить 13EMBED Unknown1415 из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:
13EMBED Unknown1415.
Здесь символами 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415 обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.
Из последнего уравнения системы единственным образом определяется 13EMBED Unknown1415, а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.
Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.
Правило Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений. Назовем главным определителем этой системы определитель 13EMBED Unknown1415, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 .

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
Если 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: 13EMBED Unknown1415.
Если 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415=0, система имеет бесконечно много решений.
Если 13EMBED Unknown1415=0, а хотя бы один из 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 система не имеет решений.
Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Пример. Предприятие выпускает продукцию двух видов (П1, П2), используя при выпуске сырье двух типов (С1, С2). Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день указаны в таблице.
Вид сырья
Нормы расхода сырья
Расход сырья на один день


П1
П2


С1
3
1
7

С2
5
2
12


Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Полученную систему решить с помощью формул Крамера.
Решение. Составим систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем определитель системы 13 EMBED Equation.3 1415, по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Теперь по формулам Крамера получаем:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. решение системы 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, ежедневный объем выпуска продукции первого вида равен 2, а второго -1.

Вопросы для самопроверки.
Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?
Чему равно скалярное произведение двух векторов?
Как определяется местоположение элемента в матрице?
Что такое единичная матрица?
Что такое транспонированная матрица?
Каким требованиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?
Что такое обратная матрица?
Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?
Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?

ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Понятие скаляра и вектора. Модуль вектора. Операции со скалярами и векторами. Скалярное произведение. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Уравнения прямой на плоскости. Пересечение прямых. Прямая, проходящая через две данные точки. Прямая, параллельная и перпендикулярная данной прямой. Уравнение плоскости. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Скаляром называется величина, полностью характеризующаяся своим численным значением. Вектором называется направленный отрезок прямой. Отрезок имеет начало и конец, направление вектора указывается стрелкой. Величина, равная длине вектора, называется модулем (абсолютной величиной вектора) вектора а и обозначается (а(. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
ab = |a||b| cos
· . Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .
Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами
a = {х1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}, то ab = x1x2 + y1y2 + z1z2 .
Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Уравнение Ф(х,у) = 0 называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.
Прямая на плоскости.
13EMBED Unknown1415 - каноническое уравнение прямой.
13EMBED Unknown1415 - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения
можно преобразовать это уравнение к виду: x = x0 + lt, y = y0 + mt - параметрические уравнения прямой.
Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение прямой в виде: у = kx + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b.
Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,
то 13EMBED Unknown1415.
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, по аналогии с пунктом 1 получим: 13EMBED Unknown1415,
13EMBED Unknown1415 - условие параллельности,
13EMBED Unknown1415 - условие перпендикулярности.
Здесь 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415- направляющие векторы прямых.
3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
у = k1x +b1 и y = k2x + b2, где 13EMBED Unknown1415, а
·1 и
·2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла
· между прямыми справедливо равенство:
· =
·2 -
·1. Тогда 13EMBED Unknown1415
Условие параллельности имеет вид: k1=k2,
условие перпендикулярности – k2=-1/k1,

Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат).
Расстояние от точки до прямой определяется так:13EMBED Unknown1415
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число 13EMBED Unknown1415, причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением
3х + 4у + 15 = 0. АІ + BІ=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен -1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: 13EMBED Unknown1415 Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно
13EMBED Unknown1415 Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.
Расстояние между двумя точками М(х,у,z) и N( х1,у1,z1) выражается формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Плоскость в пространстве.
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
После приведения подобных можно записать уравнение в виде:
Ax + By + Cz + D = 0,
где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости
13EMBED Unknown1415 - уравнение плоскости в отрезках.. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
Угол между плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей.
Косинус угла между плоскостями
·1 и
·2 равен
13EMBED Unknown1415
Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:13EMBED Unknown1415 а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения: A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
Прямая в пространстве.
При решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.
Составим уравнения прямой, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) параллельно вектору a={l,m,n}. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.
Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = {x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:13EMBED Unknown1415 называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:
М1(х1, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М2 = {x2 – x1, y2 - y1, z2 - z1}, и уравнения (8.11) принимают вид:13EMBED Unknown1415 -уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:13EMBED Unknown1415.
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида
13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415 косинус угла между ними можно найти по формуле:13EMBED Unknown1415.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:
13EMBED Unknown1415 - условие параллельности прямых,
13EMBED Unknown1415 - условие перпендикулярности прямых.
Угол
· между прямой, заданной каноническими уравнениями
13EMBED Unknown1415 и плоскостью, определяемой общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу
· между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда 13EMBED Unknown1415
Пример. Даны вершины треугольника А(-7;2), В(5;-3), С(8;1). Составить уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины В.
Решение. 1. Найдем уравнение медианы BD. Координаты середины отрезка АС:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение медианы : 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдем уравнение высоты BK. Уравнение прямой АС: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Преобразуем его в уравнение с угловым коэффициентом: 13 EMBED Equation.3 1415. Угловой коэффициент этой прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к АС (то есть высоты, опущенной из точки В), можно найти из условия перпендикулярности двух прямых на плоскости: 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение искомой прямой ищем в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Итак, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.
Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность. Каноническое уравнение эллипса: 13EMBED Unknown1415 Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а , bІ = aІ-cІ
Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.
Свойства эллипса:
Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.
Весь эллипс содержится внутри прямоугольника 13EMBED Unknown1415
Эксцентриситет эллипса e < 1. Действительно, 13EMBED Unknown1415
4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике 13EMBED Unknown1415)
5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.
Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
13EMBED Unknown1415 - каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
Свойства гиперболы:
Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415.
3) Эксцентриситет гиперболы e > 1.
4) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.
Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
yІ=2px - каноническое уравнение параболы. Величина р называется параметром параболы.
Свойства параболы:
Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:
Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
Линия, определяемая общим уравнением второго порядка
13EMBED Unknown1415, называется алгебраической линией второго порядка.
Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:
поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).
Пример. Построить кривую, заданную уравнением 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Данное уравнение задает эллипс, мнимый эллипс или точку. Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты относительно 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - уравнение эллипса со смещенным центром.
Выполним параллельный перенос осей координат по формулам 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Начало системы координат 13 EMBED Equation.3 1415 точка 13 EMBED Equation.3 1415 в системе 13 EMBED Equation.3 1415 будет иметь координаты 13 EMBED Equation.3 1415, а уравнение эллипса в ней примет вид 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат новой системы координат: 13 EMBED Equation.3 1415. Построим кривую в системе координат 13 EMBED Equation.3 1415 и выполним обратный переход к системе координат 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Вопросы для самопроверки.
Что называется направленным отрезком и его длиной?
Какой вектор равен сумме двух взаимно противоположных векторов с равными модулями?
Чему равно скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов? параллельных векторов?
Чему равно скалярное произведение ортов координатных осей?
Выведите формулу для определения расстояния между точками на плоскости.
Выведите из общего уравнения прямой уравнение с угловым коэффициентом. Чему равен коэффициент при х в этом уравнении?
Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности двух прямых для общего уравнения прямой.
Каким свойством обладает прямая у = kх + bпри b= 0?
Как находят точку пересечения двух прямых? Сформулируйте условие, при котором две прямые не имеют ни одной общей точки пересечения.
Как из общего уравнения плоскости найти точки ее пересечения с координатными осями?
Что такое эллипс и гипербола? Напишите их канонические уравнения.
Почему эллипс, гипербола и парабола называются кривыми второго порядка?
В какую кривую переходит эллипс при a = b? Напишите уравнение этой кривой.
Исходя из канонического уравнения, изобразите график параболы. Чем эта парабола отличается от известной параболы из школьного курса?


ТЕМА 4. ФУНКЦИИ.
Переменные и постоянные величины. Понятие функции. Область определения. Способы задания функций. Возрастание и убывание. Неявные, сложные функции. Элементарные функции.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей некоторому числовому множеству, соответствует одно определенной значение другой переменной величины у, то у называется функцией от х. Зависимость переменной у от переменной х называется функциональной зависимостью и обозначается у= у(х) или y=f(x). совокупность значений независимой переменной, для которой задана функциональная зависимость, называется областью определения функции.
Пример. Найти область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Данная функция определена при всех значениях аргумента, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Решая это уравнение, получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, областью определения функции является объединение промежутков вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение функции. Является ли парабола, определяемая каноническим уравнением, графиком функции?
2.Что такое область определения функции? приведите пример функции, областью определения которой является не вся числовая ось.
3.Что такое монотонно возрастающая функция?
4.Что такое график функции? Приведите пример.
5.Какие существуют способы задания функции?
6.Что такое сложная функция? Приведите пример.
7.Приведите пример неявной функции. Почему не всякую неявную функцию можно свести к явной?
8.Какие функции называются элементарными?


ТЕМА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ.
Комплексные числа. Операции с комплексными числами. Представление в прямоугольной системе координат. Многочлены. Корни многочленов с действительными коэффициентами.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Комплексным числом z называют выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415 (алгебраическая форма записи), где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- действительные числа, i- мнимая единица.
Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Комплексное число 13EMBED Unknown1415называется комплексно сопряженным числу13EMBED Unknown1415
Арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, считая 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Даны комплексные числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найти их сумму, произведение и частное.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b).Запись вида z =
· (cos
· + isin
·) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b: 13EMBED Unknown1415 . Следовательно, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2
·.
Частным случаем операции умножения является возведение в степень:13EMBED Unknown1415 - формула Муавра.
Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел:
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415
Комплексное число 13EMBED Unknown1415 называется корнем n-й степени из z, если z = z1n.
Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения 13EMBED Unknown1415:

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера: 13EMBED Unknown1415, Используя эту формулу, можно получить еще один вид комплексного числа: 13EMBED Unknown1415 , который называется показательной формой записи комплексного числа.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое мнимая единица?
Что такое вещественная и мнимая части комплексного числа? Являются ли они вещественными числами?
Что такое комплексно сопряженные числа? Чем отличаются изображения комплексно сопряженных чисел z и z* на комплексной плоскости?
Как изобразить на комплексной плоскости, пользуясь правилами сложения векторов, сумму и разность двух комплексных чисел7
Чему равно произведение комплексно сопряженных чисел?
Сколько решений имеет квадратное уравнение с вещественными коэффициентами? какие характерные случаи возможны?
В каком виде может быть представлен многочлен. если известны его корни?

ТЕМА 6. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.
Понятие предела. Предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы, произведения и частного функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в (-окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x, удовлетворяющих условию
0 < (x – x0( < (, выполняется неравенство (y – A( < (.
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой13EMBED Unknown1415.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: 13EMBED Unknown1415.
Примеры. Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси.
Функция 13EMBED Unknown1415 не является непрерывной в точке x = 2.
Функция 13EMBED Unknown1415 не является непрерывной в точке x = 0.
13EMBED Unknown1415Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.
Свойства предела функции.
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. 13EMBED Unknown1415, если C   постоянная функция.
3. Если существует13EMBED Unknown1415 и C постоянная функция, то13EMBED Unknown1415.
4. Если существуют13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415, то существует 13EMBED Unknown1415, равный 13EMBED Unknown1415, а также существует 13EMBED Unknown1415, равный 13EMBED Unknown1415. Если при этом 13EMBED Unknown1415, то существует13EMBED Unknown1415, равный 13EMBED Unknown1415.
Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы 13EMBED Unknown1415 ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число (, такое что из условия 0 < x – a < ( будет следовать (B –f(x) ( < (.
Согласно приведенному определению 13EMBED Unknown1415.
Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы 13EMBED Unknown1415 ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число ( такое, что из условия 0 < b – x < ( будет следовать (C – f(x)( < (.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если
13EMBED Unknown1415 (13EMBED Unknown1415).
Функция 13EMBED Unknown1415 непрерывна справа в точке x=0.
Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Для того, чтобы выполнялось равенство 13EMBED Unknown1415, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:
13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415
Два, так называемых, "замечательных предела".
1. 13EMBED Unknown1415. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая 13EMBED Unknown1415 является касательной к графику функции 13EMBED Unknown1415 в точке 13EMBED Unknown1415.
2. 13EMBED Unknown1415. Здесь e иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
Примеры. Найти пределы функций: а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
а) Непосредственной подстановкой 13 EMBED Equation.3 1415 в числитель и знаменатель убеждаемся, что имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Обращение числителя и знаменателя в ноль показывает, что многочлены (в числителе и знаменателе) имеют общий корень 13 EMBED Equation.3 1415. Разложив многочлены на множители и сократив на общий множитель 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
б) Имеем неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415, умножим и разделим на сопряженное выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
в) Используя формулу понижения степени 13 EMBED Equation.3 1415 и первый «замечательный» предел, получим:
13 EMBED Equation.3 1415

Вопросы для самопроверки.
1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.
2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.
3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?
4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?
5.Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости.
6.Чему равен предел суммы четырех функций?
7.В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?
8.При каких условиях непрерывна сложная функция?

ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Понятие производной. Геометрический смысл. Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных. Производные высших порядков. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Инвариантность дифференциала. Формула Тейлора и остаточный член. Формула Тейлора для элементарных функций. применение для приближенного вычисления функций и пределов. содержащих неопределенность. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. выпуклость, вогнутость, точки перегиба. асимптоты. Построение графиков.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
13EMBED Word.Picture.81415
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть (x 
·  приращение аргумента в точке x. Обозначим через (y или (f приращение функции, равное f(x+(x) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента (x соответствует бесконечно малое приращение функции (f.
Отношение (f /(x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла (, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.
Отношение (y / (x или, что то же самое (f(x + (x) 
· f(x)) / (x, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента (x. Эта функция не определена в точке (x = 0. Однако её предел в этой точке может существовать. Если существует предел отношения (f(x + (x) – f(x)) / (x в точке (x = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y( или f((x):13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415.
Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.
Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f((x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).
Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Уравнение касательной в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение нормали (прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной) имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Написать уравнение касательной и нормали к кривой 13 EMBED Equation.3 1415в точке М0(0;1).
Решение. Найдем первую производную 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Искомые уравнения касательной: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415; нормали: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Производная
· это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше (x. Производная f( (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между (f и (x.
Таблица производных элементарных функций.

f(x)
13EMBED Unknown1415
f(x)
13EMBED Unknown1415
f(x)
13EMBED Unknown1415

C
0
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
cosx
-sinx

x
1
lnx
1/x
tgx
1/cos2x

xn
nxn-1
ax
axlna
arcsina
13EMBED Unknown1415

13EMBED Unknown1415
1/(213EMBED Unknown1415)
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
arccosa
-13EMBED Unknown1415

1/x
-1 / x2
sinx
cosx
arctgx
1/(1+x2)

Основные свойства производной.
1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.
2. Если существует f( (x) , и С  произвольное число, то функция 13EMBED Unknown1415 имеет производную: (Cf(x))( = Cf( (x).
3. Если существуют f( (x) и g( (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S( (x) = f( (x) + g( (x).
4. Если существуют f( (x) и g( (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P( (x) = f( (x)g(x) + f(x)g( (x).
5. Если существуют f( (x) и g( (x) и при этом g(x) ( 0, то функция 13 EMBED Equation.3 1415имеет производную: 13 EMBED Equation.3 1415.
Производная сложной функции.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F( (x) = f( (z) g( (x).
Примеры. Найти производные функций: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. а) 13 EMBED Equation.3 1415Данная функция представляет собой сумму двух функций, поэтому воспользуемся свойством 3. Получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Данная функция является произведением двух функций, ее производную найдем с помощью свойства 4.
13 EMBED Equation.3 1415
в) Данная функция является частным двух функций. Применим свойство 5.
13 EMBED Equation.3 1415.
Производная функции, заданной неявно.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 задана неявно уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. При вычислении 13 EMBED Equation.3 1415 считать 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 считать 13 EMBED Equation.3 1415.
Производная функции, заданной параметрически.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415задана параметрически уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. а) Найти производную функции, заданной неявно 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Приращение функции y = f(x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде (y = f((x) (x +( ((x),
где ( ((x)  бесконечно малая функция более высокого порядка, чем (x, в точке (x = 0.
Главная, линейная относительно (x, часть приращения функции y = f(x), равная f( (x) (x, называется дифференциалом и обозначается dy:dy = f( (x) (x. 13EMBED Unknown1415, то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.
Свойства дифференциала.
1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C
· постоянная );
2. d(Cf(x)) = Cdf(x);
3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) (0, то 13EMBED Unknown1415.
Так как дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то 13 EMBED Equation.3 1415. С точностью до бесконечно малых высшего порядка по сравнению с 13 EMBED Equation.3 1415можно записать приближенное равенство 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Это равенство используется при приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенно 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Введем функцию 13 EMBED Equation.3 1415, пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Воспользуемся формулой для приближенных вычислений. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a;b]. В таком случае ее производная представляет собой тоже некоторую функцию х. Продифференцировав эту функцию, мы получим так называемую вторую производную (или производную второго порядка) функции f(x). Продолжая эту операцию, можно получить производные третьего, четвертого и более высоких порядков. При этом f`(x) будем называть производной первого порядка.

Производной n-го порядка (или n-й производной) от функции f(x) называется производная (первого порядка) от ее (n-1)-й производной.
Обозначение: у(n)=(y(n-1))
·=f(n)(x). Производные 2-го и 3-го порядка обозначаются соответственно y
· и y
·
·.
Свойства производных высших порядков.
Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:
(cf(x))(n)=c
·f(n)(x).
(f(x)+g(x))(n)=f(n)(x)+g(n)(x).
Для y=xm y(n)=n(n-1)(n-m+1)xm-n. Если m – натуральное число, то при n>m y(n)=0.
Можно вывести так называемую формулу Лейбница, позволяющую найти производную n-го порядка от произведения функций f(x)g(x): 13EMBED Unknown1415 .
Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.
Обозначение: dІy=d(dy).
Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: dny = d(dn-1y) = (f(n-1)(x)dn-1x)
· = =f(n)(x)dnx.
Точки экстремума функции.
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции y = =f(x), если f(x)
· f(x0) (f(x)
· f(x0)) для всех х из некоторой
·-окрестности точки х0 .
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

Теорема (теорема Ферма). Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х0 производную, то f(x0)=0.
Произведение последовательных натуральных чисел 1
·2
·3
·
·(n-1)n называется факториалом числа n и обозначается n! = 1
·2
·3
·
·(n-1)n .
Дополнительно вводится 0!=1.
13EMBED Unknown1415
Полученное представление функции называется формулой Тейлора, а Rn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.
Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.
Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.
Найдем приближенное значение числа е, вычислив значение многочлена Тейлора (21.14) при n=8:
13EMBED Unknown1415 При этом 13EMBED Unknown1415
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [a;b], если
13EMBED Unknown1415 таких, что x1 < x2, f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2) ).
Если функция f(x), дифференцируемая на [a;b], возрастает на этом отрезке, то 13EMBED Unknown1415 на [a;b].
Если f(x) непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b), причем 13EMBED Unknown1415 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a;b].
Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х0. Если х0 является точкой экстремума функции, то 13EMBED Unknown1415 или не существует.
Если функция определена в некоторой окрестности точки х0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х0 называется критической точкой функции.
Достаточные условия экстремума.
Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f (x) сохраняет постоянный знак. Тогда:
если f (x) > 0 при x < x0 и f (x) < 0 при x > x0 , точка х0 является точкой максимума;
если f (x) < 0 при x < x0 и f (x) > 0 при x > x0 , точка х0 является точкой минимума;
если f (x) не меняет знак в точке х0 , эта точка не является точкой экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке находят по схеме:
найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;
вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.
Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.
Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен.
Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.
Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при 13EMBED Unknown1415 или при 13EMBED Unknown1415 конечен, т.е. 13EMBED Unknown1415.
Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при 13EMBED Unknown1415 разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b , так как при 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415.
Общая схема исследования функции.
Найти область определения функции.
Исследовать на существование вертикальных асимптот.
Определить четность или нечетность функции, ее периодичность.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Определить промежутки монотонности и точки экстремума.
Определить промежутки выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба.
Найти наклонные асимптоты. Если наклонных асимптот нет, то установить характер поведения функции на бесконечности.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости получить дополнительно несколько значений функции, уточняющих вид графика.
Пример. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Запишем результаты исследования функции по общей схеме
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 - вертикальная асимптота, т. к. односторонние пределы 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Функция общего вида, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415. Функция не является периодической.
4. 13 EMBED Equation.3 1415- точка пересечения с осями.
5. На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415функция 13 EMBED Equation.3 1415, на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415функция 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415, значит, в точке 13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет максимум, 13 EMBED Equation.3 1415, а в точке 13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет минимум, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем вторую производную 13 EMBED Equation.3 1415.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, а на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, на первом промежутке кривая выпукла, а на втором кривая вогнута, но точка 13 EMBED Equation.3 1415 не является точкой перегиба, так как в этой точке функция терпит разрыв.
7.Наклонная асимптота: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является наклонной асимптотой графика функции.
13 EMBED Equation.3 1415.
Построим график, используя полученные данные.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 EMBED Equation.3 1415
Вопросы для самопроверки.

1.Каков геометрический смысл производной?
2.Каков геометрический смысл дифференциала?
3.Как использовать дифференциал для приближенного вычисления функции?
4.Как найти производную и дифференциал произведения трех функций?
5.Пользуясь определением производной, найдите производную функции у=3х.
6.Как вычисляется производная сложной функции? Приведите пример.
7.Что такое вторая производная?
8.Как использовать формулу Тейлора для вычисления приближенных значений функции?
9.Каковы условия возрастания и убывания функции?
10.Сформулируйте необходимое и достаточное условие максимума дифференцируемой функции. В чем различие между необходимым и достаточным условием?
11.Что такое точка перегиба?
12.Какие бывают асимптоты? Приведите примеры.


















КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
Контрольная работа 1.
Задача1
Даны множества А={a1,a2} и В={b1,b2}, содержащие натуральные числа. Найти множества: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
вариант
Множество А
Множество В

1
2,3,6
4,6,8,10

2
1,2,3,4,5
3,4,5,6,7

3
2,4,6
4,8,16

4
1,2,4,8
1,2,3,4

5
3,9,18,27
3,9,27,36

6
9,10,11,12
10,12,14,16

7
3,5,7,9
1,2,3,4,5,6.7

8
2,4,6,8,10
1,2.3.4,5,6,7.8

9
3,7,11,15
1,4,7,10,13

10
2,5,8,11
5,6,7,8,9,10,11


Задача 2.
Даны координаты вершин треугольника АВС.
1)Найти длину медианы АК в треугольнике с вершинами А,В,С и написать уравнение высоты, опущенной из точки С на прямую АВ. 2)Найти угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
Выполнить чертеж в системе координат.
вариант
Координаты точки А
Координаты точки В
Координаты точки С

1
(3;4)
(2;-1)
(1;-7)

2
(-4;-5)
(3;3)
(5;-2)

3
(-3;5)
(4;-3)
(-2;-4)

4
(3;-2)
(-5;-4)
(-1;6)

5
(2;5)
(-3;4)
(-4;-2)

6
(-3;2)
(-2;-5)
(6;-1)

7
(-6;-4)
(3;-7)
(1;2)

8
(2;1)
(-7;3)
(-4;-3)

9
(-3;-4)
(-6;7)
(-1;1)

10
(4;-5)
(2;2)
(7;4)


Задача 3.
Построить кривые по заданным уравнениям.
вариант
Уравнение

1
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415

2
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

3
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

4
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

5
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

6
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

7
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

8
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

9
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

10
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415


Задача 4.
Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Представить эти комплексные числа в тригонометрической форме.
вариант
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415



Задача 5.
Предприятие выпускает продукцию трех видов (П1, П2, П3), используя при выпуске сырье трех типов (С1, С2, С3). Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день указаны в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Полученную систему решить методом Гаусса и с помощью формул Крамера.


Вариант 1


Вид сырья
Нормы расхода сырья
Расход сырья на один день


П1
П2
П3


С1
7
3
4
280

С2
6
2
3
230

С3
5
9
1
250


Вариант 2


С1
5
5
3
270

С2
3
2
4
230

С3
6
1
5
280


Вариант 3


С1
4
3
1
120

С2
5
7
6
230

С3
2
4
9
170


Вариант 4


С1
2
2
3
290

С2
3
2
2
270

С3
4
2
5
450


Вариант 5


С1
1
2
2
170

С2
3
2
3
240

С3
4
3
5
380


Вариант 6


С1
3
5
4
350

С2
2
4
1
140

С3
6
3
2
270


Вариант 7


С1
7
2
5
650

С2
6
4
2
740

С3
3
3
1
470


Вариант 8


С1
1
3
1
90

С2
4
2
2
120

С3
5
5
5
250


Вариант 9


С1
3
2
3
130

С2
2
2
2
90

С3
5
9
1
145


Вариант 10


С1
1
2
1
120

С2
3
3
2
230

С3
4
4
5
330


Задача 6.
Определить, имеет ли матрица А обратную, и если имеет, то найти ее.

вариант
Матрица А.
вариант
Матрица А.

1
13 EMBED Equation.2 1415
6
13 EMBED Equation.2 1415

2
13 EMBED Equation.2 1415
7
13 EMBED Equation.2 1415

3
13 EMBED Equation.2 1415
8
13 EMBED Equation.2 1415

4
13 EMBED Equation.2 1415
9
13 EMBED Equation.2 1415

5
13 EMBED Equation.2 1415
10
13 EMBED Equation.2 1415




Контрольная работа 2.
Задача 1.
Найти область определения функции
вариант
функция
вариант
функция

1
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 2.
Вычислить пределы
варианты


1
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

2
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

3
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

4
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

5
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

6
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

7
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

8
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

9
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415

10
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415



Задача 3.
Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415
вариант
Уравнение кривой
Абсцисса точки

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 4.
Найти производную13 EMBED Equation.3 1415 функции, заданной неявно;
Найти производную 13 EMBED Equation.3 1415 от параметрически заданной функции
вариант
функция

1
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415

2
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415

3
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

4
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

5
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

6
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

7
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

8
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

9
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

10
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

Задача 5.
Исследовать функцию и построить ее график.
вариант
функция
вариант
функция

1
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 6.
Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенное значение выражения
вариант


1
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415


Правила выполнения и оформления контрольных работ.
В первом семестре выполняются контрольные работы 1 и 2. Вариант каждой задачи выбирается по последней цифре номера студенческого билета (зачетной книжки).
При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
В заголовке работы (приложение 1)на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (номер зачетной книжки), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту контрольной работы. Задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.
Если рецензент предлагает внести в решения задач исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.
В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.
Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

Вопросы к экзамену.
Понятие множества. Подмножество, объединение, пересечение, дополнение.
Числовые множества: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Модуль числа.
Матрицы: определение, основные виды, операции сложения, умножения на число, транспонирования.
Умножения матрицы на матрицу. Свойства операций над матрицами.
Определители II и III порядков. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения. Правило Саррюса.
Ранг матрицы. Вычисление ранга.
Системы линейных алгебраических уравнений размером n x n. Теорема Крамера.
Обратная матрица: определение, алгоритм нахождения, условие существования. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
Системы линейных алгебраических уравнений размером m x n: общий вид, запись в матричной форме, решение методом Гаусса.
Декартова прямоугольная и полярная системы координат на плоскости. Связь между декартовыми и полярными координатами точки. Длина отрезка и деление отрезка в заданном отношении.
Прямая линия на плоскости: общее уравнение с угловым коэффициентом и смысл его параметров, уравнение вертикальной прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между прямыми.
Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки, вычисление ее углового коэффициента. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Кривые 2-го порядка. Эллипс: геометрическое определение, каноническое уравнение, основные элементы. Вертикальный эллипс. Гипербола: геометрическое определение, каноническое уравнение, основные элементы, асимптоты. Парабола: геометрическое определение, каноническое уравнение, основные элементы.
Векторы: основные геометрические определения. Линейные операции над векторами и их основные свойства.
Скалярное произведение векторов: определение, основные свойства, вычисление в случае координатного задания векторов, основные приложения.
Векторное произведение векторов: определение, основные свойства, вычисление в случае координатного задания векторов, основные приложения.
Смешанное произведение векторов: определение, основные свойства, вычисление в случае координатного задания векторов, основные приложения.
Нормальное уравнение плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Определение функции, основные способы ее задания. Явное, неявное и параметрическое задание функции. Обратная функция. Сложная функция.
Основные характеристики функции: ООФ, ОЗФ, нули функции и промежутки знакопостоянства, четность и нечетность, периодичность.
Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики. Гиперболические функции.
Определение последовательности. Предел последовательности: определение, геометрическая иллюстрация, краткая запись, примеры. Определения сходящейся последовательности и бесконечно большой последовательности.
Определение окрестности точки числовой прямой. Предел функции: определение на языке последовательностей и на языке «(-(», геометрические иллюстрации.
Теоремы о конечных пределах: необходимое и достаточное условие существования конечного предела, теоремы о пределе суммы, произведения, отношения функций. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной функции.
Замечательные пределы.
Непрерывность функции: два определения (через предел функции и через приращение аргумента и функции), геометрические иллюстрации к ним. Точки разрыва: определения, классификация.
Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Связь непрерывности функции с ее дифференцируемостью.
Основные правила дифференцирования: дифференцирование суммы, произведения, дроби, сложной функции, обратной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
Производные основных элементарных функций (вывод таблицы производных).
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Вычисление второй производной параметрически заданной функции.
Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределенностей.
Теорема о дифференцируемых функциях (теоремы Ролля и Лагранжа). Формула конечных приращений функции.
Монотонность функции и экстремумы: определения, иллюстрации, необходимые и достаточные условия.
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба плоской кривой: определения, иллюстрации, необходимые и достаточные условия.
Асимптоты кривой: определение, иллюстрации, нахождение вертикальных и наклонных (горизонтальных) асимптот графика функции.
Дифференциал функции: определение, геометрическая трактовка, основные свойства, приложения к приближенному вычислению значений функции и к оценке погрешностей.
Касательная и нормаль к плоской кривой: определения, составление уравнений.
Комплексные числа. Модуль комплексного числа. Комплексно-сопряженные числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, возведение комплексных чисел в степень.
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.












Литература.
Кремер Н.Ш,.и др. Высшая математика для экономистов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и биржи, 1997. – 439с.
Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп., – Высш. шк., 1972. – 480 с.
Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.
4.Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 464с. – (Серия “Высшее образование”).

Дополнительная литература
Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., испр. – М. : Наука, 1981. – 159с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов. – М. : Наука, 1978. Т.1– 453с., Т.2 – 575с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа М. Наука 1968
Виленкин И.В. Гробер В.М. Высшая математика Ростов–на-Дону “Феникс” 2002
Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов М. ИНФРА – М 2003
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике М. АЙРИС ПРЕСС 2004
Данко П.Е. Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах М. Высшая школа 1999.




Приложение1.

Федеральное агентство по рыболовству
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Мурманский государственный технический университет
Мончегорский филиал


Кафедра ЕН и ОПД
Математика
Контрольная работа №1



Выполнил:
студент Иванов И.И.
курса 1
группы Мен-191з
заочная форма обучения
специальность 080507.65 «Менеджмент организации»
зачетная книжка № Мен09-001з
Проверил:
ученая степень, должность
Фамилия, имя, отчество



Мончегорск, 2010











13PAGE 142915


13PAGE 14215



у=х-1

х=-1

у

х

х

х1

у

у1

О

О1




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc ukazania1.doc
    Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения , специальность "Менеджмент организации" часть 1
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 4

Добавить комментарий