Методические указания по математике для студентов спо заочной формы обучения специальности 38.02.01

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Мурманской области
«МОНЧЕГОРСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
(ГАПОУ МО «МонПК»)










МАТЕМАТИКА.
Методические указания и контрольные задания для специальности 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», заочная форма обучения










Мончегорск, 2016г
Составитель – Кулдыркаева Инна Анатольевна, преподаватель ГАПОУ МО «МонПК».
Методические указания и контрольные задания предназначены для студентов специальности 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» заочной формы обучения. Содержат краткие теоретические сведения, примеры решений задач и задания для контрольных работ.

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии математических и естественнонаучных дисциплин ГАПОУ МО «МонПК» (протокол № __ от __.__.2016).
Председатель _____________________ Шурлина Н.М.





Содержание.
13 TOC \o "1-1" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc466219447" 14Введение. 13 PAGEREF _Toc466219447 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc466219448" 14ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА. 13 PAGEREF _Toc466219448 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc466219449" 14ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. 13 PAGEREF _Toc466219449 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc466219450" 14ТЕМА 3. ФУНКЦИИ. 13 PAGEREF _Toc466219450 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc466219451" 14ТЕМА 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 13 PAGEREF _Toc466219451 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc466219452" 14ТЕМА 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 13 PAGEREF _Toc466219452 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc466219453" 14ТЕМА 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 13 PAGEREF _Toc466219453 \h 14221515
13 LINK \l "_Toc466219454" 14Тема 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 13 PAGEREF _Toc466219454 \h 14301515
13 LINK \l "_Toc466219455" 14Тема 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 13 PAGEREF _Toc466219455 \h 14341515
13 LINK \l "_Toc466219456" 14Тема 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 13 PAGEREF _Toc466219456 \h 14401515
13 LINK \l "_Toc466219457" 14Тема 10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. 13 PAGEREF _Toc466219457 \h 14431515
13 LINK \l "_Toc466219458" 14КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. 13 PAGEREF _Toc466219458 \h 14481515
13 LINK \l "_Toc466219459" 14Правила выполнения и оформления контрольных работ. 13 PAGEREF _Toc466219459 \h 14551515
13 LINK \l "_Toc466219460" 14Литература. 13 PAGEREF _Toc466219460 \h 14571515
15
Введение.
Методические указания составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом специальности среднего профессионального образования 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» по дисциплине «Математика». Предлагаемые методические указания предназначены для студентов 1 курса заочной формы обучения для организации самостоятельной работы.
Учебными планами для студентов-заочников предусмотрены лекции, практические занятия, самостоятельная работа и выполнение контрольных работ. Данные методические указания содержат краткие теоретические сведения в объеме, позволяющем получить представление о содержании тем курса. По каждой теме приведены примеры решения задач, ознакомившись с которыми, студент сможет выполнить контрольные задания. При изучении теоретического материала рекомендуется составлять краткие конспекты тем и ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в конце каждой темы.
ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА.
Понятие множества. Подмножество, объединение, пересечение, дополнение. Числовые множества: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Модуль числа. Интервал, окрестность, отрезок. Числовая ось.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающих общим для них характеристическим свойством. Эти объекты называются элементами множества. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут а(А, если не принадлежит, а(А. множество может состоять как из конечного, так и бесконечного числа элементов.
Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит одновременно множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В, обозначается С=А(В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением А и В (обозначается А ( В).
Если множество А является подмножеством В, то дополнением подмножества А до множества В называется множество D, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не принадлежащих А (обозначается
D= В\А).
Пример. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Вопросы для самопроверки.
Приведите примеры множеств, состоящих из конечного и из бесконечного числа элементов.
Сколько подмножеств можно образовать из множества Х={ х1, х2, х3}?
Изобразите на бумаге два множества в виде двух частично перекрывающихся геометрических фигур (каждое множество состоит из точек, расположенных внутри соответствующей фигуры). Заштрихуйте объединение и пересечение множеств.
Приведите пример числового множества, состоящего из конечного числа элементов.
Приведите примеры интервала и отрезка. Чем отличается отрезок от интервала?
При каких х справедливо равенство |xі|= - xі?
ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.
Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Матрицей А=||aij || размера n(m называется прямоугольная таблица чисел.
13EMBED Unknown1415
Обозначения: А – матрица, 13EMBED Unknown1415 - элемент матрицы, 13EMBED Unknown1415 номер строки, в которой стоит данный элемент, 13EMBED Unknown1415 номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Числа m и n называются размерностями матрицы. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.13EMBED Unknown1415
Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом: 13EMBED Unknown1415.
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
Примеры.
1. 13EMBED Unknown1415
2. 13EMBED Unknown1415
Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:
13EMBED Unknown1415

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

13EMBED Unknown1415 образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: 13EMBED Unknown1415
Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.
Линейные операции над матрицами.
Суммой матриц А и В одинаковой размерности m13EMBED Unknown1415n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: 13EMBED Unknown1415
Свойства сложения:
А + В = В + А.
(А + В) + С = А + (В + С).
Если Е – нулевая матрица, то А + Е = Е + А = А
Пример.
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415
Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Свойства умножения матрицы на число:
(km)A=k(mA).
k(A + B) = kA + kB.
(k + m)A = kA + mA.
Пример.
13EMBED Unknown1415. Тогда 13EMBED Unknown1415
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.
Произведением матрицы А размерности m13EMBED Unknown1415p и матрицы В размерности 13EMBED Unknown1415 называется матрица С размерности 13EMBED Unknown1415, каждый элемент которой 13EMBED Unknown1415 определяется формулой: 13EMBED Unknown1415 Таким образом, элемент 13EMBED Unknown1415 представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример.
13EMBED Unknown1415. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет 13EMBED Unknown1415 Найдем элементы матрицы С: 13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
Итак, 13EMBED Unknown1415
Квадратная матрица А называется вырожденной, если 13EMBED Unknown1415, и невырожденной, если 13EMBED Unknown1415.
Квадратная матрица 13EMBED Unknown1415называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если А13EMBED Unknown1415 =13EMBED Unknown1415А = Е.
Элементами обратной матрицы являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.
Вычисление обратной матрицы
13EMBED Unknown1415 = 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415
где 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415 - определитель матрицы
13EMBED Unknown1415 - алгебраические дополнения элементов 13EMBED Unknown1415
Пример. Вычислить матрицу 13EMBED Unknown1415, обратную матрице
= 13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415= 13EMBED Unknown1415 = 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 = 30;
13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415= 13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415= 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·wn1415= 13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415
Проверка 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown141513EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 = 13EMBED Unknown1415
Линейным уравнением называется уравнение вида
13EMBED Unknown1415 где 13EMBED Unknown1415 и b – числа, 13EMBED Unknown1415- неизвестные.
Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.
Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида
13EMBED Unknown1415
где 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415- числа, 13EMBED Unknown1415- неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.
Решением линейной системы называется набор чисел 13EMBED Unknown1415 которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Метод Гаусса решения линейных систем.
Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.
Дана система линейных уравнений: 13EMBED Unknown1415
Пусть 13EMBED Unknown1415 (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на 13EMBED Unknown1415 и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на 13EMBED Unknown1415 где i – номер очередного уравнения. Коэффициенты при 13EMBED Unknown1415 во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:
13EMBED Unknown1415.
Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можно таким же образом исключить 13EMBED Unknown1415 из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:
13EMBED Unknown1415.
Здесь символами 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415 обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.
Из последнего уравнения системы единственным образом определяется 13EMBED Unknown1415, а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.
Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть уравнение превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.
Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.
Правило Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений. Назовем главным определителем этой системы определитель 13EMBED Unknown1415, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 .

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
Если 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: 13EMBED Unknown1415.
Если 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415=0, система имеет бесконечно много решений.
Если 13EMBED Unknown1415=0, а хотя бы один из 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415 система не имеет решений.
Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Пример. Предприятие выпускает продукцию двух видов (П1, П2), используя при выпуске сырье двух типов (С1, С2). Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день указаны в таблице.
Вид сырья
Нормы расхода сырья
Расход сырья на один день


П1
П2


С1
3
1
7

С2
5
2
12


Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Полученную систему решить с помощью формул Крамера.
Решение. Составим систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем определитель системы 13 EMBED Equation.3 1415, по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Теперь по формулам Крамера получаем:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. решение системы 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, ежедневный объем выпуска продукции первого вида равен 2, а второго -1.

Вопросы для самопроверки.
Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?
Чему равно скалярное произведение двух векторов?
Как определяется местоположение элемента в матрице?
Что такое единичная матрица?
Что такое транспонированная матрица?
Каким требованиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?
Что такое обратная матрица?
Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?
Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?
ТЕМА 3. ФУНКЦИИ.
Переменные и постоянные величины. Понятие функции. Область определения. Способы задания функций. Возрастание и убывание. Неявные, сложные функции. Элементарные функции.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей некоторому числовому множеству, соответствует одно определенной значение другой переменной величины у, то у называется функцией от х. Зависимость переменной у от переменной х называется функциональной зависимостью и обозначается у= у(х) или y=f(x). совокупность значений независимой переменной, для которой задана функциональная зависимость, называется областью определения функции.
Пример. Найти область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Данная функция определена при всех значениях аргумента, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Решая это уравнение, получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, областью определения функции является объединение промежутков вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение функции.
2.Что такое область определения функции? приведите пример функции, областью определения которой является не вся числовая ось.
3.Что такое график функции? Приведите пример.
4.Какие существуют способы задания функции?
5.Что такое сложная функция? Приведите пример.
ТЕМА 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
Комплексные числа. Операции с комплексными числами. Представление в прямоугольной системе координат.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Комплексным числом z называют выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415 (алгебраическая форма записи), где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- действительные числа, i- мнимая единица.
Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Комплексное число 13EMBED Unknown1415называется комплексно сопряженным числу13EMBED Unknown1415
Арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, считая 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Даны комплексные числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найти их сумму, произведение и частное.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b).Запись вида z =
· (cos
· + isin
·) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b: 13EMBED Unknown1415 . Следовательно, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2
·.
Частным случаем операции умножения является возведение в степень:13EMBED Unknown1415 - формула Муавра.
Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел:
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415
Комплексное число 13EMBED Unknown1415 называется корнем n-й степени из z, если z = z1n.
Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения 13EMBED Unknown1415:

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера: 13EMBED Unknown1415, Используя эту формулу, можно получить еще один вид комплексного числа: 13EMBED Unknown1415 , который называется показательной формой записи комплексного числа.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое мнимая единица?
Что такое вещественная и мнимая части комплексного числа? Являются ли они вещественными числами?
Что такое комплексно сопряженные числа? Чем отличаются изображения комплексно сопряженных чисел z и z* на комплексной плоскости?
Как изобразить на комплексной плоскости, пользуясь правилами сложения векторов, сумму и разность двух комплексных чисел7
Чему равно произведение комплексно сопряженных чисел?
ТЕМА 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.
Понятие предела. Предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы, произведения и частного функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в (-окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x, удовлетворяющих условию
0 < (x – x0( < (, выполняется неравенство (y – A( < (.
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой13EMBED Unknown1415.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: 13EMBED Unknown1415.
Примеры. Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси.
Функция 13EMBED Unknown1415 не является непрерывной в точке x = 2.
Функция 13EMBED Unknown1415 не является непрерывной в точке x = 0.
13EMBED Unknown1415Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.
Свойства предела функции.
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. 13EMBED Unknown1415, если C   постоянная функция.
3. Если существует13EMBED Unknown1415 и C постоянная функция, то13EMBED Unknown1415.
4. Если существуют13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415, то существует 13EMBED Unknown1415, равный 13EMBED Unknown1415, а также существует 13EMBED Unknown1415, равный 13EMBED Unknown1415. Если при этом 13EMBED Unknown1415, то существует13EMBED Unknown1415, равный 13EMBED Unknown1415.
Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы 13EMBED Unknown1415 ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число (, такое что из условия 0 < x – a < ( будет следовать (B –f(x) ( < (.
Согласно приведенному определению 13EMBED Unknown1415.
Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы 13EMBED Unknown1415 ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число ( такое, что из условия 0 < b – x < ( будет следовать (C – f(x)( < (.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если
13EMBED Unknown1415 (13EMBED Unknown1415).
Функция 13EMBED Unknown1415 непрерывна справа в точке x=0.
Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Для того, чтобы выполнялось равенство 13EMBED Unknown1415, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:
13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415
Два, так называемых, "замечательных предела".
1. 13EMBED Unknown1415. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая 13EMBED Unknown1415 является касательной к графику функции 13EMBED Unknown1415 в точке 13EMBED Unknown1415.
2. 13EMBED Unknown1415. Здесь e иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
Примеры. Найти пределы функций: а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
а) Непосредственной подстановкой 13 EMBED Equation.3 1415 в числитель и знаменатель убеждаемся, что имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Обращение числителя и знаменателя в ноль показывает, что многочлены (в числителе и знаменателе) имеют общий корень 13 EMBED Equation.3 1415. Разложив многочлены на множители и сократив на общий множитель 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
б) Имеем неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415, умножим и разделим на сопряженное выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
в) Используя формулу понижения степени 13 EMBED Equation.3 1415 и первый «замечательный» предел, получим:
13 EMBED Equation.3 1415

Вопросы для самопроверки.
1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.
2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.
3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?
4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?
5.Чему равен предел суммы четырех функций?
6.В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?

ТЕМА 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Понятие производной. Геометрический смысл. Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных. Производные высших порядков. Возрастание и убывание функций. Экстремумы, выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть (x  приращение аргумента в точке x. Обозначим через (y или (f приращение функции, равное f(x+(x) – f(x).
Отношение (f /(x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла (, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.
13EMBED Word.Picture.81415
Отношение (y / (x или, что то же самое (f(x + (x) 
· f(x)) / (x, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента (x. Эта функция не определена в точке (x = 0. Однако её предел в этой точке может существовать. Если существует предел отношения (f(x + (x) – f(x)) / (x в точке (x = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y( или f((x):13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415.
Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.
Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f((x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).
Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Уравнение касательной в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение нормали (прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной) имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Написать уравнение касательной и нормали к кривой 13 EMBED Equation.3 1415в точке М0(0;1).
Решение. Найдем первую производную 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Искомые уравнения касательной: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415; нормали: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше (x. Производная f( (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между (f и (x.
Таблица производных элементарных функций.
f(x)
13EMBED Unknown1415

f(x)
13EMBED Unknown1415

f(x)
13EMBED Unknown1415










C
0

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

cosx
-sinx

x
1

lnx
1/x

tgx
1/cos2x

xn
nxn-1

ax
axlna

arcsina
13EMBED Unknown1415

13EMBED Unknown1415
1/(213EMBED Unknown1415)

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

arccosa
-13EMBED Unknown1415

1/x
-1 / x2

sinx
cosx

arctgx
1/(1+x2)

Основные свойства производной.
1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.
2. Если существует f( (x) , и С  произвольное число, то функция 13EMBED Unknown1415 имеет производную: (Cf(x))( = Cf( (x).
3. Если существуют f( (x) и g( (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S( (x) = f( (x) + g( (x).
4. Если существуют f( (x) и g( (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P( (x) = f( (x)g(x) + f(x)g( (x).
5. Если существуют f( (x) и g( (x) и при этом g(x) ( 0, то функция 13 EMBED Equation.3 1415имеет производную: 13 EMBED Equation.3 1415.
Производная сложной функции.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F( (x) = f( (z) g( (x).
Примеры. Найти производные функций: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. а) 13 EMBED Equation.3 1415Данная функция представляет собой сумму двух функций, поэтому воспользуемся свойством 3. Получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Данная функция является произведением двух функций, ее производную найдем с помощью свойства 4.
13 EMBED Equation.3 1415
в) Данная функция является частным двух функций. Применим свойство 5.
13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a;b]. В таком случае ее производная представляет собой тоже некоторую функцию х. Продифференцировав эту функцию, мы получим так называемую вторую производную (или производную второго порядка) функции f(x). Продолжая эту операцию, можно получить производные третьего, четвертого и более высоких порядков. При этом f`(x) будем называть производной первого порядка.
Производной n-го порядка (или n-й производной) от функции f(x) называется производная (первого порядка) от ее (n-1)-й производной.
Обозначение: у(n)=(y(n-1))
·=f(n)(x). Производные 2-го и 3-го порядка обозначаются соответственно y
· и y
·
·.
Свойства производных высших порядков.
Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:
(cf(x))(n)=c
·f(n)(x).
(f(x)+g(x))(n)=f(n)(x)+g(n)(x).
Для y=xm y(n)=n(n-1)(n-m+1)xm-n. Если m – натуральное число, то при n>m y(n)=0.
Точки экстремума функции.
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции y = =f(x), если f(x)
· f(x0) (f(x)
· f(x0)) для всех х из некоторой
·-окрестности точки х0.
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [a;b], если
13EMBED Unknown1415 таких, что x1 < x2, f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2) ).
Если функция f(x), дифференцируемая на [a;b], возрастает на этом отрезке, то 13EMBED Unknown1415 на [a;b].
Если f(x) непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b), причем 13EMBED Unknown1415 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a;b].
Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке находят по схеме:
найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;
вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x) , если расстояние от переменной точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.
Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.
Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен.
Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.
Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при 13EMBED Unknown1415 или при 13EMBED Unknown1415 конечен, т.е. 13EMBED Unknown1415.
Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при 13EMBED Unknown1415 разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b , так как при 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415.
Общая схема исследования функции.
Найти область определения функции.
Исследовать на существование вертикальных асимптот.
Определить четность или нечетность функции, ее периодичность.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Определить промежутки монотонности и точки экстремума.
Определить промежутки выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба.
Найти наклонные асимптоты. Если наклонных асимптот нет, то установить характер поведения функции на бесконечности.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости получить дополнительно несколько значений функции, уточняющих вид графика.
Пример. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Запишем результаты исследования функции по общей схеме
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Прямая 13 EMBED E
·quation.3 1415 - вертикальная асимптота, т. к. односторонние пределы 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Функция общего вида, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415. Функция не является периодической.
4. 13 EMBED Equation.3 1415- точка пересечения с осями.
5. На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415функция 13 EMBED Equation.3 1415, на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415функция 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415, значит, в точке 13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет максимум, 13 EMBED Equation.3 1415, а в точке 13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет минимум, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем вторую производную 13 EMBED Equation.3 1415.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, а на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, на первом промежутке кривая выпукла, а на втором кривая вогнута, но точка 13 EMBED Equation.3 1415 не является точкой перегиба, так как в этой точке функция терпит разрыв.
7.Наклонная асимптота: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является наклонной асимптотой графика функции.
13 EMBED Equation.3 1415.
Построим график, используя полученные данные.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 EMBED Equation.3 1415
Вопросы для самопроверки.

Каков геометрический смысл производной?
Пользуясь определением производной, найдите производную функции у=3х.
Как вычисляется производная сложной функции? Приведите пример.
Что такое вторая производная?
Каковы условия возрастания и убывания функции?
Что такое точка перегиба?
Какие бывают асимптоты? Приведите примеры.
Тема 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования: замена переменной под знаком интеграла, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x((a;b) выполняется равенство F((x) = f(x).
Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.
Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ( первообразная для f(x), так как 13EMBED Unknown1415.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается (f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то (f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F((x) = f(x) соответствует формула (f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:
Таблица основных интегралов.
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415).
3. 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415).
4. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415).
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415)-«высокий логарифм”.
11. 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415).
11. 13 EMBED Equation.3 1415
12. 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415) – «длинный логарифм”.
Дополнение к таблице основных интегралов.
13.13 EMBED Equation.3 1415
14.13 EMBED Equation.3 1415

15.13 EMBED Equation.3 1415
16.13 EMBED Equation.3 1415

17.13 EMBED Equation.3 1415
18.13 EMBED Equation.3 1415

19.13 EMBED Equation.3 1415
20.13 EMBED Equation.3 1415

21.13 EMBED Equation.3 1415
22.13 EMBED Equation.3 1415


Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) ((f(x) dx )(=f(x);
4) (d f(x)=f(x)+C ;

2) (f( (x) dx= f(x)+C;
5) (kf(x)dx=k(f(x) dx;

3) d (f(x) dx= f(x)dx;
6) ((f(x)+g(x))dx=( f(x) dx+(g(x) dx;

Если (f(x) dx = F(x) + C, то (f(ax+b) dx =13EMBED Unknown1415
(a ( 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Если функция f(x) непрерывна, а функция ((t) имеет непрерывную производную (((t), то имеет место формула
( f(((t))(((t) dt = ( f(x) dx, где x = ((t).
Примеры. 1) I = ( cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.
13EMBED Unknown1415.
2)13EMBED Unknown1415. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
13EMBED Unknown1415
3) 13EMBED Unknown1415. Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и
13EMBED Unknown1415.
4) 13EMBED Unknown1415. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
13EMBED Unknown1415.
Формула интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv)( = u(v + v(u.
Отсюда следует ( (uv)(dx = ( (u(v + v(u )dx = ( u(v dx + ( v(u dx или
( uv( dx = uv – ( u(v dx .
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: (u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ( v(x)du(x)
Пример. Вычислить интеграл13EMBED Unknown1415
Решение. Используем формулу интегрирования по частям:
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415.
Вопросы для самопроверки.
Что такое первообразная?
Почему при интегрировании появляется произвольная константа?
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
Как вычислить интеграл, если подынтегральная функция является суммой нескольких функций?
Что такое замена переменной? Когда она применяется?
Как выводится формула интегрирования по частям?

Тема 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, (, xn-1, удовлетворяющие условию: a< x1,< x2<(< xn-1,· [xn-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1([a;x1], c2([x1;x2], (
· cn([xn-1;b].
Введем обозначения: (x1 = x1 – a; (x2 = x2 – x1; (
· (xn = b – xn-1.
Составим сумму: 13EMBED Unknown1415.

Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке.
Введем обозначение: ( = max((xi), i = 1, 2, (
· n.. Величину ( иногда называют параметром разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина ( стремится к нулю. Определенным интегралом 13EMBED Unknown1415 от функции 13EMBED Unknown1415 по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует: 13EMBED Unknown1415.
Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ( верхним пределом интегрирования.
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой 13EMBED Unknown1415.
Перечислим свойства определенного интеграла:
1) 13EMBED Unknown1415 (здесь k  произвольное число);
2) 13EMBED Unknown1415;
3) 13EMBED Unknown1415;
4) Если c([a;b], то 13EMBED Unknown1415.
Из этих свойств следует, например, что 13EMBED Unknown1415.
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число 13EMBED Unknown1415, определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента (x: (I(x) = I(x + (x) – I(x) =
13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция 13EMBED Unknown1415 является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде 13EMBED Unknown1415. (1)
Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
13EMBED Unknown1415,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) любая первообразная функции f(x).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом 13EMBED Unknown1415.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры.
1. 13EMBED Unknown1415.
2. 13EMBED Unknown1415.
Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: 13EMBED Unknown1415. В качестве первообразной функции f(x)  выберем функцию ex(x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I = ex(x – 1)13EMBED Unknown1415 = 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле: 13EMBED Unknown1415.
Здесь ( и ( определяются, соответственно, из уравнений ((() = a; ((() = b, а функции f, (, (( должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:13EMBED Unknown1415.
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим: 13EMBED Unknown1415.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Из геометрического смысла определенного интеграла для областей имеет место формула для вычисления площади, в которой 13 EMBED Equation.3 1415- уравнение верхней границы области, а 13 EMBED Equation.3 1415-уравнение нижней границы области: 13 EMBED Equation.3 1415 .
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Найдем точки пересечения параболы и прямой: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Получаем: 13 EMBED Equation.3 1415
Вопросы для самопроверки.
Что такое интегральная сумма? Каков ее геометрический смысл?
В чем геометрический смысл определенного интеграла?
Каковы основные свойства определенного интеграла?
Что такое формула Ньютона-Лейбница? Как ее применяют при вычислении определенного интеграла?
В чем особенность замены переменной в определенном интеграле?
Тема 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Понятие функции многих переменных. Частные производные.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y  функцией от n переменных.
Далее будем говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции
· z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y).
Множество D называется областью определения функции.
Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.
Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора 13EMBED Unknown1415, исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f(13EMBED Unknown1415), причем аргументами функции являются координаты вектора 13EMBED Unknown1415.
График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)(D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке.
13EMBED Unknown1415
Очевидно, что нельзя ввести понятия возрастания или убывания (монотонности) функции двух переменных. Рассмотрим график некоторой функции z=f(x,y), изображенный на рисунке . Из точки M(x,y) в плоскости X,Y проведем два луча l1 и l2 , определяющих некоторые направления. Можно говорить, что в точке M функция f в направлении l1 возрастает, а в направлении l2 убывает. Это означает, что для любой точки M1 , лежащей на луче l1 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M1) ( f(M). Для любой точки M2 , лежащей на луче l2 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M2) ( f(M).
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел 13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415, если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:13EMBED Unknown1415;13EMBED Unknown1415;13EMBED Unknown1415.
Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.
Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0): 13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415.
Примеры.
1. 13EMBED Unknown1415.
2. 13EMBED Unknown1415
Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные, несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:13EMBED Unknown1415.
Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются zxx((, zyy((, zxy(( или 13EMBED Unknown1415. Согласно определению 13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415. Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная zxy(( = (zx( )y( может не быть равной zyx(( = (zy( )x(. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y.
Вопросы для самопроверки.
Как определяется функция двух переменных?
Что такое частная производная?
Тема 10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.
Классическое определение вероятности. Независимость случайных событий. Статистическое определение вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайная величина и ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины: их свойства, правила вычисления.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Случайным событием, возможным событием или просто событием называется любой факт, который может произойти или не произойти в результате испытания, т.е. выполнения определенного комплекса условий. Приведем примеры событий:
1. Появление герба при подбрасывании монеты.
2. Выигрыш автомобиля в денежно-вещевой лотерее.
3. Превышение температуры воздуха сверх 30°С в данной местности в первый день лета.
Событие – это не какое-либо происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания. Обратите внимание на виды событий:
Несовместные и совместные, равновозможные и единственно возможные, невозможные и достоверные. События образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Вероятность события представляет собой численную меру степени объективной возможности наступления этого события.
Согласно классическому определению вероятность события А есть отношение числа m случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев n , т.е. . Например, вероятность события А – выпадение четного числа очков при бросании игральной кости – равна так как из общего числа n =6 случаев (исходов) событию А благоприятствует
m =3 случая – выпадение 2, 4 и 6 очков.
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 
Статистической вероятностью  события А называется относительная частота (частость) появления этого события в п произведенных испытаниях, т.е., где m – число испытаний, в которых появилось событие А.
Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, т.е .

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно). Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное (т.е., если ее значения можно перенумеровать натуральными числами). Если случайная величина сплошь заполняет некоторый интервал числовой оси, она называется непрерывной. 
Важнейшими числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины определяется как сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.

Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.  и служит характеристикой отклонения, рассеяния, разброса значений случайной величины относительно ее среднего значения. Для вычисления дисперсии используется формула:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому рассматривается также среднее квадратическое (или стандартное) отклонение случайной величины , равное арифметическому значению корня квадратного из ее дисперсии, т.е. .
Примеры:
Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок; б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение.
а) Рассмотрим следующие события:
А1 - первый стрелок попал в цель;
А2 - второй стрелок попал в цель;
А3 - третий стрелок попал в цель;
13 EMBED Equation.3 1415 - первый стрелок не попал в цель;
13 EMBED Equation.3 1415 - второй стрелок не попал в цель;
13 EMBED Equation.3 1415 - третий стрелок не попал в цель.
По условию Р(А1) = 0,7; Р(А2) = 0,8; Р(А3) = 0,9; Р(13 EMBED Equation.3 1415)=1 - 0,7 = 0,3; Р(13 EMBED Equation.3 1415) = 0,2; Р(13 EMBED Equation.3 1415) = 0,1.
Пусть событие В - попал только один стрелок. Тогда
В = А113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415А213 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415А3
Отсюда в силу несовместимости событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей.
Р(В)=Р(А1)Р(13 EMBED Equation.3 1415)Р(13 EMBED Equation.3 1415)+Р(13 EMBED Equation.3 1415)Р(А2)Р(13 EMBED Equation.3 1415)+Р(13 EMBED Equation.3 1415)Р(13 EMBED Equation.3 1415)Р(А3)= =13 EMBED Equation.3 1415
б) Пусть событие С - попадут только два стрелка. Тогда
С = А1А213 EMBED Equation.3 1415+А113 EMBED Equation.3 1415А3+13 EMBED Equation.3 1415А2А3
Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415
в) Пусть событие D - попал хотя бы один стрелок. Тогда противоположное событие 13 EMBED Equation.3 1415 - не попал ни один из них, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому Р(13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда
Р(D)=1 - Р(13 EMBED Equation.3 1415) = 1 - 0,006 = 0,994.

Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные - бывшие в употреблении. Наугад взято три микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?
Решение.
Рассмотрим события:
А - первый из взятых микрокалькуляторов новый;
В - второй микрокалькулятор новый;
С - третий микрокалькулятор новый.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность того, что второй микрокалькулятор будет новый, при условии, что первым уже был отобран новый микрокалькулятор, т.е. условная вероятность события В, равна
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность того, что третьим будет отобранный микрокалькулятор, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события С, равна
13 EMBED Equation.3 1415
Искомая вероятность того, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна
13 EMBED Equation.3 1415

Заданы законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.
X
-5
2
3
4

Y
1
4

P
0,4
0,3
0,1
0,2

P
0,2
0,8


Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины
Z = 3X - 2Y
Решение. Найдем математические ожидания и дисперсии для случайных величин Х и У.
13 EMBED Equation.3 1415
Напишем законы распределения для случайных величин Х2 и У2:

X2
25
4
9
16

Y2
1
16

P
0,4
0,3
0,1
0,2

P
0,2
0,8


Найдем математические ожидания для случайных величин Х2 и У2:
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415
Наконец, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и У, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
Задача1
Даны множества А={a1,a2} и В={b1,b2}, содержащие натуральные числа. Найти объединение и пересечение этих множеств: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
вариант
Множество А
Множество В

1
2,3,6
4,6,8,10

2
1,2,3,4,5
3,4,5,6,7

3
2,4,6
4,8,16

4
1,2,4,8
1,2,3,4

5
3,9,18,27
3,9,27,36

6
9,10,11,12
10,12,14,16

7
3,5,7,9
1,2,3,4,5,6.7

8
2,4,6,8,10
1,2.3.4,5,6,7.8

9
3,7,11,15
1,4,7,10,13

10
2,5,8,11
5,6,7,8,9,10,11


Задача 2.
Найти сумму, разность, произведение и частное в алгебраической форме для комплексных чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
вариант
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 3.
Предприятие выпускает продукцию трех видов (П1, П2, П3), используя при выпуске сырье трех типов (С1, С2, С3). Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день указаны в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Полученную систему решить методом Гаусса и с помощью формул Крамера.


Вариант 1


Вид сырья
Нормы расхода сырья
Расход сырья на один день


П1
П2
П3


С1
7
3
4
280

С2
6
2
3
230

С3
5
9
1
250


Вариант 2


С1
5
5
3
270

С2
3
2
4
230

С3
6
1
5
280


Вариант 3


С1
4
3
1
120

С2
5
7
6
230

С3
2
4
9
170


Вариант 4


С1
2
2
3
290

С2
3
2
2
270

С3
4
2
5
450


Вариант 5


С1
1
2
2
170

С2
3
2
3
240

С3
4
3
5
380


Вариант 6


С1
3
5
4
350

С2
2
4
1
140

С3
6
3
2
270


Вариант 7


С1
7
2
5
650

С2
6
4
2
740

С3
3
3
1
470


Вариант 8


С1
1
3
1
90

С2
4
2
2
120

С3
5
5
5
250


Вариант 9


С1
3
2
3
130

С2
2
2
2
90

С3
5
9
1
145


Вариант 10


С1
1
2
1
120

С2
3
3
2
230

С3
4
4
5
330


Задача 4.
Найти область определения функции
вариант
функция
вариант
функция

1
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 5.
Найти производную функции
вариант
функции

1
а) y = 2sin x – x5; б) f(x) = x2ех

2
а) y = sin x + ex; б) 13 EMBED Equation.3 1415

3
а) у = х2 + х3– 4 б) у= 2sinx – 3

4
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) у= 4x + ex – 7

5
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) у = 2lnx + 5

6
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) y = 6х + 3sin (2x);

7
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) у = 3х+7sin x

8
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) y = 2x5 – 3cos x;

9
а) у = 3x4 – sin x + 5; б) 13 EMBED Equation.3 1415

10
а) у = ln x – 2cosx; б) y = х2 -3х


Задача 6.
Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415
вариант
Уравнение кривой
Абсцисса точки

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 7.
Найти неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.
вариант


1
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 8
Вариант 1.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность, что будет два попадания.
Вариант 2.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность, что будет хотя бы одно попадание.
Вариант 3.
В ящике находится 35 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?
Вариант 4.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Вариант 5.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Вариант 6.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность, что будет хотя бы одно попадание.
Вариант 7.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность, что будет ровно одно попадание.
Вариант 8.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
X
-5
2
3
4

P
0,4
0,3
0,1
0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 9.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
X
-3
1
3
5

P
0,1
0,2
0,1
0,6

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 10.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
X
-4
2
4
6

P
0,2
0,3
0,3
0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.

Правила выполнения и оформления контрольных работ.
Вариант каждой задачи выбирается по последней цифре номера зачетной книжки.
При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
В заголовке работы (приложение 1)на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (номер зачетной книжки), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту контрольной работы. Задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.
Если рецензент предлагает внести в решения задач исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.
В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.
Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
Литература.
Кремер Н.Ш,.и др. Высшая математика для экономистов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и биржи, 1997. – 439с.
Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп., – Высш. шк., 1972. – 480 с.
Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.
4.Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 464с. – (Серия “Высшее образование”).








13PAGE 142915


13PAGE 14315



у=х-1

х=-1

у

х

-4

6

x

y



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeY 

Приложенные файлы

  • doc ukazania3.doc
    Методические указания по математике для студентов спо заочной формы обучения специальности 38.02.01
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 16

Добавить комментарий