Методические указания по математике для студентов спо заочной формы обучения специальности 38.02.01

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Мурманской области
«МОНЧЕГОРСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
(ГАПОУ МО «МонПК»)










МАТЕМАТИКА.
Методические указания и контрольные задания для специальности 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», заочная форма обучения










Мончегорск, 2016г
Составитель – Кулдыркаева Инна Анатольевна, преподаватель ГАПОУ МО «МонПК».
Методические указания и контрольные задания предназначены для студентов специальности 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» заочной формы обучения. Содержат краткие теоретические сведения, примеры решений задач и задания для контрольных работ.

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии математических и естественнонаучных дисциплин ГАПОУ МО «МонПК» (протокол № __ от __.__.2016).
Председатель _____________________ Шурлина Н.М.





Содержание.
HYPER13 TOC \o "1-1" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219447" HYPER14Введение. HYPER13 PAGEREF _Toc466219447 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219448" HYPER14ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА. HYPER13 PAGEREF _Toc466219448 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219449" HYPER14ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. HYPER13 PAGEREF _Toc466219449 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219450" HYPER14ТЕМА 3. ФУНКЦИИ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219450 \h HYPER1415HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219451" HYPER14ТЕМА 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. HYPER13 PAGEREF _Toc466219451 \h HYPER1416HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219452" HYPER14ТЕМА 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219452 \h HYPER1418HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219453" HYPER14ТЕМА 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219453 \h HYPER1422HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219454" HYPER14Тема 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219454 \h HYPER1430HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219455" HYPER14Тема 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219455 \h HYPER1434HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219456" HYPER14Тема 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219456 \h HYPER1440HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219457" HYPER14Тема 10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219457 \h HYPER1443HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219458" HYPER14КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219458 \h HYPER1448HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219459" HYPER14Правила выполнения и оформления контрольных работ. HYPER13 PAGEREF _Toc466219459 \h HYPER1455HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466219460" HYPER14Литература. HYPER13 PAGEREF _Toc466219460 \h HYPER1457HYPER15HYPER15
HYPER15
Введение.
Методические указания составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом специальности среднего профессионального образования 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» по дисциплине «Математика». Предлагаемые методические указания предназначены для студентов 1 курса заочной формы обучения для организации самостоятельной работы.
Учебными планами для студентов-заочников предусмотрены лекции, практические занятия, самостоятельная работа и выполнение контрольных работ. Данные методические указания содержат краткие теоретические сведения в объеме, позволяющем получить представление о содержании тем курса. По каждой теме приведены примеры решения задач, ознакомившись с которыми, студент сможет выполнить контрольные задания. При изучении теоретического материала рекомендуется составлять краткие конспекты тем и ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в конце каждой темы.
ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА.
Понятие множества. Подмножество, объединение, пересечение, дополнение. Числовые множества: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Модуль числа. Интервал, окрестность, отрезок. Числовая ось.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающих общим для них характеристическим свойством. Эти объекты называются элементами множества. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут а(А, если не принадлежит, а(А. множество может состоять как из конечного, так и бесконечного числа элементов.
Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит одновременно множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В, обозначается С=А(В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением А и В (обозначается А ( В).
Если множество А является подмножеством В, то дополнением подмножества А до множества В называется множество D, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не принадлежащих А (обозначается
D= В\А).
Пример. Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вопросы для самопроверки.
Приведите примеры множеств, состоящих из конечного и из бесконечного числа элементов.
Сколько подмножеств можно образовать из множества Х={ х1, х2, х3}?
Изобразите на бумаге два множества в виде двух частично перекрывающихся геометрических фигур (каждое множество состоит из точек, расположенных внутри соответствующей фигуры). Заштрихуйте объединение и пересечение множеств.
Приведите пример числового множества, состоящего из конечного числа элементов.
Приведите примеры интервала и отрезка. Чем отличается отрезок от интервала?
При каких х справедливо равенство |xі|= - xі?
ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.
Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Матрицей А=||aij || размера n(m называется прямоугольная таблица чисел.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Обозначения: А – матрица, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 - элемент матрицы, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 номер строки, в которой стоит данный элемент, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Числа m и n называются размерностями матрицы. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
Примеры.
1. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
2. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.
Линейные операции над матрицами.
Суммой матриц А и В одинаковой размерности mHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Свойства сложения:
А + В = В + А.
(А + В) + С = А + (В + С).
Если Е – нулевая матрица, то А + Е = Е + А = А
Пример.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Свойства умножения матрицы на число:
(km)A=k(mA).
k(A + B) = kA + kB.
(k + m)A = kA + mA.
Пример.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Тогда HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.
Произведением матрицы А размерности mHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15p и матрицы В размерности HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 называется матрица С размерности HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, каждый элемент которой HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 определяется формулой: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 Таким образом, элемент HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 Найдем элементы матрицы С: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Итак, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Квадратная матрица А называется вырожденной, если HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, и невырожденной, если HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Квадратная матрица HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 =HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15А = Е.
Элементами обратной матрицы являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.
Вычисление обратной матрицы
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 = HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
где HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 - определитель матрицы
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 - алгебраические дополнения элементов HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Пример. Вычислить матрицу HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, обратную матрице
= HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15= HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 = HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 = 30;
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15= HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15; HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15= HYPER13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·wnHYPER14HYPER15= HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15;
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Проверка HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 = HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Линейным уравнением называется уравнение вида
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 где HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 и b – числа, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15- неизвестные.
Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.
Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
где HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15- числа, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15- неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.
Решением линейной системы называется набор чисел HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Метод Гаусса решения линейных систем.
Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.
Дана система линейных уравнений: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Пусть HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 где i – номер очередного уравнения. Коэффициенты при HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можно таким же образом исключить HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Здесь символами HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 и HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.
Из последнего уравнения системы единственным образом определяется HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.
Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть уравнение превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.
Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.
Правило Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений. Назовем главным определителем этой системы определитель HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 .

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
Если HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Если HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=0, система имеет бесконечно много решений.
Если HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=0, а хотя бы один из HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 система не имеет решений.
Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Пример. Предприятие выпускает продукцию двух видов (П1, П2), используя при выпуске сырье двух типов (С1, С2). Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день указаны в таблице.
Вид сырья
Нормы расхода сырья
Расход сырья на один день


П1
П2


С1
3
1
7

С2
5
2
12


Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Полученную систему решить с помощью формул Крамера.
Решение. Составим систему уравнений: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Обозначим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Найдем определитель системы HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Теперь по формулам Крамера получаем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, т.е. решение системы HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Значит, ежедневный объем выпуска продукции первого вида равен 2, а второго -1.

Вопросы для самопроверки.
Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?
Чему равно скалярное произведение двух векторов?
Как определяется местоположение элемента в матрице?
Что такое единичная матрица?
Что такое транспонированная матрица?
Каким требованиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?
Что такое обратная матрица?
Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?
Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?
ТЕМА 3. ФУНКЦИИ.
Переменные и постоянные величины. Понятие функции. Область определения. Способы задания функций. Возрастание и убывание. Неявные, сложные функции. Элементарные функции.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей некоторому числовому множеству, соответствует одно определенной значение другой переменной величины у, то у называется функцией от х. Зависимость переменной у от переменной х называется функциональной зависимостью и обозначается у= у(х) или y=f(x). совокупность значений независимой переменной, для которой задана функциональная зависимость, называется областью определения функции.
Пример. Найти область определения функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение. Данная функция определена при всех значениях аргумента, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Решая это уравнение, получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом, областью определения функции является объединение промежутков вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение функции.
2.Что такое область определения функции? приведите пример функции, областью определения которой является не вся числовая ось.
3.Что такое график функции? Приведите пример.
4.Какие существуют способы задания функции?
5.Что такое сложная функция? Приведите пример.
ТЕМА 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
Комплексные числа. Операции с комплексными числами. Представление в прямоугольной системе координат.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Комплексным числом z называют выражение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (алгебраическая форма записи), где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- действительные числа, i- мнимая единица.
Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Комплексное число HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15называется комплексно сопряженным числуHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, считая HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример. Даны комплексные числа HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найти их сумму, произведение и частное.
Решение. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b).Запись вида z =
· (cos
· + isin
·) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 . Следовательно, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2
·.
Частным случаем операции умножения является возведение в степень:HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 - формула Муавра.
Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел:
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Комплексное число HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 называется корнем n-й степени из z, если z = z1n.
Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15:

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, Используя эту формулу, можно получить еще один вид комплексного числа: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 , который называется показательной формой записи комплексного числа.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое мнимая единица?
Что такое вещественная и мнимая части комплексного числа? Являются ли они вещественными числами?
Что такое комплексно сопряженные числа? Чем отличаются изображения комплексно сопряженных чисел z и z* на комплексной плоскости?
Как изобразить на комплексной плоскости, пользуясь правилами сложения векторов, сумму и разность двух комплексных чисел7
Чему равно произведение комплексно сопряженных чисел?
ТЕМА 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.
Понятие предела. Предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы, произведения и частного функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в (-окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x, удовлетворяющих условию
0 < (x – x0( < (, выполняется неравенство (y – A( < (.
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулойHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Примеры. Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси.
Функция HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 не является непрерывной в точке x = 2.
Функция HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 не является непрерывной в точке x = 0.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.
Свойства предела функции.
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, если C   постоянная функция.
3. Если существуетHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 и C постоянная функция, тоHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
4. Если существуютHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 и HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, то существует HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, равный HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, а также существует HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, равный HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Если при этом HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, то существуетHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, равный HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число (, такое что из условия 0 < x – a < ( будет следовать (B –f(x) ( < (.
Согласно приведенному определению HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число ( такое, что из условия 0 < b – x < ( будет следовать (C – f(x)( < (.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 (HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15).
Функция HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 непрерывна справа в точке x=0.
Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Для того, чтобы выполнялось равенство HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15; HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Два, так называемых, "замечательных предела".
1. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 является касательной к графику функции HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 в точке HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
2. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Здесь e иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
Примеры. Найти пределы функций: а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, в) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение.
а) Непосредственной подстановкой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в числитель и знаменатель убеждаемся, что имеем неопределенность вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Обращение числителя и знаменателя в ноль показывает, что многочлены (в числителе и знаменателе) имеют общий корень HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Разложив многочлены на множители и сократив на общий множитель HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
б) Имеем неопределенность типа HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, умножим и разделим на сопряженное выражение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в) Используя формулу понижения степени HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и первый «замечательный» предел, получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Вопросы для самопроверки.
1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.
2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.
3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?
4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?
5.Чему равен предел суммы четырех функций?
6.В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?

ТЕМА 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Понятие производной. Геометрический смысл. Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных. Производные высших порядков. Возрастание и убывание функций. Экстремумы, выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть (x  приращение аргумента в точке x. Обозначим через (y или (f приращение функции, равное f(x+(x) – f(x).
Отношение (f /(x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла (, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.
HYPER13EMBED Word.Picture.8HYPER14HYPER15
Отношение (y / (x или, что то же самое (f(x + (x) 
· f(x)) / (x, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента (x. Эта функция не определена в точке (x = 0. Однако её предел в этой точке может существовать. Если существует предел отношения (f(x + (x) – f(x)) / (x в точке (x = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y( или f((x):HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.
Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f((x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).
Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Уравнение касательной в точке с координатами HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15имеет вид: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Уравнение нормали (прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной) имеет вид: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Написать уравнение касательной и нормали к кривой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15в точке М0(0;1).
Решение. Найдем первую производную HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Искомые уравнения касательной: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; нормали: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше (x. Производная f( (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между (f и (x.
Таблица производных элементарных функций.
f(x)
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15

f(x)
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15

f(x)
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15










C
0

HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15

cosx
-sinx

x
1

lnx
1/x

tgx
1/cos2x

xn
nxn-1

ax
axlna

arcsina
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15

HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
1/(2HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15)

HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15

arccosa
-HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15

1/x
-1 / x2

sinx
cosx

arctgx
1/(1+x2)

Основные свойства производной.
1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.
2. Если существует f( (x) , и С  произвольное число, то функция HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 имеет производную: (Cf(x))( = Cf( (x).
3. Если существуют f( (x) и g( (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S( (x) = f( (x) + g( (x).
4. Если существуют f( (x) и g( (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P( (x) = f( (x)g(x) + f(x)g( (x).
5. Если существуют f( (x) и g( (x) и при этом g(x) ( 0, то функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15имеет производную: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Производная сложной функции.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F( (x) = f( (z) g( (x).
Примеры. Найти производные функций: а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, в) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение. а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Данная функция представляет собой сумму двух функций, поэтому воспользуемся свойством 3. Получим: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
б) Данная функция является произведением двух функций, ее производную найдем с помощью свойства 4.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в) Данная функция является частным двух функций. Применим свойство 5.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a;b]. В таком случае ее производная представляет собой тоже некоторую функцию х. Продифференцировав эту функцию, мы получим так называемую вторую производную (или производную второго порядка) функции f(x). Продолжая эту операцию, можно получить производные третьего, четвертого и более высоких порядков. При этом f`(x) будем называть производной первого порядка.
Производной n-го порядка (или n-й производной) от функции f(x) называется производная (первого порядка) от ее (n-1)-й производной.
Обозначение: у(n)=(y(n-1))
·=f(n)(x). Производные 2-го и 3-го порядка обозначаются соответственно y
· и y
·
·.
Свойства производных высших порядков.
Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:
(cf(x))(n)=c
·f(n)(x).
(f(x)+g(x))(n)=f(n)(x)+g(n)(x).
Для y=xm y(n)=n(n-1)(n-m+1)xm-n. Если m – натуральное число, то при n>m y(n)=0.
Точки экстремума функции.
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции y = =f(x), если f(x)
· f(x0) (f(x)
· f(x0)) для всех х из некоторой
·-окрестности точки х0.
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [a;b], если
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 таких, что x1 < x2, f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2) ).
Если функция f(x), дифференцируемая на [a;b], возрастает на этом отрезке, то HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 на [a;b].
Если f(x) непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b), причем HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a;b].
Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке находят по схеме:
найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;
вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x) , если расстояние от переменной точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.
Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.
Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен.
Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.
Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 или при HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 конечен, т.е. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b , так как при HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Общая схема исследования функции.
Найти область определения функции.
Исследовать на существование вертикальных асимптот.
Определить четность или нечетность функции, ее периодичность.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Определить промежутки монотонности и точки экстремума.
Определить промежутки выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба.
Найти наклонные асимптоты. Если наклонных асимптот нет, то установить характер поведения функции на бесконечности.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости получить дополнительно несколько значений функции, уточняющих вид графика.
Пример. Построить график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение. Запишем результаты исследования функции по общей схеме
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2. Прямая HYPER13 EMBED E
·quation.3 HYPER14HYPER15 - вертикальная асимптота, т. к. односторонние пределы HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3. Функция общего вида, т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Функция не является периодической.
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- точка пересечения с осями.
5. На промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, на промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Найдем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, значит, в точке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция имеет максимум, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а в точке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция имеет минимум, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Найдем вторую производную HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
На промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а на промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, следовательно, на первом промежутке кривая выпукла, а на втором кривая вогнута, но точка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 не является точкой перегиба, так как в этой точке функция терпит разрыв.
7.Наклонная асимптота: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом, прямая HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 является наклонной асимптотой графика функции.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Построим график, используя полученные данные.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вопросы для самопроверки.

Каков геометрический смысл производной?
Пользуясь определением производной, найдите производную функции у=3х.
Как вычисляется производная сложной функции? Приведите пример.
Что такое вторая производная?
Каковы условия возрастания и убывания функции?
Что такое точка перегиба?
Какие бывают асимптоты? Приведите примеры.
Тема 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования: замена переменной под знаком интеграла, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x((a;b) выполняется равенство F((x) = f(x).
Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.
Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ( первообразная для f(x), так как HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается (f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то (f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F((x) = f(x) соответствует формула (f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:
Таблица основных интегралов.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)-«высокий логарифм”.
11. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
11. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
12. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) – «длинный логарифм”.
Дополнение к таблице основных интегралов.
13.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
14.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

15.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
16.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

17.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
18.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

19.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
20.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

21.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
22.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) ((f(x) dx )(=f(x);
4) (d f(x)=f(x)+C ;

2) (f( (x) dx= f(x)+C;
5) (kf(x)dx=k(f(x) dx;

3) d (f(x) dx= f(x)dx;
6) ((f(x)+g(x))dx=( f(x) dx+(g(x) dx;

Если (f(x) dx = F(x) + C, то (f(ax+b) dx =HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
(a ( 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Если функция f(x) непрерывна, а функция ((t) имеет непрерывную производную (((t), то имеет место формула
( f(((t))(((t) dt = ( f(x) dx, где x = ((t).
Примеры. 1) I = ( cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
2)HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
3) HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
4) HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Формула интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv)( = u(v + v(u.
Отсюда следует ( (uv)(dx = ( (u(v + v(u )dx = ( u(v dx + ( v(u dx или
( uv( dx = uv – ( u(v dx .
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: (u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ( v(x)du(x)
Пример. Вычислить интегралHYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Решение. Используем формулу интегрирования по частям:
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15;
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Вопросы для самопроверки.
Что такое первообразная?
Почему при интегрировании появляется произвольная константа?
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
Как вычислить интеграл, если подынтегральная функция является суммой нескольких функций?
Что такое замена переменной? Когда она применяется?
Как выводится формула интегрирования по частям?

Тема 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, (, xn-1, удовлетворяющие условию: a< x1,< x2<(< xn-1,· [xn-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1([a;x1], c2([x1;x2], (
· cn([xn-1;b].
Введем обозначения: (x1 = x1 – a; (x2 = x2 – x1; (
· (xn = b – xn-1.
Составим сумму: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.

Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке.
Введем обозначение: ( = max((xi), i = 1, 2, (
· n.. Величину ( иногда называют параметром разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина ( стремится к нулю. Определенным интегралом HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 от функции HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ( верхним пределом интегрирования.
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Перечислим свойства определенного интеграла:
1) HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 (здесь k  произвольное число);
2) HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15;
3) HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15;
4) Если c([a;b], то HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Из этих свойств следует, например, что HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента (x: (I(x) = I(x + (x) – I(x) =
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. (1)
Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) любая первообразная функции f(x).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры.
1. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
2. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. В качестве первообразной функции f(x)  выберем функцию ex(x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I = ex(x – 1)HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15 = 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Здесь ( и ( определяются, соответственно, из уравнений ((() = a; ((() = b, а функции f, (, (( должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим: HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Из геометрического смысла определенного интеграла для областей имеет место формула для вычисления площади, в которой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- уравнение верхней границы области, а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-уравнение нижней границы области: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и прямой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение. Найдем точки пересечения параболы и прямой: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Получаем: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вопросы для самопроверки.
Что такое интегральная сумма? Каков ее геометрический смысл?
В чем геометрический смысл определенного интеграла?
Каковы основные свойства определенного интеграла?
Что такое формула Ньютона-Лейбница? Как ее применяют при вычислении определенного интеграла?
В чем особенность замены переменной в определенном интеграле?
Тема 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Понятие функции многих переменных. Частные производные.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y  функцией от n переменных.
Далее будем говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции
· z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y).
Множество D называется областью определения функции.
Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.
Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f(HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15), причем аргументами функции являются координаты вектора HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)(D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке.
HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Очевидно, что нельзя ввести понятия возрастания или убывания (монотонности) функции двух переменных. Рассмотрим график некоторой функции z=f(x,y), изображенный на рисунке . Из точки M(x,y) в плоскости X,Y проведем два луча l1 и l2 , определяющих некоторые направления. Можно говорить, что в точке M функция f в направлении l1 возрастает, а в направлении l2 убывает. Это означает, что для любой точки M1 , лежащей на луче l1 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M1) ( f(M). Для любой точки M2 , лежащей на луче l2 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M2) ( f(M).
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15, если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15;HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15;HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.
Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0): HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15=HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Примеры.
1. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
2. HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15
Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные, несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15.
Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются zxx((, zyy((, zxy(( или HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Согласно определению HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15; HYPER13EMBED UnknownHYPER14HYPER15. Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная zxy(( = (zx( )y( может не быть равной zyx(( = (zy( )x(. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y.
Вопросы для самопроверки.
Как определяется функция двух переменных?
Что такое частная производная?
Тема 10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.
Классическое определение вероятности. Независимость случайных событий. Статистическое определение вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайная величина и ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины: их свойства, правила вычисления.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Случайным событием, возможным событием или просто событием называется любой факт, который может произойти или не произойти в результате испытания, т.е. выполнения определенного комплекса условий. Приведем примеры событий:
1. Появление герба при подбрасывании монеты.
2. Выигрыш автомобиля в денежно-вещевой лотерее.
3. Превышение температуры воздуха сверх 30°С в данной местности в первый день лета.
Событие – это не какое-либо происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания. Обратите внимание на виды событий:
Несовместные и совместные, равновозможные и единственно возможные, невозможные и достоверные. События образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Вероятность события представляет собой численную меру степени объективной возможности наступления этого события.
Согласно классическому определению вероятность события А есть отношение числа m случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев n , т.е. . Например, вероятность события А – выпадение четного числа очков при бросании игральной кости – равна так как из общего числа n =6 случаев (исходов) событию А благоприятствует
m =3 случая – выпадение 2, 4 и 6 очков.
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 
Статистической вероятностью  события А называется относительная частота (частость) появления этого события в п произведенных испытаниях, т.е., где m – число испытаний, в которых появилось событие А.
Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, т.е .

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно). Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное (т.е., если ее значения можно перенумеровать натуральными числами). Если случайная величина сплошь заполняет некоторый интервал числовой оси, она называется непрерывной. 
Важнейшими числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины определяется как сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.

Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.  и служит характеристикой отклонения, рассеяния, разброса значений случайной величины относительно ее среднего значения. Для вычисления дисперсии используется формула:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому рассматривается также среднее квадратическое (или стандартное) отклонение случайной величины , равное арифметическому значению корня квадратного из ее дисперсии, т.е. .
Примеры:
Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок; б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение.
а) Рассмотрим следующие события:
А1 - первый стрелок попал в цель;
А2 - второй стрелок попал в цель;
А3 - третий стрелок попал в цель;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - первый стрелок не попал в цель;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - второй стрелок не попал в цель;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - третий стрелок не попал в цель.
По условию Р(А1) = 0,7; Р(А2) = 0,8; Р(А3) = 0,9; Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=1 - 0,7 = 0,3; Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) = 0,2; Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) = 0,1.
Пусть событие В - попал только один стрелок. Тогда
В = А1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15А2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15А3
Отсюда в силу несовместимости событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей.
Р(В)=Р(А1)Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)+Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)Р(А2)Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)+Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)Р(А3)= =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) Пусть событие С - попадут только два стрелка. Тогда
С = А1А2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+А1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15А3+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15А2А3
Отсюда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в) Пусть событие D - попал хотя бы один стрелок. Тогда противоположное событие HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - не попал ни один из них, т.е. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Поэтому Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Отсюда
Р(D)=1 - Р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) = 1 - 0,006 = 0,994.

Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные - бывшие в употреблении. Наугад взято три микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?
Решение.
Рассмотрим события:
А - первый из взятых микрокалькуляторов новый;
В - второй микрокалькулятор новый;
С - третий микрокалькулятор новый.
Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вероятность того, что второй микрокалькулятор будет новый, при условии, что первым уже был отобран новый микрокалькулятор, т.е. условная вероятность события В, равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вероятность того, что третьим будет отобранный микрокалькулятор, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события С, равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Искомая вероятность того, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Заданы законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.
X
-5
2
3
4

Y
1
4

P
0,4
0,3
0,1
0,2

P
0,2
0,8


Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины
Z = 3X - 2Y
Решение. Найдем математические ожидания и дисперсии для случайных величин Х и У.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Напишем законы распределения для случайных величин Х2 и У2:

X2
25
4
9
16

Y2
1
16

P
0,4
0,3
0,1
0,2

P
0,2
0,8


Найдем математические ожидания для случайных величин Х2 и У2:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Отсюда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Наконец, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и У, получаем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
Задача1
Даны множества А={a1,a2} и В={b1,b2}, содержащие натуральные числа. Найти объединение и пересечение этих множеств: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
вариант
Множество А
Множество В

1
2,3,6
4,6,8,10

2
1,2,3,4,5
3,4,5,6,7

3
2,4,6
4,8,16

4
1,2,4,8
1,2,3,4

5
3,9,18,27
3,9,27,36

6
9,10,11,12
10,12,14,16

7
3,5,7,9
1,2,3,4,5,6.7

8
2,4,6,8,10
1,2.3.4,5,6,7.8

9
3,7,11,15
1,4,7,10,13

10
2,5,8,11
5,6,7,8,9,10,11


Задача 2.
Найти сумму, разность, произведение и частное в алгебраической форме для комплексных чисел HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
вариант
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

5
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

6
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

7
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

8
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

9
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

10
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Задача 3.
Предприятие выпускает продукцию трех видов (П1, П2, П3), используя при выпуске сырье трех типов (С1, С2, С3). Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день указаны в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Полученную систему решить методом Гаусса и с помощью формул Крамера.


Вариант 1


Вид сырья
Нормы расхода сырья
Расход сырья на один день


П1
П2
П3


С1
7
3
4
280

С2
6
2
3
230

С3
5
9
1
250


Вариант 2


С1
5
5
3
270

С2
3
2
4
230

С3
6
1
5
280


Вариант 3


С1
4
3
1
120

С2
5
7
6
230

С3
2
4
9
170


Вариант 4


С1
2
2
3
290

С2
3
2
2
270

С3
4
2
5
450


Вариант 5


С1
1
2
2
170

С2
3
2
3
240

С3
4
3
5
380


Вариант 6


С1
3
5
4
350

С2
2
4
1
140

С3
6
3
2
270


Вариант 7


С1
7
2
5
650

С2
6
4
2
740

С3
3
3
1
470


Вариант 8


С1
1
3
1
90

С2
4
2
2
120

С3
5
5
5
250


Вариант 9


С1
3
2
3
130

С2
2
2
2
90

С3
5
9
1
145


Вариант 10


С1
1
2
1
120

С2
3
3
2
230

С3
4
4
5
330


Задача 4.
Найти область определения функции
вариант
функция
вариант
функция

1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

5
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Задача 5.
Найти производную функции
вариант
функции

1
а) y = 2sin x – x5; б) f(x) = x2ех

2
а) y = sin x + ex; б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3
а) у = х2 + х3– 4 б) у= 2sinx – 3

4
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 б) у= 4x + ex – 7

5
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 б) у = 2lnx + 5

6
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 б) y = 6х + 3sin (2x);

7
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 б) у = 3х+7sin x

8
а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 б) y = 2x5 – 3cos x;

9
а) у = 3x4 – sin x + 5; б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

10
а) у = ln x – 2cosx; б) y = х2 -3х


Задача 6.
Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
вариант
Уравнение кривой
Абсцисса точки

1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

5
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

6
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

7
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

8
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

9
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

10
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Задача 7.
Найти неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.
вариант


1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

5
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

6
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

7
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

8
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

9
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

10
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Задача 8
Вариант 1.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность, что будет два попадания.
Вариант 2.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность, что будет хотя бы одно попадание.
Вариант 3.
В ящике находится 35 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?
Вариант 4.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Вариант 5.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Вариант 6.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность, что будет хотя бы одно попадание.
Вариант 7.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность, что будет ровно одно попадание.
Вариант 8.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
X
-5
2
3
4

P
0,4
0,3
0,1
0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 9.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
X
-3
1
3
5

P
0,1
0,2
0,1
0,6

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 10.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
X
-4
2
4
6

P
0,2
0,3
0,3
0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.

Правила выполнения и оформления контрольных работ.
Вариант каждой задачи выбирается по последней цифре номера зачетной книжки.
При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
В заголовке работы (приложение 1)на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (номер зачетной книжки), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту контрольной работы. Задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.
Если рецензент предлагает внести в решения задач исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.
В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.
Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
Литература.
Кремер Н.Ш,.и др. Высшая математика для экономистов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и биржи, 1997. – 439с.
Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп., – Высш. шк., 1972. – 480 с.
Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.
4.Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 464с. – (Серия “Высшее образование”).








HYPER13PAGE HYPER1429HYPER15


HYPER13PAGE HYPER143HYPER15



у=х-1

х=-1

у

х

-4

6

x

y



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeY 

Приложенные файлы

  • doc ukazania3.doc
    Методические указания по математике для студентов спо заочной формы обучения специальности 38.02.01
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий