Предел функции


Частное профессиональное образовательное учреждение
«Новосибирский кооперативный техникум имени А.Н. Косыгина
Новосибирского облпотребсоюза»
(ЧПОУ «НКТ имени А.Н. Косыгина Новосибирского облпотребсоюза»)
Методические рекомендации
по подготовке
к дифференцированному зачёту
по дисциплине: «Математика»
для студентов заочного отделения
(база 11 классов) всех специальностей
Тема. Предел функции

Разработал преподаватель: Н.Ф.Морозова
Рассмотрено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных, социально – экономических и гуманитарных дисциплин
Протокол № __________________
_______________________ 2016 г
Председатель цикловой комиссии
_________________ Н.Н.Вензель
Новосибирск
2016-2017 учебный год
Тема. Предел функции
План:
1 Краткий теоретический курс
Определение предела функции в точке
Определение бесконечно малой функции
Определение бесконечно большой функции
Теоремы о пределах
Следствия из теорем
Примеры вычисления пределов функций
Задания для самостоятельной работы
Краткий теоретический курс
Определение 1
Число A называется пределом функции f(x) при x→ a, если для любого числа ε>0 можно указать такое δ>0, что для любого x≠a, удовлетворяющего неравенству 0<x-a-δ, выполняется неравенство fx-A-ε. В том случае пишут limx→afx=AЗамечания:
x≠a,0<x-a<δ, x∈a-δ;α+δ,x≠a28289254819650023717253810000
fx-A<ε fx∈A-ε;A+ε, fx≠A или f(x)=A5524581661000В общем случае предел функции при x→a и значение функции при x=a не совпадают
а)
a∉Dy⇒fa не существует
Cуществует limx→afx?x→a- ⇒ fx→A ⇒ существует limx→af x=Ax→a+ ⇒ fx→Aб)
-264795300990001) a∈D y, fa=B2) Существует limx→af x= ?x→a- ⇒ fx→A ⇒ существует limx→af x=Ax→a+ ⇒ fx→A A ≠ B
-16573534988500в)
a∈D y, fa=BСуществует limx→af x= ?x→a- ⇒ fx→Ax→a+ ⇒ fx→B A ≠ B ⇒ не существует limx→af x=Aг)
a∈D y, fa=A-6667515176500Существует limx→af x= ?X→a- ⇒ fx→A ⇒ существует limx→af x=AX→a+ ⇒ fx→A A = A
1.2 Определение 2
Функция f (x) называется бесконечно малой, если limx→af x=01.3 Определение 3
Функция f (x) называется бесконечно большой, если limx→af x=∞1.4 Теоремы о пределах
Теорема 1. Если существуют пределы функций f (x) и φ (x), то существует также и предел их суммы, равной сумме пределов функций f (x) и φ (x):
limx→a[f x+φ(x)]=limx→af x+limx→a φ(x)Теорема 2. Если существуют пределы функций f (x) и φ(x) при x→a, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f (x) и φ(x):
limx→a[f x∙φ(x)]=limx→af (x)∙limx→aφ(x)Теорема 3. Если существуют пределы функций f (x) и φ(x) при x→a, и предел функции φ(x) отличен от 0, то существует также и предел отношения, f (x) / φx, равной отношению пределов функции f (x) и φ(x):
limx→af (x) φ(x)=limx→af (x)limx→aφ(x)1.5 Следствия:
1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
limx→ak∙fx=k∙limx→af(x)2. Если n натурально число, то
limx→axn=an, limx→anx=na3. Предел многочлена (целой рациональной функции)
Px=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+anпри x→a равен значению этого многочлена при x=a, т.е. limx→aPx=P(a)4. Предел дробно-рациональной функции
Rx=P(x)Q(x)=a0xn+a1xn-1…+an-1x+anb0xm+b1xm-1…+bm-1x+bmпри x→a равен значению этой функции при x=a, если a принадлежит области определения функции, т.е. limx→aRx=R(a)2. Примеры вычисления пределов функций
Пример 1.
limx→2(5x3 - 6x2 + x - 5)=сл.3 5 ∙ 23 – 6 ∙ 22 + 2 – 5 = 40 – 24 + 2 – 5 = 42 – 29 = 13
Пример 2.
limx→2x2-x+1x-3=22-2+12-3=-31 = − 3
f (x) = x2-x+1x-3; 2 ∈ D (f), т.к. 2 – 3 = - 1 ≠ 0
Пример 3.
limx→254x-8;
f(x) = 54x-8;2∉ D (f), т.к. 8-8=0
x→2 ⇒ (4x – 8) → 0 ⇒ (4x – 8) – бесконечно малая функция
при x → 2 ⇒ 14x-8 - бесконечно большая функция
limx→254x-8=5∙∞=∞Пример 4.
limx→3x2-5x+63x2-9x;
limx→3(3x2-9x)=сл.3 = 3 ∙ 9 – 27 = 0
limx→3x2-5+6=сл.3 = 9 – 15 + 6 = 0
00 - математическая неопределенность
ax2 + bx + c = a ∙ (x – x1) ∙ (x – x2)x2 – 5x + 6 = 1 ∙ (x – 2) ∙ (x – 3)
D = b2 – 4ac⇒ x1 = 2; x2 = 3
x1,2 = -b±D2ax2-5x+63x2-9x=x-2∙(x-3)3x(x-3)=x≠3x→3x-23x
limx→3x2-5x+63x2-9x=limx→3x-23x=3-23∙3=193. Выполните упражнения:
№1
limx→-1(2x3-5x2+x-4)№2
limx→043x2+2x№3
limx→5x2-7x+10x2-9x+20№4
limx→-233x2+5x+23x2+8x+4

Приложенные файлы

  • docx file.doc
    Методические рекомендации по подготовке к дифференцированному зачёту по дисциплине: «Математика»
    Размер файла: 63 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий