Дифференциальное исчисление


Частное профессиональное образовательное учреждение
«Новосибирский кооперативный техникум имени А.Н. Косыгина
Новосибирского облпотребсоюза»
(ЧПОУ «НКТ имени А.Н. Косыгина Новосибирского облпотребсоюза»)
Методические рекомендации
по подготовке
к дифференцированному зачёту
по дисциплине: «Математика»
для студентов заочного отделения
(база 11 классов) всех специальностей
Тема. Дифференциальное исчисление


Разработал преподаватель: Н.Ф.Морозова
Рассмотрено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных, социально – экономических и гуманитарных дисциплин
Протокол № __________________
_______________________ 2016 г
Председатель цикловой комиссии
_________________ Н.Н.Вензель
Новосибирск
2016-2017 учебный год
Тема. Дифференциальное исчисление
План:
1 Таблица правил и основных формул дифференцирования
2 Повторение свойств монотонности функций
3 Краткий теоретический курс
Понятие выпуклости вниз и выпуклости вверх графика функции
Определение интервалов выпуклости графика функции
Определение точки перегиба графика функции
Правило 1. Нахождение интервалов выпуклости кривой
Правило 2. Нахождение точек перегиба графика функции
Решение примера 1 на нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба кривой
Задания для самостоятельной работы
1. Формулы дифференцирования
Обычно под этим подразумевается список производных и дифференциалов основных элементарных функций. В совокупности с правилами дифференцирования они позволяют найти функцию от любой элементарной функции. Приведем формулы производных:
C´=0. 7. (tgx)´=1cos2x.xa´=a∙xa-1. 8. (ctgx)´=-1sin2x.ax´=ax∙lna, 9. (arcsinx)´=11-x2ex´=ex.(logax)´=1xlna, 10. (arccosx)´=-11-x2(lnx)´=1x.(sinx)´=cosx. 11. (arctg x) ´=11+x2(cosx)´=-sinx. 12. (arcctg x) ´=-11+x2Правила дифференцирования
(Cu)´=Cu´ - постоянный множитель выносят за знак производной
(u + v) ´ = u´ + v´ - производная суммы равна сумме производных
(u ∙ v) ´ = u´ ∙ v´ + u´ ∙ v´ - производная произведения
uv´=u´∙v-u∙v´v2 – произведения частного двух функций
2. Повторение свойства монотонности функций
Вопрос: Какие функции называются монотонными?
Ответ: Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
Вопрос: Какие вы знаете достаточные условия возрастания и убывания функции на интервале (a; b)?
Ответ: Если f´> 0 в каждой точке интервала (a; b), то f возрастает на (a; b).
Если f´ <0 в каждой точке интервала (a; b), то f убывает на (a; b).
3. Краткий теоретический курс
3.1 Понятие выпуклости вниз и выпуклости вверх графика функции
Пусть функция y=f(x) возрастает на (a; b). При построении графика возможны три случая:
13906530289500Пример 1
139065034671000x ϵ (a; b) – график функции выпуклый вниз “ ”
Пример 2
1390659017000
148590037147500x ϵ (a;b) – график функции выпуклый вверх “ ”
Пример 3
13906519748500
16916405778500x ϵ (a;c), “ ”
16954505270500x ϵ (c;b), “ ”
3.2 Определение 1
Интервалы, на которых график функции выпуклый вверх или вниз, называются интервалами выпуклости графика функции.
3.3 Определение 2
Точка графика дифференцируемой функции, абсцисса которой является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз, называется точкой перегиба графика этой функции.
M(c; f(c)) – точка перегиба графика функции
3.4 Правило 1: Нахождение интервалов выпуклости графика функции
1) D(f) – область определения функции;
2) f ´(x) – первая производная функции;
3) f ´´(x) - производная второго порядка;
4) Критические точки по f ´´ – внутренние точки области определения, в которых f ´´ не существует или f ´´= 0;
5) Разбить D(f) найденными точками на интервалы выпуклости;
6) Определить знак f ´´ на каждом интервале;
7) Сделать вывод:
12325356985000f ´´ > 0 => - выпуклость вниз
12287256604000f ´´ < 0 => - выпуклость вверх
3.5 Правило 2: Нахождение точек перегиба графика функции
1) D(f) – область определения функции;
2) f ´(x) – первая производная функции;
3) f ´´(x) - производная второго порядка;
4) Критические точки по f ´´ – внутренние точки области определения, в которых f ´´ не существует или f ´´= 0;
5) Разбить D(f) найденными точками на интервалы выпуклости;
6) Определить знак f ´´ на каждом интервале;
7) Сделать вывод:
Если при переходе через точку x0 f ´´ меняет знак, то точка A (x0; f(x0)) – точка перегиба кривой.
4. Пример 1
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой
f(x) = x4 – 2x3 + 6x – 4 (1)
Решение:
D(f) = (-∞; +∞), так как f, - многочлен (+,-,*)
f ´(x) = (x4 – 2x3 + 6x – 4) ´= 4x3 – 2 * 3x2 + 6 = 4x3 – 6x2 + 6 (2)
f ´´(x) = (4x3 – 6x2 + 6) ´ = 4 * 3x2 – 6 * 2x + 0 = 12x2 – 12x (3)
Находим критические точки по f ´´:
f ´´ не существует илиf ´´= 0
Нет точек, так как12x2 – 12x = 0/: 12
f ´´ (x) – многочлен,x2 – x = 0
D (f ´´) = (-∞; +∞)x * (x – 1) = 0
x = 0 или x – 1 = 0
x = 1
0;1 – критические точки по f ´´
-154495554927500-67627554927500-236791554927500405765-9525000 Пояснение: абсц.т.п – абсцисса точки перегиба
f ´´ (x) = 12x2 – 12x; a = 12 > 0 = > на 1 интервале f ´´ > 0
У квадратной функции знаки на интервалах чередуются
По правилу 1:
39300156477000x ϵ (-∞; 0), график функции выпуклый вниз
39420804826000x ϵ (0;1), график функции выпуклый вверх
39300155397500x ϵ (1;+∞), график функции выпуклый вниз
По правилу 2:
0;1 – абсциссы точек перегиба
Вычисляем ординаты точек перегиба:
x = 0 = > f (0) = 04 – 2 * 03 + 6 * 0 – 4 = - 4 = > A (0;-4)
x = 1 = > f (1) = 14 – 2 * 13 + 6 * 1 – 4 = 1 – 2 + 6 – 4 = 1 = > B (1; 1)
Точки перегиба кривой: A (0; -4), B(1;1)
Ответ: 39300156477000x ϵ (-∞; 0), график функции выпуклый вниз
39420804826000x ϵ (0;1), график функции выпуклый вверх
39300155397500x ϵ (1;+∞), график функции выпуклый вниз
Точки перегиба кривой: A (0; -4), B(1;1)
Задания для самостоятельной работы
№2№4
y = - x2 – 1f (x) = x3 – x
№3№5
y = 6x2 – x3f(x) = 13 x3 - 3x2 + 8x – 4

Приложенные файлы

  • docx file1.doc
    Методические рекомендации по подготовке к дифференцированному зачёту по дисциплине: «Математика» для студентов заочного отделения (база 11 классов) всех специальностей
    Размер файла: 82 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий