Интегральное исчисление


Частное профессиональное образовательное учреждение
«Новосибирский кооперативный техникум имени А.Н. Косыгина
Новосибирского облпотребсоюза»
(ЧПОУ «НКТ имени А.Н. Косыгина Новосибирского облпотребсоюза»)
Методические рекомендации
по подготовке
к дифференцированному зачёту
по дисциплине: «Математика»
для студентов заочного отделения
(база 11 классов) всех специальностей
Тема. Интегральное исчисление

Разработал преподаватель: Н.Ф.Морозова
Рассмотрено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных, социально – экономических и гуманитарных дисциплин
Протокол № __________________
_______________________ 2016 г
Председатель цикловой комиссии
_________________ Н.Н.Вензель
Новосибирск
2016-2017 учебный год
Тема. Интегральное исчислениеПлан:
Краткий теоретический курс. Формулы интегрирования
Свойства неопределённого интеграла
Таблица интегралов
2 Примеры вычисления определённых интегралов
2.1 Непосредственным интегрированием, по формуле Ньютона – Лейбница
2.2 Методом подстановки
3 Задания для самостоятельной работы
1. Краткий теоретический курс
1.1 Свойства неопределенного интеграла
dfxdx=f(x)dxfxdx´=fxf´xdx=fx+Cdfx=fx+Ckfxdx=kfxdx+Cfx+gxdx=fxdx+gxdxЕсли fxdx=Fx+C, то fax+bdx=1aFax+b+C1.2 Таблица интегралов
1. kdx=kx+C8. axdx=axlna+C2. xndx=xn+1n+1+C (n≠-1)9. exdx=ex+C3. dxx=lnx+C10. sinxdx=-cosx+C4. dxx2+a2=1aarctgxa+C11. cosxdx=sinx+C5. dxx2-a2=12alnx-ax+a+C12. dxcos2x=tgx+C6. dxa2-x2=arcsinxa+C13. dxsin2x=-ctgx+C7. dxx2+a2=lnx+x2+a2+C2. Примеры вычисления определённых интегралов
2.1 Непосредственным интегрированием по формуле Ньютона-Лейбница
Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница:
abfxdx=Fb-F(a), то есть:
по таблице неопределенных интегралов для функции f(x) находят простейшую первообразную F(x);
в найденную функцию F(x) подставляют вместо x верхний предел интегрирования b и вычисляют значение F(b);
в функцию F(x) подставляют вместо x нижний предел интегрирования a и вычислят F(a);
из первого результата подстановки вычисляют второй.
Пример 1
Вычислить
-14(x2+1)dxfx=x2+1 – подынтегральная функция
Fx=x33+x - простейшая первообразная
Использованы: свойство 6, формулы 2 и 1
Fb=F1=133+1=13+1=113 – значение первообразной при x=b=1
Fa=F-1=-133-1=-13-1=-113 – значение первообразной при x=a=-1
Fb-Fa=113+113=223Ответ: 223
Пример 2
Вычислить
π3π24cosxdx f(x)=4cosxF(x) = 4sinxИспользованы: свойства 5 и формула 11
Fb=Fπ2=4sinπ2=4∙1=4 Fa=Fπ3=4sinπ3=4∙32=23 Fb- Fa=4-23Ответ: 4-232.2 Методом подстановки
Во всех табличных интегралах аргумент подынтегральной функции и переменная интегрирования совпадают.
В более сложных примерах такое совпадение достигают методом подстановки.
Пример 3
Вычислить
-10(3x+2)5dx1) Вводим новую переменную
t=3x+2
2) Находим дифференциал новой переменной
dt = d(3x+2)=(3x+2)´ ∙ dx = 3 ∙ dx
3) Выражаем из равенства 3dx = dt
dx=dt34) Проверяем, достигла ли наша подстановка цели:
(3x+2)5dx=t5∙dt3=13t5dt=13∙t66+C=t618+C.
T.o. F(t)=t6185) Вычисляем новые пределы интегрирования, подставляя в выражение для t=3x+2 сначала число – 1, а затем число 0 из условия:
Ht = 3(-1) + 2=-3+2= -1
Bt = 3 ∙ 0+2=2
6) -10(3x+2)5dx=t618-12=2618--1618=64-118=6318=72=3.5Ответ: 3,5
3. Задания для самостоятельной работы
Вычислите интегралы:
№1
03x2dxОтвет: 9
№2
-π4π41cos2x+sinxdxОтвет: 2
№3
-112x+3dxОтвет: 55-13№4
012x3-14x2dxОтвет: 115

Приложенные файлы

  • docx file2.doc
    Методические рекомендации по подготовке к дифференцированному зачёту по дисциплине: «Математика» для студентов заочного отделения (база 11 классов) всех специальностей
    Размер файла: 29 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий