Параметр в алгебраических задачах


Параметр в алгебраических задачах
Автор: Алексеева Анна Алексеевна
МБОУ «Лицей города Юрги»
Класс: 10
Руководитель:
Матукова Татьяна Анатольевна,
учитель математики
Юрга 2011
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение. PAGEREF _Toc289291804 \h 2Глава I. Параметр в математике PAGEREF _Toc289291805 \h 31.1 Что такое параметр PAGEREF _Toc289291806 \h 31.2 Что означает «Решить задачу с параметром» PAGEREF _Toc289291807 \h 31.3 Основные типы задач с параметрами PAGEREF _Toc289291808 \h 4Глава II. Основные способы (методы) решения задач PAGEREF _Toc289291809 \h 62.1 Аналитический способ решения PAGEREF _Toc289291810 \h 62.2 Графический способ решения PAGEREF _Toc289291811 \h 72.3 Решение относительно параметра PAGEREF _Toc289291812 \h 9Глава III. Решение простейших задач с параметром PAGEREF _Toc289291813 \h 12Глава IV. Решение задач PAGEREF _Toc289291814 \h 174.1 Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена PAGEREF _Toc289291815 \h 174.2 Задачи с модулем. PAGEREF _Toc289291816 \h 214.3 Параметр как переменная. PAGEREF _Toc289291817 \h 254.4 Задачи на исследование количества решений. PAGEREF _Toc289291818 \h 274.5 Задачи с использованием симметрии. PAGEREF _Toc289291819 \h 31Заключение. PAGEREF _Toc289291820 \h 34
ВведениеЗадачи с параметрами - по сути, тест на проверку уровня математической культуры, на ее присутствие или отсутствие.
В решении таких задач необходимо четко сформулировать условия, указывающие область допустимых значений уравнения или неравенства, область допустимых значений параметра. При этом нужно учитывать свойства участвующих функций. От них зависят условия, обеспечивающие равносильность преобразований. Такие условия особенно важны при решении неравенств.
Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что задачи с параметрами постоянно присутствуют в вариантах Единого Государственного Экзамена, причем уравнения, неравенства или их системы требуют нестандартного подхода к решению и являются заданиями высокого уровня сложности.
Целью данной работы является глубокое изучение методов и приемов решения задач с параметром.
В ходе работы были поставлены следующие задачи:
изучить типы задач и методы их решения;
наработать навык решения задач;
систематизировать задачи по видам.
При написании работы применялись в основном следующие методы исследования:
изучение литературы;
анализ и систематизация полученной информации;
моделирование математических задач.

Глава I. Параметр в математике1.1 Что такое параметрПараметр в математике - величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода. Например, в уравнении x2 + y2= r2 величина r является параметром окружности.
Функция прямая пропорциональность: у = кх (х и у — переменные; к — параметр); линейная функция: у = кх+b (х и у — переменные; к и b — параметры).
1.2 Что означает «Решить задачу с параметром»Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.
Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.
Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из не отрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует не отрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.
Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, формируется после ознакомления с примерами решения задач и в попытках решить их самостоятельно.
1.3 Основные типы задач с параметрамиТип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех при решении задач всех других типов.
Пример: решить уравнение ах = b при всех значениях параметра а.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Пример: в зависимости от значений параметра а определить количество корней уравнения 2-(х2-х+1)(х2-х) = х2 – х+аТип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Пример: при каких значениях параметра а уравнение
|х2-6х+8|+|х2-6х+5|=а имеет ровно 3 корня.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения.
Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром.
Пример: найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения у = а2х2+ах-2 принадлежит промежутку (-1;1), а второй корень по модулю не равен 1 и не принадлежит этому промежутку.

Глава II. Основные способы (методы) решения задач2.1 Аналитический способ решенияЭто способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Но при этом надо учитывать, что одного знания этих алгоритмов недостаточно для решения задач с параметрами, поскольку решение таких задач всегда содержит перебор и исследование возможных ситуаций. Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Пример: при каких значениях параметра а уравнение |x+2|=ax не имеет решений.
Решение:
Рассмотрим 2 случая:
1.x+2≥0,x+2=ax; ⇔x≥-2,x1-a=-2;⇔ x≥-2,x=2a-1;Из решения системы следует: ≥-2,
а=0, а≠1
a∈(-∞;0∪(1;∞)2.x+2<0,-x-2=ax; ⇔x<-2,x=2-1-a;2-1-a<-2, -2a -1-a<0
а =0, а ≠-1
а ∈(-1; 0)
В итоге получаем, что при а∈(-1; 0) и а∈(-∞; 0]∪(1;∞) уравнение имеет решения, значит при а∈(0;1 уравнение не будет иметь решений.Ответ: а∈(0;1].2.2 Графический способ решенияВ некоторых задачах с параметрами использование графических интерпретаций иногда оказывается очень эффективным. Например, если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек – числу решений данного уравнения.
Этот метод удобно применять, когда уравнение, неравенство, их система отвечают простым геометрическим образам, т.е. задают на координатной плоскости прямые, окружности, параболы, гиперболы. Пример: при каких значениях параметра а уравнение x+1x+3=a+1 имеет два корня.
Решение:
(x+1) |x+3|-1 = a. Рассмотрим функцию y = (x+1) |x+3|-1.
x+3=0, x = -3
1) х∈ (-∞;-3)y = (х+1)(-х-3)-1
y= - х2 - 4х - 4
Рассмотрим две функции: у = -х2- 4х - 4 и у=а
Для построения графика найдем хв и ув:
хв = = -2, ув = -4 +8 -4 = 0
2) х∈ -3;∞)y=(х+1) (х+3)-1
y = х2+4х+2
Найдем хв и ув:
хв= -2, ув = -2
Построим график функции y=(x+1) |x+3|-1:

Замечаем, что прямая у = -1 имеет с графиком две точки пересечения, значит, при а= -1 уравнение имеет два корня.
Ответ: а = -1
2.3 Решение относительно параметраПри решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение. Этот метод удобно применять:
1) если выражение имеет высокую степень, как многочлен относительно переменной х, и одновременно является линейным или квадратным выражением относительно параметра;
2) если формулировка задачи подсказывает, что переменную по смыслу задачи удобно считать параметром, а параметр – переменной.
Пример: найти все значения х, при которых неравенство
(2-а)х3+(1-2а)х2-6х+5+4а-а2<0 справедливо хотя бы для одного значения параметра а из промежутка [-1;2].
Решение:
Так как неравенство 3-ей степени относительно х и найти надо значения х, то преобразуем неравенство к виду f(a)<0
f(a)= 2x3-ax3+x2-2ax2-6x+5+4a-a2 = -a2-ax3-2ax2+4a+2x3+x2-6x+5 = -a2-a(x3+2x2-4)+2x3+x2-6x+5.
-a2-a(x3+2x2-4)+2x3+x2-6x+5<0
Разделим неравенство на -1:
a2+a(x3+2x2-4)-2x3-x2+6x-5>0
Строим схематично график:

Чтобы неравенство было справедливо хотя бы для одного значения параметра а из промежутка [-1;2], необходимо выполнение одного из условий:
f-1>0f2>0Решим первое неравенство
1-(x3+2x2-4)-2x3-x2+6x-5>0
1-x3-2x2+4-2x3-x2+6x-5>0
-3x3-3x2+6x>0
-3x(x2+x-2)>0
Разложим на множители
-3x(х-1)(х+2)>0
Отметим х=0, х=1, х= -2 и решим методом интервалов.

х∈ (-∞;-2)∪(0;1)Решим второе неравенство.
4+2(x3+2x2-4)-2x3-x2+6x-5>0
4+2x3+4x2-8-2x3-x2+6x-5>0
3x2+6x-9>0
x2+2x-3>0
Разложим на множители: х2+2х-3 = (х-1)(х+3)
х=1, х= -3

х∈(-∞;-3)∪(1;∞)Объединение двух участков будет являться решением: x∈(-∞;-2)∪(0;1)∪(1;∞)Ответ: х∈(-∞;-2)∪(0;1)∪(1;∞)
Глава III.Решение простейших задач с параметром Для каждого значения а решить относительно х (зад. 1- зад.9).
Задача 1: ах ≥1
Решение:
1) а = 0, х∈∅;
2) а > 0, x ≥1a;3)a< 0, x≤1aЗадача 2: (а2 – 9)х = а+3
Решение:
Если а2-9 = 0 (а = ±3), то:
1) а = -3, 0=0, х∈R
2) а = 3, 0=6, х∈∅.
Если а2-9 ≠0, то х = а+3 (a-3)(a+3) = 1a-3Ответ: если а = -3, то х∈R,
если а = 3, то х∈∅,
если а ≠±3, то х = 1a-3 .
Задача 3: x≤-aРешение: x≥01) а = 0, x≤0, х=0;2) а ≠0
a< 0,-a>0,x≤ -a, 0≤x≤a2;a> 0,x≤ -a, x∈∅.
Ответ: если а=0, то х=0,
если a < 0, то , 0≤ x ≤ a2,
если a > 0, то x∈∅.
Задача 4: cosx ≤ a
Решение:

1) а∈ -1;1, х∈ arccosa+2πk;2π-arccosa+2πk;;
2) а >1, х ∈ R;
3) а < -1, х ∈∅.
Задача 5: x-ax-5 = 0
Решение:
x-а=0x-5≠0⇨x=ax≠5В итоге получаем, что если а = 5, то х ∈∅, а если а≠5, то х = а.
Ответ: если а = 5, то х∈∅,
если а ≠5, то х = а.
Задача 6: sinx= 12(a + 1а )Решение:
1) если 1 2(a + 1а ) ∉-1;1, то х ∈∅;
2) если 1 2(a + 1a ) ∈-1;1, т.е. -1≤12 (a + 1a ) ≤1, -2 ≤a + 1a≤ 2,
1a+a ≤2, (а)1a+a ≥ -2;(б)а) a + 1а≤2, (а2+1-2а)/а ≤0, (а-1)2 / а ≤ 0

а∈ (-∞;0)∪1;
б) 1a+a ≥ -2, (а2 + 2а +1) / а ≥0, (а+1)2 / а ≥0
а ∈0; ∞∪-1Значит, решением системы являются значения: -1, 1.
а = 1, sin x = 1, x = π2 + 2πk, k ∈ Z;
a = -1, sin x = -1, x = - π2 + 2 πk, k ∈ Z.
Ответ: если а≠±1, то х ∈∅,
если а = 1, то x = π2 + 2πk, k∈Z,
если a = -1, то x = - π2 + 2πk, k∈Z.
Задача 7: х2>а
Решение:
1) а = 0, х2>0, х ∈(-∞;0)∪(0;∞);
2) а < 0, х2>а, х ∈R;
3) а > 0, х2>а, х2-а ≥ 0,(x-a)(x+a)>0, х ∈(-∞; - а)∪(а;∞)Ответ: если а < 0, то х ∈R,
если а ≥ 0, то х ∈(-∞; - а)∪(а;∞).
Задача 8: |x-3| <a
Решение:
1) а ≤ 0, х ∈∅, так как |x-3|≥ 0;
2) а > 0, |x-3| <a, -а <х-3<a, 3-а <х <a+3.
Ответ: если а ≤ 0, то х ∈∅,
если а > 0, то х ∈(3-a;a+3)Задача 9: х ≥ Решение:

1) а > 0,

х ∈ -a;0)∪a;∞);
2) а < 0, , х2- а > 0 при любом значении х⇨ х> 0;
3) а = 0, , x≥0,x≠0⇨х ∈(0;∞).
Ответ: если а ≤0, то х > 0,
если а > 0, то х ∈ -a;0)∪a;∞).
Задача 10: найти все значения а, при которых уравнение (а-2)х2+2(а-2)х+2=0 не имеет корней.
Решение:
1) а-2=0(а = 2), 2=0, значит, корней нет;
2) а ≠2, D<0, D= (а-2)2 – 2(а-2) = а2 – 4а +4 – 2а+4 = а2 - 6а+ 8,
а2 – 6а +8 <0,
а2 – 6а +8 = 0, D1 = 36-32 = 4, а1 = 2, а2 = 4

Ответ: а ∈(2;4)
Глава IV. Решение задач4.1 Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчленаЗадача 1: найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения у = a2x2+ax-2 принадлежит промежутку (-1;1), а второй корень по модулю не равен 1 и не принадлежит этому промежутку.
Решение:
Схематично построим график a2≥0:
(1) (2)
1) -1<x1<1, x2>1f(-1)>0,f1<0;2) -1<x1<1, x2<-1f(-1)<0,f1>0;Замечаем, что в обоих случаях f(-1)*f(1)< 0
(a2– a - 2)(a2+a-2)<0a2– a - 2=0 или a2+a-2=0
а = ± 1, а = ±2

Ответ: а ∈(-2;-1)∪(1;2).
Задача 2: найдите все значения а, при которых уравнение
x-2= 2a-1x+1 имеет единственное решение.
Решение:
преобразуем уравнение:
x≥2,(x-2)2=2a-1x+1⇔x≥2,x2-2a+1x+3=0.У параболы fx= x2-2a+1x+3 ветви направлены вверх, поэтому
единственное решение возможно лишь в случаях:
(1)
(2)
(3)
Найдем дискриминант уравнения:
D1 = (а+1)2 – 3 = a+1-3a+1+3.Теперь разберем каждый из трех случаев:
1) Необходимые условия:
D>0,f2<0;a+1-3a+1+3≥0
а1 = -1+3, а2 = -1-3; а ∈(-∞;-1-3)∪(3-1;∞);
f(2) = 4 - 4(a+1)+3 = 4-4a-4+3 = -4a+3, -4a+3< 0, a >34;
Значит, a>34 .
2) D>0,f2=0,xB<2;2(a+1)2<2, a<1a ∈(-∞;-1-3)∪(3-1;∞)a= 34a<1⇔a= 343)D=0,xв≥2.⇔a= -1±3,a ≥1⇔a∈∅Объединяя результаты всех этих случаев, получаем ответ.
Ответ: а ∈34;∞).Задача 3:при каких значениях параметра а уравнение (1-х)(х+8) = а имеет два различных отрицательных корня.
Решение:
х +8-х2-8х = а
-х2-7х+8-а = 0
Чтобы уравнение имело два отрицательных корня, необходимы условия:
D>0,ca>0,-ba<0 , -7<0 "и";D = 49+4(8-а) = 49+32-4а = 81-4а
1) 81-4а >0
а <814, а< 20,25.
2) ca>0- 8-a1>0, a> 8.
3)

Ответ: а ∈8;20,25.
4.2 Задачи с модулемПонятие модуля, или абсолютной величины, допускает несколько подходов. Абсолютная величина действительного числа равна этому числу, если оно неотрицательно, и противоположному, если число отрицательно. Это непрерывная кусочно-линейная функция, определенная следующим образом:
|x|=-x, &x<0,x, &x≥0.С геометрической точки зрения модуль числа – это расстояние от начала координат до этого числа. В математике широко используют тот факт, что выражение |x1-x2| означает расстояние между точками x1 и x2.
Задача 1: найти все значения параметра а при которых решения неравенства |3x-a| ≤ |x-4|-2 образуют отрезок длиной 1.
Решение:
Рассмотрим функции
у =|3x-a| и у= |x-4|-2
Построим график функции у= |x-4|-2 и график функции у =|3x-a|, при а = 0

График у =|3(x- a3)| получается смещением вдоль оси x на a3. Значит, неравенство имеет решение, если a3≤2 или a3≥6.
|3x-a|=3x-a, &x≥a3a-3x, &x<a3x-4-2=x-6, &x≥4-x+2, &x<41. Найдем абсциссы точек пересечения графиков.
a3 ≤2, a≤6т.А: 2-х = 3х-а
-4х = -а-2
х = a+24т.В: 2-х= а-3х
2х=а-2
х=a-22Так как по условию |A-B|=1, то
a+24- a-22 = 1, a+2-2a+44=1; 6-a=4, a = 2
2. a3≥6, а ≥18т.D: 3х-а = х-6, 2х = а-6, х =a-62т.С: х-6 = а-3х, 4х = а+6, х = a+64Так как |D-C| = 1, то
a-62 - a+64= 1, a-224 = 0, а = 22
Ответ: 2; 22.

Задача 2: найти все значения параметра а, при которых уравнение
|2x-1| = 2+ax имеет единственное решение.
Решение:
|2x-1| -2=ax
Построим график функции f(x) =2 |x-12|-2:

у = ах – это множество прямых, проходящих через точку (0;0). Чтобы уравнение имело одно решение, нужно чтобы прямая пересекала только один луч графика у = |2x-1|-2. Если, а>0, то одна точка пересечения будет при а ≥2. Если, а<0, то только при а≤-2.Ответ: а ∈(-∞;-2∪2;∞).Задача 3: при каких значениях параметра а уравнение |x+1| = a(x-4)-1 не имеет решений.
Решение:
Рассмотрим две функции: y = |x+1| +1, y = a(x-4). Построим графики функций y = |x+1| +1 и y = x-4 (а=1).

y = |x+1| +1 ( красный), y = a(x-4) (желтый), у = -0,2(х-4) (розовый).
Замечаем, что уравнение не имеет решений. Увеличивая значение а, убеждаемся, что графики пересекаются. При уменьшении значения а, видим, что при а = -0,2 графики пересекаются в точке (-1;1). Значит, а∈(-0,2;1 .Ответ: а∈(-0,2;1.
4.3 Параметр как переменнаяЗадача 1: найти все значения х, при которых неравенство
(4-2а)х2+(13а-27)х+33-13а>0 выполняется для всех значений а, удовлетворяющих условию 1<а<3.
Решение:
4х2-2ах2+13ах-27х+33-13а>0
-2ах2+13ах-13а+4х2-27х+33 >0
а(-2х2+13х-13)+4х2-27х+33>0
Рассмотрим функцию f(a) = а(-2х2+13х-13)+4х2-27х+33 – это линейная функция, график – прямая.
Для выполнения данных условий необходимо:
f(3)>0f(1)>01) f(3)>0f(3) = -6x2+39x-39+4x2-27x+33 = -2x2+12x-6; -2x2+12x-6>0x2-6x+3<0, x2-6x+3=0
D=6, x1=3-6 , x2 = 3+6x∈(3-6;3+6).
2) f1>0f1= -2x2+13x-13+4x2-27x+33 = 2x2-14x+20;
x2-7x+10>0, x2-7x+10=0
D = 9, x1=2, x2 = 5
x∈(-∞;2)∪(5;∞)3-√6 3+√6 2 5
X
X
3)
Ответ: х∈(3-6;2)∪(5;3+6).
Задача 2: найти все значения х, при которых неравенство
2-ax3+1-2ax2-6x+5+4a-a2<0 выполнялось хотя бы для одного значения а ∈ -1;2.
Решение:
fa=2x3-ax3+x2-2ax2-6x+5+4a-a2= -a2-ax3+2x2-4+2x3+x2-6x+5.
Для решения данной задачи достаточно выполнение одного из условий:
f-1<0 или f(2)<01) f-1= -1+x3+2x2-4+2x3+x2-6x+5=3x3+3x2-6x.x3x2+3x-6<0Решим это неравенство методом интервалов: х = 0, х= -2, х=1
Перепишем неравенство в виде:
xx+2x-1<0
x∈-∞;-2∪0;1.2) f2= -4-2x3-4x2+8+2x3+x2-6x+5= -3x2-6x+9.-3x2-6x+9<0 , x2+2x-3>0 ; x = -3, x=1
x∈(-∞;-3)∪(1;∞).
3)

Объединение двух участков будет являться решением.
Ответ: x∈-∞;-2∪0;1∪1;∞.4.4 Задачи на исследование количества решенийЗадача 1: в зависимости от значений параметра а определить количество корней уравнения2-(х2-х+1)(х2-х) = х2 – х+а.
Решение:
Замена у = х2-х приводит исходное уравнение к виду 2-(у+1)у = у+а2-у2-у = у +а, -у2-2у+2 = а
Вершина параболы – точка с координатами (-1;3).

При а ≤3 у уравнения -у2-2у+2 – а=0 есть решения. Найдем корни.
D1=1+2-а = 3 – а. Значит, у1,2= -1±3-a.
Построим график у = х2–х с вершиной в точке (0,5;-0,25).

Корнями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы у = х2-х с прямыми у2,3 = -1±3-a. Количество корней исходного уравнения равно числу точек пересечения трех графиков. Замечаем, что
-1-3-a<-14, исходное уравнение будет иметь корни только при условии -1+3-a≥-14. Тогда a≤3916.
Если а = 3916, то уравнение имеет один корень.
Если а <3916, то уравнение имеет два корня.
Если а >3916, уравнение корней не имеет.
Задача 2: при каких значениях параметра а уравнение |х2-6х+8|+|х2-6х+5|=а имеет ровно 3 корня.
Решение: рассмотрим две функции: у = |х2-6х+8|+|х2-6х+5| и у=а.
1. х2-6х+8=0, х1= 4, х2 =2.
2. х2-6х+5=0, х1=1, х2= 5.
На каждом промежутке определим знак подмодульных выражений:

1. x∈(-∞;1∪5;∞)у= х2-6х+8+х2-6х+5
у= 2х2-12х+13 – график – парабола, ветви вверх.
Найдем координаты вершины:
хв=12/4=3, ув=18-36+13= -5
2. x∈2;4у= -х2+6х-8-х2+6х-5
у= -2х2+12х-13-график – парабола, ветви вниз.
Найдем координаты вершины:
хв= -12/(-4)=3, ув = -18+36-13= 5
3. x∈(1;2)∪(4;5)у = х2-6х+8-х2+6х-5
у=3 – прямая, параллельная Oх.Построим график функций у = |х2-6х+8|+|х2-6х+5| и у=а:

На графике видим, что при а = 5 исходное уравнение имеет три решения.
Ответ: а=5.
Задача 3: найти все значения а, при которых уравнение
(x2-6|x|+a)2 + 10(x2-6|x|+a)+26 = cos(16πa) имеет ровно два корня.
Решение:
Замена: x2-6|x|+a = t, t2+10t+26 = cos(16πa). Рассмотрим две функции: у = t2+10t+26 и у = cos(16πa). Для квадратичной функции найдем координаты вершины: (-5;1), а так как функция у = cos(16πa) может принимать значения -1;1, то
cos(16πa)=1, 16πa = 2πk, 8a = k, k∈Z.
Произведем обратную замену: x2-6|x|+a = -5, -x2+6|x|-5 = а.
Рассмотрим две функции и построим их графики: у = а и у = -x2+6|x|-5,
Для квадратичной функции найдем координаты вершины: (3;4)

Так как, k∈Z, то а может принимать значения только ±1, ±2, ±4, ±8. На графике видим, что уравнение имеет два решения при а = 4 и при а = -8.
Ответ: 4, -8

4.5 Задачи с использованием симметрииЗадача 1: при каких значениях параметра а система неравенств x2+2a≤y, y2+2a≤x имеет единственное решение.
Решение:
Пусть (х0;у0) – решение системы, тогда ввиду симметрии (у0;х0) тоже будет решением. Так как в задаче необходимо найти значения а, при которых будет только одно решение, следовательно, нужно выполнение условия х=у. Подставив в систему, получаем х2-х+2а≤0.Чтобы неравенство имело единственное решение, необходимо обращение дискриминанта в 0.
D = 1-8а = 0, а = 18 , тогда х2-х+14 = 0, х = 12.
Проверим достаточность данного условия. Складывая два неравенства, получаем:
x+y ≥x2+y2+12 ↔x-122+ y-122≤0.Действительно видно, что х = у = 12 является единственным решением системы.
Ответ: а = 18.
Задача 2: при каких значениях параметра а система x2-2a+1x+a3-3=yy2-2a+1y+a2-3=x имеет ровно одно решение.
Решение:
Если поменять у на х, то система сохраняется, т.е. если (х;у) – решение, то и (у;х) – решение. Так как, нужно чтобы было единственное решение, то необходимо х = у.
Заменим у=х:
x2-2a+1x+a2-3=xx2-2a+1x+a2-3=0Если D<0, то система не имеет решения.
Если D>0, то система имеет 2 решения, что не подходит в данной задаче.
Если D=0, то система имеет единственное решение.
D=а2+2а+1-а2+3 = 2а+4, 2а+4 = 0, а = -2.
Значит, только при а= -2, система имеет единственное решение.
Убедимся в этом, подставив а = -2 в систему.
x2+3x+1=y,y2+3y+1=x;Сложим два уравнения:
x2+3x+1=y,x2+2x+1+y2+2y+1=0;⇔x2+3x+1=y,x+12+y+12=0;⇔(-1;-1)Проверим первое уравнение: -1= -1⇨ (-1;-1) – единственное решение.
Ответ: а = -2.
Задача 3: при каких значениях параметра а система уравнений ax2+2ax+y+3a-3=0,ay2+x-6ay+11a+1=0; имеет единственное решение.
Решение:
Преобразуем данную систему:
ax2+2x+1+2a+y-3=0,ay2-6y+9+2a+x+1=0;⇔a(x+1)2+y-3+2a=0,a(y-3)2+x+1+2a=0;Из вида последней системы замечаем, что если в первом уравнении заменим (х+1) на (у-3), то получим второе уравнение и наоборот, это значит, что решением системы будет как точка (х+1;у-3), так и (у-3;х+1). Чтобы система имела единственное решение необходимо, чтобы х+1 = у-3.
Если а=0, то у-3 = 0 (у = 3) и х+1 = 0 (х= -1), т.е. система имеет единственное решение.
Заменим в первом уравнении у-3 на х+1, получим квадратное уравнение:
a(x+1)2+x+1+2a=0.
Уравнение, а значит, и система, будут иметь единственное решение, если дискриминант данного уравнения будет равен нулю.
D= 1-8a2,1-8a2=0⇔ а = ±122 .
Ответ: а = 0, а = ±122 .

ЗаключениеЧтобы решить задачу с параметром, необходимо подробно изучить свойства всех простейших функций и их графики, определить к какому типу относится данная задача, возможно, это поможет понять какой именно способ решения наиболее рациональный и быстрее приводит к ответу. Затем нужно предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству. Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т.д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи состоит в поиске указанных значений параметра.
В работе рассмотрены типы уравнений, неравенств и их систем, наиболее часто встречающихся в вариантах Единого Государственного Экзамена, решенные разными способами.
В процессе работы задачи были систематизированы по видам, изучены типы задач с параметром и способы их решения. При решении большого количества задач наработан навык решения.
Задачи с параметрами представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и умение их решать способствует более успешной сдаче экзамена.
Данную работу можно использовать в качестве учебного материала при подготовке к экзамену.

Список литературы.
1. Амелькин, В.В. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике [Текст]/ В.В. Амелькин.-Мн.: Изд-во: «Асар», 1996.-464с.
2.Высоцкий, И.Р. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся [Текст]/ ФИПИ-М.: Изд-во: «Интеллект – Центр», 2010.-96 с.
3. Козко, А.И. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром [Текст]/А.И. Козко.-М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2010-140с.
4.Панферов, В.С. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач [Текст]/ФИПИ-М.: Изд-во: «Интеллект-Центр», 2010.-80с.
5. Параметр в математике/ www. Megabook.ru.6. Соколов, Б.В. задачи с параметром [Текст]/Б.В Соколов// Типы задач с параметрами.-2002-52с.

Приложенные файлы

  • docx parametr.docx
    Размер файла: 351 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий