Научно-исследовательская работа по математике «Способы быстрого устного счета»

IX районная научно-практическая конференция
Учащихся 2-11 классов общеобразовательных учреждений




Секция «Математика»




Способы быстрого устного счета



Выполнил:
Рассолов Егор,
МБОУ «СОШ № 13»
5 класс А

Научный руководитель:
Захарова Ирина Андреевна,
учитель математики
МБОУ «СОШ № 13»



Новокузнецк
2016
Содержание
Введение...3
Способы быстрого устного счета.....5
Способы быстрого сложения чисел..5
Способы быстрого вычитания чисел6
Способы быстрого умножения чисел...6
Способы быстрого деления чисел10
Практическая часть11
Заключение..13
Список литературы.14
Приложения.15































Введение
«Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит» - Михаил Ломоносов. А М. И. Калинин говорил в 1941 г. учащимся средних школ Ленинского района г. Москвы: «Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области не работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики». Эти замечательные слова М.И.Калинина надо не только хорошо помнить, но и учиться применять математические знания и навыки на практике.
Несмотря на то, что нас сегодня окружают разные гаджеты, калькуляторы, компьютеры, способные решить за нас любую задачу или пример, умение считать в уме остается и сегодня полезным навыком.
Устным счетом мы пользуемся каждый день: в магазине, прикидывая стоимость продуктов, в автобусе, считая сдачу за проезд и т.д. Для школьника умение быстро и правильно считать важно на уроках, ведь каждый урок математики начинается с устного счета. Именно поэтому была выбрана тема «Приемы быстрого устного счета».
Несомненно, опыт и тренировка играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? Изучив многие подходы, направленные на выработку навыков быстрого устного счета, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:
1. Способности. 
2. Алгоритмы. 
3. Тренировка и опыт.
Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете «пересчитать» даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.
Известный феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.
Среди известных российских «супер счётчиков»: Арон Чиквашвили «чудо-счётчик», Давид Гольдштейн, Игорь Шелушков, А. В. Некрасов «человек-компьютер», Владимир Кутюков «человек-календарь».
Проблема: известно, что современные ученики не умеют считать в уме, проще решить пример на калькуляторе, в крайнем случае в столбик, однако в нашей жизни случаются ситуации, когда необходимо быстро и правильно посчитать устно.
Гипотеза: если человек имеет предрасположенность к логическому мышлению, знает специальные алгоритмы и умеет их применять на практике, то он сможет быстро устно считать трудные примеры.
Целью исследования является изучение влияния знаний алгоритмов быстрого устного счета на скорость решения примеров учениками.
Задачи исследования:
найти литературу на выбранную тему;
изучить способы быстрого устного счета вместе с одноклассниками;
подобрать материал для исследования;
провести исследование среди учеников класса;
познакомиться с людьми-«калькуляторами»;
сделать выводы о результатах проделанной работы.



























Способы быстрого устного счета
Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом».
Для того чтобы лучше понять как это получается у людей быстро и правильно считать в уме, мы рассмотрим способы быстрого сложения, вычитания, умножения и деления чисел в уме.

Способы быстрого сложения чисел.
Промежуточное приведение к "круглым" числам.
Если хотя бы одно слагаемое близко к "круглому" числу десятков, сотен, тысяч и т.д. (100, 300, 1000, т.е. (А*10n - z), где z - сравнительно мало), то вычисления можно упростить:
приведя одно из слагаемых к ближайшему "круглому" числу;
выполнив более легкое вычисление с "круглым" и затем учтя поправку.
Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом.
Пример: 187+198=187+(198+2)-2=187+200-2=387-2=385
Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
607+395= (600+7)+(400-5)= (600+400)+(7-5)=1000+2=1002
Нахождение наиболее удобного порядка вычислений.
Использование сочетательного и переместительного свойств сложения.
Пример: (42+37)+58=(42+58)+37=100+37=137
183+732+268+317=(183+317)+(732+268)=500+1000=1500
Поразрядное сложение чисел.
К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):
Пример: 53+26+44+82= (50+20+40+80)+(3+6+4+2)=190+15=205
Способ "корневых" чисел.
При обработке статистических измерений иногда приходится складывать числа, "скапливающиеся" около одного "корневого" числа, на глаз близкого к среднему. Разумно провести такое сложение в три приема:
найти сумму "корневых чисел";
найти сумму отклонений каждого числа от "корневого";
полученную сумму алгебраически (с учетом знака) прибавить к итогу пункта "1".
Пример: 37+34+33+35+34+33+34=34*7+(3+0-1+1+0-1+0)=238+2=240

Способы быстрого вычитания чисел.
Промежуточное приведение к "круглым" числам.
Если хотя бы одно слагаемое близко к "круглому" числу десятков, сотен, тысяч и т.д. (100, 300, 1000, т.е. (А*10n - z), где z - сравнительно мало), то вычисления можно упростить:
приведя одно из слагаемых к ближайшему "круглому" числу;
выполнив более легкое вычисление с "круглым" и затем учтя поправку.
Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:
Пример: 358-197=358-(200-3)=158+3=161
297-195=(300-3)-(200-5)=300-3-200+5=100+2=102
Нахождение наиболее удобного порядка вычислений
Применение правил вычитания суммы из числа и числа из суммы.
Пример: 428-(128+126)=(428-128)-126=300-126=174
(619+282)-319=(619-319)+282=300+282=582
Поразрядное вычитание чисел.
Пример: 356-133=(300-100)+(50-30)+(6-3)=200+20+3=223.
Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:
Пример: 457-265=(300-200)+(150-60)+(7-5)=100+90+2=192.
Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого.
Пример: 158-69=(158+1)-1-69=159-69-1=90-1=89
223-115=223-(113+2)=(223-113)-2=110-2=108

Способы быстрого умножения чисел
Умножение на 4, 8, 16 и т.д.
Для умножения числа на 4, 8, 16 необходимо его последовательно удваивать.
Пример: 153
·8=153
·2
·4=306
·2
·2=612
·2=1224
Умножение на 5, 50, 500 и т.д.
Коль на 5 умножаем, друзья,
Это значит, число мы делим на 2.
Без остатка число разделилось у нас? –
Мы к частному справа нолик
Припишем в тот час.
Если нечетное число увидели мы,
Пятерку к частному поставить должны.
Пример: 257
·5= (257:2)+подставить 5=1285
378
·5=(378:2)+подставить 0=1890
Для умножения на 50, 500 число необходимо сначала умножить на 5, а потом на 10, 100 и т.д.
Умножение на 25
Как число на 25
Надо быстро умножать?
Смело на число смотри
На 4 его дели,
А если осталось число
На 25 умножай его.
К частному справа 2 нуля припиши,
Сумму этих чисел найди,
Ручку в руки возьми и ответ запиши.
Пример: 263
·25=(263:2:2)+приписываю к частному 2 нуля = 6500 + +остаток от деления 3; 3
·25=75 =
· 263
·25=6575
588
·25=(588:2:2)+приписываем 2 нуля=14700
Умножение на 125.
Как число на 125
Надо быстро умножать?
Смело на число смотри
И на 8 его дели,
А если осталось число
На 125 умножь его.
К частному справа 3 нуля припиши,
Сумму этих чисел найди,
Ручку в руки возьми и ответ запиши.
Пример: 79
·125=(79:8)+приписываю к частному 3 нуля=9000+ остаток от деления 7; 7
·125=875 =
· 79
·125=9875
Умножение на 15.
Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.
Пример: 307
·15= 3070+(3070:2)=3070+1535=4605
Умножение на 11.
Вот двузначное число,
На 11 быстро умножим его.
Первую и вторую цифру
Без изменений оставь,
В середину же сумму
Этих чисел поставь.
Получилось трехзначное число
Ответом является оно.
(Если сумма больше 10,
С первым числом 1-цу сложи,
А остаток от числа в середину пиши).
Либо можно к числу приписать 0, а затем к получившемуся числу прибавить исходное.
Пример: 37
·11=407
24
·11=264
56
·11=560+56=616
Вот трехзначное число,
На 11 тоже умножим его.
Первую и 3-ю цифру без изменений оставляем
Суммы считать начинаем:
Первое со вторым, второе с третьим быстрее сложи,
В середину последовательно числа пиши.
Если правильно считаем,
Ответ мы быстро получаем.
Пример: 196
·11=2156
Умножение на 111.
С этим правилом почти ты знаком,
Небольшое отличие увидишь лишь в нем.
Вот двухзначное число,
На 111 быстро умножим его.
Данное число мы раздвигаем,
В середину дважды
Сумму этих цифр вставляем.
Получили четырехзначное число
Ответом является оно.
Пример: 76
·111=8436
Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.
Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 10101, число надо повторить дважды/трижды.
Пример: 46
·101=4646
46
·10101=464646
Умножение на 9, 99, 999.
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, а из результата вычесть первый множитель.
Пример: 138
·9=1380-138=1242
35
·99=3500-35=3465
27
·999=27000-27=26973
Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания ко множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.
Пример: 6
·278=6
·(200+70+8)=1200+420+48=1668
7
·296=7
·(300-4)=2100-28=2072
Умножение чисел, близких, но меньше 10n
Найти дополнение каждого числа до 10n
Из одного сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя до 10n
Найти произведение дополнений
Результат, полученный во втором пункте, умножить на 10n и к полученному произведению прибавить произведение дополнений.
Пример: 997
·998=995000+6=995006
3 2 - дополнения до 1000
998-3=997-2=995
2
·3=6
Умножение чисел, близких, но больших 10n
Найти дополнение каждого числа до 10n
К одному из сомножителей прибавить дополнение второго сомножителя до 10n
Найти произведение дополнений
К результату, полученному во втором пункте приписать произведение дополнений, следя за тем, чтобы оно занимало n-разрядов.
Пример: 105
·108=11340
5 8 – дополнения
108+5=105+8=113
5
·8=40
Умножение чисел, близких к 10n, одно из которых больше 10n, а другое меньше 10n.
Найти дополнение каждого из сомножителей до 10n
Из одного сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя до 10n
Найти произведение дополнений
Вычесть из 10n произведение дополнений
К результату, полученному в пункте 2 и уменьшенному на 1, приписать результат нехватки вычислений пункта 4 до степени n.
Пример: 1) 98
·103=10094
2 3
103-2=98+3=101
2
·3=6

2)92
·105=9660
8 5
8
·5=40
Умножение чисел, близких к 5
·10n (т.е. близких к 50, 500, 5000 и т.д.)
Найти дополнение каждого из сомножителей до 5
·10n
Из одного из сомножителей вычесть дополнение другого
К полученному результату приписать столько нулей, сколько цифр в каждом из сомножителей, а затем полученное число разделить на 2 (или полученный результат умножить на 5
·10n+1 и поделить на 2)
Найти произведение дополнений
К полученному в пункте 3 результату алгебраически прибавить произведение дополнений.
Пример: 48
·47=2256
2
· 3=6
48-3=47-2=45, 4500:2=2250, 2250+6=2256
Умножение любого пятизначного числа на 99 999.
36724
·99 999=3672363276
(Первые пять цифр представляют собой названное число, уменьшенное на 1. Следующие 5 цифр являются дополнением каждой цифры названного числа до 9, последнее до 10)
Способы быстрого деления чисел.
Последовательное деление.
Если делитель является составным числом, то его можно разложить на два или большее количество множителей, а потом выполнить последовательное деление.
Пример: 840:35= 840:(7
·5)=840:5:7=168:7=24
720:40=720:(8
·5)=720:8:5=90:5=18
Деление на 5, 50, 500.
При делении на 5 если делимое оканчивается на 5, то сначала мы отбрасываем эту пятерку, а оставшееся число удваиваем и прибавляем единицу.
Пример: 5675:5=567
·2+1=1135
При делении на 5, 50, 500 если делимое оканчивается на 0, то сначала мы отбрасываем 0, два 0, три 0 соответственно, а оставшееся число удваиваем.
Пример: 6730:5=673
·2=1346
327600:50=3276
·2=6552
245000:500=245
·2=490
Деление на 4, 8, 16
Чтобы число разделить на 4, 8, 16, последовательно находят его половины.
Пример: 5344:8=5344:2:4=2672:2:2=1336:2=668


Деление на 25
Если делимое оканчивается на два 0, то мы отбрасываем эти нули а оставшееся число умножаем на 4.
Пример: 56800:25=568
·4=2000+240+32=2272
Если делимое не оканчивается на два 0, то:
последние 2 цифры делим на 25 и запоминаем результат;
цифры, находящиеся перед цифрами из пункта 1, мы умножаем на 4
результаты, полученные в 1-ом и 2-ом пунктах складываем
Пример: 1) 86850:25=3474
50:25=2
868
·4=3200+240+32=3472, 3472+2=3474
2)63175:25=2527
75:25=3
631
·4=2400+120+4=2524, 2524+3=2527
Деление на 125.
Если делимое оканчивается на три 0, то мы их отбрасываем, а оставшиеся цифры умножаем на 8.
Пример: 149000:125=149
·8=800+320+72=1192
Если делимое не оканчивается на три 0, то:
последние 3 цифры делим на 125 и запоминаем результат;
цифры, находящиеся перед цифрами из пункта 1, мы умножаем на 8
результаты, полученные в 1-ом и 2-ом пунктах складываем
Пример: 23625:125=189
625:125=5
23
·8=160+24=184, 184+5=189

Практическая часть
Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: если человек имеет предрасположенность к логическому мышлению, знает специальные алгоритмы и умеет их применять на практике, то он сможет быстро устно считать трудные примеры.
Объект исследования: 5 «А» класс.
Время проведения: октябрь-декабрь.
Задачи исследования:
Изучить известные способы быстрого устного счета;
Подобрать материал для исследования;
Провести диагностику;
Подвести результаты исследования.
Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, состоящих из 20 примеров на сложение, вычитание, деление и умножение, которые нужно было решить как можно быстрее (см. Приложение «Материал для исследования»).
Диагностика проводилась в несколько этапов:
Проверка имеющихся навыков вычислений;
Изучение способов сложения и вычитания;
Ознакомление с новыми приемами умножения;
Изучение способов деления.
Итоговая проверка полученных навыков устного счета.
Обработка результатов показала:
На «нулевом» этапе (октябрь) учащиеся 5 «А» класса показали: письменно решено – 75%, устно – 25%, среднее время решения примеров составило 13мин 5сек, при этом правильно решено 75%, ошибки составили – 25%.
После изучения способов сложения и вычитания, во втором контрольном замере (декабрь), учащиеся снизили процент заданий, решенных письменно, что составило – 20%, устно решили – 80%, среднее время решения примеров составило 9 мин 55 сек, при этом правильно решено 80%, ошибки составили – 20%.
Из результатов исследования можно сделать вывод: изучение способов устного счета увеличивает скорость решения примеров, а также увеличивает правильность их решения. Ошибки во втором замере скорее связаны с недостаточностью времени усвоения навыков устного счета.
Поэтому можно дать рекомендации продолжать на практике применять изученные методы для увеличения скорости вычислений, улучшения качества решения примеров, развития гибкости ума и памяти.
Результаты исследования представлены с помощью диаграмм.
13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415
Рис.1. Динамика развития вычислительных навыков учащихся
13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415
Рис.2. Динамика скорости решения примеров
Таким образом, принимаем гипотезу о том, что можно увеличить скорость решения примеров с помощью приемов быстрого счета.
Из выше рассмотренного следует, что вычислительные навыки развить может каждый человек, независимо от его феноменальных математических способностей.

Заключение.
В ходе научной работы были изучены способы быстрого устного счета: сложения, вычитания, умножения и деления.
После проведения исследования был сделан вывод о том, что изучение приемов счета увеличивает скорость решения примеров и правильность их решения. Совершенствование вычислительных навыков возможно только на практике. Это основная задача на уроках математики.
Устный счёт на уроках имеет важное значение, так как он подразумевает общение учителя с учениками, а также рассуждения учащихся во время выполнения различных заданий.
Значение упражнений велико как в формировании вычислительных навыков и в совершенствовании знаний по нумерации, так и в развитии личностных качеств ребёнка.
Для развития быстроты устных навыков вычислений в течение трёх-четырёх лет обучения на каждом уроке математики необходимо выделять 6–12 минут при проведении устных упражнений согласно преподаваемой теме.
Устный счёт по математике важен также тем, что он активизирует мыслительную деятельность; при его выполнении развивается речь, внимательность, сосредоточенность, быстрота реакции, память, способность к восприятию сказанного на слух. В сочетании с другими видами работы на уроках, устный счёт позволяет создать условия, при которых активизируются такие виды деятельности как моторика и мышление. И устные упражнения в этом комплекте играют важную роль.

6. Список литературы.
1. Александрова В. А. Устный счет – гимнастика ума (Законы математической логики). – Кемерово: ГБОУ СПО «Кемеровский аграрный техникум», 2013
2. Зайцева О.П. Роль устного счёта в формировании вычислительных навыков и развитии личности ребёнка. – Начальная школа, № 1, 2001 г.
3. Иванова Т. Устный счет – Начальная школа, 1999 г.
4. Камаев П. М. Устный счет – М.: Чистые пруды, 2007 – Библиотека «Первого сентября», серия «Математика», вып. 3(15).
5. Перельман Я. И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета.– Ленинград: Дом занимательной науки, 1941.
6. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка – Математика в школе, № 7, 2008 г.
7. Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме [Электронный ресурс]. – Режим доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

















Приложение
Материал для исследования
894-672=
6485+582=
534*4=
36+89+24=
346*5=
484-35-84=
120*25=
7565+799=
560:16=
132*15=
455+236=
68*11=
73*101=
348*99=
343-95=
3250:5=
7*213=
759-553=
14500:25=
427-254=


















13PAGE \* MERGEFORMAT141015




Root Entry

Приложенные файлы