Практическая работа по теме «Теоремы теории вероятностей: формула полной вероятности и формула Бернулли»

КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ
«ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ»









Практическая работа по теме
«Теоремы теории вероятностей: формула полной вероятности и формула Бернулли»
Варианты работ и пример выполнения.



Разработчик:
Фомина Елена Анатольевна
преподаватель математики и информатики













Волхов 2016г.

Практическая работа по теме
«Теоремы теории вероятностей: формула полной вероятности и формула Бернулли»
Пример выполнения



Задание 1. Условной вероятность p(A/B) – вероятность случайного события, при условии, что произошло событие В

Задача.
Есть семь машин:
Красный Ford, Белый Ford,
Красная Mazda, Белая Mazda,
Красный Opel, Белый Opel, Черный Opel.
Даны случайные события :
А= «машина красная» В= «машина марки Opel»
C= «машина марки Ford» D= «машина черная»
Найти условные вероятности: p(A/B), p(A/C), p(C/D)

Решение:
p(A/B)=1/3 - вероятность, что машина будет красная, при условии, что мы знаем, что она марки Opel (всего три машины Opel, из них только одна красная)

p(A/C)=1/2 – вероятность, что машина будет красная, при условии, что мы знаем, что она марки Ford ( всего две машины Ford из них только одна красная

p(C/D)=0 – вероятность, что машина будет марки Ford, при условии, что она черная ( всего черных машин одна, и среди них нет марки Ford )

Задание 2. Формула полной вероятности используется в том случае, когда для решения задачи выдвигают предположения - гипотезы:
p(A)=p(A/H1)
·p(H1)+ p(A/H2)
·p(H2) + + p(A/Hn)
·p(Hn)
H1 – первая гипотеза, p(H1) – вероятность первой гипотезы
H2 – вторая гипотеза, p(H2) – вероятность второй гипотезы

Hn – n-я гипотеза, p(Hn) – вероятность n-й гипотезы
p(A/H1) – вероятность события А, при условии, что верна гипотеза H1
p(A/H2) – вероятность события А, при условии, что верна гипотеза H2

p(A/Hn) – вероятность события А, при условии, что верна гипотеза Hn

Задача.
Имеются две урны, в первой лежат 2 красных, 3 желтых и 4 черных шара. Во второй урне лежат 5 красных, 6 белых и 7 черных шара. Случайным образом из первой урны во вторую переложили шар. Найти вероятность, что шар, который после наугад достали из второй урны будет красным.
Решение:
1 урна = 2к + 3ж + 4ч = 9ш
2 урна = 5к + 6б + 7ч = 18ш
Формула полной вероятности:
p(A)=p(A/H1)
·p(H1)+ p(A/H2)
·p(H2) + p(A/H3)
·p(H3)
Выдвинем три гипотезы:
H1 – переложили из первой во вторую урну красный шар; p(H1)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - вероятность гипотезы, т.к. 2 шара из 9 - красные

H2 – переложили из первой во вторую урну желтый шар; p(H2)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - вероятность гипотезы, т.к. 3 шара из 9 - желтые

H3 – переложили из первой во вторую урну черный шар; p(H3)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - вероятность гипотезы, т.к. 4 шара из 9 - черные

p(A/H1)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15– вероятность достать из второй урны красный шар при условии, что верна первая гипотеза, т.е. во второй урне стало 6к+6б+7ч=19ш
p(A/H2)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – вероятность достать из второй урны красный шар при условии, что верна вторая гипотеза, т.е. во второй урне стало 5к+1ж+6б+7ч=19ш
p(A/H3)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – вероятность достать из второй урны красный шар при условии, что верна третья гипотеза, т.е. во второй урне стало 5к+6б+8ч=19ш

p(A)=p(A/H1)
·p(H1)+ p(A/H2)
·p(H2) + p(A/H3)
·p(H3)=

=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Задание 3.
Пусть в результате опыта может произойти случайное событие А. Опыт ставится n-раз. Формула Бернулли позволяет найти вероятность, что в n опытах (испытаниях) событие А наступит k раз.
Формула Бернулли HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
p(n,k) – вероятность, что событие А в n испытаниях наступит k раз.
p – вероятность события А для одного испытания
q=1-p – вероятность того, что событие А не наступит

Задача.
Вероятность угадать ответ на вопрос теста равна 0,4. Человек отвечает на 8 вопросов. Найти вероятность, что три ответа будут правильными.

Дано: А=«угадать ответ на вопрос»
n=8 – количество независимых испытаний (количество вопросов)
k=3 – количество успешных испытаний (количество угаданных ответов)
р=0,4 – вероятность угадать ответ
q=1-p=1-0,4=0,6 - вероятность не угадать ответ

Найти: р(8,3) – вероятность того, что в восьми испытаниях событие наступит три раза.

Решение:
Формула Бернулли - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Задание 4. Применить формулу полной вероятности

Задание 5. Применить формулу Бернулли



Вариант 1
Задание 1. В группе 6 человек: блондинка Анна, блондинка Катя, брюнет Игорь, блондин Виктор, брюнетка Юля, шатен Николай.
Даны случайные события: А=«человек - девушка» В= «человек - юноша» С= «человек блондин» D= «человек шатен»
Найти условные вероятности: p(A/C), p(B/C), p(D/A)
Задание 2. Имеются две урны, в первой лежат 4 красных, 5 желтых и 8 черных шара. Во второй урне лежат 2 красных, 3 белых и 6 черных шара. Случайным образом из первой урны во вторую переложили шар. Найти вероятность, что шар, который после наугад достали из второй урны будет белым.
Задание 3. Вероятность попадания в мишень для спортсмена 0,8. Спортсмен делает пять выстрелов. Найти вероятность, что он три раза поразит цель.
Задача 4. Из колоды карт убрали одну карту, после чего достают еще одну карту. Найти вероятность, что это будет шестерка.
Задание 5. Шесть раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем карту черной масти 4 раза.


Вариант 2
Задание 1. В группе 6 человек: блондинка Анна, блондинка Катя, брюнет Игорь, блондин Виктор, брюнетка Юля, шатен Николай.
Даны случайные события: А=«человек - девушка» В= «человек - юноша» С= «человек блондин» D= «человек брюнет»
Найти условные вероятности: p(A/D), p(C/B), p(D/A)
Задание 2. Имеются две урны, в первой лежат 4 красных, 5 желтых и 8 черных шара. Во второй урне лежат 2 красных, 3 белых и 6 черных шара. Случайным образом из второй урны в первую переложили шар. Найти вероятность, что шар, который после наугад достали из первой урны будет черным.
Задание 3. Вероятность выиграть в лотерею 0,2. Человек купил 6 лотерейных билета. Найти вероятность, что четыре билета будут выигрышными.
Задача 4. Из колоды карт убрали одну карту, после чего достают еще одну карту. Найти вероятность, что это будет карта крести.
Задание 5. Пять раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем даму три раза.

Вариант 3
Задание 1. Есть 7 спортсменов: футболист Игорь, футболист Петр, лыжник Николай, лыжница Юля, лыжница Светлана, пловец Иван и пловчиха Катя. Даны случайные события: А=«спортсмен - девушка» В= «спортсмен - юноша» С= «спортсмен футболист» D= «спортсмен лыжник». Найти условные вероятности: p(A/D), p(C/B), p(D/В)
Задание 2. В урне лежат 4 красных, 5 желтых и 8 черных шара. Случайным образом из урны убирают один шар, после чего снова достают шар. Найти вероятность, что этот шар будет желтым.
Задание 3. Вероятность того, что покупатель хотя бы что-то купит в магазине, равна 0,4. В магазин зашли шесть покупателей. Найти вероятность, что четыре из них выйдут с покупками.
Задача 4. Из первой колоды карт во вторую переложили одну карту, после чего из второй колоды достали одну карту. Найти вероятность, что это будет дама.
Задание 5. Восемь раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем крестовую карту 5 раза.



Вариант 4
Задание 1. Есть 7 спортсменов: футболист Игорь, футболист Петр, лыжник Николай, лыжница Юля, лыжница Светлана, пловец Иван и пловчиха Катя. Даны случайные события: А=«спортсмен - девушка» В= «спортсмен - юноша» С= «спортсмен футболист» D= «спортсмен пловец». Найти условные вероятности: p(A/D), p(B/C), p(B/D)
Задание 2. В урне лежат 2 красных, 3 белых и 6 черных шара. Случайным образом из урны убирают один шар, после чего снова достают шар. Найти вероятность, что этот шар будет белым.
Задание 3. Вероятность купить бракованную батарейку равна 0,01. Человек купил семь батареек. Найти вероятность, что среди них будет две бракованных.
Задача 4. Из первой колоды карт во вторую переложили одну карту, после чего из второй колоды достали одну карту. Найти вероятность, что это будет карта красной масти.
Задание 5. Шесть раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем пять раз короля.


Вариант 5
Задание 1. Есть 6 человек: Ольга из Москвы, Петр из Москвы, Юля из Волхова, Иван из Волхова, Светлана из Волхова, Олег из Кириши. Даны случайные события: А=«человек из Москвы» В= «человек - юноша» С= «человек из Волхова» D= «человек из Кириши». Найти условные вероятности: p(A/В), p(B/C), p(B/D)
Задание 2. Имеются две урны, в первой лежат 4 красных, 5 желтых и 8 черных шара. Во второй урне лежат 2 красных, 3 белых и 6 черных шара. Случайным образом из первой урны во вторую переложили шар. Найти вероятность, что шар, который после наугад достали из второй урны будет желтым.
Задание 3. Вероятность выиграть в рулетку равна 0,1. Человек семь раз садиться играть. Найти вероятность, что он три раза выиграет.
Задача 4. Из колоды карт убрали одну карту, после чего достают еще одну карту. Найти вероятность, что это будет карта черной масти.
Задание 5. Семь раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем карту красной масти 5 раз.


Вариант 6
Задание 1. Есть 6 человек: Ольга из Москвы, Петр из Москвы, Юля из Волхова, Иван из Волхова, Светлана из Волхова, Олег из Кириши. Даны случайные события: А=«человек - девушка» В= «человек - юноша» С= «человек из Волхова» D= «человек из Кириши». Найти условные вероятности: p(A/С), p(B/C), p(А/D)
Задание 2. Имеются две урны, в первой лежат 4 красных, 5 желтых и 8 черных шара. Во второй урне лежат 2 красных, 3 белых и 6 черных шара. Случайным образом из второй урны в первую переложили шар. Найти вероятность, что шар, который после наугад достали из первой урны будет белым.
Задание 3. Вероятность проехать без остановки светофор равна 0,3. На пути у водителя пять светофоров. Найти вероятность, что три из них он проскочит без остановки.
Задача 4. Из колоды карт убрали одну карту, после чего достают еще одну карту. Найти вероятность, что это будет черный туз.
Задание 5. Восемь раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем семерку 6 раз.



Вариант 7
Задание 1. В группе 6 человек: Иванова Катя, Иванов Сергей, Петров Семен, Петрова Ольга, Петрова Лена, Сидорова Светлана. Даны случайные события: А=«человек- девушка» В= «человек - юноша» С= «у человека фамилия на букву П» D= «у человека имя на букву С». Найти условные вероятности: p(A/С), p(B/C), p(А/D)
Задание 2. В урне лежат 4 красных, 5 желтых и 8 черных шара. Случайным образом из урны убирают один шар, после чего снова достают шар. Найти вероятность, что этот шар будет черным.
Задание 3. Вероятность того, что любой компьютер будет бесперебойно работать, равна 0,9. Включили десять компьютеров. Найти вероятность, что семь компьютеров будут работать.
Задание 4. Из первой колоды карт во вторую переложили одну карту, после чего из первой колоды достали одну карту. Найти вероятность, что это будет король.
Задание 5. Шесть раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем шестерку 2 раза.



Вариант 8
Задание 1. В группе 6 человек: Иванова Катя, Иванов Сергей, Петров Семен, Петрова Ольга, Петрова Лена, Сидорова Светлана. Даны случайные события: А=«человек- девушка» В= «человек - юноша» С= «у человека фамилия на букву И» D= «у человека фамилия на букву С». Найти условные вероятности: p(С/А), p(B/C), p(D/B)
Задание 2. В урне лежат 2 красных, 3 белых и 6 черных шара. Случайным образом из урны убирают один шар, после чего снова достают шар. Найти вероятность, что этот шар будет красным.
Задание 3. Вероятность того, что лампочка не перегорит равна 0,9. Одновременно включили сто лампочек. Найти вероятность, что 95 лампочек будут гореть.
Задание 4. Из первой колоды карт во вторую переложили одну карту, после чего из первой колоды достали одну карту. Найти вероятность, что это будет карта бубновой масти.
Задание 5. Девять раз из колоды достают карту и обратно возвращают ее. Найти вероятность, что мы достанем черную даму 5 раз.



1 шар



Root Entry

Приложенные файлы

  • doc file6
    Размер файла: 87 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий