Сборник олимпиадных задач по математике


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Лицей города Юрги»
Сборник олимпиадных задач
Выпуск 1
Т.А. Матукова,
учитель математики
Юрга 2013

Введение
В математических олимпиадах основой успеха является не только сумма конкретных знаний учащихся, но и его способность логически мыслить, умение создать за короткий срок достаточно сложную и, главное, новую для него логическую конструкцию. Недаром только в математических олимпиадах задание может начинаться со слов: «Докажите, что…». Решая задачу выявления творческих способностей учащегося, т.е. умения «нестандартно мыслить», олимпиадная математика в значительной степени отошла от стандартной («школьной») математики. Олимпиадная задача по математике – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения.
Для успешного участия в олимпиадах необходимо систематическое проведение внеклассной работы по предмету, содержательная и интересная подготовительная работа перед проведением каждого этапа олимпиады и правильный подбор задач. Это приводит учителя к необходимости основательного знакомства с материалами прошедших олимпиад, с методикой решения задач.
Материалы данного сборника помогут учителю в подготовке учащихся к олимпиадам. Сборник может быть использован учениками для самостоятельной подготовки к олимпиаде.
В первый выпуск вошли задания, связанные с решением нестандартных уравнений и систем, разработкой стратегии для математических игр и некоторые логические задачи.
1. Уравнения и системы уравнений
1.1. Решить уравнение в целых числах .
1.2. Решить уравнение в целых числах .
1.3. Решить уравнение в натуральных числах х2 – 4ху – 5у2 = 1996.
1.4. Решить уравнение .
1.5. Найти все x, y, z для которых выполняется равенство
.
1.6. Решить уравнение .
1.7. Решить уравнения:
а);б); в) .
1.8. Решить уравнение .
1.9. Решить уравнение .
1.10. Решить систему уравнений
1.11. Решить систему уравнений
1.12. Решить систему уравнений
1.13. Решить систему уравнений
1.14. Решить систему уравнений
1.15. Решить системы уравнений
а) б)
2. Математические игры. Стратегии.
2.1. Двое игроков кладут одинаковые круглые монеты на прямоугольный лист бумаги; монеты могут выходить за край, но не могут перекрываться. Кто не может положить монету, проигрывает. (Сдвигать ранее положенные монеты нельзя.). Кто выигрывает при правильной стратегии?
2.2. На столе лежат две кучки спичек: в одной 10, в другой - 7. Игроки ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (1; 2; 3; ... ) из одной из кучек (по выбору игрока). Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает. Кто выигрывает при правильной стратегии?
2.3. В строчку написано несколько минусов. Два игрока по очереди переправляют один или два соседних минуса на плюс; выигрывает переправивший последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр? А если минусы написаны по кругу?
2.4. Жираф и Жирафиха играют в следующую игру. Они по очереди стирают буквы во фразе «ДЛИННОШЕЕЕ ЖИВОТНОЕ». За один ход стирается либо только одна буква, либо одна буква и все такие же буквы, остающиеся к этому моменту нестёртыми. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю букву. Начинает Жираф. Кто выигрывает при правильной игре?
2.5. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний. Кто выигрывает при правильной игре?
2.6. Шахматный король стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Участвуют два игрока, которые ходят по очереди. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, на одно поле вверх или на одно поле по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает игрок, который поставит короля в правый верхний угол доски. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо действовать?
2.7. Двое играют в такую игру. Первый называет любое натуральное число от 2 до 9, второй умножает его на любое натуральное число от 2 до 9, первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д. Выигрывает тот, у кого впервые получится число больше 1000.
2.8. Часы показывают полдень. Двое играющих по очереди переводят часовую стрелку на два или три часа вперёд. Если после хода игрока стрелка указывает на 6, он выиграл.
2.9. Имеются фишки с цифрами 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (как в игре «лото»). Два игрока по очереди берут фишки (за каждый ход по одной фишке). Выигрывает тот игрок, который первым соберёт у себя три фишки с суммой 15. (Если ни у одного игрока таких фишек не будет, фиксируется ничья.) Может ли один из игроков обеспечить себе победу? ничью?
2.10. На 9 карточках написаны слова: рыба, клин, нить, небо, сок, бусы, рот, сеть, река. Двое по очереди берут со стола карточки, и выигрывает тот, у кого первого окажутся три слова, имеющие общую букву.
2.11. Имеются две кучки конфет: в одной — 20, в другой — 21. За ход нужно съесть все конфеты в одной из кучек, а вторую разделить на две необязательно равные кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
2.12. На концах клетчатой полоски 1 х 20 стоит по шашке. За ход разрешается сдвинуть любую шашку в направлении другой на одну или две клетки. Перепрыгивать через шашку нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
2.13. Имеется две кучки камней — по 7 в каждой. За ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
2.14. Двое играют в игру. Ходы, которые делаются по очереди, заключаются в том, что из кучки в 50 камней убирается любое число камней от 1 до 5. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Кто выиграет в данной игре?2.15. В трёх кучах лежат 2007, 2008 и 2009 камней. Играют двое. За один ход разрешается убрать две кучи, а третью разделить на три новые (непустые) кучи. Выигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто победит-первый или второй игрок?
3. Логические задачи
Встречаются два друга. Один у другого спрашивает: «Как оно ничего? Откуда ты?». Отвечает второй: «Да вот, продал свои диски. И получилось так, что одному «другу» я продал половину своих дисков и еще полдиска, другому – половину оставшихся дисков и еще полдиска. Третьему я продал половину оставшихся от второго и еще полдиска. Больше дисков не осталось». Посмеялись и разошлись. Сколько же было продано дисков?
Купила мама яблоки. Два из них взяла себе, а остальные разделила между сыновьями. Первому дала половину всех яблок и еще пол-яблока, второму – половину остатка и еще пол-яблока, третьему половину того, что осталось и оставшуюся половину яблока. Все яблоки оказались целые. Сколько яблок купила мать? Сколько яблок получил каждый?
Утром привез хозяин на рынок ящик лимонов. На первую точку отдал продавать половину всех лимонов и еще пол-лимона, на вторую точку - половину оставшихся и еще пол-лимона, на третью точку - половину остатка и еще пол-лимона. После этого в ящике остался 31 лимон, которыми стал торговать сам хозяин. Сколько лимонов было в ящике?
В семье трое сознательных сыновей. Утром мать оставила тарелку со сливами и ушла на работу.
Первым проснулся старший из сыновей, он уже работал и был опорой семьи. Увидев на столе сливы, он съел третью часть их и ушел.
Вторым проснулся средний сын, учился с 9 часов, мог себе позволить поспать подольше. Думая, что его братья еще не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел.
Позднее всех проснулся младший, да не потому, что был ленивый, просто учился со второй смены. Увидев сливы, он решил, что его братья еще не ели их, а потому съел лишь третью часть лежавших на тарелке слив, после чего на тарелке осталось 8 слив. Сколько слив мать оставила на тарелке?
У Винни - Пуха и Пятачка несколько воздушных шариков, среди которых есть большие и маленькие, а также синие и зеленые. Докажите, что друзья могут взять по одному шару так, чтобы они одновременно оказались разного размера и разного цвета.
Среди 18 монет одна фальшивая. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивая монета отличается по массе от настоящих. За какое наименьшее число взвешиваний на правильных чашечных весах без гирь можно определить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая?
36 тонн груза упакованы в мешки весом не более одной тонны. Доказать, что четырехтонный автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.
На столе лежат 20 кучек орехов. Разрешается добавлять по одному ореху одновременно к любым 3 кучкам. Докажите, что, повторяя эту операцию, можно уравнять количество орехов во всех кучках.
Указания, решения и ответы
Уравнения и системы уравнений
1.1. Решение: Выразим переменную x:
.
Так как x – целое число, то дробь тоже должна быть целым числом, а это возможно только при y = 9; 11; 111;-91.
Если y = 9, то, подставляя в выражение, получаем x = -91; аналогично, при y = 11, x = 111; y = 111, x = 11; y= -91, x= 9.
Ответ: (-91, 9), (111, 11), (11, 111), (9,-91).
Ответ: ,, , .
Решение: (х2 – 4ху + 4у2) – 9у2 = 1996
(х – 2у)2 – 9у2 = 1996
(х – 2у – 3у)(х – 2у + 3у) = 1996
(х – 5у)(х + у) = 1996
1996 = 1 *1996 = - 1 * (-1996) = 2 * 998 = - 2 *(- 998) = 4 * 499 = = - 4 *(- 499).
Т.к. х, у – числа натуральные, то (х + у) – натуральное и х + у > 1. Т.к. произведение равно 1996, то и (х – 5у) – натуральное. Решение уравнения сводится к решению систем:
1) решений в N нет;
2) или решений в N нет;
3) или решений в N нет.
Ответ: (832; 166)
Решение. Последовательно избавимся от модулей, начиная с внешних. При этом учтем, что модуль любого выражения не может быть равен отрицательному числу.
или ,
или.
Первое уравнение равносильно двум уравнениям:
или
или.
Из последних уравнений имеет смысл только первое уравнение, решая его, получаем x = 1.
Рассмотрим второе уравнение
,следовательно, второе уравнение не имеет решения.
Ответ: x = 1.
Решение. Рассмотрим члены уравнения, содержащие переменную x и, используя формулу полного квадрата суммы или разности , выделим полный квадрат.
.
Аналогично выделяем полный квадрат для слагаемых содержащих переменные y и z:
,
.
Подставляя полученные равенства в исходное уравнение, имеем
.
Так как сумма положительных слагаемых равна нулю, а это возможно только когда каждое из слагаемых равно нулю, следовательно
, , .
Ответ: , ,.
Решение. Сделаем замену , . Тогда избавляясь от иррациональности, имеем .Складывая почленно правую и левую части уравнений, получаем . Добавляя к этому уравнению исходное уравнение, получаем систему двух уравнений

Используя формулу сокращенного умножения , исходную систему можно переписать в виде:

Решение этой системы или . Возвращаясь к переменной x , получаем , .
Ответ: , .
Ответ: а); б) ; в) .
Решение. В левой части уравнения дополним до полного квадрата, добавив и отняв , получаем:
,
,
,
,
.
Следовательно, или ,
откуда получаем , или.
Ответ: ,.
Ответ: .
Решение. Складываем и вычитаем первое уравнение и второе уравнение, получаем эквивалентную систему:
.
Далее используя формулы суммы и разности кубов, приводим систему к следующему виду
Последняя система распадается на четыре системы
(1) (2)
(3) (4)
Система (1) имеет только нулевое решение. Решая систему (2) методом подстановки можно показать, что данная система не имеет решение.
Решение системы (3) существует и имеет вид:
и
Решая систему (4) методом сложения и вычитания, имеем:


Последняя система не имеет решения.
Ответ: , ,.
Ответ: , ,,,.
Решение. Перепишем систему следующим образом

Далее делим почленно первое уравнение на второе.

или
Откуда следует, что
или
Ответ: , .
Ответ:, .
Решение. Утроим второе уравнение и вычтем его из первого уравнения, имеем

Решаем последнюю систему методом подстановки:
тогда или
Ответ: , .
Ответ: а); б) , .
2. Математические игры. Стратегии.
2.1. В этой игре первый игрок может выиграть, положив свою монету в центр листа, а затем повторяя ходы второго симметрично относительно центра. (Симметрия относительно точки - поворот вокруг неё на 180 градусов.) Если второму игроку удалось положить монету на пустое место, то есть и пустое симметричное место, куда тоже можно положить монету. И так далее.
2.2. Здесь первый игрок может гарантировать выигрыш, если сначала уравняет кучки, взяв три спички из большей. После этого он должен повторять ходы второго, но брать из другой кучки, восстанавливая нарушенное равенство.
2.3. В этой игре выигрывает первый игрок, независимо от числа минусов в строке. Для этого он должен переправить на плюс средний минус (если минусов нечётное число и средний есть) или два средних минуса (если минусов чётное число). После этого игра разбивается на две независимые части, и остаётся лишь повторять ходы противника в другой части, поддерживая симметрию. Если минусы написаны по кругу и их не два, то выигрывает второй, так как первый своим ходом приводит игру к предыдущей и второй становится первым. Если минусов не более двух, то первый исправляет все и выигрывает.
2.4. Если пока не рассматривать четыре буквы «Е» и две буквы «И», остальные буквы можно расположить следующим образом: ДЖШООО / НННЛТВ. К выписанным буквам второй игрок может применить симметричную стратегию: стирать буквы, симметричные тем (относительно середины), которые только что стёр первый игрок.
Опишем, как должен поступать второй игрок с буквами «Е» и «И», чтобы выиграть.
Если первый игрок на каком-то шаге полностью стёр одну из групп (все буквы «Е» или «И»), то второй игрок стирает полностью оставшуюся из указанных групп, а к остальным буквам применяет симметричную стратегию, как было указано выше.
Если первый игрок стёр одну одну букву «Е»,второй стирает тоже одну букву «Е». тогда оставшиеся буквы «Е» и «И» образуют симметричную конструкцию ЕЕ / ИИ, к которой второй игрок применяет симметричную стратегию.
Если первый игрок стёр одну букву «И», второй стирает одну букву «Е». Если в дальнейшем первый игрок стирает ещё одну букву «Е», второй стирает тоже «Е» и приходит опять к симметричной конструкции Е / И.
Таким образом, выигрывает игрок, который ходит вторым – Жирафиха.
2.5. Вопрос на понимание: «В данной игре правая верхняя (конечная) клетка - выигрышная или проигрышная?» Ответ: проигрышная, так как если игрок начинает из неё, то предыдущий игрок уже выиграл. Это нужно для анализа игр с конца. Нетрудно описать выигрышные и проигрышные позиции данной игры.
В В В В В В В В П(конец)
В В В В В В В П В
В В В В В В П В В
В В В В В П В В В
В(начало) В В В П В В В В
Таким образом, победит первый игрок, каждый раз помещая фишку в проигрышную позицию.
Ответ: Выигрывает первый (Коля), стратегия: «Ставить на проигрышную позицию».
2.6. Нетрудно описать выигрышные и проигрышные позиции данной игры.
В П В П В П В П (конец)
В В В В В В В В
В П В П В П В П
В В В В В В В В
В П В П В П В П
В В В В В В В В
В П В П В П В П
В (начало) В В В В В В В
Таким образом, победит первый игрок, каждый раз помещая фишку в проигрышную позицию.
Есть и более простой способ, который виден по таблице: «Первый ход первый игрок делает по диагонали, а далее повторяет ходы противника.» Эта стратегия дает, что только на ходах первого игрока обе координаты текущей клетки будут четными.
2.7. Опишем выигрышные и проигрышные позиции: ясно, что, начиная с 1001 идут проигрышные. Далее В: 112-1000, П: 56-111, В: 55 - 7, П: 6-2. Поэтому первому надо называть число от 2 до 6 и уходить в проигрышные позиции. Выигрывает первый.
2.8. Первый ходит на 2 часа. Второй не может пойти на 4 (сразу проиграет), поэтому идет на 5. Первый идет на 8. Второй - либо на 10, либо на 11. Первый - на 1. Второй на 3 или на 4. Первый на 6. Ответ: Выиграет первый.
2.9. Решение: чтобы установить нужный изоморфизм, вспомним популярный сюжет из книг по «занимательной математике» - магические квадраты. Числа от 1 до 9 можно расставить в квадрате 3х3так, чтобы сумма в каждой строке, каждом столбце и по каждой из двух диагоналей равнялась 15:
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Других комбинаций из трёх чисел с суммой 15 (кроме горизонталей, вертикалей и диагоналей) не бывает. Теперь уже понятно, что если мы будем отмечать взятые первым игроком фишки крестиками в этой таблице, а фишки второго игрока отмечать ноликами, то игра превратится в обычные крестики-нолики. Игроки по очереди ставят свои знаки (на языке фишек - берут фишки), а выигрывает тот, кто первым наберёт три фишки с суммой 15 (поставит три своих знака в один ряд). Любители крестиков-ноликов знают, что обе стороны при правильной игре могут гарантировать себе как минимум ничью.
2.10. Решение: Данная игра изоморфна крестикам-ноликам. Составим таблицу:
сок клин река
бусы небо рыба
сеть нить рот
Любые 3 слова, стоящие в одной строке, одном столбце или на одной большой диагонали таблицы, имеют общую букву, в то же время у других троек слов общих букв нет.
2.11. Решение: Если мы решили использовать метод выигрышных позиций, то нам нужно найти эти выигрышные позиции. Чтобы их найти, рассмотрим простейшие случаи.
Простейшая выигрышная позиция для того игрока, кто ее создал: это 1 и 1. Понятно, что в этом случае побеждает тот, кто ходит вторым, так как у первого игрока нет хода.
Очевидно, что позиция 2 и 1 выигрышная для первого и проигрышная для второго.
Если 3 и 1, тогда второй вновь с победой, как несложно убедиться простой проверкой, так как есть ровно два хода.Когда в кучках 3 и 2, победа у первого (убираем 3, делим 2).
Если же 3 и 3, тогда победа вновь возвращается ко второму, что можно показать простым перебором и т. д.
Замечаем закономерность: если в каждой из кучек по нечетному числу конфет, тогда позиция выигрышная для второго. Если же хотя бы в одной из кучек четное число конфет, то такая позиция выигрышная для первого.Несложно понять, что когда в обеих кучках по нечетному числу конфет, то за один ход нельзя получить такую же позицию, так как при разделении любого нечетного числа на два слагаемых одно из них будет четным. Однако если хотя бы в одной из кучек четное (ненулевое) число конфет, то ее несложно разбить на два нечетных слагаемых. Таким образом мы можем разбить все позиции на выигрышные и проигрышные с учетом того, сколько конфет в кучках. И задача выигрывающего делать ход на выигрышные позиции.После этого уже понятно, кто выиграет в данной по условию игре и как ему этого добиться.
Делим все возможные ходы на «выигрышные» и «проигрышные». Если после разбиения получились две кучки с нечетным числом конфет, тогда назовем такую позицию «выигрышной», а все остальные — «проигрышные».
Стратегия победителя заключается в том, что он делает ход на «выигрышные» поля. Так как первый может сделать ход на «выигрышное» поле, а хода с одного «выигрышного» поля на другое нет, и с любого «проигрышного» поля за один ход можно попасть на «выигрышное», то побеждает начинающий. Своим первым ходом он может съест кучку из 21 конфеты, а кучу с 20 конфетами разделить на две, в которых нечетное количество конфет в обеих кучках (например, 19 и 1). Заметим, что последняя позиция, когда две кучки, по одной конфете в каждой, выигрышная, т. е. последний ход сделает первый.
2.12. Решение: Сначала перенумеруем поля доски. Несложно понять, что одну из шашек можно считать неподвижной, так как в любой случае за один ход, сделанный обоими игроками, расстояние между шашками сокращается не менее, чем на 2 клетки (а именно это и является главным в задаче). Поэтому можно считать, что оба из игроков передвигают только одну из шашек. Расставляя знаки «+» и «-» на клетках доски согласно метода решения задачи с конечной позиции, получим следующий рисунок (если первоначально шашки не занимали клеток доски, т. е. между ними было 20 полей):
- + - - + - - + - - + - - + - - + - - +
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Таким образом, становится понятным «выигрышная» стратегия игры первого игрока, чтобы выиграть: он должен делать ходы на клетки со знаком «+», так как с любого поля со знаком «+» нельзя за один ход попасть на поле со знаком «+», а с любого поля со знаком «—» можно, т. е. сделано разбиение всего поля на «выигрышные» и «проигрышные» поля.
2.13. Решение: Сначала используем метод малых задач.Начнем игру с двух кучек, в каждой из которых по одному камню. Тогда, понятно, что первый проигрывает.
Если мы добавим в одну из кучек еще один камень, тогда понятно, что победит начинающий: он первым своим ходом возьмет из кучки, где два камня, один камень и получит позицию, которая получилась в рассмотренном выше случае, только сейчас он уже второй.
Если в кучках 3 и 1 камень, тогда вновь побеждает игрок, начинающий игру: он уравнивает число камней в кучках, т. е. берет два камня и получает, что число камней в кучках будет 1 и 1.
Если число камней в кучках по 2, тогда вновь проигрывает начинающий: на любой его ход, противника может взять такое же число камней из другой кучки, которую первый игрок не тронул.
Сейчас несложно понять, как действовать игроку, делающему второй ход, чтобы победить в данной игре: он должен делать точно такие же ходы, как и первый, но только убирать камни он должен из той кучки, которую не тронул последним ходом его противник. Как несложно понять, у победителя всегда есть ход после хода противника. Несложно понять и общую стратегию выигрывающего, когда в кучках произвольное число камней:
если число камней в кучках равное, то необходимо уравнивать число камней в кучках после хода начинающего, выполняя симметричные ходы. Выигрывает второй игрок.
если же число камней в кучках неравное, тогда начинающий своим ходом уравнивает число камней в кучках и далее действует так же как, как и в первом случае. Здесь побеждает игрок, делающий первый ход.
В данной игре симметрия несколько необычная — вроде бы и не симметрия вовсе, однако, равенство камней в кучках, и «одинаковые» ходы, проводимые игроками очень ее напоминают.
2.14. Решение: И опять выработку стратегии лучше начинать с небольшого числа камешков. Понятно, что если в нашей кучке меньше шести камней, тогда выиграет первый игрок: он первым своим ходом заберет все камни.Если бы в нашей кучке было 6 камешков, тогда понятно, что второй выиграет, так как он забрал бы все оставшиеся камни после первого хода начинающего.Если камней семь? Что делать тогда первому? Ему нужно забрать один камень и свести задачу к предыдущему случаю. Аналогично надо выработать стратегию игры и для 7, 8, 9,10,11 камней.
Когда камней 12, то понятно, что выиграет второй: как бы первый не ходил, он своим ходом может взять такое количество камней, чтобы осталось ровно 6. А в этом случае он выигрывает, как мы уже разобрали. Итак, если число камней делится на 6, то выигрывает второй, если не делится, то первый. Докажем это.
Пусть у нас 6t камней. После первого хода игрока, начинающего игру, второй делает ход, после которого остается 6t - 6 камней, т. е. число камней в кучке уменьшилось на 6. Несложно понять, что последний камень возьмет игрок, делающий второй ход, и также понятно, что у него всегда есть возможность сделать ход.
Пусть у нас 6t+a, где 1 < а < 5, камней. Тогда начинающий первым своим ходом убирает все, что «мешает», т. е. а камней, и остается всего 6 t камней, т. е. сводит игру к рассматриваемому выше случаю, где он уже второй игрок. Значит в этом случае побеждает игрок, делающий первый ход.В нашей задаче 50 камней. Поэтому выигрывает первый, беря из кучки два камня и оставляя 48 камней. Далее после его последующих ходов в кучке будет оставаться соответственно 42, 36, 30, 24, 18, 12, 6, 0, таким образом, последний камень забирает первый игрок.
2.15. Решение: Выигрывает первый. Стратегия выигрыша проста: надо добиваться, чтобы некоторых новых кучах число камней оканчивалось цифрами 3 или 4, а в остальных новых кучах - не превышало 4. Например, кучу из 2009 камней можно разделить на такие три: 563, 663, 783 или 2, 3, 2004 и т. д. Легко видеть, что противник не может воспользоваться той же стратегией. Через несколько ходов первый игрок предложит 3 кучи: в одной 3или 4 камня, в двух других - не более, чем по 4. Второй игрок может сделать ход, а следующий ход уже невозможен.
3. Логические задачи3.1. Важно, что диски не ломаются, т.е. каждому продали целые диски. Обозначим друзей нашего героя Д1, Д2, Д3. Начнем с Д3.
Д3. К моменту его покупки осталось нечетное число дисков, т.к. иначе условие «и еще полдиска» не даст целый диск. Так как после его покупки диски закончились, то получается, что полдиска и составляет «половину оставшихся от второго».
Вывод: полдиска (половина оставшихся от второго) + полдиска = 1 диск.
Д2. К моменту его покупки тоже осталось нечетное число дисков, причем больше, чем 1 диск – 3 диска. Д2 купил 2 диска: половина оставшихся + полдиска.
Д1. Его покупка: половина + полдиска. Получается, что половина = 3,5 диска. То есть Д1 купил 4 диска.
Всего продано 1 + 2 + 4 = 7 дисков.
Ответ: 7 дисков.
Ответ: 9 яблок купила мать. Дележ яблок : 4 – первому, 2 второму, 1 – третьему. (Рассуждения аналогичные: 7 яблок + 2 яблока).
Решение:
на третью точку - половину остатка и еще пол-лимона на вторую точку - половину оставшихся и еще пол-лимона на первую точку отдал продавать половину всех лимонов и еще пол-лимона
(31 лимон + пол-лимона) ·2 = 63 лимон (63 лимон + пол-лимона) ·2 = 127 лимонов (127 лимон + пол-лимона) ·2 = 255 лимонов было в ящике
Ответ: 255 лимонов.
Решение:
проснулся младший сын:
12 слив = 8 + 4 проснулся средний сын:
18 слив = 12 + 6 проснулся старший из сыновей:
27 слив = 18 + 9
8 слив - (оставил для двух братьев),
тогда - 4 сливы (он съел) 12 слив - (оставил для двух братьев),
тогда - 6 слив (он съел) 18 слив - (оставил для двух братьев),
тогда - 9 слив (он съел)
Ответ: 27 слив.
Можно рассуждать так. Пусть Винни - Пух возьмет какой-нибудь большой шарик, а Пятачок - маленький. Если эти шарики оказались разных цветов, то задача решена. Пусть шарики оказались одного цвета, например, синего. Тогда по условию задачи среди оставшихся шариков есть зеленый. Если это большой зеленый шарик, то пусть его возьмет Винни - Пух вместо своего, а если - маленький, то пусть его возьмет Пятачок. После этого шарики у них будут разного цвета и размера.
Занумеруем монеты. Разобьем множество монет на 3 кучки по 6 монет в каждой.
При первом взвешивании положим на одну чашу весов все монеты 1 кучки, на другую – второй. Возможны 2 случая.
1 случай: весы оказались в равновесии. Тогда фальшивая монета в третьей кучке. Теперь положим на одну чашу весов первую кучку монет, на другую – третью. Если, например, третья кучка перетянет, то фальшивая монета тяжелее настоящей.
2 случай. Пусть при первом взвешивании весы были не в равновесии. Тогда фальшивая монета находится или в первой кучке или во второй. Следовательно все монеты третьей кучки настоящие. Положим на одну чашу весов первую кучку монет, на другую – третью. Если весы оказались в неравновесии, то фальшивая монета в первой кучке, и второе взвешивание покажет, легче она или тяжелее, чем настоящая. Если же весы оказались в равновесии, то фальшивая монета во второй кучке, и по первому взвешиванию также можно определить, легче она или тяжелее настоящей.
1 вариант результат Фальшивая монета
1 взвешивание 1 кучка 2 кучка равновесие В третьей кучке
2 взвешивание 1 кучка 3 кучка неравновесие Определяем вес
2 вариант 1 взвешивание 1 кучка 2 кучка неравновесие 1 кучка
2 взвешивание 1 кучка 3 кучка неравновесие 1 кучка, определяем вес.
3 вариант 1 взвешивание 1 кучка 2 кучка неравновесие 2 кучка
2 взвешивание 1 кучка 3 кучка равновесие По результатам первого взвешивания определяем вес фальшивой монеты.
Ответ: достаточно 2 взвешивания.
Будем грузить мешки на автомобиль, пока их общий вес не превысит 4т. Тогда снимем последний мешок и отложим его в сторону. В следующей погрузке отложенный мешок не участвует. Так поступим 8 раз. Будет отложено 8 мешков. Общий вес перевезенного груза и отложенных мешков больше, чем 8 * 4 = 32 (т). Значит, осталось меньше 4 т, которые можно перевезти за девятую поездку. Отложенные мешки перевезем за две оставшиеся поездки, по 4 мешка (их вес не больше 4 т) за раз.
Расположим кучки слева направо так, чтобы кучка с наименьшим количеством орехов лежала на 18 месте. Добавим по одному ореху в каждую кучку первой тройки, второй тройки и т. д., шестой тройки, то есть в каждую из первых 18 кучек. Теперь добавим по одному ореху в 18, 19 и 20-ю кучки. В результате в каждой кучке число орехов увеличится на 1, а в 18 – на 2. Таким образом, разница между числом орехов в самой большой и самой маленькой кучках уменьшится на 1, если кучка с наименьшим числом была одна. В противном случае на 18 место снова кладем кучку с наименьшим числом орехов. Повторяя эту процедуру, мы будем уменьшать разницу между наибольшим и наименьшим количеством орехов, пока она не станет равной нулю.
Список литературы
Агаханов Н.Х. Районные олимпиады. 6-11 классы [Текст] / Н.Х.Агаханов, О.К.Подлипский. – М.: Просвещение, 2010. – 192 с.
Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл. М.:Просвещение,1996.
Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения [Текст] / М. Гарднер. – М.: Мир, 1971.
Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки [Текст] / Е. И. Игнатьев. – М.: Наука, 1979.
Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. – М.: МЦНМО, 2007. – 40с.
Материалы городской олимпиады по математике 2009 года.

Приложенные файлы

  • docx sbornik.docx
    Размер файла: 218 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий