Выбор стратегии в математических играх


ВЫБОР СТРАТЕГИИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИГРАХ
Автор: Кайдаш Полина Андреевна
Класс: 8
МБОУ «Лицей города Юрги»
Руководитель:
Матукова Татьяна Анатольевна,
учитель математики
Юрга 2016
Содержание
Введение……………………………………………………….………2
Из истории математических игр………………………….………….3
Игры и математика в античности…………………………...3
Игры и математика в средневековье………………………..5
Игры и математика в эпоху возрождения……………….…6
Золотой век математических игр: 17-18 века………..…….8
Появление теории игр…………………………………….....9
Понятие выигрышной стратегии……………………………………10
Основные методы поиска выигрышной стратегии…………….…..11
Метод дополнения……………………………………….….11
Метод симметрии……………………………………….…..12
Метод выигрышной позиции…………………………..…..15
Заключение………………………………………………………...….20
Список литературы………………………………………………..….21
Введение
Под понятием математической игры мы понимаем игру двух соперников, обладающую следующим свойством. В каждый момент игры состояние характеризуется позицией, которая может изменяться только в зависимости от ходов игроков. Некоторые позиции являются выигрышными для одного из игроков. Добиться выигрышной для себя позиции и есть цель каждого. Иногда игры допускают ничью. Это означает, что ни один из игроков не может добиться выигрышной для себя позиции, или некоторые позиции объявляются ничейными.
Например, шахматы, шашки, крестики-нолики являются математическими играми. А игра в кости (домино), большинство карточных игр математическими не являются, так как состояние игры зависит не только от ходов соперника, но и от расклада.
В математических играх существуют понятия выигрышной стратегии, то есть набора правил (можно сказать, инструкции или алгоритма), следуя которым, один из игроков обязательно выиграет (не зависимо от того, как играет его соперник) и ничейной стратегии, следуя которой один из игроков обязательно добьётся либо выигрыша, либо ничьей.
В любой математической игре существует либо выигрышная стратегия для одного из игроков, либо ничейные стратегии для обоих (если игра допускает ничью). В зависимости от этого игра называется выигрышной для первого или второго игрока, или ничейной.
Например, крестики-нолики (на доске 3х3) являются ничейной игрой. К какому из перечисленных случаев относятся шахматы и шашки, неизвестно. Хотя стратегия (либо выигрышная, либо ничейная) в этих играх существует, она не найдена, поэтому соревнования по этим играм пока представляют интерес.
В задачах обычно задается один и тот же вопрос: кто из двух игроков выиграет при правильной игре? Слова «правильная игра» означают, что если у кого-то из игроков есть стратегия, позволяющая выигрывать при любых ходах другого игрока, то он не делает "глупых" ходов, а стремится выиграть и следует своей выигрышной стратегии. В каждой задаче необходимо придумать такую стратегию для одного из игроков.
Целью работы является поиск выигрышных стратегий в математических играх.
Для этого были поставлены задачи:
Изучить литературу, описывающую математические игры.
Провести экспериментальную работу с одноклассниками по выявлению беспроигрышной стратегии.
Классифицировать задачи по методам решения.
При написании работы применялись следующие методы исследования:
изучение литературы;
анализ и систематизация полученной информации;
моделирование математических игр.
Из истории математических игр.
Игры и математика в античности.
Краткий экскурс в историю игр и математики с древнейших времен и до наших дней показывает, что развлечениям для ума находилось время в любую эпоху, начиная от Древнего Египта и заканчивая 21 веком. Уже в двух великих цивилизациях древности, вавилонской и египетской, где математика носила исключительно практический характер, встречаются настольные игры и занимательные задачи. Первые упоминания о настольных играх, дошедшие до наших дней, относятся к египетской игре Сенет и к настольной игре урских царей Вавилонии.
Одна из древнейших известных нам игр называется Сенет. В древнеегипетских гробницах найдены многочисленные рисунки и мозаики, где изображены игроки в Сенет. Несмотря на это, её точные правила неизвестны, хотя в 1978 году Тимоти Кендалл воссоздал игру на основе имеющихся источников. Он отмечает, что Сенет играл важную роль в похоронных обрядах: усопший должен был сыграть партию с судьбой в присутствии бога Осириса. В «Книге мертвых» говорится, что от результата этой партии зависела дальнейшая загробная жизнь. Задача этой игры, рассчитанной на двух игроков, - первым довести до конца доски семь фишек. Вместо игральных костей используются четыре палочки, плоские с одной стороны и выпуклые с другой. Броском палочек можно получить одно из пяти возможных значений – по числу палочек упавших плоской стороной вверх.
Ещё одна из известных нам древнейших игр - это игра урских царей. Украшенная драгоценностями доска для этой игры, найдена в шумерском городе Ур британским археологом сэром Чарльзом Леонардом Вулли примерно в 1920 году, имеет возраст свыше 4000 лет. В настоящее время эта доска хранится в Британском музее в Лондоне. Предполагается, что эта игра была привилегией лишь королей и знати. Тот факт, что её находили в гробницах, позволяет предположить, что её помещали туда, чтобы усопший мог насладиться игрой в загробной жизни. Правила игры урских царей, как и древнеегипетской игры Сенет, точно неизвестны.
Однако по дошедшим до нас предметам (помимо доски было найдено 7 белых и 7 черных фишек из перламутра и сланца и 6 игральных костей в форме правильной треугольной пирамиды) можно заключить, что целью игры было провести все фишки по доске быстрее соперника. Интересная форма доски из 20 клеток – два прямоугольника 3 на 2 и 3 на 4 соединены прямоугольником 1 на 2 – позволяет предположить, каким путем нужно было провести фишки по доске.
Игры и математика в средневековье.
Итак, перенесёмся в 13 век. Именно тогда жил Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, автор «Книги абака». В этой книге описана задача о размножении кроликов, в которой фигурирует интересная последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, получивших название чисел Фибоначчи. Закономерность для чисел Фибоначи крайне проста (первых два члена ряда равны 1, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих).
В одном из своих основных трудов Liber quadratorum («Книга квадратов»), Фибоначчи описывает математический турнир, прошедший при дворе короля Сицилии Федериго 2, на котором он нанёс поражение Иоанну Палермскому. На этих интеллектуальных турнирах, проводимых в подлинно средневековом стиле, каждый участник должен был предложить сопернику определённое число задач. Победителем объявлялся тот, кто решил больше задач за меньшее время. При этом должно было выполняться ещё одно условие: участник, предложивший задачу, должен был знать её решение. Одна из задач, упомянутых Фибоначчи, формулируется так: нужно найти такое число, что если прибавить или вычесть из его квадрата 5, то в обоих случаях результатами также будут квадраты. Любопытно, что число 1225, совпадающее с годом публикации «Книги квадратов», является квадратом.
Примерно в тоже время арабский писатель и ученый Ибн-Халликан первым изложил знаменитую легенду об изобретателе шахмат, «Историю Сисса бен Дахира и индийского короля Ширхама». По легенде, Ширхам так полюбил игру в шахматы, придуманную Сиссой бен Дахиром, что разрешил ему выбрать себе любой подарок, какой тот пожелает. Сисса попросил короля положить пшеничное зёрнышко на первую клетку доски, 2 – на вторую, 4 – на третью, 8 – на четвёртую и так далее до клетки 64, каждый раз увеличивая число зерен. Правитель посчитал эту просьбу слишком скромной, но затем увидел, что ему никогда не удастся выполнить её. Действительно, 20 + 21 + … + 262 + 263 = 264 – 1 = 18446744073709551615 (18 триллионов, 446 биллиардов, 744 биллиона, 73 миллиарда, 709 миллионов, 551 тысяча, 615), что в разы превышает весь годовой урожай пшеницы во всём мире.
Также в 13 веке согласно повелению короля Альфонсо 10 Мудрого была написана «Книга игр. Хотя в ней больше внимания уделяется играм, чем математике она содержит интересный анализ игр, популярных в то время, а также все знания, накопленные в тот момент относительно выигрышных стратегий. Помимо шахмат и различных азартных игр, в этой книге описывается алькерк – «стратегическая» игра, то есть та в ход, которой не вмешивается случай. Это старейшая из известных нам игр такого типа.
Алькерк – игра для двух игроков, описанная в «Книге игр» Альфонсо 10 Мудрого. Доска имеет размеры клеток, у каждого игрока 12 фишек. Они располагаются на доске так, что центральная клетка остаётся незанятой. Цель игры – убрать с доски все фишки соперника. В этом алькерк очень похож на современные шашки. Первое письменное упоминание об этой игре встречаются в арабской рукописи 10 века «Китаб аль-Агхани», где алькерк фигурирует под названием киркат. Это позволяет предположить, что на Пиренейский полуостров игру занесли арабы. Однако многие источники дают основание полагать, что игра на много древнее: археологами были найдены старинные доски для алькерка и рисунки, которые также могли использоваться для игры.
Игры и математика в эпоху Возрождения.
Математику эпоху Возрождения представляют главным образом итальянские алгебраисты, среди которых Тарталья, Кардано, Бомбелли, Ферарри и дель Ферро, которые занимались в основном алгеброй и решением уравнений. Говоря о математике и играх, прежде всего, следует упомянуть Тарталью и особенно Кардано. Тарталья заменит благодаря найденному им алгоритму решения кубических уравнений. Также он первым перевёл на итальянский язык работы Евклида и Архимеда. Соперничая с Сципионом дель Ферро в духе средневековых турниров, Тарталья одержал победу, решив все предложенные соперником задачи, большинство из которых заключались в решении кубических уравнений. По-видимому, именно это и привлекло внимание Кардано, который попросил показать ему формулу для решения подобных уравнений. Тарталья согласился, и Кардано не замедлил опубликовать результаты под своим именем, чем сильно обидел Тарталью. Кардано также является автором «Книге об азартных играх», где впервые описываются вопросы, связанные с вероятностями, применительно к играм в кости. Эта книга, которую можно считать первой работой о вероятностях, не вызвала такого отклика, как работы Паскаля и Ферма.
Хотя Тарталья не занимался анализом азартных игр целенаправленно в том смысле, как это делал Кардано, в своей книге «Проблемы и различные изобретения», он предлагает читателю задачи и загадки, многие из которых известны и в наши дни.
Помимо итальянских алгебраистов, упоминания заслуживает французский математик Николя Шюке, в своей книге «Наука о числах в трёх частях», представивший занимательные задачи, среди которых впервые упоминаются задачи на переливание.
Наконец, нужно упомянуть о Роберте Рекорде, математике из Уэльса. Как и многие ученые мужи Возрождения, он занимался разными науками, в частности астрономией и медициной. Рекорд известен тем, что в своем труде «Точильный камень остроумия», впервые использовал знак «=» для обозначения равенства, указав, что нет ничего более равного между собой, чем две параллельные прямые. Хотя представить современную алгебру без этого знака непросто, он далеко не сразу стал использоваться повсеместно. В этой книге описываются занимательные задачи, которые по большей части решаются алгебраическими методами.
Золотой век математических игр: 17 и 18 века.
Книга Клода Гаспара Баше де Мезирака – своеобразный конспект по занимательной математике той эпохи. В ней описана задача о волке, козе и капусте, магические квадраты, задачи о целых чисел и взвешивания.
Начиная с того момента, уже в 17 веке появляется множество книг похожего стиля. В 1624 году Анри ван Эттен опубликовал книгу «Развлекательная математика», которая стала более успешной, чем книга Баше, и послужила образцом для последующих изданий, среди которых работа Клода Мидоржа, изданная во Франции, или работа Даниэля Швентера опубликованная в Германии. Но самой известной в 18 и 19 века стала книга Жака Озанама «Математические и физические развлечения», которую отредактировал и дополнил математик и историк науки Жан Этьен Монтукля.
Многие математики 17 – 19 веков сформулировали и впоследствии решили задачи, ставшие классикой жанра. Наиболее выдающиеся среди них – Исаак Ньютон, Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс.
Ньютон в своей книге «Универсальная арифметика», наряду с важными для математики проблемами упоминает и о простейших занимательных задачах. В книге представлены задачи про коров, броски игральных костей и многие подобные.
Эйлер также написал множество занимательных книг, например по комбинаторике, посвящённых греко-латинским квадратам. Эти квадраты были прообразами современных судоку. Но, вне всяких сомнений, самая известная из его задач – задача о кёнигсбергских мостах: можно ли обойти все четыре части города, пройдя при этом по каждому из мостов ровно один раз?
Наконец, Гаусс также уделял время занимательным задачам, среди которых задача о восьми ферзях: нужно расположить на шахматной доске восемь ферзей так, чтобы ни один из них не находился под боем другого. Используя интуитивный метод, а затем, систематизировав его и переформулировав задачу в терминах перестановок, Гаусс показал, что задача имеет 92 различных решения.
Появление теории игр.
Рано или поздно все математические понятия и модели находят применение в реальном мире, даже если изначально они никак не были связанны. Это справедливо и для анализа игр. Хороший игрок тот, кто во время игры совершает наиболее верные ходы. Цель анализа игр заключается именно в том, чтобы найти верные ходы и, если такое возможно, определить, какие ходы нужно совершать, чтобы всегда выигрывать. Это теоретически возможно в конечных играх, где не фигурируют случайные события. Однако игра может быть столь масштабной, что это помешает определить выигрышную стратегию.
Теория игр появилась в работах Джона фон Неймана, в частности в книге «Теория игр и экономическое поведение», опубликованной им совместно с Оскаром Моргенштерном. Изначально в теории игр шла речь об абстрактных играх для двух и более игроков, где определенны выигрыш и проигрыш для каждого игрока в зависимости от совершенного хода. Как правило, игроки ходят одновременно и не знают стратегию соперников. Эти игры, используемые как математические модели, изначально применялись при анализе экономических ситуаций. Фон Нейман и Моргенштерн показали способ определения оптимальной стратегии для каждого игрока в играх этого типа. Фон Нейман предложил для решения этих задач так называемый принцип минимакса, а также расширил его для игр, в которых присутствуют случайные события (так называемые смешанные стратегии). Его методы оказались столь успешными, что математики и экономисты сталь применять его при решении более сложных задач.
С появлением игр, в которых выигрыш одного игрока не обязательно означает проигрыш других, возникла идея о сотрудничестве, точнее сказать, о компромиссе между соперничеством и сотрудничеством. Так теоретические модели всё больше приближались к реальности и постепенно начали находить применение не только в экономических науках, но и в военной сфере, политике, эволюционной биологии и даже философии. Все эти научные дисциплины, столь далекие друг от друга, схожи в одном: они предполагают принятие решений в ситуациях, которые можно рассматривать как игры. Но в этом случае само слово «игра» обозначает уже не что-то развлекательное, но нечто рискованное. По мере того как формулировки этих игр приближались к реальности и, как следствие, усложнялись, они стали допускать решения, в которых учитываются не только математические параметры, но и моральные, этические и философские принципы поведения человека.
Одним из самых интересных аспектов теории игр, помимо её порой удивительных результатов, является возможность вмешиваться в сферу действий общественных наук, которые по своей природе имеют дело со случайными событиями и где переменные описывают поведение отдельных личностей и групп людей. Так, развитие теории игр привело к появлению множества дилемм, которые касаются выбора между конфликтом, риском и сотрудничеством. В силу применимости к большому числу ситуаций подобные дилеммы составляют значительную часть теории игр. Дилеммы некоторым образом показывают, насколько сложно поведение человека. Они демонстрируют, что порой возможно не только изучить действия человека, но и определить их последствия, особенно когда они зависят от сочетания стратегий, используемых участниками.
Понятие выигрышной стратегии.
В математике слово «игра» может обозначать как собственную игру, в которой участвует более одного игрока, имеются определённые правила, а цель игры – одержать победу, так и математические развлечения и головоломки. Игры, в которых участвуют минимум два игрока, можно разбить на группы разными способами, но с точки зрения математики существует признак, определяющий две большие группы: игры с полной информацией и игры, в которых присутствует элемент неопределённости. Игры первой группы называются стратегическими, а второй – азартными.
Если как следует изучать игру, обязательно задашься вопросом: какие ходы нужно совершать, чтобы одержать победу в определённой партии? В азартных играх этот вопрос не имеет смысла, поскольку игрок лишь двигает фишки согласно выпавшим очкам на игральных костях и следует инструкциям на игровых клетках. Результат игр подобного типа полностью зависит от случая, поэтому определить какую-либо стратегию невозможно.
Другой крайний случай – игры с полной информацией, в которых в любой момент можно узнать все возможные ходы и их последствия, и нет места неопределённости. Из всех подобных игр нам больше всего знакомы шахматы, хотя подобных стратегических игр, как традиционных, так и современных, существует великое множество.
Основные методы поиска выигрышной стратегии.
Метод дополнения.
Задача 1. Играют двое. Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число 100.
Решение:
В этой игре второй может гарантировать себе выигрыш. Для этого он должен дополнять ход первого до десяти (если первый прибавил 1 , второй прибавит 9). Тогда сначала будет 10, потом 20, затем 30 и так до 100.
Задача 2. На столе лежит 25 спичек. Играющие по очереди могут взять от одной до четырёх спичек. Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает. Кто выигрывает при правильной стратегии? А что будет, если изначально не 25 спичек, а 24?
Решение:
В этой игре второй игрок может гарантировать себе выигрыш. Для этого он должен дополнять ход первого до пяти спичек (если первый взял одну, второй берёт четыре и т. п.). Тогда после хода второго сначала останется 20 спичек, затем 15, затем 10, 5 и, наконец, 0, первый проиграл.
Если 24 спички, то выигрывает первый: он должен взять четыре спички, останется 20, а затем дополнять ход противника до 5 спичек.
Легко понять, что будет в общем случае для N спичек. Если N делится на 5 без остатка, то второй может гарантировать себе выигрыш, дополняя ход противника до 5. Если же N не делится на 5 без остатка, то выигрывает первый. Он должен сначала взять столько спичек, каков остаток, а потом дополнять ход противника до 5.
Метод симметрии.
Задача 1. Двое игроков кладут одинаковые круглые монеты на прямоугольный лист бумаги; монеты могут выходить за край, но не могут перекрываться. Кто не может положить монету, проигрывает. (Сдвигать ранее положенные монеты нельзя.). Кто выигрывает при правильной стратегии?
Решение:
В этой игре первый игрок может выиграть, положив свою монету в центр листа, а затем повторяя ходы второго симметрично относительно центра. (Симметрия относительно точки - поворот вокруг неё на 180 градусов.) Если второму игроку удалось положить монету на пустое место, то есть и пустое симметричное место, куда тоже можно положить монету. И так далее.
Это рассуждение кажется совсем простым, но в нём есть тонкий момент. Представим себе, что кто-то объясняет нам, что в этой игре есть выигрышная стратегия не для первого, а для второго. И состоит она в том, что второй должен класть монеты симметрично ходам первого (относительно центра листа). Что в этих объяснениях неверно?
Дело в том, что симметричное положение монеты может перекрываться с исходным, и уже положенная монета может мешать положить симметричную.
Задача 2. На столе лежат две кучки спичек: в одной 10, в другой - 7. Игроки ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (1; 2; 3; ... ) из одной из кучек (по выбору игрока). Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает. Кто выигрывает при правильной стратегии?
Решение:
Здесь первый игрок может гарантировать выигрыш, если сначала уравняет кучки, взяв три спички из большей. После этого он должен повторять ходы второго, но брать из другой кучки, восстанавливая нарушенное равенство.
Задача 3. В строчку написано несколько минусов. Два игрока по очереди переправляют один или два соседних минуса на плюс; выигрывает переправивший последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр? А если минусы написаны по кругу?
Решение:
В этой игре выигрывает первый игрок, независимо от числа минусов в строке. Для этого он должен переправить на плюс средний минус (если минусов нечётное число и средний есть) или два средних минуса (если минусов чётное число). После этого игра разбивается на две независимые части, и остаётся лишь повторять ходы противника в другой части, поддерживая симметрию. Если минусы написаны по кругу и их не два, то выигрывает второй, так как первый своим ходом приводит игру к предыдущей и второй становится первым. Если минусов не более двух, то первый исправляет все и выигрывает.
Задача 4. Перед Бабой Ягой и Кощеем Бессмертным две кучи мухоморов, в одной 100 штук, а в другой 150 штук. Эти персонажи по очереди берут грибы из куч, за один раз можно взять любое ненулевое число грибов из одной из куч. Пропускать ход нельзя, выигрывает тот, после хода которого грибов не останется. Первой ходит Баба Яга. Кто из игроков выиграет при правильной игре?
Решение:
Победит Баба Яга с помощью следующей стратегии: каждым своим ходом она уравнивает число грибов в кучках, имеющихся к ее ходу.
Задача 5 .Жираф и Жирафиха играют в следующую игру. Они по очереди стирают буквы во фразе «ДЛИННОШЕЕЕ ЖИВОТНОЕ». За один ход стирается либо только одна буква, либо одна буква и все такие же буквы, остающиеся к этому моменту нестёртыми. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю букву. Начинает Жираф. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Если пока не рассматривать четыре буквы «Е» и две буквы «И», остальные буквы можно расположить следующим образом: ДЖШООО / НННЛТВ. К выписанным буквам второй игрок может применить симметричную стратегию: стирать буквы, симметричные тем (относительно середины), которые только что стёр первый игрок.
Опишем, как должен поступать второй игрок с буквами «Е» и «И», чтобы выиграть.
1.Если первый игрок на каком-то шаге полностью стёр одну из групп (все буквы «Е» или «И»), то второй игрок стирает полностью оставшуюся из указанных групп, а к остальным буквам применяет симметричную стратегию, как было указано выше.
2. Если первый игрок стёр одну букву «Е»,второй стирает тоже одну букву «Е». тогда оставшиеся буквы «Е» и «И» образуют симметричную конструкцию ЕЕ / ИИ, к которой второй игрок применяет симметричную стратегию.
3. Если первый игрок стёр одну букву «И», второй стирает одну букву «Е». Если в дальнейшем первый игрок стирает ещё одну букву «Е», второй стирает тоже «Е» и приходит опять к симметричной конструкции Е / И.
Таким образом, выигрывает игрок, который ходит вторым – Жирафиха.
4.3.Метод выигрышной позиции.
Назовем позицию выигрышной, если, начиная из неё, игрок выигрывает при правильной игре. Назовем позицию проигрышной, если, начиная из неё, игрок проигрывает при правильной игре противника при любой своей стратегии. Позиция невыигрышна, если и только если она проигрышна. Это нужно для анализа игр с конца. Решение задачи методом выигрышных позиций разбивается на две части:
Определение выигрышности / проигрышности конечной позиции.
«Обратный ход» с использованием следующих двух тезисов:
Если из данной позиции достижимы только выигрышные позиции, то данная позиция является проигрышной;
Если из данной позиции достижима хотя бы одна проигрышная позиция, то данная позиция является выигрышной.
После этого нужно посмотреть тип начальной позиции. Если она выигрышна, то выигрывает первый игрок со стратегией: «Хожу в проигрышные позиции». Если она проигрышна, то выигрывает второй игрок, так как любой ход первого приводит в выигрышную позицию, начиная с которой, второй игрок может использовать стратегию «Хожу в проигрышные позиции». Помните: после хода текущий игрок меняется.
Задача 1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Нетрудно описать выигрышные и проигрышные позиции данной игры.
В В В В В В В В П(конец)
В В В В В В В ПВ
В В В В В В ПВ В
В В В В В ПВ В В
В(начало) В В В ПВ В В В
Таким образом, победит первый игрок, каждый раз помещая фишку в проигрышную позицию.
Ответ: Выигрывает первый (Коля), стратегия: «Ставить на проигрышную позицию».
Задача 2. На столе лежит 25 спичек. Играющие по очереди могут взять от одной до четырёх спичек. Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает. Какой игрок выигрывает при правильной игре?
Решение:
Решая эту задачу в прошлый раз, мы использовали принцип дополнения. Теперь посмотрим на позиции. В качестве позиций выступают количества спичек на столе.
0 – проигрышная позиция (конченая); 1,2,3,4 - выигрышные; 5 – проигрышная.
И т.д. Легко видеть, что любое число спичек, которое делится на 5, есть проигрышная позиция. Отсюда и стратегия видна: ходить в проигрышные позиции. Иными словами – дополнять до кратного пяти.
Задача 3. Шахматный король стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Участвуют два игрока, которые ходят по очереди. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, на одно поле вверх или на одно поле по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает игрок, который поставит короля в правый верхний угол доски. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо действовать?
Решение: нетрудно описать выигрышные и проигрышные позиции данной игры.
В ПВ ПВ ПВ П (конец)
В В В В В В В В
В ПВ ПВ ПВ ПВ В В В В В В В
В ПВ ПВ ПВ ПВ В В В В В В В
В ПВ ПВ ПВ ПВ(начало) В В В В В В В
Таким образом, победит первый игрок, каждый раз помещая фишку в проигрышную позицию.
Есть и более простой способ, который виден по таблице: «Первый ход первый игрок делает по диагонали, а далее повторяет ходы противника.» Эта стратегия дает, что только на ходах первого игрока обе координаты текущей клетки будут четными.
Задача 4. Двое играют в двойные шахматы: все фигуры ходят как обычно, но каждый делает по два шахматных хода подряд. Докажите, что первый может как минимум сделать ничью (либо просто бесконечную партию).
Решение:
Если бы первый этого не смог сделать, то для второго существовала бы строго выигрышная стратегия, но первый, сделав два ходя конем, может стать вторым, что есть противоречие. Это верно для любой игры, где первый может пропустить ход и занять позицию второго игрока.
Задача 5. На доске написано число 60. За один ход разрешается уменьшить число на любой из его целых положительных делителей (в том числе на единицу или на само это число). Если при этом получается нуль, игрок проиграл.
(Указание. Начав составлять таблицу выигрышных и проигрышных позиций, легко угадать закономерность и доказать её.)Решение:
Разбор первых нескольких чисел наводит на мысль, что все четные позиции выигрышные, а нечетные проигрышные. Доказательство индукцией: из нечетных позиций можно попасть только в четные, ибо все делители нечетного числа нечетны. Из четной позиции можно попасть в нечетную, отняв единицу. Далее - предположение индукции.
Задача 6. Двое играют в такую игру. Первый называет любое натуральное число от 2 до 9, второй умножает его на любое натуральное число от 2 до 9, первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д. Выигрывает тот, у кого впервые получится число больше 1000.
Решение:
Опишем выигрышные и проигрышные позиции: ясно, что, начиная с 1001 идут проигрышные. Далее В: 112-1000, П: 56-111, В: 55 - 7, П: 6-2. Поэтому первому надо называть число от 2 до 6 и уходить в проигрышные позиции. Выигрывает первый.
Задача 7. Часы показывают полдень. Двое играющих по очереди переводят часовую стрелку на два или три часа вперёд. Если после хода игрока стрелка указывает на 6, он выиграл.
Решение:
Выиграет первый. Первый ходит на 2 часа. Второй не может пойти на 4 (сразу проиграет), поэтому идет на 5. Первый идет на 8. Второй - либо на 10, либо на 11. Первый - на 1. Второй на 3 или на 4. Первый на 6. Здесь есть тонкий момент. При разборе выигрышный и проигрышных состояний, может возникать зацикливание, поэтому лучше решать непосредственно.
Задача 8. На квадратную доску 8 × 8 двое по очереди ставят коней на поля, не находящиеся под боем ранее поставленных (все равно кем) коней. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Второй игрок выиграет, если будет ставить коней симметрично относительно центра доски. Другими словами, позиции, в которых кони делятся на пары симметричных, являются проигрышными. Если в такой позиции игрок ставит коня на пустое место, то и симметричное ему место пусто. Более того, если поставленный конь не попал под бой, то и симметричный под бой не попадёт. Последнее утверждение основано на том, что конь не может побить клетку, симметричную той, где он стоит (хотя бы потому, что она того же цвета, а конь бьёт только клетки другого цвета). В этой задаче можно вместо центральной симметрии использовать осевую (относительно средней линии доски).
В разобранных примерах мы следовали таким правилам:
если из позиции х можно попасть в проигрышную, то позиция х – выигрышная;
если все ходы из позиции х ведут в выигрышные позиции, то позиция х – проигрышная;
выигрышная стратегия: ставить противника в проигрышную позицию.
Заключение
Что же такое игровая, стратегическая задача? Это не совсем обычная математическая задача, так как, во-первых, в ней часто нет ничего числового, то есть непонятно, а что, собственно говоря, нужно решать или точнее, что писать в решении таких задач?
Во-вторых, иногда в играх нельзя придумать алгоритм победы или, как говорят, стратегию победы, то есть иметь возможность действовать определенным алгоритмическим образом в ответ на каждый ход противника, иными словами, в игре возможна победа и без стратегии, а также ничья.
В-третьих, для решения игровой задачи нужно уметь правильно записать его. И эта запись зависит, например, от того, кто выигрывает в данной игре. Так как же правильно записать решение игровой задачи? В решении игровой задачи нужно записать:
1) ход первого игрока;
2) алгоритм ходов в ответ на каждый ход соперника, т. е. стратегию победы;
3) показать, что найдется независимо от хода соперника возможность сделать ход, т. е. его последний ход будет победным.
Игровые задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Человеку в течение всей жизни приходится не один раз оказываться в затруднительном положении, выход их которого можно найти с помощью логических рассуждений. А способность логически мыслить, и отрабатывается на решении нестандартных занимательных задач. Эти задачи проверяют не знания, а умение логически рассуждать, ориентироваться в необычных ситуациях, предвидеть и действовать.
Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Игровые задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что игровая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.
Известный русский математик В.П. Ермаков говорил: «В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления». Это демонстрируют игровые задачи.
Список литературы
Агаханов, Н.Х. Районные олимпиады. 6-11 классы [Текст] / Н.Х.Агаханов, О.К.Подлипский. – М.: Просвещение, 2010. – 192 с.
Шень, А. Игры и стратегии с точки зрения математики. [Текст] – М.: МЦНМО, 2007. – 40с.
Хорди Деулофеу. Мир математики, дилема заключённого и доминатные стратегии, теория игр. [Текст] / М: Де Агостини , 2014. – 128с.

Приложенные файлы

Добавить комментарий