Старинный метод решения задач на концентрацию


Старинный метод решения задач на концентрацию
Автор: Долгина Ирина Константиновна
Класс: 10Б
МБОУ «Лицей города Юрги»
Руководитель:
Матукова Татьяна Анатольевна,
учитель математики
Юрга 2014
CодержаниеВведение…………………………………………………………………… 2
Определение концентрации………………………………………………. 4
Решение задач на смешивание двух растворов…………………………. 5
Задача на смешивание двух растворов в общем виде…………..... 5
Примеры решения задач на смешивание двух растворов……….. 7
Решение задач на смешивание трех растворов…………………………. 13
Задача на смешивание трех растворов в общем виде……………. 13
Примеры решения задач на смешивание трех растворов……….. 15
Решение задач на удаление вещества из раствора……………………… 17
Заключение………………………………………………………………… 20
Литература…………………………………………………………………. 21

Введение
В экзаменационные материалы постоянно включаются текстовые задачи разных типов: на равномерное движение, на дроби и проценты, на совместную работу, на смеси и сплавы. Как правило, с текстовыми задачами справляются менее половины экзаменуемых. Многим школьникам не нравятся те или иные текстовые задачи при одном их прочтении.
Довольно часто в повседневной жизни приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды, т.е. усыхание. Одной из наиболее распространенных характеристик смеси является концентрация конкретной составляющей смеси, т.е. отношение количества этой составляющей к общему количеству смеси. На практике концентрации принято выражать в сотых долях единицы, называемых процентами. Содержание какого-либо драгоценного металла в сплаве с примесями обычно называют пробой и обозначают числом тысячных долей единицы. Например, говоря о золоте 573-й пробы, мы подразумеваем, что в каждых 1000 г такого «золота» содержится 573 г чистого золота.
В школьном курсе математики задачи на смеси и сплавы решаются обычно алгебраическим способом. А существует старинный способ решения задач на смеси и сплавы. Схема решения, используемая русским математиком и педагогом Леонтием Филипповичем Магницким (1669—1739), была известна в Европе уже во времена средневековья. Она применялась для решения разнообразных задач на смешивание. Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.
Цель работы – теоретическое обоснование старинного способа и составление математической модели при решении текстовых задач на концентрацию.
В ходе работы были поставлены задачи:
- Изучить литературу по данной теме
- Приобрести навык решения задач на концентрацию
- Классифицировать задачи по сложности и способам решения.
При написании работы применялись в основном следующие методы исследования:
изучение литературы;
анализ и систематизация полученной информации;
моделирование математических задач.
Определение «концентрации»
Если раствор имеет массу m и состоит из веществ А, В и С, массы которых соответственно равны mA, mB и mC, то величину mAm (соответственно mBm, mCm) называют концентрацией вещества А (соответственно В, С) в растворе, а величину mAm*100% (соответственно mBm*100% , mCm*100% ) – процентным содержанием вещества А (соответственно В и С) в растворе. При этом выполняется равенство mAm+mBm+mCm=1.
Заметим, что в задачах о растворах (сплавах, смесях) используют следующие допущения:
Все полученные растворы (сплавы, смеси) считаются однородными;
Не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа);
Потери некоторого количества раствора (массы), которые возможны в силу протекания соответствующей химической реакции (или физических процессов), считаются незначительными и приравниваются к нулю.

Задача на смешивание двух растворов в общем виде.
Задача. Имеется два раствора: первый с процентным содержанием вещества А, равным p%, и второй с процентным содержанием этого вещества, равным q%. В каком соотношении нужно взять данные растворы, чтоб получить новый раствор с процентным содержанием указанного вещества, равным k%?
Для определенности будем считать p < k < q. Смешаем m кг первого раствора с n кг второго, получим раствор массой (m+n) кг. Согласно старинному методу решения задач на смешивание двух растворов составляется следующая схема.

Согласно схеме должно выполняться равенство q-kk-p=mn или по основному свойству пропорции n(q-k)=m(k-p).
Докажем, что результат, полученный в ходе использования этого метода, верный, и метод можно применять при решении задач на смешивание растворов.
Доказательство. В первом растворе необходимо вещества (0,01pm) кг, а во втором - (0,01qn) кг, значит, в полученном растворе – (0,01pm+0,01qn) кг. С другой стороны, мы получили в растворе процентное содержание вещества А, равное k%, значит, его масса в растворе составляет (0,01k(m+n)) кг. Следовательно, должно выполняться равенство
0,01pm+0,01qn= 0,01k(m+n)<=>
<=> pm+qn= km+kn <=>
<=>qn-kn=km-pm <=>
<=>n(q-k)= m(k-p) <=>
<=>q-kk-p=mn .
Видно, что при решении задачи старинным методом мы получили такой же результат.
Замечание. Если справедливо неравенство q < k < p, то в процессе решения мы получаем mn=k-qp-k, которое равносильно mn=q-kk-p. Для случаев k < q < p, q < p < k, k < p < q и p < q < k задача рения не имеет, поскольку нельзя, смешивая растворы с меньшими процентными содержаниями вещества А, получить раствор с большим процентным содержанием этого вещества, также при смешивании растворов с большими процентными содержанием вещества А нельзя получить раствор с меньшим процентным содержанием этого вещества.

Примеры решения задач на смешивание двух растворов.
Задача 1. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношение 17:27?
Решение. Приведем старинный способ решения этой задачи:
Выразим в процентах содержание первого металла в каждом сплаве: в первом- 11+2=13=3313%, во втором- 22+3=25=40%, в третьем- 1717+27=1744=38711%.Запишем друг под другом процентное содержание первого металла в имеющихся сплавах, несколько правее примерно посередине от них – процентное содержание этого металла в третьем сплаве.
Соединяем написанные числа отрезками, получаем схему.

Справа запишем значения разности: вверху- большего и среднего, а внизу- среднего и меньшего. Получим следующую схему.

Отношение чисел в правом столбце (1411:51033) показывает, в каком соотношении необходимо смешать сплавы.
Лучше это отношение привезти к другому виду, выполнив деление обоих чисел на 533 :1411:533=1511:533=1511*335=9,
51033:533=17533:533=17533*335=35,т.е. массы сплавов относятся как (9:35).

Замечание. Можно поступить и по-другому, просто выполнив деление:
1411:51033=1511:17533=1511*33175=935.
Поученная дробь и дает нам необходимое отношение масс имеющихся двух сплавов.
Ответ: 9 и 35.
Задача 2. У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?
Решение. Приведём старинный метод решения этой задачи.
Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них, посередине - стоимость масла, которое должно получиться после смешивания. Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что остается, напишем справа от меньшей цены. Получится такая схема:
7
10
6
3
1

Из неё делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого 3/4 ведра.
Ответ: 14 и 34.
Задача 3. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе?
Решение. За Х возьмем процентное содержание кислоты в первом растворе, за Y- процентное содержание кислоты во втором растворе. Составляем следующие схемы:


Составляем систему по условию задачи:
у-4646-х=3035 у-47=47-х
y-47=47-x
y=94-x
y=94-60
y=34
94-x-4646-x=303548-x46-x=676(46-x) = 7(48-x)
276-6x = 336-7x
x=336-276
x=60
Так мы выяснили процентное содержание чистого вещества в растворе 1 и 2.
60% - x
100% - 30 кг
x=60*30100x=18 кг
34%- y кг
100%- 35 кг
y=34*35100y=11,9 кг
Ответ: 18 кг; 11,9 кг
Задача 4. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сливания этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором – 30%. Определите массу полученного слитка.
Решение. Составим схему, за Х кг примем массу первого слитка, тогда масса второго слитка (Х+3) кг, а масса полученного слитка будет равна (2x+3)кг.

1020=хх+310х+30=20х
10х=30
х=3
2х+3= 2*3+3=9
Ответ: 9 кг.
Задача 5. Имеются два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго, то получиться 50% раствор. Если же слить 300г первого и 200г второго, то получиться 42% раствор. Определить концентрацию данных растворов.
Решение. Составим схемы, За Х примем концентрацию соли в первом растворе, за Y концентрацию соли во втором растворе.


Составим систему и решим её:
50-yx-50=100200 42-yx-42=30020050-yx-50=12100-2y = x-50
x = 150-2y
x = 150-2*60
x = 30
42-y150-2y-42=3284-2y=450-6y-126
4y=240
y=60
Ответ: 30% и 60%.
Задача 6. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько «бедной» руды нужно взять, чтоб получить при смешивании с «богатой» 20т руды с содержанием меди 8%?
Решение. Составим схему, в которой за Хт примем массу «бедной» руды, за Yт - массу «богатой».

xy=32 x+y=20
x=20-y
x=20-8
x= 12
20-yy=323y=40-2y
5y=40
y=8
Ответ: 12т.

Задача на смешивание трех растворов в общем виде.
Задача. Имеются три раствора с разным процентным содержанием вещества А: первый, равным р%, второй – q% и третий – g%. В каком соотношении нужно взять данные растворы, чтобы получить новый с процентным содержанием указанного вещества, равным k%?
Для определенности будем считать p < k < q < g. Применим к смешиванию трех растворов два раза старинный метод. Смешав части первого и второго растворов в определенном соотношении, получим некоторое количество раствора В с процентным содержанием вещества А, равным k%, а смешав части первого и третьего, - еще какое-то количество раствора C с процентным содержанием вещества А, равным k%. Таким образом, у нас два раствора, удовлетворяющих условиям задачи. Мы можем их просто соединить и получим раствор с требуемым процентным содержанием вещества А, а можем смешать в некоторой пропорции, например одну часть раствора В и две части раствора С или две части растворов В и три части раствора С. То есть задача на смешивание трех растворов может иметь много решений, если в ней нет никаких дополнительных условий.
Состав две схемы: для смешивания первого и второго растворов и для смешивания первого и третьего растворов.

Самый простой вариант решения заключается в соединении раствора, получившегося при смешивании первого и второго растворов, и раствора, получившегося в результате смешивания первого и третьего растворов. В этом случае первого раствора будет содержаться (q - k) + (g - k)=q + g- 2k частей, а второго и третьего поровну по (k - p) частей. Для удобства решения схему можно проложить следующим образом.

Если же мы возьмем, как предлагалось выше, две части раствора, получившегося при смешивании первого и второго растворов, и три части раствора, получившегося в результате смешивания первого и третьего растворов, то первого раствора будет содержаться 2(q - k) + 3(g - k)=2q+3g-5k частей, второго – 2(k - p) частей , а третьего – 3(k - p) частей.

Замечание. Если справедливо неравенство p < q < k < g, то старинный метод применяем два раза: сначала смешиваем первый и третий, а затем второй и третий растворы. При этом складываться будут части третьего раствора, поскольку он участвует и в первом, и во втором смешивании.
Примеры решения задач на смешивание трех растворов.
Задача 1. Имеются 3 куска сплава меди с никелем в отношениях 2:1, 3:1 и 5:1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с соотношениями меди и никеля 4 : 1. Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого вдвое больше массы второго.
Решение. Выразим процентное содержание меди в каждом сплаве: в первом - 22+1=23=6623%, во втором - 33+1=34=75%, в третьем - 55+1=56=8313%, в полученном - 44+1=45=80%.
Пусть х кг – масса куска второго сплава, тогда масса куска первого сплава – (2х) кг. Применим к смешиванию трех растворов два раза старинный метод и упростим, разделив в первой части схемы на 313:

313:313=1; 1313:313=403:103=403*310=4,
а во второй – на 53:313:53=103:53=103*35=3; 5:53=5*35=3Таким образом, согласно схеме первого сплава необходимо взять одну часть, а второго – две. Но по условию масса первого была вдвое больше массы второго, значит, необходимо в первой части схемы выполнить умножение на 4 (4 как раз в 2 раза больше 2) и затем сложить части третьего сплава. Получим окончательную схему.

Итак, мы получили соотношение, в котором необходимо было смежать имеющиеся куски сплавов: 4 : 2 : 19. Значит, масса первого куска составляет 44+2+19=425 полученного сплава, или 425*12=1,92 кг, второго – в 2 раза меньше, т.е. 1,92 : 2= 0,96 кг, а третьего – 12- (0,96 + 1,92)=9,12 кг.
Ответ: 1,92 кг, 0,96кг, 9,12 кг.
Задача 2. Некто имеет серебро разных проб: одно – двенадцатой пробы, другое – десятой пробы, третье - шестой пробы. Сколько какого серебра нужно взять, чтоб получить 1 фунт серебра девятой пробы?
Решение. Т.к. 6<10<12 , то применим старинный метод для 6-ой и 10-ой пробы, а затем для 6-ой и 12-ой.

Ответ: 12-ой пробы нужно взять 3 части, 10-ой 3 части и 6-ой 4 части (1+3).
Примеры решения задач на удаление вещества из раствора.
Задача 1. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 килограмм свежих?
Решение: пусть Х килограмм - масса грибов, которая получится при сушке. Запишем друг под другом процентное содержание воды в сухих грибах и 100% (очевидно, что это процентное содержание воды в удаленной при сушке грибов жидкости), несколько правее примерно посередине от них - процентное содержание воды в свежих грибах. Соединяем написанные числа отрезками, получаем схему.
Меньшее значение вычтем из среднего и запишем его справа снизу, из большего вычтем среднее и запишем его справа вверху. В правом столбце разделим на 2 получим следующую схему. Отношение (5:39) показывает соотношение масс частей оставшегося и удаленного растворов.

Правее напишем соответствующие массы: согласно нашим обозначениям мы получим Х кг сухих грибов, значит, удаленная жидкость составляет (22-Х) кг. Окончательная схема имеет вид.
Получаем уравнение 39Х=5(22-Х) Отсюда Х=2,5 ОТВЕТ: 2,5кг
Задача 2. Определить, сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба с влажностью 45%?
Решение. Пусть Х кг- масса сухарей.

6х=11(255-х)
6х=2805-11х
17х=2805
х=165 кг.
Ответ 165 кг.
Задача 3. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?
Решение. Пусть Х кг - вода в винограде, тогда Х+20 – это масса требуемого винограда.

20х=21710х=117х=170
Масса винограда 170+20= 190 кг.
Ответ: 190 кг.

Заключение
Умение решать текстовые задачи – показатель уровня математического мышления.
Такое умение необходимо человеку, собирающемуся добиться серьезных успехов в овладении современными профессиями. Это умение состоит из многих компонентов. Один из них – понимание математической модели описываемого в задаче процесса или явления. В данной работе рассмотрен метод, которым можно легко и просто решать целую группу сложных задач. Эти задачи можно найти во многих учебниках по алгебре и сборниках для выпускников и абитуриентов. Примеры некоторых задач разобраны в этой работе.
Данную работу можно использовать в качестве учебного материала при подготовке к экзамену.

Литература
Зеленский А.С. Сборник конкурсных задач по математике 1992-1995 годов. – 2-е изд. – Научно-технический центр «Университетский»: АСТ-ПРЕСС, 1996. – 336с.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. – 2-е изд., испр. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988.-160 с.
3000 конкурсных задач по математике / Е.Д. Куланин [ и др.]. – Изд. 8-е, испр. – М. : Айрис-пресс, 2005. – 624 с.
Е.Л. Мардахаева, статья из журнала «Математика в школе» выпуск 3 2010г.

Приложенные файлы

Добавить комментарий