Удивительная универсальная подстановка (решение тригонометрических уравнений)

Всероссийский фестиваль педагогического творчества







«Удивительная универсальная подстановка»
(Решение тригонометрических уравнений)

Автор:
Паутов Дмитрий Валерьевич
Студент 114 группа
БУ «Радужнинский политехнический колледж»


Руководитель:
Таскаева Елена Александровна
Преподаватель математики
БУ «Радужнинский политехнический колледж»








2016
Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc446699643" 14Введение 13 PAGEREF _Toc446699643 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc446699644" 14Глава 1. Анализ заданий ЕГЭ. 13 PAGEREF _Toc446699644 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc446699645" 14Глава 2.Основные формулы тригонометрии. 13 PAGEREF _Toc446699645 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc446699647" 14Глава 3. Формулы универсальной подстановки. 13 PAGEREF _Toc446699647 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc446699648" 14Заключение. 13 PAGEREF _Toc446699648 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc446699650" 14Список литературы. 13 PAGEREF _Toc446699650 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc446699651" 14Приложение 1 13 PAGEREF _Toc446699651 \h 14111515
13 LINK \l "_Toc446699652" 14Приложение 2. 13 PAGEREF _Toc446699652 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc446699653" 14Приложение 3. 13 PAGEREF _Toc446699653 \h 14141515
13 LINK \l "_Toc446699654" 14Приложение 4. 13 PAGEREF _Toc446699654 \h 14151515
15
Введение
Тригонометрические уравнения – одна из первых тем, которую предстоит изучить на занятиях по математике на первом курсе.
Изучение тригонометрии доставляет много трудностей студентам.
Сложности возникают потому, что в теме используется более двадцати базовых формул. Важно знать эти формулы, уметь их применять.
Широкое применение тригонометрических уравнений, не позволяет поверхностно относиться к изучению этой темы.
Так как, я являюсь студентом группы по подготовке специалистов среднего звена и решил после окончания колледжа поступать в ВУЗ, то для меня важно, подготовиться и хорошо сдать Единый Государственный Экзамен. Среди заданий которого, также встречаются тригонометрические уравнения. При изучении темы: «Способы решения тригонометрических уравнений» мне показалось актуальным выяснить, какие уравнения предлагаются на ЕГЭ и какими способами их можно решать.
Изучением способов решения тригонометрических уравнений занимались и занимаются ученые и составители сборников для подготовки к экзамену. Среди них А.Н. Колмогоров, Е.Д.Куланин, В.П. Норин составители сборника «3000 конкурсных задач по математике», Ф.Ф. Лысенко, И.В. Ященко, Д. Гущин.
Мне представляется интересным проанализировать задания, которые предлагаются для подготовки к ЕГЭ, и найти способ их решения, который не предлагается авторами, но удобен в применении. В этом и заключается новизна работы.
Цель данной работы: найти удобный способ решения тригонометрических уравнений.
Для достижения данной цели сформулированы следующие задачи:
- проанализировать литературу по данной теме;
- изучить формулы решения тригонометрических уравнений;
- изучить способы решения тригонометрических уравнений;
- изучить формулы для преобразования тригонометрических выражений;
- подобрать уравнения, которые можно решать, используя эти формулы;
- обобщить результаты и сделать выводы.
Объект исследования: тригонометрическое уравнение.
Предметом исследования являются формулы универсальной подстановки.
Первоначальная гипотеза: Тригонометрические уравнения, предлагаемые на ЕГЭ, позволяют использовать разнообразные способы решения, в том числе универсальную подстановку.
В работе используется прием планирования. Этапы исследования включали в себя определение темы, выделение проблемных вопросов, позволяющих раскрыть данную проблему; составление списка литературы, подлежащей обязательному изучению; аналитическая работа с текстами учебной литературы; сбор фактического материала и оформление полученных результатов.
Прием использования аналога позволил провести сравнение между решениями одного уравнения разными способами.
Приемы выдвижения гипотезы и переноса знаний в новую ситуацию помогли сформулировать выводы.
Методы исследования:
Сравнение – тригонометрических уравнений и способов их решения.
Анализ - разложение уравнений на составные части.
Синтез – соединение отдельных частей решения в одно целое.
Практическая направленность данной работы заключается в том, что ее можно использовать на уроках математики; на дополнительных занятиях; при подготовке к ЕГЭ.
Глава 1. Анализ заданий ЕГЭ.
Подготовку к ЕГЭ я решил начать с рассмотрения заданий, которые предлагаются для подготовки к экзамену. Так как одна из первых, изученных на уроках математики тем «Тригонометрические уравнения», то я решил выяснить в каких заданиях и как часто она встречается на ЕГЭ.
Изучив литературу по этой теме, мы выяснили, что задания связанные с тригонометрическими уравнениями это задания под номером 13.
Из 126 заданий под номером 13 на решение тригонометрических уравнений -110. Кроме них встречаются показательные уравнения и комбинированные. (Приложение 1)
При решении большинства из тригонометрических уравнений авторы предлагают использовать следующие способы:
Разложение на множители;
Приведение к однородному уравнению;
Приведение к квадратному уравнению.
Анализ способов решения уравнений показал, что из 110 рассмотренных уравнений 52% решаются с помощью разложения на множители. (Приложение 1).
Множители, на которые раскладываются уравнения, представляют собой:
однородные уравнения,
уравнения, сводимые к квадратным уравнениям относительно синуса или косинуса,
уравнения вида cos x+sin x+1=0. cos x-sin x+1=0. cos x-sin x-1=0
Первые виды уравнений достаточно часто встречались на уроках, а вот третье уравнение показалось для меня не очень знакомым, и я решил выяснить какими способами можно его решать.
Рассмотрим одно из уравнений, предлагаемых для подготовки к ЕГЭ.
1. a) Решить уравнение sin(3(-2x)+1=cos(13 QUOTE 1415-x)-cos((-x)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [13 QUOTE 1415; 2
·] 
Решение: sin(3(-2x)+1=cos(13 QUOTE 1415-x)-cos((-x) Применив формулы приведения заменим исходное уравнение на уравнение вида:
sin2x+1=sinx+cosx
Воспользуемся формулой синус двойного угла и получим:
2sinx(cosx+sin2x+cos2x=sinx+cosx
Свернем левую часть по формуле квадрат суммы и перенесем правую часть:
(sinx+cosx)2-(sinx+cosx)=0
Разложим левую часть уравнения на множители:
(sinx+cosx)((sinx+cosx-1)=0
Применим свойство нуля:
sinx+cosx=0 или sinx+cosx-1=0
Уравнение sinx+cosx=0 является однородным уравнением и способ его решения нам знаком. А как решить второе уравнение?
Глава 2.Основные формулы тригонометрии.
Для успешного решения тригонометрических уравнений во - первых нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные. Поэтому мне кажется важным подобрать такие формулы, которые достаточно часто используются при решении тригонометрических уравнений. Для этого мы рассмотрели уравнения, которые предлагается решить в учебнике «Алгебра 10-11» А.Н. Колмогорова, в сборниках для подготовки к ЕГЭ, на сайтах.
Во - вторых, необходимо четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений



Таблица 1



tg x=a
ctg x=a

x=(-1)k13 QUOTE 1415arcsina+13 QUOTE 1415k, k(Z
x =(arccosa+2(k, k(Z
x=arctga+(k, k(Z
x=arcctgа+(k, k(Z

Удобно использовать формулы частных случаев.

.

Таблица 2


x=(k, k(Z

x=13 QUOTE 1415+(k, k(Z


x=13 QUOTE 1415+2(k, k(Z

x=2(k, k(Z


x=13 QUOTE 1415+2(k, k(Z

x=(+2(k, k(Z

Уравнение вида cos x-sin x=1можно решать различными способами. Мы рассмотрели четыре из них.
Задание: Решить уравнение cos x-sin x=1
1 способ: Возведение обеих частей в квадрат:
cos x-sin x=1
(cos x-sin x)2=12
cos2x-2cosx(sinx+sin2x=1
(cos2x+ sin2x)+ 2cosx(sinx=1
1-sin2x=1
-sin2x=0 | ((-1)
sin2x=0
2x=13 QUOTE 1415n, n(Z
x=13 QUOTE 1415n, n(Z
Проверка:
Если n=0, то
cos0-sin13 QUOTE 1415=1
1-0=1 (верно)

ђ°Если n=1, то
cos13 QUOTE 1415-sin13 QUOTE 1415=1
0-1=1 (неверно)

Если n=2, то
cos13 QUOTE 1415sin(=1
-1-0=1 (неверно)

Если n=-1, то
cos13 QUOTE 1415sin13 QUOTE 1415=1
0-(-1)=1 (верно)

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-13 QUOTE 1415n(Z
2 способ Разложение на множители.
cos x-sin x=1
cos213 QUOTE 1415- sin213 QUOTE 1415- 2sin13 QUOTE 1415cos13 QUOTE 1415- (cos213 QUOTE 1415+sin213 QUOTE 1415)=0
- 2sin213 QUOTE 1415- 2sin13 QUOTE 1415cos13 QUOTE 1415=0
2sin13 QUOTE 1415(sin13 QUOTE 1415+cos13 QUOTE 1415=0
или
2sin13 QUOTE 1415=0
sin13 QUOTE 1415=0

x=213 QUOTE 1415
или
sin13 QUOTE 1415+cos13 QUOTE 1415=0 однородное уравнение первой степени. cos13 QUOTE 1415(0
sin13 QUOTE 1415+cos13 QUOTE 1415=0 /: cos13 QUOTE 1415
tg13 QUOTE 1415+1=0
tg13 QUOTE 1415=-1
13 QUOTE 1415=arctg(-1)+
·n, n(Z
x=-13 QUOTE 1415 + 2
·n,

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-13 QUOTE 1415n(Z
3 способ - Введение вспомогательного угла;
cos x-sin x=1
Введем вспомогательный угол 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415cos x - 13 QUOTE 1415sin x=13 QUOTE 1415
cos 13 QUOTE 1415 cos x - sin13 QUOTE 1415 sin x=13 QUOTE 1415
cos 13 QUOTE 1415 + x)=13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 + x=13 QUOTE 1415 arccos13 QUOTE 1415 +213 QUOTE 1415, n13 QUOTE 1415
x=13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415- 13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415, n13 QUOTE 1415
x=213 QUOTE 1415
x= - 13 QUOTE 1415 + 213 QUOTE 1415

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-13 QUOTE 1415n(Z
4 способ Применение универсальной подстановки.
cos x-sin x=1
Воспользуемся формулами универсальной подстановки: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415, так как tg13 QUOTE 1415 не определен при 13 QUOTE 1415, проверим, не является ли корнем исходного уравнения: cos 13 QUOTE 1415-sin 13 QUOTE 1415=1; -1-0=1 неверно, значит х=13 QUOTE 1415 не является корнем уравнения.
13 QUOTE 1415-13 QUOTE 1415=113 QUOTE 1415
1-13 QUOTE 1415-213 QUOTE 1415)=13 QUOTE 1415
-213 QUOTE 1415-213 QUOTE 1415) =13 QUOTE 1415
-213 QUOTE 1415)(13 QUOTE 1415)+1)13 QUOTE 1415= 0
-213 QUOTE 1415) = 0 или
13 QUOTE 1415) = 0 или

x=213 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415)+113 QUOTE 1415= 013 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415)13 QUOTE 1415= -1
13 QUOTE 1415=-13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415
x==-13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-13 QUOTE 1415n(Z
Способ, в котором используется универсальная подстановка, показался нам наиболее интересным. И мы решили познакомиться с формулами универсальной подстановки и научиться применять их при решении уравнений.
Глава 3. Формулы универсальной подстановки.
Итак, формулы универсальной подстановки - это формулы вида
cos x=13 QUOTE 1415; sin x=13 QUOTE 1415 Они определены при всех х, кроме х=13 QUOTE 1415, так как tg13 QUOTE 1415 при этом значении х не определен.
Закончим решение уравнения, применив эти формулы:
sinx+cosx=0 ( : cosx
tgx+1=0
tgx=-1
x=arctg(-1)+(n, n(Z
x=-13 QUOTE 1415+(n, n(Z
sinx+cosx-1=0
sinx+cosx=1
Заменим cosx=13 QUOTE 1415; sinx=13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415=1 умножим обе части уравнения на общий знаменатель.
1-13 QUOTE 1415+213 QUOTE 1415)=13 QUOTE 1415
-13 QUOTE 1415+213 QUOTE 1415)=13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415)=13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415) - 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415)=13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
х=213 QUOTE 1415 или х=13 QUOTE 1415


Отбор корней произведем, используя единичную окружность.
Ответ: а) x=-13 QUOTE 1415+(n, n(Z, х=213 QUOTE 1415 ,х=13 QUOTE 1415
б) 13 QUOTE 1415; 213 QUOTE 1415.
Используя эти формулы можно решать уравнения, которые сводятся к виду: sinx+cosx=1; nsinx+cosx=n; sinx- kcosx=k; sinx- cosx=1; cosx - sinx =1
При этом, после универсальной подстановки получаем линейное, неполное или полное квадратное уравнение относительно 13 QUOTE 1415), которые легко решаются. Нам показалось интересным составить тренажер, для отработки навыков применения универсальной подстановки. (Приложение 2) И алгоритм решения таких уравнений. (Приложение 3)
Если проанализировать ответы, которые получены при решении заданий тренажера, можно составить индивидуальные задания для студентов группы. (Приложение 4). Который, мы и составили и используем для отработки навыков решения таких уравнений.
Заключение.
В ходе выполнения работы был проведен анализ заданий, предложенных в литературе для подготовки к ЕГЭ и заданий с сайтов. Анализ показал, что наиболее часто при решении тригонометрических уравнений приходится использовать следующие способы решения: разложение на множители; сведение к квадратному уравнению; сведение к однородному уравнению. Мы рассмотрели формулы универсальной подстановки, которые упрощают решение. Составили тренажер по решению таких уравнений алгоритм их решения и индивидуальные задания по теме. Считаем, что подготовленные нами материалы помогут студентам освоить применение этого метода, и успешно выполнить подобное задание на ЕГЭ. Первоначальная гипотеза подтвердилась.

Список литературы.
Гущин Д. //«Решу ЕГЭ» Обучающая система Дмитрия Гущина – ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
Колмогоров А.Н., Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений /А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. [и др.] – М: Просвещение, 2011
Куланин Е.Д.,3000 конкурсных задач по математике./ Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. – М: Рольф, 2003
Лысенко Ф.Ф., Математика 10-11 класс: тренажер для подготовки к ЕГЭ/ Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова.– Р-на-Д.:Легион, 2014
Тесты к ЕГЭ по математике профильного уровня – (http://neznaika.pro/test/)
Ященко И.В., Математика 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому экзамену. Профильный уровень: тренировочные задания/ И.В. Ященко. – М: АСТ Астрель, 2016
Приложение 1
Задания №13для подготовки к ЕГЭ.
Тригонометрические уравнения
87%

Другие задания
13%


Сравнительная таблица способов решения тригонометрических уравнений, предлагаемых для подготовки к ЕГЭ.
№п/п
Способы решения
процент
Количество уравнений

1
Разложение на множители
52
57

2
Сведение к квадратному уравнению
33
36

3
Сведение к однородному
7
8

4
Использование свойств нуля
6
7

5
Сведение к биквадратному
1
1

6
Возведение обеих частей уравнения в квадрат
1
1


итого

110

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Приложение 2.
Тренажер
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Ответы
№ п/п
1
2
3

ответ
213 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415

213 QUOTE 1415

№ п/п
4
5
6

ответ

2arctg13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415
2arctg13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415

2arctg13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415

№ п/п
7
8
9

ответ
13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415
2arctg13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415
2arctg13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415



№ п/п
10



ответ





Приложение 3.
Алгоритм решения тригонометрического уравнения с помощью универсальной подстановки.
Проверить, не является ли корнем уравнения число 13 QUOTE 1415
Заменить cost на 13 QUOTE 1415 и sint на13 QUOTE 1415
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель 13 QUOTE 1415
Перенести все слагаемые в одну часть уравнения.
Привести подобные слагаемые.
Ввести новую переменную 13 QUOTE 1415 =a (если это необходимо).
Решить полученное квадратное уравнение или линейное уравнение.
Выполнить обратную подстановку
Решить простейшие тригонометрические уравнения.
Сделать проверку
Записать ответ (включить при необходимости в ответ t=13 QUOTE 1415)
Приложение 4.
Индивидуальные задания.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Где m – это номер студента по списку
Ответы
№ п/п
1
2
3

ответ
213 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415

213 QUOTE 1415

№ п/п
4
5
6

ответ
13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415
2arctg13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415






 [2]
 [4]
 [6]
 [1]
 [1],[5],[6]
 http://math.reshuege.ru/test
 [2]
 [2]
 [1]









13PAGE \* MERGEFORMAT14215




Диаграмма 1Диаграмма 4Root Entry


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Автор:Паутов Дмитрий Студент 114 группаБУ «Радужнинский политехнический колледж» Руководитель:Таскаева Елена АлександровнаПреподаватель математики«Удивительная универсальная подстановка»(Решение тригонометрических уравнений) выяснить, какие уравнения предлагаются на ЕГЭ и какими способами их можно решать.найти способ решения тригонометрических уравнений, который не предлагается авторами разработок для подготовки к ЕГЭ, но удобен в применении.Новизна:Актуальность:

найти удобный способ решения тригонометрических уравненийЦель:
- проанализировать литературу по данной теме;- изучить формулы решения тригонометрических уравнений;- изучить способы решения тригонометрических уравнений;- изучить формулы для преобразования тригонометрических выражений;- подобрать уравнения, которые можно решать, используя эти формулы;- обобщить результаты и сделать выводы.задачи:



тригонометрическое уравнение.формулы универсальной подстановки.Предмет исследования: Объект исследования:

Тригонометрические уравнения предлагаемые на ЕГЭ, позволяют использовать разнообразные способы решения, в том числе универсальную подстановку.Первоначальная гипотеза:
Прием планирования..Прием использования аналога Приемы выдвижения гипотезы и переноса знаний в новую ситуацию СравнениеАнализ Синтез Приемы:Методы:



использовать на уроках математики; на дополнительных занятиях; при подготовке к ЕГЭ.Практическая направленность

  
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}sinх=аcosх=аtg x=actg x=ax=(-1)karcsina+k, kZx=arccosa+2k, kZx=arctga+k, kZx=arcctgа+k, kZ{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}tg x=actg x=ax=(-1)karcsina+k, kZx=arccosa+2k, kZx=arctga+k, kZx=arcctgа+k, kZФормулы корней тригонометрических уравненийТаблица 1Частные случаи{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}sinх=0x=k, kZcosх=0x=2+k, kZsinх=1x=2+2k, kZcosх=1x=2k, kZsinх=−1x=−2+2k, kZcosх=−1x=+2k, kZ{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x=k, kZx=2k, kZx=+2k, kZТаблица 2


Способы решения уравненияcos x-sin x=1
Универсальная подстановка

 sinx+cosx=0  : cosxtgx+1=0tgx=-1x=arctg(-1)+n, nZx=-4+n, nZ 

sinx+cosx-1=0sinx+cosx=1Заменим cosx=1−𝑡𝑔2  (𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2); sinx=2𝑡𝑔(𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2);2𝑡𝑔(𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2)+1−𝑡𝑔2  (𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2)=1 умножим обе части уравнения на общий знаменатель.  
 
 Отбор корней произведем, используя единичную окружность.Ответ: а) x=-/4+n, n Z, х=2 πn, n∈Z ,х=π/2+2πn, n∈Zб) π/2; 3π/4; 7π/4; 2π.

sinx+cosx=1; ksinx+cosx=k; sinx- kcosx=k; sinx- cosx=1; cosx - sinx =1.Где k- произвольное число.Уравнения, которые можно решать с помощью универсальной подстановки
 Тренажер

Алгоритм решения тригонометрического уравнения с помощью универсальной подстановки.

Индивидуальные задания.

Формулы универсальной подстановки упрощают решение некоторых тригонометрических уравнений;Тригонометрические уравнения предлагаемые на ЕГЭ позволяют использовать разнообразные способы решения, в том числе универсальную подстановку.Для отработки навыков решения подобных уравнений можно использовать алгоритм, тренажер, индивидуальные задания.Выводы

Спасибо за внимание.

Приложенные файлы

  • doc file1
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 3
  • pptx file2
    Презентация к научно-исследовательской работе.
    Размер файла: 676 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий