Удивительная универсальная подстановка (решение тригонометрических уравнений)

Всероссийский фестиваль педагогического творчества







«Удивительная универсальная подстановка»
(Решение тригонометрических уравнений)

Автор:
Паутов Дмитрий Валерьевич
Студент 114 группа
БУ «Радужнинский политехнический колледж»


Руководитель:
Таскаева Елена Александровна
Преподаватель математики
БУ «Радужнинский политехнический колледж»








2016
Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699643" HYPER14Введение HYPER13 PAGEREF _Toc446699643 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699644" HYPER14Глава 1. Анализ заданий ЕГЭ. HYPER13 PAGEREF _Toc446699644 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699645" HYPER14Глава 2.Основные формулы тригонометрии. HYPER13 PAGEREF _Toc446699645 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699647" HYPER14Глава 3. Формулы универсальной подстановки. HYPER13 PAGEREF _Toc446699647 \h HYPER148HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699648" HYPER14Заключение. HYPER13 PAGEREF _Toc446699648 \h HYPER149HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699650" HYPER14Список литературы. HYPER13 PAGEREF _Toc446699650 \h HYPER1410HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699651" HYPER14Приложение 1 HYPER13 PAGEREF _Toc446699651 \h HYPER1411HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699652" HYPER14Приложение 2. HYPER13 PAGEREF _Toc446699652 \h HYPER1413HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699653" HYPER14Приложение 3. HYPER13 PAGEREF _Toc446699653 \h HYPER1414HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc446699654" HYPER14Приложение 4. HYPER13 PAGEREF _Toc446699654 \h HYPER1415HYPER15HYPER15
HYPER15
Введение
Тригонометрические уравнения – одна из первых тем, которую предстоит изучить на занятиях по математике на первом курсе.
Изучение тригонометрии доставляет много трудностей студентам.
Сложности возникают потому, что в теме используется более двадцати базовых формул. Важно знать эти формулы, уметь их применять.
Широкое применение тригонометрических уравнений, не позволяет поверхностно относиться к изучению этой темы.
Так как, я являюсь студентом группы по подготовке специалистов среднего звена и решил после окончания колледжа поступать в ВУЗ, то для меня важно, подготовиться и хорошо сдать Единый Государственный Экзамен. Среди заданий которого, также встречаются тригонометрические уравнения. При изучении темы: «Способы решения тригонометрических уравнений» мне показалось актуальным выяснить, какие уравнения предлагаются на ЕГЭ и какими способами их можно решать.
Изучением способов решения тригонометрических уравнений занимались и занимаются ученые и составители сборников для подготовки к экзамену. Среди них А.Н. Колмогоров, Е.Д.Куланин, В.П. Норин составители сборника «3000 конкурсных задач по математике», Ф.Ф. Лысенко, И.В. Ященко, Д. Гущин.
Мне представляется интересным проанализировать задания, которые предлагаются для подготовки к ЕГЭ, и найти способ их решения, который не предлагается авторами, но удобен в применении. В этом и заключается новизна работы.
Цель данной работы: найти удобный способ решения тригонометрических уравнений.
Для достижения данной цели сформулированы следующие задачи:
- проанализировать литературу по данной теме;
- изучить формулы решения тригонометрических уравнений;
- изучить способы решения тригонометрических уравнений;
- изучить формулы для преобразования тригонометрических выражений;
- подобрать уравнения, которые можно решать, используя эти формулы;
- обобщить результаты и сделать выводы.
Объект исследования: тригонометрическое уравнение.
Предметом исследования являются формулы универсальной подстановки.
Первоначальная гипотеза: Тригонометрические уравнения, предлагаемые на ЕГЭ, позволяют использовать разнообразные способы решения, в том числе универсальную подстановку.
В работе используется прием планирования. Этапы исследования включали в себя определение темы, выделение проблемных вопросов, позволяющих раскрыть данную проблему; составление списка литературы, подлежащей обязательному изучению; аналитическая работа с текстами учебной литературы; сбор фактического материала и оформление полученных результатов.
Прием использования аналога позволил провести сравнение между решениями одного уравнения разными способами.
Приемы выдвижения гипотезы и переноса знаний в новую ситуацию помогли сформулировать выводы.
Методы исследования:
Сравнение – тригонометрических уравнений и способов их решения.
Анализ - разложение уравнений на составные части.
Синтез – соединение отдельных частей решения в одно целое.
Практическая направленность данной работы заключается в том, что ее можно использовать на уроках математики; на дополнительных занятиях; при подготовке к ЕГЭ.
Глава 1. Анализ заданий ЕГЭ.
Подготовку к ЕГЭ я решил начать с рассмотрения заданий, которые предлагаются для подготовки к экзамену. Так как одна из первых, изученных на уроках математики тем «Тригонометрические уравнения», то я решил выяснить в каких заданиях и как часто она встречается на ЕГЭ.
Изучив литературу по этой теме, мы выяснили, что задания связанные с тригонометрическими уравнениями это задания под номером 13.
Из 126 заданий под номером 13 на решение тригонометрических уравнений -110. Кроме них встречаются показательные уравнения и комбинированные. (Приложение 1)
При решении большинства из тригонометрических уравнений авторы предлагают использовать следующие способы:
Разложение на множители;
Приведение к однородному уравнению;
Приведение к квадратному уравнению.
Анализ способов решения уравнений показал, что из 110 рассмотренных уравнений 52% решаются с помощью разложения на множители. (Приложение 1).
Множители, на которые раскладываются уравнения, представляют собой:
однородные уравнения,
уравнения, сводимые к квадратным уравнениям относительно синуса или косинуса,
уравнения вида cos x+sin x+1=0. cos x-sin x+1=0. cos x-sin x-1=0
Первые виды уравнений достаточно часто встречались на уроках, а вот третье уравнение показалось для меня не очень знакомым, и я решил выяснить какими способами можно его решать.
Рассмотрим одно из уравнений, предлагаемых для подготовки к ЕГЭ.
1. a) Решить уравнение sin(3(-2x)+1=cos(HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-x)-cos((-x)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; 2
·] 
Решение: sin(3(-2x)+1=cos(HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-x)-cos((-x) Применив формулы приведения заменим исходное уравнение на уравнение вида:
sin2x+1=sinx+cosx
Воспользуемся формулой синус двойного угла и получим:
2sinx(cosx+sin2x+cos2x=sinx+cosx
Свернем левую часть по формуле квадрат суммы и перенесем правую часть:
(sinx+cosx)2-(sinx+cosx)=0
Разложим левую часть уравнения на множители:
(sinx+cosx)((sinx+cosx-1)=0
Применим свойство нуля:
sinx+cosx=0 или sinx+cosx-1=0
Уравнение sinx+cosx=0 является однородным уравнением и способ его решения нам знаком. А как решить второе уравнение?
Глава 2.Основные формулы тригонометрии.
Для успешного решения тригонометрических уравнений во - первых нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные. Поэтому мне кажется важным подобрать такие формулы, которые достаточно часто используются при решении тригонометрических уравнений. Для этого мы рассмотрели уравнения, которые предлагается решить в учебнике «Алгебра 10-11» А.Н. Колмогорова, в сборниках для подготовки к ЕГЭ, на сайтах.
Во - вторых, необходимо четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений



Таблица 1



tg x=a
ctg x=a

x=(-1)kHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15arcsina+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15k, k(Z
x =(arccosa+2(k, k(Z
x=arctga+(k, k(Z
x=arcctgа+(k, k(Z

Удобно использовать формулы частных случаев.

.

Таблица 2


x=(k, k(Z

x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+(k, k(Z


x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+2(k, k(Z

x=2(k, k(Z


x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+2(k, k(Z

x=(+2(k, k(Z

Уравнение вида cos x-sin x=1можно решать различными способами. Мы рассмотрели четыре из них.
Задание: Решить уравнение cos x-sin x=1
1 способ: Возведение обеих частей в квадрат:
cos x-sin x=1
(cos x-sin x)2=12
cos2x-2cosx(sinx+sin2x=1
(cos2x+ sin2x)+ 2cosx(sinx=1
1-sin2x=1
-sin2x=0 | ((-1)
sin2x=0
2x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15n, n(Z
x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15n, n(Z
Проверка:
Если n=0, то
cos0-sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=1
1-0=1 (верно)

ђ°Если n=1, то
cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=1
0-1=1 (неверно)

Если n=2, то
cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15sin(=1
-1-0=1 (неверно)

Если n=-1, то
cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=1
0-(-1)=1 (верно)

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15n(Z
2 способ Разложение на множители.
cos x-sin x=1
cos2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15- sin2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15- 2sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15- (cos2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+sin2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)=0
- 2sin2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15- 2sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=0
2sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15(sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=0
или
2sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=0
sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=0

x=2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
или
sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=0 однородное уравнение первой степени. cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15(0
sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=0 /: cosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
tgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+1=0
tgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=-1
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=arctg(-1)+
·n, n(Z
x=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 2
·n,

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15n(Z
3 способ - Введение вспомогательного угла;
cos x-sin x=1
Введем вспомогательный угол HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15cos x - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15sin x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
cos HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 cos x - sinHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 sin x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
cos HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + x)=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 arccosHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 +2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, nHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15- HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, nHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
x=2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
x= - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15n(Z
4 способ Применение универсальной подстановки.
cos x-sin x=1
Воспользуемся формулами универсальной подстановки: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, так как tgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 не определен при HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, проверим, не является ли корнем исходного уравнения: cos HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-sin HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=1; -1-0=1 неверно, значит х=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 не является корнем уравнения.
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=1HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
1-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
-2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15) =HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
-2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)(HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)+1)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= 0
-2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15) = 0 или
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15) = 0 или

x=2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)+1HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= 0HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= -1
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
x==-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

Ответ: х=2
·n, n(Z, x=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15n(Z
Способ, в котором используется универсальная подстановка, показался нам наиболее интересным. И мы решили познакомиться с формулами универсальной подстановки и научиться применять их при решении уравнений.
Глава 3. Формулы универсальной подстановки.
Итак, формулы универсальной подстановки - это формулы вида
cos x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; sin x=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 Они определены при всех х, кроме х=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, так как tgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 при этом значении х не определен.
Закончим решение уравнения, применив эти формулы:
sinx+cosx=0 ( : cosx
tgx+1=0
tgx=-1
x=arctg(-1)+(n, n(Z
x=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+(n, n(Z
sinx+cosx-1=0
sinx+cosx=1
Заменим cosx=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; sinx=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=1 умножим обе части уравнения на общий знаменатель.
1-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15) - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
х=2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 или х=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15


Отбор корней произведем, используя единичную окружность.
Ответ: а) x=-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+(n, n(Z, х=2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 ,х=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
б) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; 2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Используя эти формулы можно решать уравнения, которые сводятся к виду: sinx+cosx=1; nsinx+cosx=n; sinx- kcosx=k; sinx- cosx=1; cosx - sinx =1
При этом, после универсальной подстановки получаем линейное, неполное или полное квадратное уравнение относительно HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15), которые легко решаются. Нам показалось интересным составить тренажер, для отработки навыков применения универсальной подстановки. (Приложение 2) И алгоритм решения таких уравнений. (Приложение 3)
Если проанализировать ответы, которые получены при решении заданий тренажера, можно составить индивидуальные задания для студентов группы. (Приложение 4). Который, мы и составили и используем для отработки навыков решения таких уравнений.
Заключение.
В ходе выполнения работы был проведен анализ заданий, предложенных в литературе для подготовки к ЕГЭ и заданий с сайтов. Анализ показал, что наиболее часто при решении тригонометрических уравнений приходится использовать следующие способы решения: разложение на множители; сведение к квадратному уравнению; сведение к однородному уравнению. Мы рассмотрели формулы универсальной подстановки, которые упрощают решение. Составили тренажер по решению таких уравнений алгоритм их решения и индивидуальные задания по теме. Считаем, что подготовленные нами материалы помогут студентам освоить применение этого метода, и успешно выполнить подобное задание на ЕГЭ. Первоначальная гипотеза подтвердилась.

Список литературы.
Гущин Д. //«Решу ЕГЭ» Обучающая система Дмитрия Гущина – ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
Колмогоров А.Н., Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений /А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. [и др.] – М: Просвещение, 2011
Куланин Е.Д.,3000 конкурсных задач по математике./ Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. – М: Рольф, 2003
Лысенко Ф.Ф., Математика 10-11 класс: тренажер для подготовки к ЕГЭ/ Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова.– Р-на-Д.:Легион, 2014
Тесты к ЕГЭ по математике профильного уровня – (http://neznaika.pro/test/)
Ященко И.В., Математика 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому экзамену. Профильный уровень: тренировочные задания/ И.В. Ященко. – М: АСТ Астрель, 2016
Приложение 1
Задания №13для подготовки к ЕГЭ.
Тригонометрические уравнения
87%

Другие задания
13%


Сравнительная таблица способов решения тригонометрических уравнений, предлагаемых для подготовки к ЕГЭ.
№п/п
Способы решения
процент
Количество уравнений

1
Разложение на множители
52
57

2
Сведение к квадратному уравнению
33
36

3
Сведение к однородному
7
8

4
Использование свойств нуля
6
7

5
Сведение к биквадратному
1
1

6
Возведение обеих частей уравнения в квадрат
1
1


итого

110

HYPER13 EMBED Excel.Chart.8 \s HYPER14HYPER15
Приложение 2.
Тренажер
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Ответы
№ п/п
1
2
3

ответ
2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

№ п/п
4
5
6

ответ

2arctgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
2arctgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

2arctgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

№ п/п
7
8
9

ответ
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
2arctgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
2arctgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15



№ п/п
10



ответ





Приложение 3.
Алгоритм решения тригонометрического уравнения с помощью универсальной подстановки.
Проверить, не является ли корнем уравнения число HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Заменить cost на HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и sint наHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Перенести все слагаемые в одну часть уравнения.
Привести подобные слагаемые.
Ввести новую переменную HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 =a (если это необходимо).
Решить полученное квадратное уравнение или линейное уравнение.
Выполнить обратную подстановку
Решить простейшие тригонометрические уравнения.
Сделать проверку
Записать ответ (включить при необходимости в ответ t=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15)
Приложение 4.
Индивидуальные задания.
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Где m – это номер студента по списку
Ответы
№ п/п
1
2
3

ответ
2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

№ п/п
4
5
6

ответ
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER152HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
2arctgHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15






 [2]
 [4]
 [6]
 [1]
 [1],[5],[6]
 http://math.reshuege.ru/test
 [2]
 [2]
 [1]









HYPER13PAGE \* MERGEFORMATHYPER142HYPER15




Диаграмма 1Диаграмма 4Root Entry


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Автор:Паутов Дмитрий Студент 114 группаБУ «Радужнинский политехнический колледж» Руководитель:Таскаева Елена АлександровнаПреподаватель математики«Удивительная универсальная подстановка»(Решение тригонометрических уравнений) выяснить, какие уравнения предлагаются на ЕГЭ и какими способами их можно решать.найти способ решения тригонометрических уравнений, который не предлагается авторами разработок для подготовки к ЕГЭ, но удобен в применении.Новизна:Актуальность:

найти удобный способ решения тригонометрических уравненийЦель:
- проанализировать литературу по данной теме;- изучить формулы решения тригонометрических уравнений;- изучить способы решения тригонометрических уравнений;- изучить формулы для преобразования тригонометрических выражений;- подобрать уравнения, которые можно решать, используя эти формулы;- обобщить результаты и сделать выводы.задачи:



тригонометрическое уравнение.формулы универсальной подстановки.Предмет исследования: Объект исследования:

Тригонометрические уравнения предлагаемые на ЕГЭ, позволяют использовать разнообразные способы решения, в том числе универсальную подстановку.Первоначальная гипотеза:
Прием планирования..Прием использования аналога Приемы выдвижения гипотезы и переноса знаний в новую ситуацию СравнениеАнализ Синтез Приемы:Методы:



использовать на уроках математики; на дополнительных занятиях; при подготовке к ЕГЭ.Практическая направленность

  
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}sinх=аcosх=аtg x=actg x=ax=(-1)karcsina+k, kZx=arccosa+2k, kZx=arctga+k, kZx=arcctgа+k, kZ{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}tg x=actg x=ax=(-1)karcsina+k, kZx=arccosa+2k, kZx=arctga+k, kZx=arcctgа+k, kZФормулы корней тригонометрических уравненийТаблица 1Частные случаи{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}sinх=0x=k, kZcosх=0x=2+k, kZsinх=1x=2+2k, kZcosх=1x=2k, kZsinх=−1x=−2+2k, kZcosх=−1x=+2k, kZ{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x=k, kZx=2k, kZx=+2k, kZТаблица 2


Способы решения уравненияcos x-sin x=1
Универсальная подстановка

 sinx+cosx=0  : cosxtgx+1=0tgx=-1x=arctg(-1)+n, nZx=-4+n, nZ 

sinx+cosx-1=0sinx+cosx=1Заменим cosx=1−𝑡𝑔2  (𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2); sinx=2𝑡𝑔(𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2);2𝑡𝑔(𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2)+1−𝑡𝑔2  (𝑥2)1+𝑡𝑔2  (𝑥2)=1 умножим обе части уравнения на общий знаменатель.  
 
 Отбор корней произведем, используя единичную окружность.Ответ: а) x=-/4+n, n Z, х=2 πn, n∈Z ,х=π/2+2πn, n∈Zб) π/2; 3π/4; 7π/4; 2π.

sinx+cosx=1; ksinx+cosx=k; sinx- kcosx=k; sinx- cosx=1; cosx - sinx =1.Где k- произвольное число.Уравнения, которые можно решать с помощью универсальной подстановки
 Тренажер

Алгоритм решения тригонометрического уравнения с помощью универсальной подстановки.

Индивидуальные задания.

Формулы универсальной подстановки упрощают решение некоторых тригонометрических уравнений;Тригонометрические уравнения предлагаемые на ЕГЭ позволяют использовать разнообразные способы решения, в том числе универсальную подстановку.Для отработки навыков решения подобных уравнений можно использовать алгоритм, тренажер, индивидуальные задания.Выводы

Спасибо за внимание.

Приложенные файлы

  • doc file1
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 1
  • pptx file2
    Презентация к научно-исследовательской работе.
    Размер файла: 676 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий