СИММЕТРИЯ ВОКРУГ НАСЦЕНТРАЛЬНАЯ И ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ. СИММЕТРИЯ В НАУКЕ, ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ, МУЗЫКЕ, ПРАКТИЧЕСКОЙ ЖИЗНИ8 класс
Р.Г.Демина, преподаватель математики МОУ СОШ № 53, г. Ростов-на-Дону, 2003г
(сейчас ГАПОУ РО «РКРСТ «СОКРАТ»)
Работа опубликована в журнале «Практические советы учителю» №9, 2003г, издательство РОИПКиПРО, г.Ростов-на-Дону
Место в системе уроков: первый урок по теме «Центральная и осевая симметрия».
Форма урока: урок-лекция (объяснение нового материала)
Цели урока:
дать представление о понятиях центральной и осевой симметрии;
показать учащимся связь математики с другими областями науки, искусством и с реальной действительностью;
формировать умения наблюдать, подмечать закономерности, обобщать;
способствовать активизации эмоционально-психологической, личностно-смысловой сферы учащихся посредством гуманитарного материала.
Оборудование: калейдоскоп (который выдается учащимся перед началом урока); зеркало; плакаты с изображением дерева, его листа, бабочки, человека.
Ход урока
1. Вводное словоВ детстве все вы, наверняка, с удовольствием смотрели, не отрываясь, на меняющиеся узоры в калейдоскопе. Да и сейчас вы с не меньшим интересом разглядывали замысловатые орнаменты в калейдоскопе. А ведь вся красота этих узоров в симметрии рисунка. Разноцветные стекляшки между зеркалами образуют в них путем отражения симметричные узоры.
Начиная разговор о симметрии, я хочу рассказать вам старинную притчу о буридановом осле. У одного философа по имени Буридан был осел. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две совершенно одинаковые охапки сена - одну слева, и другую - справа. Осел не смог решить, с какой охапки ему начать, и умер с голоду.
А теперь представьте себе уравновешенные чаши весов. Разве находящиеся в равновесии чаши весов не напоминают чем-то притчу о буридановом осле?
В обоих случаях левое и правое настолько одинаковы, что нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому. Иными словами, в обоих случаях мы имеем дело с симметрией, проявляющейся в полном равноправии левого и правого. Посмотрите на изображение дерева, его листа, бабочки, человека. Можно провести прямую, разделяющую эти изображения на две равные части таким образом, что левая и правая части будут совершенно равноправны: если согнуть эти изображения вдоль проведенной прямой, то левая и правая части совпадут. В этих случаях мы имеем дело с симметрией.
2. Осевая симметрия
Практическая работа
Начертите прямую а и точку А вне прямой.
Перегните лист по прямой а и проколите острием циркуля бумагу в точке А. Развернув лист бумаги, найдите проколотую точку, обозначьте ее А1. Итак, мы получили точку А1, симметричную данной точке А относительно прямой а. Запишем: А1 симметрична А относительно прямой а.
Соедините теперь отрезком точки А и А1. Точку пересечения отрезка АА1 и прямой а обозначьте О.
Найдите расстояния АО и ОА1 и сравните их. Какой можно сделать вывод? (АО = ОА1).
Измерьте углы, образованные прямой о и отрезком АА1. Каковы они? (по 90°). Таким образом, получили, что прямая а перпендикулярна отрезку АА1 . Запишем: АА⊥ а.
Итак: «Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая
1) проходит через середину отрезка АА1 2) перпендикулярна к нему».
На первоначальном чертеже отметьте точку B, не совпадающую с А, т.е. В≠ А. Зная теперь, какие две точки называются симметричными относительно прямой, постройте, уже не перегибая лист по прямой, точку В1, симметричную данной точке В относительно прямой а. Объясните, как вы это сделали.
Отметьте теперь точку С на прямой, т.е. С ∈ а. Как вы считаете, где будет расположена симметричная ей точка С1 относительно прямой а? Учащиеся делают вывод, что если С ∈ а, то С1 = С.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC. Проведем высоту BD. Являются ли точки А и С симметричными относительно прямой BD? Первое условие выполняется: АС1 ⊥ BD. Выполняется ли второе условие? Да, AD = DC, так как высота, проведенная в равнобедренном треугольнике к основанию, является медианой. Если этот треугольник перегнуть по прямой BD, то сторона АВ совместится со стороной ВС, а сторона AD совместится со стороной DC, т.е. левая и правая части совпадут. Прямую BD называют осью симметрии этого треугольника, а треугольник ABC - симметричным относительно прямой BD.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии. Говорят еще, что фигура обладает осевой симметрией.
\
9. Посмотрите на рис. 172 (с. 107) учебника. Вы видите фигуры, обладающие осевой симметрией.
а) Возьмем, к примеру, ромб. Сколько у него осей симметрии? По рисунку видим, что две. Если ромб перегнуть вдоль любой из этих осей, то левая и правая части полностью совпадут. То, что осей симметрии у ромба две, можно доказать, пользуясь свойствами ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам, б) Как вы считаете, сколько осей симметрии имеется у окружности?
10. А теперь проделаем такой опыт. На одном листе у меня написано слово «КОФЕ», а на другом - «ЧАЙ». Положим эти листки поочередно перед зеркалом на стол. Посмотрите, зеркало не перевернуло слово «КОФЕ» и до неузнаваемости изменило слово «ЧАЙ». Как вы считаете, почему это произошло? (Так как буквы К, О, Ф, Е имеют горизонтальную ось симметрии, которая проходит через середину каждой буквы, а буквы Ч, А, Й не симметричны относительно этой оси симметрии.)
А вот буквы Т, П, О имеют вертикальную ось симметрии и поэтому слова ТОПОТ и ПОТОП, составленные из этих букв, не изменяются при отражении в вертикальной плоскости: ТОПОТ | ТОПОТ ; ПОТОП | ПОТОП. Такие слова называют палиндромами. Их особенно много можно найти в географическом атласе. Например, река Яя в Сибири в ста километрах от Томска, Уассамассау - болотистая местность в графстве Беркли, Южная Каролина.
Есть целые фразы, которые читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. Таким свойством обладает, например, известная фраза из сказки А. Толстого «Буратино»: «А роза упала на лапу Азора.». Проверьте это.
3. Центральная симметрия
Кроме осевой, существует еще и центральная симметрия. Она характеризуется наличием уже не оси симметрии, а центра симметрии - точки О, обладающей определенным свойством:
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.
Посмотрите опять на рисунок 172 учебника. Какие из фигур имеют центр симметрии? Объясните.
Заметим, что фигура, обладающая центральной симметрией, при повороте вокруг точки О на 180°, переходит сама в себя. (Показать на макетах)
В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, обоях.
4. Практические задания по теме «Осевая и центральная симметрия»
Задача № 1
Прямые ВО и АА1 пересекаются в точке О.
а)Точки А и А1 симметричны относительно прямой ВО. Будут ли точки А и А1 симметричны относительно точки О?
б)Точки А и А1 симметричны относительно точки О. Будут ли точки А и A1 симметричны относительно прямой В0?
Если учащиеся дают утвердительный ответ, начертить такой чертеж:
Тем самым обращается внимание учащихся на то, что о перпендикулярности прямых в условии не сказано. Таким образом, ответ таков: Да, если ВО ⊥ АА1, и нет - в другом случае.
Задача № 2
Стол имеет форму круга. Двое играют. Они имеют неограниченное количество монет. Поочередно они кладут по одной монете на стол. Выиграет тот, кто последним положит монету. Как должен играть первый, чтобы заведомо выиграть?
(Следует первую монету положить в центр стола, а каждую следующую - симметрично относительно центра последней монете, положенной партнером.)
Симметрия вокруг нас
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человечества. Слово «симметрия» в переводе с греческого означает «гармония». Своим развитием чисто геометрическое учение о симметрии, как это ни странно, обязано в первую очередь не математикам, а естествоиспытателям, углубленно изучавшим кристаллические образования. Объясняется это тем, что формы кристаллов с древнейших времен поражали глаз своей симметричностью. «Такое могли творить только ангелы или подземные духи», - утверждали наши предки.
Кто из нас зимой не любовался снежинками? Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды.
Как вы считаете, сколько лучей у снежинки? Оказывается, только 6. Другое количество лучей невозможно, так как это не соответствует симметрии снежных кристаллов. Древние люди преклонялись перед симметрией в природе: регулярной сменой дня и ночи, времен года.
В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок. Так, Пифагор (IV век до н.э.), считая сферу (оболочка шара) наиболее симметричной и совершенной формой, сделал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. И этот вывод был сделан не из вычислений и даже не из наблюдений, а из понимания принципов симметрии.
Применяя принципы симметрии при разработке научных классификаций в исследованиях, можно, в конечном счете, делать научные предсказания. Например, Д.И.Менделеев предсказал ряд неизвестных в то время химических элементов, правильно указав их свойства.
Из принципов симметрии мы можем заключить, каким, например, не может быть инопланетянин. Он никоим образом не может быть левоглазым или правоухим; число конечностей слева и справа должно быть одинаковым. Требования симметрии позволяют существенным образом сократить число возможных вариантов облика пришельцев.
Творения человеческих рук издревле очень часто имеют симметричную форму. Это практически все транспортные средства, начиная с телеги и заканчивая реактивным лайнером; предметы домашнего обихода (мебель, посуда); некоторые музыкальные инструменты (гитара, скрипка, барабан)... А архитектурные сооружения? Дома, храмы, дворцы тоже несут явный отпечаток симметрии.
«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство», - говорил немецкий математик Герман Вейль.
Именно с симметрией связана красота здания Большого театра в Москве, ростовского драматического театра имени Горького, храмов и других сооружений. Но кроме красоты симметрия формы того или иного объекта может определяться целесообразностью. Никому не нужен кривобокий теплоход или самолет с крыльями разной длины, или машина с разными диаметрами колес.
Учет закона симметрии помогает человеку возводить прочные постройки, конструировать подвижные машины. Невыполнение требований, вытекающих из этого закона, приводит к тому, что крупные, но неправильно запроектированные сооружения бывают неустойчивыми.
И даже художники, поэты, писатели использовали симметрию в своем творчестве для усиления эстетического воздействия. К примеру, роман Достоевского «Преступление и наказание» построен явно с учетом симметрии. Он состоит из 6 частей и эпилога. В первых трех частях - 20 глав, в последующих, если считать и эпилог, - тоже 20. И по объему эти части совершенно одинаковы, с точностью до страницы!
В музыке или поэзии мы также имеем дело с симметрией. Музыкальные произведения, стихи - это ритм, закономерно повторяющаяся система звуков. Правда, ритм сложный. Простые ритмы тоже симметричны, например, ритм шагов, ритм сердца, дыхания. Ритмично звонят колокола, но их ритм уже более сложен. (Прослушать звон колоколов.)
«Прежде всего, ищите симметрию», - так можно сформулировать один из важнейших принципов познания.
Таким образом, мы видим, какую огромную роль играет в жизни человека симметрия.
6. Итог урока
Объявляются результаты ответов учащихся, выставляются оценки.
Домашнее задание
§ 3, п. 47, № 421, устно 417 и 422.
(учебник Геометрия 7-9, Л.С. Атанасян и др., М, «Просвещение», 2002)
Приложенные файлы
