Тригонометрические уравнения
1. Задание 6 № 26669. Найдите корни уравнения: В ответ запишите наибольший отрицательный корень.
Решение.
Последовательно получаем:
Значениям соответствуют положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число .
Ответ: −4.
Ответ: -4
26669
-4
2. Задание 6 № 77376. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение.
Решим уравнение:
Значению соответствует . Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.
Ответ: −1.
Ответ: -1
77376
-1
3. Задание 6 № 77377. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.
Произвольный четырехугольник
1. Задание 4 № 27553. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех равных прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника. Поэтому
см2.
Ответ: 12.
Примечание.
Заданный четырехугольник — ромб. Его площадь равна половине произведения диагоналей и равна 12.
Ответ: 12
27553
12
2. Задание 4 № 27554. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника. Поэтому
см2.
Ответ: 12,5.
Ответ: 12,5
27554
12,5
3. Задание 4 № 27555. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь фигуры равна разности площади прямоугольника и трех треугольников. Поэтому
см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
27555
6
4. Задание 4 № 27569. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольника. Поэтому
.
Ответ: 68.
Ответ: 68
27569
68
5. Задание 4 № 27570. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольников. Поэтому
см2.
Ответ: 20.
Ответ: 20
27570
20
6. Задание 4 № 27580. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади квадрата 4х4, четырех равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и 3 и двух равных квадратов 1х1. Поэтому
см2.
Ответ: 8.
Ответ: 8
27580
8
7. Задание 4 № 27701. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4; 2), (8; 4), (6; 8), (2; 6).
Решение.
Четырехугольник является квадратом. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Сторона квадрата равна , тогда площадь квадрата .
Ответ: 20.
Ответ: 20
27701
20
8. Задание 4 № 27845. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
.
Ответ: 9.
Ответ: 9
27845
9
9. Задание 4 № 244987. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника. Поэтому
.
Ответ: 2
244987
2
10. Задание 4 № 244988. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
.
Ответ: 2,5
244988
2,5
11. Задание 4 № 244989. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольного треугольника и маленького прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной исходного четырехугольника. Поэтому
.
Ответ: 2,5
244989
2,5
12. Задание 4 № 244990.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и трапеции (см. рис). Поэтому
.
Ответ: 5
244990
5
13. Задание 4 № 244991. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и площади трапеции. Поэтому
.
Ответ: 5
244991
5
14. Задание 4 № 244992. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата четырех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
.
Примечание.
Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпенликулярны, равна половине произведения диагоналей. Поэтому искомая площадь равна 3.
Ответ: 3
244992
3
15. Задание 4 № 244993. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, двух маленьких прямоугольников и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому .
Примечание.
Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпенликулярны, равна половине произведения диагоналей. Поэтому искомая площадь равна 4.
Ответ: 4
244993
4
16. Задание 4 № 244994.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Ответ: 5
244994
5
17. Задание 4 № 244995. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника и двух одинаковых треугольников, площади которых равны половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
.
Примечание.
Отрезав от фигуры верхний правый прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2, можно приложить его к левому нижнему прямоугольному треугольнику, достроив тем самым фигуру до прямоугольника со сторонами 1 и 3, площадь которого равна 3.
Ответ: 3
244995
3
18. Задание 4 № 244996. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и двух одинаковых прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Ответ: 1
244996
1
19. Задание 4 № 244997. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого прямоугольника, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Ответ: 1,5
244997
1,5
20. Задание 4 № 244998. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна сумме площадей маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Ответ: 2,5
244998
2,5
21. Задание 4 № 244999. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольного треугольника, маленького прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому
.
Ответ: 1
244999
1
22. Задание 4 № 245000.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали изображенного на рисунке четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 1. Поэтому длины диагоналей равны , а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь четырехугольника равна 1.
Ответ: 1
245000
1
23. Задание 4 № 245001. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого треугольника и маленького треугольника. Поэтому
.
Ответ: 3
245001
3
24. Задание 4 № 245002. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого треугольника и маленького треугольника. Поэтому
.
Ответ: 3
245002
3
25. Задание 4 № 245003. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника, четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому
.
Примечание.
Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два треугольника с общим основанием, равным длине квадратной клетки. Высоты этих треугольников равны 1, поэтому их площади 0,5, а сумма этих площадей равна 1.
Ответ: 1
245003
1
26. Задание 4 № 245004. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого прямоугольника, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Примечание.
Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два прямоугольных треугольника с катетами 1 и 2, которые, приложив их гипотенузы друг к другу, можно сложить в прямоугольник со сторонами 1 и 2, площадь которого равна 2.
Ответ: 2
245004
2
27. Задание 4 № 245006. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Примечание.
Четырёхугольник составлен из двух треугольников, имеющих общее основание, равное длине квадратной клетки: прямоугольного с катетами 1 и 1, и тупоугольного с основанием длины 1 и высотой, проведенной к этому основанию, также длины 1. Поэтому площадь четырехугольника равна 0,5 + 0,5 = 1.
Ответ: 1
245006
1
28. Задание 4 № 245007.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Круг и его элементы
1. Задание 4 № 27562. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В ответе запишите .
Решение.
Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которого равен см. Поэтому
см2.
Ответ: 12.
Ответ: 12
27562
12
2. Задание 4 № 27596. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна .
Решение.
Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому
, значит,
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
27596
0,25
3. Задание 4 № 27597. Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.
Решение.
Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому
,, значит,
Ответ: 2.
Ответ: 2
27597
2
4. Задание 4 № 27598. Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол которого равен 90°.
Решение.
Площадь сектора круга, центральный угол которого равен n° равна четверти площади круга. Поэтому
.
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
27598
0,25
5. Задание 4 № 27599. Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.
Решение.
Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т.е. 360°, следовательно,
.
Длина дуги сектора определяется формулой:
,тогда
.
Подставляя полученное выражение в формулу для площади сектора круга, получаем:
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
27599
1
6. Задание 4 № 27642. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны и .
Решение.
Площадь круга определяется формулой S = πR2. Площадь кольца равна разности площадей первого и второго круга. Тогда
, .
Поэтому площадь кольца: S = S1 − S2 = 16 − 4 = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
27642
12
7. Задание 4 № 27643. Найдите центральный угол сектора круга радиуса , площадь которого равна . Ответ дайте в градусах.
Решение.
Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т. е. 360°. Поэтому
.
Поэтому n° = 22,5°.
Ответ: 22,5.
Ответ: 22,5
27643
22,5
8. Задание 4 № 27644. Площадь сектора круга радиуса 3 равна 6. Найдите длину его дуги.
Решение.
Площадь кругового сектора равна половине произведения радиуса круга на длину дуги сектора: . Поэтому , откуда .
Ответ: 4.
Ответ: 4
27644
4
9. Задание 4 № 27646. Найдите площадь круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .
Решение.
Площадь круга определяется формулой . Радиус окружности определяется из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1, тогда . Поэтому
.
Ответ: 5.
Ответ: 5
27646
5
10. Задание 4 № 27858. Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность радиуса 3.
Решение.
, значит, , т. к. является центральным углом, опирающимся на ту же хорду. Соответственно, треугольник – равносторонний, так как .
Ответ: 3.
Ответ: 3
27858
3
11. Задание 4 № 27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВСА равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому икомая дуга равна 2 · 29° = 58°.
Ответ: 58.
Приведем другое решение.
Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°.
Ответ: 58
27880
58
12. Задание 4 № 27894. Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Треугольник правильный, значит, все углы равны по . По теореме синусов имеем:
Ответ: 2.
Приведём другое решение.
В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен двум третим высоты. Поэтому он равен 2.
Ответ: 2
27894
2
13. Задание 4 № 27895. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение.
треугольник правильный, значит, все углы равны по .
Ответ: 4,5.
Ответ: 4,5
27895
4,5
14. Задание 4 № 27896. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
вписанный угол опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, – диаметр.
Ответ: 6.
Ответ: 6
27896
6
15. Задание 4 № 27897. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение.
вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, – диаметр.
Ответ: 8.
Ответ: 8
27897
8
16. Задание 4 № 27906. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Решение.
значит, треугольник – равносторонний.
Ответ: 6.
Ответ: 6
27906
6
17. Задание 4 № 27907. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
Решение.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
27907
2
18. Задание 4 № 27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение.
трапеция – равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.
Ответ: 6.
Ответ: 6
27924
6
19. Задание 4 № 245008. Найдите (в см2) площадь кольца, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .
Решение.
Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда
.
Поэтому
.
Ответ: 3
245008
3
20. Задание 4 № 315122. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение.
Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.
Ответ: 153.
Ответ: 153
315122
153
21. Задание 4 № 315123. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение.
Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6, радиус внутреннего равен 3. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса наименьшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
315123
3
22. Задание 4 № 315124. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение.
Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
315124
7
23. Задание 4 № 315132. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.
Решение.
Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24.
Ответ:24.
Ответ: 24
315132
24
24. Задание 4 № 315133. На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?
Решение.
Заметим, что Тогда поэтому Поэтому площадь сектора равна от площади круга. Следовательно, площадь круга равна
Ответ:96.
Ответ: 96
315133
96
25. Задание 4 № 500949. Площадь закрашенного сектора, изображённого на клетчатой бумаге (см. рис.), равна 6. Найдите площадь круга.
Решение.
Заметим, что . Тогда , а. Поэтому площадь сектора равна от площади всего круга. Следовательно площадь круга
Ответ:16.
Ответ: 16
500949
16
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 18.12.2012 вариант 5.
Приложенные файлы
