Подготовка к олимпиаде по математике 7 класс
Дан угол в 13 EMBED Equation.3 1415. Постройте угол в 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Построим угол 13 EMBED Equation.3 1415, разделив прямой угол пополам. Затем построим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Построим разность 13 EMBED Equation.3 1415, наложив на больший угол меньший. Умножив последний угол на 5, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Путник шёл в гору со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч), а с горы 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч). Какова средняя скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?
Решение:
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- расстояние, пройденное путником в одном направлении. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - время на подъём, а 13 EMBED Equation.3 1415 - время, затраченное на спуск. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 -время, затраченное на подъём и спуск, то есть на путь 13 EMBED Equation.3 1415.
Средняя скорость равна 13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415(км/ч)
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Существует ли такое натуральное число n, что
13 EMBED Equation.3 1415?
Решение:
Пусть n=2k,( k-натуральное), то есть n- чётное, тогда левая часть 2k+1-нечётное, а в 10 степени так же является нечётным, а правая часть - чётная. И наоборот, при нечётном n=2k+1, получим, что справа в скобках (2k+1+1) – чётное, а в 10 степени так же является чётным, а слева останется нечётным ( так как сумма нечётного числа нечётных слагаемых – нечётное число).
Ответ: такого числа не существует.
4.Докажите, что при любом натуральном n число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3.
Решение: Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, если 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3.
Но 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 кратно 2, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415- кратны 3. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 кратно 3 , 6 кратно 3, тогда и 13 EMBED Equation.3 1415-
кратно 3.
80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из-за аварии, троллейбусы не ходили, и ему пришлось идти домой пешком. Сколько минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше скорости ученика?
Решение: Пусть S- расстояние от школы до дома, 13 EMBED Equation.3 1415- скорость ученика, 13 EMBED Equation.3 1415-скорость троллейбуса. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 50 минут.
Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные базы, чтобы пополнять на них запасы. За сколько дней он может пересечь пустыню?
Решение:
Разобьем весь путь АЕ на участки АВ=ВС=СК=КМ=20 км. Так как путешественник может нести запас только на 3 дня, то чтобы пресечь пустыню, он должен иметь трёхдневный запас в точке В. Но в точку В он приходит с двухдневным запасом, тогда ему нужно вернутся в точку А, оставив однодневный запас в точке В. Снова взяв трёхдневный запас пищи и воды в точке А, он приходит в точку В с двухдневным запасом. Таким образом в точке В окажется трёхдневный запас и путешественник сможет дойти в пункт М за три дня.
Его путь АВ+ВА+АВ+ВС+СК+КМ, то есть 6 дней.
Ответ: 6 дней.
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.
Решение: Пусть искомое число имеет вид 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- некоторые цифры. После приписывания слева и справа по единице получим число
13 EMBED Equation.3 1415. Согласно условию задачи
1000+100a+10b+1=23(10a+b)
После упрощений получим 1001=130a+13b или 10a+b=77
Ответ : 77
В двух точках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20 %. В какой бочке воды стало больше ?
Решение: Обозначим количество воды в каждой бочке Х. Тогда
0,9Х - осталось воды в первой бочке после уменьшения на 10%
13 EMBED Equation.3 1415- стало воды в первой бочке после увеличения на 10%
1,2Х – стало воды во второй бочке после увеличения на 20%
13 EMBED Equation.3 1415 - осталось воды во второй бочке после
уменьшения на 20%
Ответ: в первой бочке воды стало больше.
Пусть m и n – натуральные числа. Может ли сумма цифр числа m+n быть равной 1997, если сумма цифр числа m равна 1995, а сумма цифр числа n равна 1996?
Решение: Из доказательства признака делимости на 9 следует, что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки. В данном случае число m даёт остаток 6, а число n – остаток 7, значит, их сумма должна давать остаток 4. Но m+n даёт остаток 8. Противоречие.
Ответ: нет
1. Дан угол в 13 EMBED Equation.3 1415. Постройте угол в 13 EMBED Equation.3 1415.
Путник шёл в гору со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч), а с горы 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч). Какова средняя скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?
Существует ли такое натуральное число n, что
13 EMBED Equation.3 1415?
4.Докажите, что при любом натуральном n число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3.
5. 80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть
идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из-за аварии,
троллейбусы не ходили, и ему пришлось идти домой пешком. Сколько
минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше
скорости ученика?
Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные базы, чтобы пополнять на них запасы. За сколько дней он может пересечь пустыню?
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.
В двух точках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20 %. В какой бочке воды стало больше ?
Пусть m и n – натуральные числа. Может ли сумма цифр числа m+n быть равной 1997, если сумма цифр числа m равна 1995, а сумма цифр числа n равна 1996?
13PAGE 15
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Дан угол в 13 EMBED Equation.3 1415. Постройте угол в 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Построим угол 13 EMBED Equation.3 1415, разделив прямой угол пополам. Затем построим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Построим разность 13 EMBED Equation.3 1415, наложив на больший угол меньший. Умножив последний угол на 5, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Путник шёл в гору со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч), а с горы 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч). Какова средняя скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?
Решение:
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- расстояние, пройденное путником в одном направлении. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - время на подъём, а 13 EMBED Equation.3 1415 - время, затраченное на спуск. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 -время, затраченное на подъём и спуск, то есть на путь 13 EMBED Equation.3 1415.
Средняя скорость равна 13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415(км/ч)
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Существует ли такое натуральное число n, что
13 EMBED Equation.3 1415?
Решение:
Пусть n=2k,( k-натуральное), то есть n- чётное, тогда левая часть 2k+1-нечётное, а в 10 степени так же является нечётным, а правая часть - чётная. И наоборот, при нечётном n=2k+1, получим, что справа в скобках (2k+1+1) – чётное, а в 10 степени так же является чётным, а слева останется нечётным ( так как сумма нечётного числа нечётных слагаемых – нечётное число).
Ответ: такого числа не существует.
4.Докажите, что при любом натуральном n число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3.
Решение: Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, если 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3.
Но 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 кратно 2, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415- кратны 3. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 кратно 3 , 6 кратно 3, тогда и 13 EMBED Equation.3 1415-
кратно 3.
80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из-за аварии, троллейбусы не ходили, и ему пришлось идти домой пешком. Сколько минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше скорости ученика?
Решение: Пусть S- расстояние от школы до дома, 13 EMBED Equation.3 1415- скорость ученика, 13 EMBED Equation.3 1415-скорость троллейбуса. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 50 минут.
Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные базы, чтобы пополнять на них запасы. За сколько дней он может пересечь пустыню?
Решение:
Разобьем весь путь АЕ на участки АВ=ВС=СК=КМ=20 км. Так как путешественник может нести запас только на 3 дня, то чтобы пресечь пустыню, он должен иметь трёхдневный запас в точке В. Но в точку В он приходит с двухдневным запасом, тогда ему нужно вернутся в точку А, оставив однодневный запас в точке В. Снова взяв трёхдневный запас пищи и воды в точке А, он приходит в точку В с двухдневным запасом. Таким образом в точке В окажется трёхдневный запас и путешественник сможет дойти в пункт М за три дня.
Его путь АВ+ВА+АВ+ВС+СК+КМ, то есть 6 дней.
Ответ: 6 дней.
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.
Решение: Пусть искомое число имеет вид 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- некоторые цифры. После приписывания слева и справа по единице получим число
13 EMBED Equation.3 1415. Согласно условию задачи
1000+100a+10b+1=23(10a+b)
После упрощений получим 1001=130a+13b или 10a+b=77
Ответ : 77
В двух точках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20 %. В какой бочке воды стало больше ?
Решение: Обозначим количество воды в каждой бочке Х. Тогда
0,9Х - осталось воды в первой бочке после уменьшения на 10%
13 EMBED Equation.3 1415- стало воды в первой бочке после увеличения на 10%
1,2Х – стало воды во второй бочке после увеличения на 20%
13 EMBED Equation.3 1415 - осталось воды во второй бочке после
уменьшения на 20%
Ответ: в первой бочке воды стало больше.
Пусть m и n – натуральные числа. Может ли сумма цифр числа m+n быть равной 1997, если сумма цифр числа m равна 1995, а сумма цифр числа n равна 1996?
Решение: Из доказательства признака делимости на 9 следует, что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки. В данном случае число m даёт остаток 6, а число n – остаток 7, значит, их сумма должна давать остаток 4. Но m+n даёт остаток 8. Противоречие.
Ответ: нет
1. Дан угол в 13 EMBED Equation.3 1415. Постройте угол в 13 EMBED Equation.3 1415.
Путник шёл в гору со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч), а с горы 13 EMBED Equation.3 1415 (км/ч). Какова средняя скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?
Существует ли такое натуральное число n, что
13 EMBED Equation.3 1415?
4.Докажите, что при любом натуральном n число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3.
5. 80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть
идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из-за аварии,
троллейбусы не ходили, и ему пришлось идти домой пешком. Сколько
минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше
скорости ученика?
Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные базы, чтобы пополнять на них запасы. За сколько дней он может пересечь пустыню?
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.
В двух точках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20 %. В какой бочке воды стало больше ?
Пусть m и n – натуральные числа. Может ли сумма цифр числа m+n быть равной 1997, если сумма цифр числа m равна 1995, а сумма цифр числа n равна 1996?
13PAGE 15
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Приложенные файлы
