Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Энергосбережение в энергетике»


Государственное профессиональное образовательное автономное учреждение среднего профессионального образования Ярославской области
Рыбинский профессионально-педагогический колледж
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ
ВНЕАУДИТОРНОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙРАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Составила: Каменовская Елена Степановна.
2015
АЛГЕБРА ИНАЧАЛА АНАЛИЗА
Тема. Развитие понятия о числе.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы (5 ч)
1) Выполнение решения тренажера по теме «Теорема Виета»
2) Подготовка сообщений по теме «Развитие понятия о числе»
Рекомендуемые темы сообщений
История возникновения чисел
История многочлена
Бином Ньютона
Великие математики (Эратосфен, Диофант, аль-Каши, М.Штифель, Леонардо Пизанский (Фибоначчи))
Позиционная система счисления.
Старинные задачи на «тройное правило», «пропорциональное деление», «метод весов», «фальшивое правило».
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.
Тренажеры.
Действия с дробями
1.1 Вычислите значения выражений
1) 27+ 1121 + 32149 ; 2) (12+ 27) ∙ 1413 ; 3) (34+ 75) ∙0,7 ÷ 8617.
1) 56+ 733 + 922 ; 2) 611 ÷ 58 ∙ 940+ 0,01 ; 3) 1- 111+ 1121÷820+ 412.1) (247- 353) ÷0,2 ; 2) 1- 10-499 ÷ 0,1625 ; 3) 0,34- 0,08²- 1125+ 325- 35+1.1.2. Представьте в виде обыкновенной дроби.
1) 0,125; 2) 0,46; 3) 7,11.
1) 1,328; 2) 0,314; 3) 2,02020202.
1) 1,239; 2) 2,7272; 3) 0,0007.
1.3. Представьте в виде десятичной дроби.
1) 1125;2) 716;3) 14111;4) 489.
1) 1625;2) 14111;3) 23516;4) 34124.
133;2) 5678;3) 12873;4) 28771.
Разложение натурального числа по степеням простых чисел
1.4. Представьте в виде произведения степеней различных простых чисел.
1) 512; 2) 97; 3) 4563.
1) 14641; 2) 8041; 3) 1729.
1) 1000188; 2) 13832; 3) 111111.
1.5 Найдите наименьший общий знаменатель дробей.
1) 115; 755;2) 245; 499.1) 1441; 6343; 1181. 2) 1149; 1384; 128.1) 1216; 9154; 791; 55396; 2) 132; 148; 380; 5112.1.6. Укажите, какая максимальная степень а, на которую делится степень b.
1) а = 9, b = 32805.
2) а = 7, b = 50421.
3) а = 6, b = 15552.
1.7. Укажите, какое простое число входит в разложение числа d по степеням простых чисел в максимальной степени.
1) d = 864; 2) d = 222264; 3) d = 5766.
1.8. Выпишите все простые делители числа m.
1) m = 440; 2) m = 5421; 3) m = 343434.
1) m = 9317; 2) m = 2016; 3) m = 5600.
1) m = 15912; 2) m = 20160; 3) m = 40560.
Комплексные числа.
1.8. Вычислите значения выражений.
1) 3 + 17i + 2-i3; 2) (3 + 17i) (2-i3); 3) (3 + 11i) ÷i; 4) (i + 1)².
1) 2-i5 + 2+i10; 2) (2-i5) (2+i10); 3) (2-i5 ) ÷( 2+i10 ); 4) ( 22+i22 )4.
1) 4-i5+i- i1-i; 2) ( 4-i5+i )( i1-i ); 3) 4-i5+i÷ i1-i; 4) (3i+ 1)5.Справочный материал.
R – множество всех вещественных (действительных) чисел
Z – множество всех целых чисел
N – множество всех натуральных чисел
Алгебраические выражения
a² - b² = (a – b) (a + b)
a³ - b³ = (a – b)(a² +ab +b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² + b³
(a ± b)⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab³ + b⁴
1 - xⁿ = ( 1 – х) (1 + х + х² + … + хn-1)ах² + bx + c = a((x + b2a)² - b²-4ac4a²)
ax+bcx+d = ac(1 – ad-bcacx+ dc)

Теорема Виета для ах² + bх + с = 0
x1 + x2 = - ba; x1 · x2 = caесли а = 1, то x1 + x2 = -b; x1 · x2 = c

Свойства числовых неравенств
1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.
2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.
3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.
4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.
5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a - d < b - c.6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.7) Если a < b, a > 0, b > 0, то

8) Если |a| ‹ |b|, то a² ‹ b²
Информационные ресурсы
С.Л.Блюмин Развитие понятия о числе. Некоторые современные представления,2005.
И.Г.Башмакова Диофант и Диофантовы уравнения.
История математики, т. 1—3, М., 1970—72
Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951
Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.
М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
Интернет
Тема. Корни, степени и логарифмы.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы (16 ч)
1) Выполнение решения тренажеров по темам «Вычисления со степенями и корнями»; «Показательные уравнения», « Логарифмические уравнения», «Преобразование логарифмических выражений».
2) Подготовка сообщений по теме «Корни, степени и логарифмы»
Рекомендуемые темы сообщений
История радикала.
Треугольник Паскаля
История логарифма
Великие математики (Дж.Непер, И.Бюрги, Г.Бриггс)
Введение знаков степени Р.Декартом
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.




Справочный материал
Степень с целым показателем




Корень n-ой степени
na - арифметический корень n-й степени из числа;



Cтепень с дробным рациональным знаменателем

Свойства степени с действительным показателем




Логарифмы

Основное логарифмическое тождество:

lg b - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10)

ln b - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

Переход от одного основания к другому:


Свойства логарифмов





Информационные ресурсы
1.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978
2. Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. §40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
3. Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923
4. История математики, том II, 1970
5. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.
6.М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.
7.Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
8. Интернет
Тема. Элементы комбинаторики.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Исследовательская работа «Комбинаторика в геометрии» (работа в группах)
Выполнение сообщений по теме «Элементы комбинаторики»
Рекомендуемые темы сообщений.
Магические и латинские квадраты
Приложения комбинаторики в биологии.
Приложения комбинаторики в химии.
Комбинаторика на шахматной доске.
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.
Исследовательская работа по теме «Комбинаторика в геометрии»
Цель работы: научиться использовать комбинаторные рассуждения в геометрии.
На одной из двух параллельных прямых выбрано 8 точек, а на другой – 6 точек.
Сколько можно построить отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых?
Пусть отрезок АВ соединяет третью точку на первой прямой с четвертой точкой на второй. Сколько отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых, пересечет отрезок АВ внутри полосы?
Подсчитайте число отрезков с концами в выбранных точках на второй прямой с помощью такого рассуждения: если левый конец отрезка – первая точка, то таких отрезков – 5, если вторая, то – 4, если третья, то… и т.д.
Сколько можно построить треугольников с вершинами на первой прямой и основаниями на второй?
Подсчитайте число отрезков с концами в выбранных точках на первой прямой.
Сколько можно построить треугольников, у которых одна из вершин расположена на одной прямой, а две другие – на другой?
Сколько можно построить четырехугольников с вершинами в данных точках?
Подсчитайте общее число точек пересечения внутри полосы всех отрезков с концами на двух прямых. (Подсказка: каждый четырехугольник определяет одну такую точку)
Сколько можно построить замкнутых ломаных, имеющих 6 звеньев, вершины которых, чередуясь, расположены на данных прямых? (Ломаные могут быть самопересекающимися)
Пусть на одной прямой m точек, на другой – n. Дайте ответы на задания 1-9 в общем виде для произвольных m и n.
Справочный материал
Основная формула комбинаторики
N=n1· n2· n3· ... · nk.
Число перестановок
Pn = n!, где n! = 1·2·3· … ·n
Число размещений

Число сочетаний

Информационные ресурсы
Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975
Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001
Белешко Д. Комбинаторика. 2004
М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
Интернет.
Тема. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы.
Исследовательская работа «Бросание кости».
Выполнение сообщений по теме «Геометрическая модель для задачи Бюффона», «Парадокс Бертрана» (работа в группах)
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.
Исследовательская работа «Бросание кости».
Цель работы: научиться подсчитывать число результатов при последовательных испытаниях.
При бросании кости выпадает одна из шести возможностей – числа от 1 до 6. Результат последовательного бросания кости мы будем представлять как последовательность этих чисел (или как слово в алфавите из шести цифр).
Сколько существует вариантов последовательного бросания кости 2 раза? 3 раза? n раз?
Кость бросается 2 раза. Сколько раз встречаются следующие варианты:
а) шестерка не выпадает ни разу;
б) шестерка выпадает 2 раза;
в) шестерка выпадает хотя бы один раз;
г) за два раза в сумме выпадает 5 очков?
3. Кость бросается 3 раза. Сколько раз встречаются следующие варианты:
а) ни разу не выпадает единица;
б) ни разу не выпадает четная цифра;
в) шестерка выпадает ровно два раза;
г) хоть один раз выпадает нечетная цифра?
4. При каком наименьшем числе бросаний кости число вариантов, при котором хоть раз выпадает шестерка, превышает 3/4 от общего числа возможных вариантов?
5. При каком числе бросаний кости число вариантов, при котором хоть раз выпадает шестерка, превышает 9/10 от общего числа возможных вариантов?
Бросается пара костей одновременно. Кости окрашены в разные цвета, поэтому варианты выпадения, например, пары (1,2) считаются дважды ( единица выпала на красной кости и двойка на черной или наоборот).
6. Сколько существует вариантов последовательного бросания пары костей 2 раза? 3 раза? n раз?
В каком числе вариантов при однократном броске пары костей происходит следующее:
а) цифры на обеих костях разные;
б) цифры на обеих костях разной четности;
в) сумма цифр на обеих костях более девяти?
8. Три раза бросается пара костей. В каком числе вариантов произойдет следующее:
а) ни разу не выпадут две шестерки;
б) хоть один раз выпадут две шестерки;
в) все время будут выпадать две одинаковые цифры;
г) две одинаковые цифры выпадут ровно один раз?
9. Пара костей бросается n раз. Запишите в виде дроби, какую долю по отношению к числу всех возможных вариантов, занимают следующие события:
а) ни разу не выпадут две шестерки;
б) хоть один раз выпадут две шестерки;
в) ни разу не выпадут две одинаковые цифры;
г) хоть один раз выпадут две одинаковые цифры.
10. Найдите наименьшее число бросаний, при котором доли, вычисленные в предыдущем примере для случаев б) и г), превзойдут 0,5.
Справочный материал.
Случайные события
Классическое определение вероятности P(A) = m/n, где m - число благоприятных исходов опыта; n - число всех его исходов.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р (А + В) = Р(А) + Р(В)
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
Теорема умножения вероятностей независимых событий
Р(АВ) = Р(А)Р(В)
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В), где Р(В/А) - вероятность события B при условии, что произошло событие A.
Формула полной вероятности P(A) = k=1nP(Bk)P(A/Bk), где В1, В2,…, Вn - полная группа гипотез, т. е. Вi· Bj = Ǿ? i ≠ j, i=1nBi = Ω, где Ω - достоверное событие.
Формула Бейеса

Повторение испытаний
Формула Бернулли

где Pn(k) – вероятность появления события А ровно k раз при n независимых испытаниях; p – вероятность появления события А при каждом испытании.
Вероятность того, что событие А:
не наступит ни разу Pn(0) = (p – 1)ⁿ;
наступит хотя бы один раз P = 1 - (p – 1)ⁿ;
наступит n раз Рn(n) = pⁿ;
наступит не более k раз P = Pn(0) + Pn(1) +… + Pn(k) ;наступит не менее k раз P = Pn(k) + Pn(k +1) +… + Pn(n) ;Локальная теорема Лапласа
QUOTE вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаниях; p - вероятность появления события A при каждом испытании. Pn k≈12πnp(1-p)e-t²/2где Pn(k) - вероятность появления события А ровно k раз при n независимых испытаниях; р – вероятность появления события А при каждом испытании;
t=kn-pnp(1-p)Информационные ресурсы.
«Теория вероятностей и математическая статистика» Гмурман В.Е. 9-е изд., стер.—М.: Высшая школа, 2003.
«Теория вероятностей и математическая статистика».  Кремер Н.Ш. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2004.
 «Теория вероятностей и математическая статистика» Лисьев В.П. Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006.
М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
Интернет
Тема. Основы тригонометрии.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Выполнение сообщений по темам «Биоритмы человека», «Гармонические колебания»
Исследовательские работы «Прямоугольный треугольник», «Произвольный треугольник», «Приближенные вычисления», «Преобразование тригонометрических выражений» (работа в группах).
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.
Исследовательские работы
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике АВС а и b катеты, с – гипотенуза, α и β – острые углы, противоположные сторонам а и b соответственною Используя указанные данные, вычислите значения следующих величин.
Найдите гипотенузу с, если α = 60°, b + с – 14,7 см.
Найдите катеты и гипотенузу, если α = β, а высота, опущенная на гипотенузу из вершины прямого угла, равна 10 см.
Найдите высоту, опущенные из вершины прямого угла на гипотенузу, если β = 30°, с = 14 см.
Найдите биссектрису прямого угла, если а = 6 см, b = 8 см.
Найдите стороны треугольника, если b больше а на 2 см и с больше b на 2 см.
Определите угол между медианой и высотой, проведенными из прямого угла, если α = 25°, β = 65°.
Определите длину гипотенузы, если биссектриса угла α делит катет на отрезки, длины которых 3 см и 5 см.
Вычислите радиус описанной окружности, если а =10 см, а высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна 8 см.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, периметр которых равны 3 см и 4 см. Определите периметр треугольника.
Найдите периметр треугольника, если а – 3см, а гипотенуза больше другого катета на 1 см.
Найдите площадь треугольника, если а = 1,5см, а с = √117/4 см.
Найдите площадь треугольника, если с = 10см, а катет а составляет 40% от катета b.
Пусть О – середина гипотенузы, α = β, а = 2см. Определите площадь треугольника OАD , если D лежит на катете ВС и OD перпендикулярно ВС.
Высота треугольника, опущенная из вершины прямоугольного угла, равна 3. Разность между проекциями катетов на гипотенузу равна 8. Найдите площадь треугольника.
Найдите длину биссектрисы прямого угла, если а = b а площадь треугольника равна 36 см².
Найдите площадь треугольника, если а + b = 8, а высота, опущенная из вершины прямого угла, равна 6.
Произвольный треугольник.
В треугольнике АВС со сторонами а, b с противолежащие этим сторонам углы обозначены через α, β, и γ. Используя данные выразите указанные значения с точностью до 0,01.
Найдите длину медианы ВМ, если а = 18см, b = 12см, с = 14см.
Найдите площадь треугольника, если b = 14см, γ = 45°.
Найдите сторону АС, если α = 30°, β = 45°, а высота BD = 15см.
Найдите стороны треугольника, если α = 60°, β = 45°, а высота AD равна 6см.
Найдите углы треугольника, если а = 6см, b = 7,3см, с = 4,8см.
Найдите оставшиеся стороны и углы треугольника, если а = 12,3см, β = 45°,
γ = 75°.
Найдите биссектрисы треугольника, если а = 10см, α = 30°, β = 70°.
Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным, тупоугольным, если:
а = 6см, b = 5см, с = 10см;
а = 6см, b = 8см, с = 10см;
а = 18см, b = 16см, с = 4см.
Найдите ВС, если b = 2см, с = 3см, АD – биссектриса, расстояние от точки D до сторон треугольника равно 1см.
В равнобедренном треугольнике а = b; с = √24см; угол при основании 30°. Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.
Одна из сторон треугольника равна длине проведенной к ней высоты. Найдите эту сторону, если площадь треугольника равна 18 см².
Найдите площадь треугольника, если его углы α, β, γ образуют арифметическую прогрессию, а = 1см, b = 4см.
Найдите углы треугольника, если известно, что биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол на четыре равные части.
Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника, если площадь равна 25см², а высота проведенная к боковой стороне, равна 5см.
Найдите длину стороны АВ треугольника, если а = 6см, b = 3см, а полусумма высот, проведенных к сторонам АС и СВ, равна третьей высоте.
Приближенные вычисления.
Цель работы: использование обратных тригонометрических функций в приближенных вычислениях.
Найдите приближенные значения ( с двумя значащими цифрами после запятой в десятичной записи) следующих выражений:
sin (α + β) при α= 30°, β = 45°;
ctg (1/2 arccos 3/√10);
sin (arctg 3/4 - arccos 12/13);
sin( ½ arcos 3/√11);
1/π (2arctg 1/4 + arctg 7/13);
sin (2 arctg5);
sin (2 arctg5)cos(1/2 arctg(-1/3));
7 (tg(7π/4 – ½ arccos3/7));
sin² (arctg 1/2);
ctg (11π/4 + 2( - arcos 12/13)).
Преобразование тригонометрических выражений.
Цель работы: научиться приводить тригонометрические выражения к рациональному выражению от одной из тригонометрических функций.
Дано выражение f(x) = sin³x·cos x – sin x · cos³x.
Выразите f(x) через t, где t = sin4x.
Выразите f(x) через v, где v = tg2x.
Можно ли представить f(x) как многочлен от sinx?
Дано выражение fx= sinx1+cosx + cosx1+sinxВыразите f(x) через t, где t = sinx + cosx.
Докажите тождество
fx= 21+ √2sin⁡(x+ π4)Выразите f(x) через v, где v = tg x/2.
Докажите, что f(x) удовлетворяет тождеству f(x) = f(π/2 – x).
Дано выражение f(x) = sin⁴x + sin⁴(x + π/4).
Выразите f(x) через u, где u = sin 2x – cos 2x.
Выразите f(x) через t, где t = tgx.
Докажите тождествоf(x) = ¾ + √2/2sin(2x – π/4).
Найдите наименьшее положительное а такое, что выполняется тождество f(x) = f(a – x).
Найдите sin4x, если f(x) = 1.
Дано выражение f(x) = 1 + sin 2x – sin x – cos x.
Выразите f(x) через t, где t = sinx + cosx.
Докажите тождество f(x) = 2sin²(x + π/4) - √2sin(x + π/4).
Докажите тождество f(x) = f(π/2 – x).
Найдите f(x), если sin 2x = 24/25 и x = [π; 3π/2].
Дано выражение f(x) = cos⁴x + sin⁴x.
Выразите f(x) через t, где t = sin2x.
Выразите f(x) через u, где u = cos4x.
Найдите наименьшее а > 0 такое, что выполняется тождество
f(x) = f(a – x).
Вычислите f(x), если tg x = 3.
Дано выражение f(x) = tg (x – π/6) + tg (x + π/6).
Выразите f(x) через t, где t = tg x.
Докажите тождество
fx= 4sin2x1+2cos2xПри каких а верно тождество tg (x – a) + tg (x + a) = 2tg 2x?
Найдите f(x), если sin x = 4/5 b x = [π/2; π].
Справочный материал.
1 радиан    радиана.
Тригонометрическая окружность - окружность единичного радиуса с центром в начале прямоугольной системы координат, которая осями Ox и Oy разбивается на четыре четверти (квадранта).
Синусом числа α называется ордината (проекция на ось Oy) точки тригонометрической окружности, соответствующей углу α радиан, а косинусом числа α - абсцисса этой точки (проекция на ось Ox), рис. 9.

Тригонометрические тождества (n ∈ Z)

Угол    0<α<П/2    П/2<α<П   П<α<3П/2    3П/2<α<2П 
sin α  + + - -
cos α + - - +
tg α + - + -
ctg α + - + -
Таблица 1. Знаки тригонометрических функций
Угол    0       П/6        П/4        П/3        П/2        2П/3       3П/4       5П/6       П    
sin α 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0
cos α 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1
tg α 0 √3/3 1 √3 ∞ -√3 -1 -√3/3 0
ctg α ∞ √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 ∞
Таблица 2. Некоторые значения
Основные тригонометрические формулы
Функция ±α П/2±α П±α 3П/2±α
sin  ± sin α     cos α   ∓ sin α    - cos α
coscos α   &mnplus; sin α    - cos α   ± sin α   
tg± tg α &mnplus; ctg α ± tg α &mnplus; ctg α
ctg± ctg α &mnplus; tg α ± ctg α &mnplus; tg α
Таблица 3. Формулы приведения 
Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента

(Знак "+" или "-" определяется для каждого квадранта по знаку искомой функции.)
Формулы для суммы и разности аргументов

Тригонометрические функции кратных углов

Понижение степени тригонометрических функций

Тригонометрические функции половинного угла

Сумма тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции
Определения

Некоторые соотношения (a - любое, b > 0):


Площадь треугольника
Обозначения:
ha - высота, проведенная к стороне a.
p - полупериметр, т.е. половина от суммы всех сторон треугольника.
R - радиус описанной окружности.
r - радиус вписанной окружности.

Информационные ресурсы.
1. Тригонометрия .Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л., М.: МЦНМО,2003.  
Специальный курс тригонометрии. Новоселов С.И., Высшая школа, 1967.
Курс тригонометрии для техникумов. Кожеуров П.Я.
М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
Интернет.
Тема. Функции, их свойства и графики.
Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Выполнение сообщений по темам «Братья Бернулли», «Прикладные примеры зависимостей с экспонентами и логарифмами», «Николай Лобачевский».
Исследовательские работы по темам «Исследование линейной функции на отрезке», «Исследование дробно-рациональной функции», «Исследование квадратичной функции», «Семейство рациональных функций», «Исследование показательной функции», «Исследование тригонометрических функций».
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.
Исследовательская работа «Исследование линейной функции на отрезке»
Цель работы: провести исследование линейной функции на отрезке.
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-3;2];
а) у = 2х + 3;
б) у = -3х + 7.
2. Обращаются ли указанные функции на заданном отрезке в нуль?
3. Для каждой из указанных функций найдите отрезок [a;b] так, чтобы областью значений функции на этом отрезке был отрезок
[-1;1].
4. При каких значениях k функция у = 2х + 3 + л(-3х + 7);
а) постоянна;
б) возрастает;
в) ее график проходит через начало координат;
г) имеет положительный корень?
Исследовательская работа «Исследование дробно-рациональной функции»
Цель работы: провести исследование дробно-рациональной функции.
Дана функция у = 5хх-2Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у на отрезке [0;1].
Какие значения не может принять функция у?
Решите неравенство у – 5 < 0,01.
Какие оси симметрии имеет график функции у?
При каких значениях k функция
у = kхх-2 QUOTE 5хх-2
а) возрастает на отрезке [0; 1];
б) принимает любое значение, кроме у = 3;
в) ее график проходит через точку (3;3)?
Исследовательская работа «Исследование квадратичной функции»
Цель работы: провести исследование квадратичной функции.
Дана функция у = х² + 2х.
Найдите ее наибольшее и наименьшее значение на указанных отрезках:
а) [-3; 2];
б) [0; 3];
в) [-3; -1].
2. При каких k функция у = х² + 2х + k имеет два корня?
3. Найдите все такие отрезки [a; b], чтобы областью значений функции у на них был отрезок [3; 8] .
4. Докажите, что расстояние от любой точки графика функции у до точки
(-1; - ¾) и до прямой у = - 5/4 равны между собой.
Исследовательская работа «Семейство рациональных функций»
Цель работы: сравнить, как меняются свойства рациональных функций при изменении коэффициентов, и научиться исследовать эти функции элементарными методами.
Рассматривается семейство рациональных функций у = fa(x), где
fax=x+2x²+a и а – параметр.
Графическое исследование.
Перед вами графики пяти функций, которые соответствуют следующим значениям параметра а: -9; -4; -1; 0; 5.

Установите соответствия между кривыми и значениями а.
Заполните таблицу свойств функций fa для данных значений а.
Свойства а
-9 -4 -1 0 5
Число точек, где fa принимает “бесконечное значение» Число экстремумов faЧисло интервалов монотонности Функция fa ограничена (+), не ограничена (-), ограничена снизу (±) Множества значений fa есть R Для каждого а выберите свойства fa, которые отделяют эту функцию от других, т.е. такой набор свойств, который выполняется для выбранной функции и не выполняется для других.
Сформируйте гипотезы о выполнении свойств функции и зависимости от а
а).Для каких значений а функция fa для всякого значения х?
б) Для каких значений а функция fa ограничена?
в) Для каких значений а функция fa не имеет экстремумов?
г) Для каких значений а множество значений функции fa есть R?
Исследовательская работа
«Исследование показательной функции»
Цель работы: провести полное исследование сложных функций.
Функция у = 44х- 2х+1.
Преобразования
Выразите f(x) через t, где t = 2x,
Выразите f(x) через s, где s = 2x+1,
Вычислите значение f(x) при x = log23.
Исследование
Исследуйте вспомогательную функцию у = g(t), где g(t) = t² - 2t, заданную при t = (0; +∞), определив:
а) промежутки постоянного знака;
б) корни;
в) промежутки монотонности;
г) точки экстремума;
д) область значений.
2) Исследуйте функцию y = f(x), используя результаты предыдущего пункта.
3) Постройте график функции у = f(x).
4) К какому числу приближаются значения f(x) при х→ - ∞?
3. Уравнения и неравенства.
1) Решите уравнение f(x) = - ¾.
2) Решите неравенство f(x) ≥ 8.
3) При каких значения а уравнение f(x) = a имеет два корня?
II. Функция у = log2(4х - 12)
Преобразования
Вычислите значение f(x) при x = 1 + ½log211.
Докажите тождество f(x) – x = log2(2x - 122x ).
Докажите тождество f(x) – 2x = log2(1- 124x ).
Исследование.
Найдите область определения функции f(x).
Докажите, что функция f(x) возрастает на всей области определения.
Найдите область значений функции y = f(x).
Докажите , что при всех х верно неравенство f(x) < 2x.
Что можно сказать о поведении разности f(x) – 2x при х → +∞?
Постройте график функции у = f(x).
Уравнения и неравенства
Решите неравенство f(x) < 2.
Решите уравнение f(x) = x.
При каких значениях k уравнение f(x) = kx имеет хотя бы один корень?
Функция у = 2х4х+ 1.
Преобразования
Вычислите а (log23).
Выразите f(x) как функцию от t, где t = 2xДокажите, что функция f(x) четная.
Исследование
Исследуйте вспомогательную функцию y = tt²+1 при t = (0; +∞).
Найдите промежутки монотонности функции у = f(x).
Найдите область значений функции у = f(x).
Постройте график функции у = f(x).
Уравнения и неравенства
Решите уравнение f(x) = 25.
Решите неравенство f(x) ≤ 417.
При каких значениях а уравнение f(x) = a имеет два корня?
Сколько корней имеет уравнение f(x) = kx в зависимости от k?
Функция у = 11+ log2х + 41- log2хИсследование вспомогательной функции у = 11+t + 11-tНайдите область определения функции у = у(t).
Найдите корни функции у = у(t).
Вычислите экстремумы функции у = у (t).
Найдите предельные значения функции у = у(t) при t → -∞ и t→ +∞.
Постройте график функции у = у(t).
Исследование функции у = f(x)
Составьте таблицу значений х, при которых log2х =-1; 1; - 53; - 13; -3;0
Найдите область определения функции f(x).
Найдите ее точки экстремума.
Вычислите предельные значения функции у = f(x) и граничных точек области определения.
Постройте график функции у = f(x).
Найдите ее область значений.
Уравнения и неравенства
Решите уравнение f(x) = 12.
Решите неравенство f(x) > 5.
Найдите число решений уравнения f(x) = a в зависимости от а.
Исследовательская работа
«Исследование тригонометрических функций (синусы и косинусы)»
Исследование функции f(x) = sin³xcosx - sinxcos³x.
Дана функция f(x) = sin³xcosx - sinxcos³x.
Преобразования
Выразите f(x) через t, где t = sin4x.
Выразите f(x) через v = tg2x.
Можно ли представить f(x) как многочлен от sinx?
Найдите наименьшее положительное а такое, что выполняется тождество f(x) = f(a – x). Какой геометрический смысл имеет это тождество?
Значения
Вычислите значения f(x) , если tgx = - -34.
Найдите наименьший положительный период функции f.
Найдите область значений функции f.
Найдите наименьшее и наибольшее знавчения функции у на отрезке [- 72π; - 134π].
Свойства
Исследуйте монотонность функции на отрезке [ π8; π4 ].
Найдите точки экстремума функции f.
Постройте график функции f.
Решите неравенство f(x) ≥ 0 на отрезке [ 0; π2 ].
Уравнения
Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0,1 на отрезке [ 0; π]?
Решите уравнение f(x) = sin2x.
Решите уравнение f(x) = - 14ctg2x.
Сколько решений имеет уравнение f(x) = x?
Справочный материал.


Информационные ресурсы.
М.И.Башмаков «Алгебра и начала анализа 10» Базовый уровень: учеб. для общеобразоват. Учреждений/ М.И.Башмаков. – М.: Дрофа, 2008.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
3. И.М. Гельфанд. Функции и графики. Методические разработки для учащихся. Москва. 1984
4. Н.А. Вирченко. Графики функций. Справочник. Киев. «Наукова Думка». 1979.
5. Интернет.
Графическая интерпретация свойств функции


Тема. Начала математического анализа.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Решение тренажеров по темам «Производная степенной функции», «Промежутки монотонности», «Экстремумы функции», «Уравнение касательной», «Исследование функции на отрезке», «Приложения производной к механике», «Вычисление первообразной», «Вычисление площадей».
Выполнение лабораторной работы по темам «Геометрический и механический смысл производной».











Работа «Механический и геометрический смысл производной» в электронном виде (презентация «Геометрический и механический смысл производной»).
Справочный материал.


Информационные ресурсы.
М.И.Башмаков «Алгебра и начала анализа 10» Базовый уровень: учеб. для общеобразоват. Учреждений/ М.И.Башмаков. – М.: Дрофа, 2008.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
Гурова З.И, Каролинская С.Н, Осипова А.П. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами. 2002 год. 
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень). Часть 1 - учебник. 2009 год.
Интернет.
Тема. Уравнения и неравенства.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Тренажеры по темам «Преобразование уравнений», «Преобразование неравенств», «Решение уравнений: разложение на множители», «Метод интервалов», «Нахождение ОДЗ уравнений и неравенств».
Исследовательские работы на исследование уравнений и неравенств










Справочный материал.


Информационные ресурсы.
М.И.Башмаков «Алгебра и начала анализа 10» Базовый уровень: учеб. для общеобразоват. Учреждений/ М.И.Башмаков. – М.: Дрофа, 2008.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. 1980 год.
А.Г. Курош. Алгебраические уравнения произвольных степеней. 2-изд. 1975
Олехник и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник. 
Интернет.
ГЕОМЕТРИЯ
Тема. Прямые и плоскости в пространстве.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы.
Выполнение моделей задач по теме «Прямые и плоскости в пространстве»
Выполнить кластер по темам «Параллельность прямых и плоскостей», «Перпендикулярность прямых и плоскостей» (работа в группах)
Модели задач.
С помощью картона, ножниц и клея, выполнить модели задач из сборника экзаменационных заданий Дорофеева Г.В.
Рекомендуемые задачи: в.1(7), в.2(7), в.3(7),в.5(7), в.6(7), в.8(7), в.12(7), в.14(7),
в.22(7), в.33(7), в.42(7), в.43(7), в.44(7), в.45(7), в.46(7), в.47(7), в.50(7), в.61(7), в.64(7), в.79(7), в.86(7), в.92(7).
Кластер (англ. Cluster – пучок, гроздь) – объединение нескольких однородных элементов, которое может рассматриваться как самостоятельная единица, обладающая определенными свойствами.
Кластер – это способ графической организации материала, позволяющий сделать наглядными те мыслительные процессы, которые происходят при погружении в ту или иную тему.
Каковы этапы работы при составлении кластера?
1-й этап – посередине чистого листа пишется ключевое слово или словосочетание, которое является “сердцем” идеи, темы.
2-й этап –записать все то, что вспомнилось по поводу данной темы. В результате вокруг “разбрасываются” слова или словосочетания, выражающие идеи, факты, образы, подходящие для данной темы. Записывается все, что можно, ничего не отсеивается.
3-й этап – осуществляется систематизация. После чтения учебника, объяснения учителя анализируем и систематизируем изученный материал. Хаотичные записи слов-ассоциаций объединяются в группы, в зависимости от того, какую сторону содержания отражает то или иное записанное понятие, факт. Ненужное, ошибочное зачеркивается.
4-й этап – по мере записи появившиеся слова соединяются прямыми линиями с ключевым понятием. У каждого из “спутников” в свою очередь тоже появляются “спутники”, устанавливаются новые логические связи. В итоге получается структура, которая графически отображает наши размышления, определяет информационное поле данной темы.
Пример 2. Тема “Квадратные уравнения

Информационные ресурсы
Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. Учреждений: базовый уровень/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2009
2.Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
3. Интернет.
Тема. Координаты и векторы.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Выполнение сообщений по темам «Геометрия Вейля», «Симметрия в нашей жизни».
Выполнение теста по теме «Векторы в пространстве», практической работы по теме «Движения».
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.
Тест по теме «Векторы в пространстве»
Вариант 1.
1. Какое из следующих утверждений неверно? 
а) длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ;
б) нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору;
в) ;    
г) разностью векторов а и b называется такой вектор. сумма которого с вектором b равна вектору а;
д) векторы называются равными, если равны их длины.
2. Упростите выражение:
, если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.
а) ;б) ;в); г) ;д) .
3. Какое из следующих утверждений верно?
а) сумма нескольких векторов зависит от того, в каком порядке они складываются;
б) противоположные векторы равны;
в) для нахождения разности векторов необходимо, чтобы они выходили из одной точки;
г) произведение вектора на число является число;
д) для любых векторов а и b не выполняется равенство а+b=b+a.
4. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1. Найдите ||.  
а) 1; б) 2; в) ; г); д) 0,5 .
5. Какое из следующих утверждений неверно?
а) векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости;
б) если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с=ха+yb, где х, y- некоторые числа, то векторы а, b, c компланарны;
в) для сложения трёх некомпланарных векторов используют правило параллелепипеда;
г) любые два вектора компланарны;
д) любые три вектора некомпланарны.
6. Известно, что . Тогда прямые АС и ВD:
а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются; г) совпадают;
д) выполняются все условия пунктов а-г.
7. Векторы p, a, b некомпланарны, если:
а) при откладывании из одной точки они не лежат в одной плоскости;
б) два из данных векторов коллинеарны; в) один из данных векторов нулевой;
г) p=a – b;  д) р=а.
8. ABCDA₁B₁C₁D₁-параллелепипед. Какой из предложенных векторов будет компланарен с векторами и ?
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
9.Известно, что 2=, тогда векторы , являются:
а) некомпланарными; б) сонаправленными; в) коллинеарными;
г) нулевыми; д) компланарными.
10. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы , , :
а) нулевые; б) равные; в) противоположные; г) компланарные; д) некомпланарные.
Тест по теме «Векторы в пространстве»
Вариант 2.
1. Какое из следующих утверждений неверно?
а) длиной нулевого вектора называется длина отрезка АВ ;б) любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор;
в) ;
г) для любых векторов а и b выполняется равенство а+(- b)= а-b;
д) векторы называются равными, если они сонаправлены и равны их длины.
 2. Упростите выражение:
 , если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
 3. Какое из следующих утверждений верно?  
а) разностью векторов a и b называется такой вектор, разность которого с вектором b равна вуктору а;
б) если векторы a и b коллинеарны и а≠0, то существует такое число k, что b=ka;
в) векторы называются равными, если они сонаправлены; 
г) два вектора, коллинеарны ненулевому вектору, сонаправлены;
д) для любых векторов а и b выполняется равенство а(с+b)=bс+aс.
4. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 1, точка Е - середина А₁С₁. Найдите ||    
а) 1 ; б) 2 ; в) ;г) 3 ;  д) 0,5 .
5. Какое из следующих утверждений неверно? 
а) три вектора будут компланарными, если один из них нулевой;
б) если векторы a, b и с компланарны, то вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с=ха+yb, где х, y- некоторые числа;   
в) для сложения трёх компланарных векторов не используют правило параллелепипеда;
г) любые два вектора некомпланарны;  
д) три нулевых вектора компланарны.  
6. Известно, что . Тогда прямые АВ и СD:
а) параллельны; б) совпадают; в) пересекаются;
г) скрещиваются;д) выполняются все условия пунктов а-г.
7. ABCDA₁B₁C₁D₁-параллелепипед. Какой из предложенных векторов будет компланарен с векторами и ?а) ; б) ;в) ; г) ;д) .8.Векторы p, a, b компланарны, если:    
а) при откладывании из одной точки они не лежат в одной плоскости; 
б) два из данных векторов равны;    
в) если любой вектор можно разложить по данным векторам;  
г) если их сумму можно найти с помощью правила параллелепипеда; 
д) если их длины являются измерениями параллелепипеда.  
9. Известно, что 2= –, тогда векторы , являются:     а) компланарными; б) некомпланарны; в) коллинеарными; г) сонаправлены; д) нулевые.       
10. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы , , :
а) нулевые; б) равные; в) компланарные; г) некомпланарные;
д) противоположные.
Практическая работа по геометрии по теме «Движение»
1 вариант
Установить, сколько осей симметрии имеет указанная фигура, и выполнить соответствующие соединения.
А) угол; Б) равносторонний треугольник; В прямоугольник; Г) трапеция; Д) прямая
1) 1 2) 3 3) бесконечно много 4) 2 5) 4 6) нет
2. При помощи одной линейки постройте ось симметрии равнобедренной трапеции.
3. Дана точка А (3;4). Записать координаты точки, в которую переходит точка А при симметрии относительно:
1)оси Ох; 2)оси Оу; 3)начала координат.
4. Найдите на окружностях точки, симметричные друг другу относительно прямой m.

Разделить окружность на 4 равные части. Построить фигуру, симметричную данной относительно:
А) оси, не проходящей через окружность; Б) точки, не лежащей в круге.
6. Выполнить поворот треугольника АВС вокруг вершины:
А) А на +50° Б) В на - 40°
7. Выполнить параллельный перенос квадрата АВСМ на вектор АВ.
8. На рисунке a‌‌‌ || b, c || d. Указать такой вектор, который при параллельном переносе прямую а переводит в прямую b, с переводит в d.

9. Какие фигуры, составленные из равных полукругов, при повороте отображаются сами на себя?
Практическая работа по геометрии по теме «Движение»
2 вариант
1. Установить, сколько осей симметрии имеет указанная фигура, и выполнить соответствующие соединения.
А) окружность; Б) параллелограмм; В) равнобедренная трапеция; Г) квадрат; Д) ромб
1) 1 2) 3 3) бесконечно много 4) 2 5) 4 6) нет
2.Найдите на прямых точки, симметричные друг другу относительно центра О.

Отрезки АВ и А1В1 центрально симметричны относительно некоторого центра. С помощью одной линейки постройте образ этой точки при этой симметрии.

4. Дана точка А (2;3). Записать координаты точки, в которую переходит точка А при симметрии относительно:
1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) начала координат.
Разделить окружность на 6 равных частей. Построить фигуру, симметричную данной относительно:
А) оси, не проходящей через окружность; Б) точки, не лежащей в круге.
6. Выполнить поворот треугольника АВС вокруг вершины:
А) А на +45° Б) В на - 30°
7. Выполнить параллельный перенос квадрата АВСМ на вектор ВС8. На данных окружности и прямой найти такие пары точек, что одна точка является образом другой точки при повороте данной точки на 60°.

9. Фигура состоит из трех прямых, две из которых параллельны, а третья пересекает их. Имеет ли эта фигура центр симметрии?
Тема. Многогранники.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Выполнение сообщений по теме «Многогранники»
Изготовление разверток и моделей многогранников.
Выполнение теста по теме «Многогранники»
Рекомендуемые темы сообщений
Каскады из правильных многогранников.
Полуправильные многогранники.
Звездчатые многогранники.
Кристаллы – природные многогранники.
Леонард Эйлер.
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.
Тест по теме «Многогранники»
Вариант 1.
1. Сколько рёбер у шестиугольной призмы?   
а) 18; б) 6; в) 24; г) 12; д) 15.
2. Какое наименьшее число граней может иметь призма?
а) 3;б) 4;в) 5;г) 6;д) 9. 
3. Выберите верное утверждение:     
а) у n-угольной призмы 2n граней;     
б) призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники; 
в) у треугольной призмы нет диагоналей;      
г) высота призмы равна её боковому ребру;    
д) площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней.
4. Дан тетраэдр АВСD, у которого противоположными рёбрами являются:
а) АС и DС; б) АС и DВ; в) АВ и DА; г) АС и ВС; д) АС и DА.
5. Какое из следующих утверждений верно?
а) параллелепипед состоит из шести треугольников;
б) противоположные грани параллелепипеда имеют общую точку;
в) диагонали параллелепипеда пересекаются в отношении 2:1, начиная от вершины нижнего основания;
г) две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются смежными;
д) существуют тетраэдр и параллелепипед, у которых одинаковая площадь полной поверхности.
6. Дан куб АВСДА1В1С1Д. Каково расположение прямых В1Д1 и АС ?а) пересекаются ; б) параллельны; в) скрещиваются.
7.Три ребра параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите сумму длин всех эго рёбер.
а) 12 м; б) 18 м;в) 24 м; г) 48 м;д) 36 м.
8.Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Точки М, N, К, - середины соответственно рёбер АА₁, В₁С₁ и СD. Сечение куба плоскостью МNК представляет собой:
а) треугольник; б) четырёхугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник; д) семиугольник.
9. Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются:
а) длины трёх произвольно взятых диагоналей;
б) длины трёх равных рёбер параллелепипеда;
в) длины трёх рёбер, имеющих общую вершину;
г) длины диагоналей основания параллелепипеда;
д) длины смежных сторон и диагонали параллелепипеда.
10. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником?
а) правильный тетраэдр ; б) правильный гексаэдр; в) правильная призма;       
г) правильный додекаэдр;д) правильный октаэдр.
Тест по теме «Многогранники»
Вариант 2.
1. Сколько граней у шестиугольной призмы?
а) 6; б) 8; в) 10; г) 12;д) 16.
2. Какое наименьшее число рёбер может иметь призма?
а) 9;б) 8;в) 7;г) 6;д) 5. 
3. Выберите верное утверждение:
а) у n-угольной призмы 2n рёбер;  
б) площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней;
в) у треугольной призмы две диагоналей;
г) высота прямой призмы равна её боковому ребру; 
д) призма называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник.
4. Дан тетраэдр МNРК, у которого противоположными рёбрами не являются:
а) МN и РК; б) МР и NК; в) МК и РN; г) МN и NР; д) определить нельзя.
5.Какое из следующих утверждений верно?
а) Тетраэдр состоит из четырёх параллелограммов;
б) смежные грани параллелепипеда параллельны;
в) диагонали параллелепипеда скрещиваются;
г) отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется его диагональю;
д) параллелепипед имеет всего шесть рёбер.
6. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Точки К, L, М, -середины соответственно рёбер ВВ₁, А₁D₁ и СD. Сечение куба плоскостью КLМ представляет собой:
а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырёхугольник; г) треугольник; д) семиугольник.
7.Три ребра параллелепипеда равны 6 м, 8 м и 10 м.Найдите сумму длин всех его рёбер.
а) 72 м; б) 24 м; в) 48 м;г) 60 м; д) 96 м.
8.Сколько двугранных углов имеет прямой параллелепипед?
а) 6; б) 9; в) 12; г) 3; д) нет совсем
9. Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются:
а) высотами прямоугольного параллелепипеда;
б) высотами прямоугольного параллелепипеда;
в) измерениями прямоугольного параллелепипеда;
г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда;
д) смежными рёбрами прямоугольного параллелепипеда.
10. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником?
а) Правильный тетраэдр ; б) правильный додекаэдр; в) правильный гексаэдр;       
г) правильная пирамида; д) правильный октаэдр.
Тест по теме «Многогранники»
Вариант 3.
1. Сколько граней у шестиугольной пирамиды? 
а) 6; б) 7; в) 8; г) 10;д) 12.
2. Какое наименьшее число рёбер может иметь пирамида?
а) 6;б) 5;в) 4;г) 7;д) 8. 
3. Выберите верное утверждение: 
а) Высота пирамиды называется апофемой; 
б) боковые грани усечённой пирамиды - прямоугольники; 
в) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту;  
г) пирамида называется правильной , если её основание - правильный многоугольник;  
д) усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
4.Сколько двугранных углов имеет прямоугольный параллелепипед?
а) 4; б) 9; в) 12;г) 6;д) нет совсем.
5.Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда,если его измерения
равны 2 м, 3 м и 5 м.
а) 10 м; б) 38 м;в) м; г) м; д) 4 м.
6. Боковые рёбра треугольной пирамиды 3 см, 4 см, 7 см.Одно из них   
перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?  
а) 7 см. б) 5 см;в) 4 см; г) 3 см;д) нельзя определить.
7. Верно ли утверждение, что прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны называется кубом?
а)нет; б) да.
8.Какое из следующих утверждений неверно?
а) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники;
б) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-произвольные параллелограммы;
в) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые;
г) куб является прямоугольным параллелепипедом;
д) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
9. Выбрать правильные ответы.
а) боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей всех ее граней;
б) боковая поверхность равна Р ∙ Н;
в) основания усеченной пирамиды равны;
г) все грани параллелепипеда параллелограммы;
д) Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
10. Укажите многоугольник, который является диагональным сечением правильной пятиугольной призмы.
а) правильный пятиугольник;б) прямоугольник;в) параллелограмм.

Тест по теме «Многогранники» Вариант 4.
1. Сколько рёбер у шестиугольной пирамиды?   
а) 6; б) 12; в) 18; г) 24; д) 8.
2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?
а) 5;б) 12;в) 10;г) 6;д) 4.  
3. Выберите верное утверждение:     
а) многогранник, составленный из n-треугольников, называется пирамидой;  
б) все боковые рёбра усечённой пирамиды равны;     
в) пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник;  
г) высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой;
д) площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её граней.
4. Боковые рёбра треугольной пирамиды 7 см, 12 см, 5 см.Одно из них
перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?
а) нельзя определить; б) 12 см; в) 5 см; г) 7 см; д) 8 см.
5. Какое из следующих утверждений верно?
а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – произвольные параллелограммы;
б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – острые;
в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом;
г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трёх его измерений;
д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию.
6.Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3 см, 4 см и 5 см.
а) 5 см; б) 2 см;в) 50 см;г) 12 см; д) 4см.
7. Выберите верное утверждение. 
а) Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани - равные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер; 
б) не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники;
в) правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр - одно и то же; 
г) из всех правильных многогранников только правильный тетраэдр имеет центр симметрии; 
д) развёрткой боковой поверхности куба является правильный треугольник.  
8. Может ли в основании параллелепипеда быть ромб?
а) да; б) нет.
9. Укажите, что является сечением, которое параллельно плоскости основания правильной шестиугольной пирамиды.
а)шестиугольник ; б) правильный шестиугольник ; в) треугольник
10. Что можно сказать о боковых ребрах призмы?
а) они параллельны; б)они пересекаются.
Тема. Тела и поверхности вращения
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
Выполнение сообщений по теме «Великие математики»
Разбор и выполнение задач повышенной трудности (по выбору учащихся).
Рекомендуемые темы сообщений
Евклид и его «Начала».
Аполлоний Пергский.
Архимед.
Герон Александрийский.
Жозеф Луи Лагранж.
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей
Задачи.
Высота цилиндра равнее 12см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
Радиус основания конуса равен 20см; расстояние от центра основания до образующей равно12см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Радиус основания конуса 6см, а высота равна 12см. В конусе проведено сечение параллельно основанию. Радиус сечения равен 4см. В каком отношении сечение делит высоту конуса?
Ромб со стороной 8см и острым углом 60° вращается около стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Прямоугольная трапеция с основаниями 6см и 10см и высотой 3см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Прямоугольная трапеция с основаниями 12см и 20см и высотой 15см, в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй – около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения.
Равнобочная трапеция с основаниями 10см и 18см и высотой 3см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.
Равнобочная трапеция с основаниями 12см и 28см и высотой 6см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй раз – около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения.
В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Площадь боковой поверхности призмы равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В куб вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей куба и шара.
Тема. Объемы тел.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы.
Выполнение сообщений по темам «Мера Жордана и мера Лебега», «Кавальери Бонавентура».
Разбор и выполнение задач повышенной трудности (по выбору учащегося).
Как подготовить сообщение (доклад)
При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:
.Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.
Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).
Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.
Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.
Составьте план сообщения.
Напишите текст доклада.

Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.
Не делайте сообщение очень громоздким.
При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.
В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.
Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.
Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.
Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.
Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей
Задачи.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани - угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите его объем.
В основании прямой призмы лежит трапеция. Площади параллельных боковых граней призмы равны 8см² и 12см², а расстояние меду ними равно 5см. Найдите объем призмы.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3см, площадь боковой поверхности равна 80см². Найдите объем пирамиды.
Площадь боковой поверхности конуса равна 60πсм²; расстояние от центра основания до образующей равно 4,8см. Найдите объем конуса.
Квадрат со стороной 24см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй – правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм.
Прямоугольная трапеция с основаниями 10см и 15см и высотой 12см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй – около большего. Сравните объемы тел вращения.
Квадрат со стороной 8см вращается около прямой, проведенной через вершину параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
Сколько шариков диаметром 2см можно отлить из металлического шара диаметром 4см?
В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен V. Найдите объем призмы.
В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Объем конуса V. Найдите объем пирамиды.
Справочный материал.



Информационные ресурсы.
: Атанасян, Л.С.; Бутузов, В.Ф.; Кадомцев, С.Б. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2009.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
3. Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.П. Баханский. Задачи по геометрии для 7 – 11 классов. – М.: Просвещение, 2003.
4. А.П. Киселев. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.
5. С.Б. Кадомцев. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001.
6. И.Ф.Шарыгин Геометрия 10-11 классы. Учебник. –М.: Дрофа, 1999.
7. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов Многогранники. Элективный курс.10-11 классы, - М.: Мнемозина, 2007.
8. Интернет.

Приложенные файлы

  • docx Rabota
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 2