Частное профессиональное образовательное учреждение
«Новосибирский кооперативный техникум имени А.Н. Косыгина
Новосибирского облпотребсоюза»
(ЧПОУ «НКТ имени А.Н. Косыгина Новосибирского облпотребсоюза»)
Методическое обеспечение самостоятельной работы
(аудиторной и внеаудиторной)
Разработка конспекта лекций в разделе 3 «Интегральное исчисление»
(2 курс о/о, 3 курс з/о)
Урок 1. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование
Разработал преподаватель: Н.Ф.Морозова
Рассмотрено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных, социально – экономических и гуманитарных дисциплин
Протокол № __________________
_______________________ 2016 г
Председатель цикловой комиссии
_________________ Н.Н.Вензель
Новосибирск
2016-2017 учебный год
Урок 1 (12)
Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование
Вид занятия: комбинированный урок
Цели урока:
Повторить определение первообразной функции
Изучить определение неопределенного интеграла и его основные свойства
Повторить основные формулы интегрирования
Познакомиться с тремя методами нахождения неопределенного интеграла
Отработать три случая метода непосредственного интегрирования нахождения неопределенного интеграла
План урока:
Определение первообразной функции
Определение неопределенного интеграла
Основание свойства интеграла
Основание формулы интегрирования
Методы нахождения неопределенных интегралов
Непосредственное интегрирование (3 случая)
Нахождение неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования
Домашнее задание
Ход урока:
Определение первообразной функции
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если для любого x ϵ (a; b) выполняется равенство:
Fʹ(x) = f(x) (1)
Например, Fx=x2+x , является первообразной для функции f(x)=2x+12x на (0; +∞), т.к. x2+xʹ=2x+12x на (0; +∞)
Определение неопределенного интеграла
Множество первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается
fxdx=Fx+C (2)
Где:- знак интеграла;
f (x) – подынтегральная функция;
d – знак дифференциала;
x – переменная интегрирования и аргумент подынтегральной функции;
f (x) dx – подынтегральное выражение;
F (x) – простейшая первообразная для функции f(x);
C ϵ (-∞; +∞) – произвольная постоянная.
Основные свойства интеграла (неопределенного и определенного)
1º Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:
(f1x+f2(x)dx=f1xdx+f2(x)dxЗамечание: Свойство 1º справедливо для любого количества слагаемых алгебраической суммы функций.
2º Постоянный множитель подынтегрального выражения выносят за знак интеграла:
k fxdx=kfxdxГдеk = const
Основные формулы интегрирования
1º 0dx=C, C=const2º dx=x+C3º Степенная функция
xndx=xn+1n+1+C, где n≠-1
4º dxx=lnx+C5º Показательная функцияax dx= axlna+C6º Экспонента
exdx=ex+C
7º sinx dx=-cosx+C8º cosx dx=sinx+C9º dxcos2x=tg x+C10º dxsin2x=-ctg x+CМетоды нахождения неопределенного интеграла:
1º Непосредственное интегрирование
2º Метод замены переменной (подстановки)
3º Интегрирование по частям
Непосредственное интегрирование
Основано на прямом использовании таблицы интегралов
Возможны случаи:
1º Данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу
2º Данный интеграл после применения свойств 1 и 2 сводится к одному или нескольким табличным интегралам
3º Данный интеграл после тождественных преобразований подынтегральной функции, свойств 1 и 2 сводится к одному или несколькими табличным интегралам
Нахождение неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования:
1º 5 dx2º 6 x2 dx3º 4(x2-x+3) dx4º 2(3x-1)2dx5º x3+3x2+4xxdx6º (1+x )2dx7º 2+x4xdx8º 3x∙42xdx9º cos2x2dx10º* dx25+4x2
Решение упражнений
1º 5dx =св.2 5∙dx=ф.2 5x+c=5x+c2º 6x2dx=св.2 6∙x2dx=ф.36∙x3+c=2x3+c3º 4(x2-x+3)dx=св.24x2x+3dx=св.14∙(x2dx-x dx++3 dx)=св.2ф.3,24∙x33-x22+3∙x+c=4x33-2x2+12x+c4º 2(3x-1)2dx(a-b)2=a2-2ab+b2 - квадрат разности
2(3x-1)2dx=св.22∙9x2-6x+1dx=ф.2,3св.129∙x33-6∙x22+x+c =
= 2∙3x3-2x2+x+c=6x3-4x2+2x+c5º x3+3x2+4xxdx=x3x+3x2x+4xxdx=x2+3x+4dx= =ф.2,3св.1,2x33+3∙x22+4x+c=x33+3x22+4x+c6º (1+x)2dx(a+b)2=a2+2ab+b2 – квадрат суммы (1+x)2=1+2x+x(1+x)2dx=(1+2x+x)dx=ф.2,3св.1,2x+2∙x12+132+x22+c =
=x+2∙23∙x∙x+x22+c=x+43x∙x+x22+c
7º 2+x4xdx=2x+x4xdx=2x+x3dx=ф.3,4св.1,22∙lnx+x44+c8º 3x∙42xdx=3x∙(42)xdx=(3x∙16x)dx=(3∙16)xdx=48xdx==ф.548xln48+c
9º cos2x2dxcos2x2=1+cosx2 – косинус половинного аргумента
cos2x2dx=1+cosx2dx=св.212(1+cosx)dx=ф.2,8св.112∙(x+1sinx)+c
10º* dx25+4x2dxa2+x2=1aarctgxa+c, где a ≠ 0 - формула *
dx25+4x2=dx4∙254+x2=св.214dx52+x2=ф.*14∙152arctx52+c=14∙2ʹ5 arctg2x5+c=
= 0.1 arctg 0.4 x+c
8. Домашнее задание
Найдите неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования:
1º 4t3dt2º 3(2x2-1)2dx3º dtt24º 5xdx5º (cx+2x)dx6º (sinx-5)dx
Решение домашних упражнений
1º 4t3dt=ф.3св.24∙t44+c=t4+c2º 3(2x2-1)2dx=св.23∙(4x4-4x2+1)dx =
=ф.3,2св.1,23∙4∙x55-4∙x33+x+c=12x55-4x3+3x+c
3º dtt2=t-2dt=ф.3t-1-1+c=-1t+c4º 5xdx=ф.55xln5+c5º (ex+2x)dx=ф.6,3св.1,2ex+2∙x22+c=ex+x2+c6º (sinx-5)dx=ф.7,2св.1,2-cos-5∙x+c
Приложенные файлы
