Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Рязанский государственный радиотехнический университет
Станкостроительный колледж (РССК «РГРТУ»)
Справочное пособие по математике
для студентов 1 курса.
Автор Белоусова Ирина Михайловна
г. Рязань
2013
Рекомендовано к применению цикловой комиссией естественно-математических дисциплин
Протокол от « »_____201 г.
№____
Председатель цикловой
комиссии естественно-математических дисциплин _______ И.М. Белоусова
УТВЕРЖДАЮ
Зав. методическим кабинетом
________________Ю.В. Качковский
« »__________201 г.
Автор: Белоусова И.М., преподаватель РССК «РГРТУ»
Содержание
Пояснительная записка..4
Обозначения..5
Латинский алфавит...5
Греческий алфавит....6
Таблица квадратов натуральных чисел от 11 до 99.6
Действия с отрицательными и положительными числами...7
Дроби..8
Проценты..11
Таблица значений основных тригонометрических функций.13
Тригонометрические формулы..13
Таблица производных.16
Таблица интегралов.17
Планиметрия.18
Литература......24
Пояснительная записка
Справочное пособие по математике предназначено для студентов первого курса РССК «РГРТУ».
В данное пособие включены основные математические обозначения, латинский и греческий алфавиты, таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99, таблица значений основных тригонометрических функций. Пробелы школьных знаний студентов сделали необходимым рассмотрение основных аспектов тем и разделов: «Действия с отрицательными и положительными числами», «Дроби», «Проценты», «Планиметрия». Перечисленные выше знания используются при доказательствах, решениях заданий по темам, разбираемым по дисциплине «Математика» на первом курсе.
Также в пособие включены тригонометрические формулы, таблица производных и интегралов, которые изучаются по дисциплине «Математика» на первом курсе.
Студент может:
использовать пособие при повторении отдельных тем школьного курса,
использовать пособие при подготовке к ответу или к контрольной работе,
использовать пособие во время самостоятельной работы при решении задач по темам курса,
устроить зачёт себе или товарищу на знание формул.
Представленный в справочном пособии материал будет способствовать более глубокому и прочному усвоению знаний по математике.
Справочное пособие по математике может быть полезно учащимся среднего и старшего звена школ, абитуриентам, студентам старших курсов, преподавателям и родителям.
Обозначения
13 EMBED Equation.3 1415 – принадлежит
13 EMBED Equation.3 1415 – не принадлежит
= – равно
13 EMBED Equation.3 1415 – не равно
13 EMBED Equation.3 1415 – приближённо равно
> – больше
< – меньше
13 EMBED Equation.3 1415 – перпендикулярно
13 EMBED Equation.3 1415 – параллельно
13 EMBED Equation.3 1415 – больше или равно
13 EMBED Equation.3 1415 – меньше или равно
13 EMBED Equation.3 1415 – включено
13 EMBED Equation.3 1415 – содержит
13 EMBED Equation.3 1415 – объединение
13 EMBED Equation.3 1415 – пересечение
13 EMBED Equation.3 1415 – треугольник
13 EMBED Equation.3 1415 – угол
13 EMBED Equation.3 1415 – дуга
~ –13 EMBED Equation.3 1415подобно
13 EMBED Equation.3 1415 – периметр
13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечность
13 EMBED Equation.3 1415 – площадь
13 EMBED Equation.3 1415 – градус
13 EMBED Equation.3 1415 – объём
13 EMBED Equation.3 1415 – стремится13 EMBED Equation.3 1415
Латинский алфавит
A
a
а
N
n
эн
B
b
бе
O
o
о
C
c
це
P
p
пэ
D
d
де
Q
q
ку
E
e
е
R
r
эр
F
f
эф
S
s
эс
G
g
же
T
t
тэ
H
h
аш
U
u
у
I
i
и
V
v
вэ
J
j
жи
W
w
дубль-вэ
K
k
ка
X
x
икс
L
l
эль
Y
y
игрек
M
m
эм
Z
z
зет
Греческий алфавит
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
альфа
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ню
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
бета
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
кси
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
гамма
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
омикрон
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
дельта
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
пи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
эпсилон
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ро
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
дзета
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
сигма
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
эта
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
тау
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
тета
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ипсилон
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
йота
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
фи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
каппа
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
хи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
лямбда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
пси
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
мю
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
омега
Таблица квадратов натуральных чисел от 11 до 99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
961
1024
1089
1156
1225
1296
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Действия с отрицательными и положительными числами
Абсолютная величина (модуль). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.
Примеры: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
Сложение:
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются
их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
Примеры:
( + 6 ) + ( + 5 ) = 11;
( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11.
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные
величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной.
Примеры:
( – 6 ) + ( + 9 ) = 3;
( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3.
Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с противоположным знаком.
Примеры: ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;
( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;
( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;
( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13.
Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.
Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
Пример: ( – 12 ) · ( – 4 )= + 48.
При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + », если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – », если их число нечётно.
Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.
Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
Пример: ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 .
Дроби
Обыкновенные дроби
Выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 (где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - целые числа, 13 EMBED Equation.3 1415) называется дробью.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется числителем дроби.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется знаменателем дроби.
Если 13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 – правильная дробь.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 – неправильная дробь.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства дробей
Свойства:
Примеры:
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть и дробную часть.
13 EMBED Equation.3 1415,
где 2 – целая часть от деления числа 13 на 5, а 3 – остаток.
Две дроби 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются равными, если 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 – сокращение дроби.
Действия над дробями (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415)
Действия
Примеры
Сложение и вычитание
1) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 дроби нужно привести к общему знаменателю:
13 EMBED Equation.3 1415.
Общим знаменателем будет НОК13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415
При записи ответа выделим целую часть и дробную часть из неправильной дроби 13 EMBED Equation.3 1415 (т.к.7>6):
13 EMBED Equation.3 1415.
Умножение
1) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - целое число.
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Деление
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
Десятичные дроби
Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и т.д. называют десятичной дробью.
Примеры: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим десятичную дробь 6,125
где 6 – целая часть числа,
1 – десятые доли единицы,
2 – сотые доли единицы,
5 – тысячные доли единицы.
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Основные задачи на дроби
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 56.
Нахождение числа по его дроби
Чтобы найти число по данному значению дроби, надо это значение разделить на дробь.
Найти число, если 13 EMBED Equation.3 1415 этого числа равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 144.
Проценты
Процентом называется одна сотая часть данной величины: 13 EMBED Equation.3 1415.
2
%
4
%
5
%
8
%
10
%
15
%
20
%
25
%
40
%
50
%
60
%
75
%
80
%
100
%
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·BED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Основные задачи на проценты
Проценты от числа.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415 от числа 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Найти 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415.
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415 переводят в дробь
13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Число по данным его процентам.
Найти число, если 13 EMBED Equation.3 1415 равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Найти число, если 13 EMBED Equation.3 1415 равно 13 EMBED Equation.3 1415.
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415 переводят в дробь
13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Процентное отношение
Найти, сколько % число 13 EMBED Equation.3 1415 составляет от числа 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Сколько % составляет 15 от 60?
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 и перевести в %
Решение:
15:60=0,25=25%
Ответ: 25%.
·
Таблица значений основных тригонометрических функций
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
не сущ.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
не сущ.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
не сущ.
Тригонометрические формулы
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – острый угол, 13 EMBED Equation.3 1415 – катеты, 13 EMBED Equation.3 1415 - гипотенуза.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Гипотенуза прямоугольного треугольника это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет а, лежащий напротив угла
·, называется противолежащим (по отношению к углу
·). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла
·, называется прилежащим.
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
Тригонометрические тождества
13 EMBED Equation.3 1415
(1)
13 EMBED Equation.3 1415
(2)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.1)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
Синус, косинус, тангенс и котангенс углов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Формулы сложения
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Формулы кратных углов
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Формулы половинного аргумента
13 EMBED Equation.3 1415 (1) 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3) 13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Формулы преобразования сумм и разностей в произведения
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Формулы преобразования произведений
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Таблица производных
1) 13 EMBED Equation.3 14150, если 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
15) 13 EMBED Equation.3 1415
16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) 13 EMBED Equation.3 1415
Правила дифференцирования:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Следствия:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Таблица интегралов
В следующих формулах 13 EMBED Equation.3 1415– произвольные постоянные.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
Планиметрия
Треугольник.
В данном разделе буквами 13 EMBED Equation.3 1415 обозначаются углы при вершинах А, В, С треугольника, буквами а, Ь, с стороны треугольника, лежащие против этих вершин, г, R радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, S площадь треугольника. Для любого треугольника имеют место следующие формулы и факты.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр вписанной окружности треугольника является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
Пусть сторона а делится биссектрисой угла А на отрезки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
прилежащие к сторонам b, с соответственно. Справедливо следующее соотношение: 13 EMBED Equation.3 1415.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.1
Теорема синусов: 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема косинусов: 13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь треугольника может быть вычислена по любой из следующих формул:
a) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– высота к стороне a;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– полупериметр 13 EMBED Equation.3 1415.
Прямоугольный треугольник.
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – острый угол, 13 EMBED Equation.3 1415 – катеты, 13 EMBED Equation.3 1415 - гипотенуза.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Гипотенуза прямоугольного треугольника это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет а, лежащий напротив угла
·, называется противолежащим (по отношению к углу
·). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла
·, называется прилежащим.
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
В данном разделе буквами а, b обозначены катеты прямоугольного треугольника, с гипотенуза, h высота к гипотенузе. Для любого прямоугольного треугольника имеют место следующие формулы и факты.
1) Теорема Пифагора: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 (следует из равенств 13 EMBED Equation.3 1415).
3) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы, 13 EMBED Equation.3 1415 радиус описанной окружности.
4) 13 EMBED Equation.3 1415 – радиус вписанной окружности.
5) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – отрезки, на которые гипотенуза делится основанием высоты. Имеют место следующие соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.2
Правильный треугольник.
Пусть a сторона правильного треугольника. Отметим следующие легко вычисляемые соотношения, которые полезно помнить наизусть, чтобы не проводить эти вычисления каждый раз:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Четырёхугольники.
1) Площадь любого выпуклого четырёхугольника может быть вычислена по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – диагонали четырёхугольника, 13 EMBED Equation.3 1415 – угол между ними.
Площадь трапеции с основаниями а, b и высотой h вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь параллелограмма может быть вычислена по одной из следующих формул:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – сторона параллелограмма, 13 EMBED Equation.3 1415– высота к стороне 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – стороны параллелограмма, 13 EMBED Equation.3 1415 – угол между этими сторонами.
4) Если в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны:
13 EMBED Equation.3 1415.
5) Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°:
13 EMBED Equation.3 1415.
Окружность.
Длина окружности радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415, площадь круга радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Вписанный и центральный углы.
По определению, центральным углом АОВ, соответствующим дуге ALB, называется угол между лучами ОА и ОВ, содержащий точку L.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.3
Обратим внимание на тот факт, что этот угол может быть больше 180°, как, например, центральный угол АОВ на рисунке 3, соответствующий дуге ANВ.
Градусная мера дуги и соответствующего ей центрального угла по определению равны друг другу.
Если точки A, B, C, L принадлежат окружности, причём точка L расположена внутри угла АСВ (см. рис. 4а), то угол АСВ называется вписанным углом, опирающимся на дугу ALB.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.4
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если центральный угол АОВ соответствует дуге ALB, а вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу, то 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 4b).
Примечание. Обычно эту теорму формулируют иначе: градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры той дуги, на которую он опирается. Но на практике, при решении задач, эта теорема обычно используется в первой из приведённых нами формулировок.
Касательная к окружности.
Относительно касания прямой и окружности для решения задач необходимо знать следующие факты:
радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной (см. рис. 5а);
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
отрезки касательных AL и AM, проведённых к окружности, равны: AL=AM (см. рис.5b).
Рис.5
Подобие.
Приведём следующее «интуитивное» определение подобия фигур.
Определение. Фигура F2 называется подобной фигуре F1, если она может быть получена «растяжением или сжатием» в несколько раз фигуры F1. При этом число к, показывающее, во сколько раз нужно растянуть (если к > 1) или сжать (если к < 1) фигуру F1,чтобы получить фигуру F2, называется коэффициентом подобия.
Остановимся подробнее на подобии треугольников. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Для подобия двух треугольников необходимо и достаточно выполнение любого из условий:
два угла одного треугольника равны двум углам другого;
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы треугольников, заключённые между этими сторонами, равны;
все три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.
Примечание. Фраза «необходимо и достаточно выполнение любого из условий» в формулировке теоремы означает, что любое из трёх условий, перечисленных в теореме, может быть принято за признак, по которому мы делаем вывод о подобии треугольников. При этом другие два условия можно использовать как следствие этого подобия.
Литература
1. Алгебра в таблицах. 7 – 11 кл.: справочное пособие / авт.-сост.
Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. – М.: Дрофа, 2009.
2. Евдокимова Н. Н. Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах. – СПб.: Издательский Дом «Литера», 2004.
3. Евдокимова Н. Н. Геометрия в таблицах и схемах. – СПб.: Издательский Дом «Литера», 2004.
4. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ: Учебно-методическое пособие/ Под ред. А.Г. Клово, Д.А. Мальцева.– М.: НИИ школьных технологий, 2008.
5. Математика. Справочник необходимых знаний./ Автор-составитель Г.Н. Васюрина. – М.: Издательство «Мартин», 2006.
13PAGE 15
13PAGE 142115
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Рязанский государственный радиотехнический университет
Станкостроительный колледж (РССК «РГРТУ»)
Справочное пособие по математике
для студентов 1 курса.
Автор Белоусова Ирина Михайловна
г. Рязань
2013
Рекомендовано к применению цикловой комиссией естественно-математических дисциплин
Протокол от « »_____201 г.
№____
Председатель цикловой
комиссии естественно-математических дисциплин _______ И.М. Белоусова
УТВЕРЖДАЮ
Зав. методическим кабинетом
________________Ю.В. Качковский
« »__________201 г.
Автор: Белоусова И.М., преподаватель РССК «РГРТУ»
Содержание
Пояснительная записка..4
Обозначения..5
Латинский алфавит...5
Греческий алфавит....6
Таблица квадратов натуральных чисел от 11 до 99.6
Действия с отрицательными и положительными числами...7
Дроби..8
Проценты..11
Таблица значений основных тригонометрических функций.13
Тригонометрические формулы..13
Таблица производных.16
Таблица интегралов.17
Планиметрия.18
Литература......24
Пояснительная записка
Справочное пособие по математике предназначено для студентов первого курса РССК «РГРТУ».
В данное пособие включены основные математические обозначения, латинский и греческий алфавиты, таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99, таблица значений основных тригонометрических функций. Пробелы школьных знаний студентов сделали необходимым рассмотрение основных аспектов тем и разделов: «Действия с отрицательными и положительными числами», «Дроби», «Проценты», «Планиметрия». Перечисленные выше знания используются при доказательствах, решениях заданий по темам, разбираемым по дисциплине «Математика» на первом курсе.
Также в пособие включены тригонометрические формулы, таблица производных и интегралов, которые изучаются по дисциплине «Математика» на первом курсе.
Студент может:
использовать пособие при повторении отдельных тем школьного курса,
использовать пособие при подготовке к ответу или к контрольной работе,
использовать пособие во время самостоятельной работы при решении задач по темам курса,
устроить зачёт себе или товарищу на знание формул.
Представленный в справочном пособии материал будет способствовать более глубокому и прочному усвоению знаний по математике.
Справочное пособие по математике может быть полезно учащимся среднего и старшего звена школ, абитуриентам, студентам старших курсов, преподавателям и родителям.
Обозначения
13 EMBED Equation.3 1415 – принадлежит
13 EMBED Equation.3 1415 – не принадлежит
= – равно
13 EMBED Equation.3 1415 – не равно
13 EMBED Equation.3 1415 – приближённо равно
> – больше
< – меньше
13 EMBED Equation.3 1415 – перпендикулярно
13 EMBED Equation.3 1415 – параллельно
13 EMBED Equation.3 1415 – больше или равно
13 EMBED Equation.3 1415 – меньше или равно
13 EMBED Equation.3 1415 – включено
13 EMBED Equation.3 1415 – содержит
13 EMBED Equation.3 1415 – объединение
13 EMBED Equation.3 1415 – пересечение
13 EMBED Equation.3 1415 – треугольник
13 EMBED Equation.3 1415 – угол
13 EMBED Equation.3 1415 – дуга
~ –13 EMBED Equation.3 1415подобно
13 EMBED Equation.3 1415 – периметр
13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечность
13 EMBED Equation.3 1415 – площадь
13 EMBED Equation.3 1415 – градус
13 EMBED Equation.3 1415 – объём
13 EMBED Equation.3 1415 – стремится13 EMBED Equation.3 1415
Латинский алфавит
A
a
а
N
n
эн
B
b
бе
O
o
о
C
c
це
P
p
пэ
D
d
де
Q
q
ку
E
e
е
R
r
эр
F
f
эф
S
s
эс
G
g
же
T
t
тэ
H
h
аш
U
u
у
I
i
и
V
v
вэ
J
j
жи
W
w
дубль-вэ
K
k
ка
X
x
икс
L
l
эль
Y
y
игрек
M
m
эм
Z
z
зет
Греческий алфавит
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
альфа
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ню
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
бета
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
кси
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
гамма
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
омикрон
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
дельта
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
пи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
эпсилон
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ро
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
дзета
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
сигма
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
эта
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
тау
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
тета
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ипсилон
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
йота
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
фи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
каппа
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
хи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
лямбда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
пси
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
мю
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
омега
Таблица квадратов натуральных чисел от 11 до 99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
961
1024
1089
1156
1225
1296
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Действия с отрицательными и положительными числами
Абсолютная величина (модуль). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.
Примеры: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
Сложение:
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются
их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
Примеры:
( + 6 ) + ( + 5 ) = 11;
( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11.
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные
величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной.
Примеры:
( – 6 ) + ( + 9 ) = 3;
( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3.
Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с противоположным знаком.
Примеры: ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;
( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;
( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;
( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13.
Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.
Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
Пример: ( – 12 ) · ( – 4 )= + 48.
При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + », если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – », если их число нечётно.
Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.
Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
Пример: ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 .
Дроби
Обыкновенные дроби
Выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 (где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - целые числа, 13 EMBED Equation.3 1415) называется дробью.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется числителем дроби.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется знаменателем дроби.
Если 13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 – правильная дробь.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 – неправильная дробь.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства дробей
Свойства:
Примеры:
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть и дробную часть.
13 EMBED Equation.3 1415,
где 2 – целая часть от деления числа 13 на 5, а 3 – остаток.
Две дроби 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются равными, если 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 – сокращение дроби.
Действия над дробями (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415)
Действия
Примеры
Сложение и вычитание
1) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 дроби нужно привести к общему знаменателю:
13 EMBED Equation.3 1415.
Общим знаменателем будет НОК13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415
При записи ответа выделим целую часть и дробную часть из неправильной дроби 13 EMBED Equation.3 1415 (т.к.7>6):
13 EMBED Equation.3 1415.
Умножение
1) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - целое число.
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Деление
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
Десятичные дроби
Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и т.д. называют десятичной дробью.
Примеры: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим десятичную дробь 6,125
где 6 – целая часть числа,
1 – десятые доли единицы,
2 – сотые доли единицы,
5 – тысячные доли единицы.
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Основные задачи на дроби
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 56.
Нахождение числа по его дроби
Чтобы найти число по данному значению дроби, надо это значение разделить на дробь.
Найти число, если 13 EMBED Equation.3 1415 этого числа равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 144.
Проценты
Процентом называется одна сотая часть данной величины: 13 EMBED Equation.3 1415.
2
%
4
%
5
%
8
%
10
%
15
%
20
%
25
%
40
%
50
%
60
%
75
%
80
%
100
%
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·BED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Основные задачи на проценты
Проценты от числа.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415 от числа 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Найти 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415.
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415 переводят в дробь
13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Число по данным его процентам.
Найти число, если 13 EMBED Equation.3 1415 равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Найти число, если 13 EMBED Equation.3 1415 равно 13 EMBED Equation.3 1415.
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
I способ 13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415 переводят в дробь
13 EMBED Equation.3 1415
II способ 13 EMBED Equation.3 1415
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
III способ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Процентное отношение
Найти, сколько % число 13 EMBED Equation.3 1415 составляет от числа 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Сколько % составляет 15 от 60?
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 и перевести в %
Решение:
15:60=0,25=25%
Ответ: 25%.
·
Таблица значений основных тригонометрических функций
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
не сущ.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
не сущ.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
не сущ.
Тригонометрические формулы
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – острый угол, 13 EMBED Equation.3 1415 – катеты, 13 EMBED Equation.3 1415 - гипотенуза.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Гипотенуза прямоугольного треугольника это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет а, лежащий напротив угла
·, называется противолежащим (по отношению к углу
·). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла
·, называется прилежащим.
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
Тригонометрические тождества
13 EMBED Equation.3 1415
(1)
13 EMBED Equation.3 1415
(2)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.1)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
Синус, косинус, тангенс и котангенс углов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Формулы сложения
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Формулы кратных углов
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Формулы половинного аргумента
13 EMBED Equation.3 1415 (1) 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3) 13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Формулы преобразования сумм и разностей в произведения
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Формулы преобразования произведений
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Таблица производных
1) 13 EMBED Equation.3 14150, если 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
15) 13 EMBED Equation.3 1415
16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) 13 EMBED Equation.3 1415
Правила дифференцирования:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Следствия:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Таблица интегралов
В следующих формулах 13 EMBED Equation.3 1415– произвольные постоянные.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
Планиметрия
Треугольник.
В данном разделе буквами 13 EMBED Equation.3 1415 обозначаются углы при вершинах А, В, С треугольника, буквами а, Ь, с стороны треугольника, лежащие против этих вершин, г, R радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, S площадь треугольника. Для любого треугольника имеют место следующие формулы и факты.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр вписанной окружности треугольника является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
Пусть сторона а делится биссектрисой угла А на отрезки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
прилежащие к сторонам b, с соответственно. Справедливо следующее соотношение: 13 EMBED Equation.3 1415.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.1
Теорема синусов: 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема косинусов: 13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь треугольника может быть вычислена по любой из следующих формул:
a) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– высота к стороне a;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– полупериметр 13 EMBED Equation.3 1415.
Прямоугольный треугольник.
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – острый угол, 13 EMBED Equation.3 1415 – катеты, 13 EMBED Equation.3 1415 - гипотенуза.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Гипотенуза прямоугольного треугольника это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет а, лежащий напротив угла
·, называется противолежащим (по отношению к углу
·). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла
·, называется прилежащим.
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
В данном разделе буквами а, b обозначены катеты прямоугольного треугольника, с гипотенуза, h высота к гипотенузе. Для любого прямоугольного треугольника имеют место следующие формулы и факты.
1) Теорема Пифагора: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 (следует из равенств 13 EMBED Equation.3 1415).
3) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы, 13 EMBED Equation.3 1415 радиус описанной окружности.
4) 13 EMBED Equation.3 1415 – радиус вписанной окружности.
5) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – отрезки, на которые гипотенуза делится основанием высоты. Имеют место следующие соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.2
Правильный треугольник.
Пусть a сторона правильного треугольника. Отметим следующие легко вычисляемые соотношения, которые полезно помнить наизусть, чтобы не проводить эти вычисления каждый раз:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Четырёхугольники.
1) Площадь любого выпуклого четырёхугольника может быть вычислена по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – диагонали четырёхугольника, 13 EMBED Equation.3 1415 – угол между ними.
Площадь трапеции с основаниями а, b и высотой h вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь параллелограмма может быть вычислена по одной из следующих формул:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – сторона параллелограмма, 13 EMBED Equation.3 1415– высота к стороне 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – стороны параллелограмма, 13 EMBED Equation.3 1415 – угол между этими сторонами.
4) Если в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны:
13 EMBED Equation.3 1415.
5) Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°:
13 EMBED Equation.3 1415.
Окружность.
Длина окружности радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415, площадь круга радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Вписанный и центральный углы.
По определению, центральным углом АОВ, соответствующим дуге ALB, называется угол между лучами ОА и ОВ, содержащий точку L.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.3
Обратим внимание на тот факт, что этот угол может быть больше 180°, как, например, центральный угол АОВ на рисунке 3, соответствующий дуге ANВ.
Градусная мера дуги и соответствующего ей центрального угла по определению равны друг другу.
Если точки A, B, C, L принадлежат окружности, причём точка L расположена внутри угла АСВ (см. рис. 4а), то угол АСВ называется вписанным углом, опирающимся на дугу ALB.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис.4
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если центральный угол АОВ соответствует дуге ALB, а вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу, то 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 4b).
Примечание. Обычно эту теорму формулируют иначе: градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры той дуги, на которую он опирается. Но на практике, при решении задач, эта теорема обычно используется в первой из приведённых нами формулировок.
Касательная к окружности.
Относительно касания прямой и окружности для решения задач необходимо знать следующие факты:
радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной (см. рис. 5а);
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
отрезки касательных AL и AM, проведённых к окружности, равны: AL=AM (см. рис.5b).
Рис.5
Подобие.
Приведём следующее «интуитивное» определение подобия фигур.
Определение. Фигура F2 называется подобной фигуре F1, если она может быть получена «растяжением или сжатием» в несколько раз фигуры F1. При этом число к, показывающее, во сколько раз нужно растянуть (если к > 1) или сжать (если к < 1) фигуру F1,чтобы получить фигуру F2, называется коэффициентом подобия.
Остановимся подробнее на подобии треугольников. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Для подобия двух треугольников необходимо и достаточно выполнение любого из условий:
два угла одного треугольника равны двум углам другого;
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы треугольников, заключённые между этими сторонами, равны;
все три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.
Примечание. Фраза «необходимо и достаточно выполнение любого из условий» в формулировке теоремы означает, что любое из трёх условий, перечисленных в теореме, может быть принято за признак, по которому мы делаем вывод о подобии треугольников. При этом другие два условия можно использовать как следствие этого подобия.
Литература
1. Алгебра в таблицах. 7 – 11 кл.: справочное пособие / авт.-сост.
Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. – М.: Дрофа, 2009.
2. Евдокимова Н. Н. Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах. – СПб.: Издательский Дом «Литера», 2004.
3. Евдокимова Н. Н. Геометрия в таблицах и схемах. – СПб.: Издательский Дом «Литера», 2004.
4. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ: Учебно-методическое пособие/ Под ред. А.Г. Клово, Д.А. Мальцева.– М.: НИИ школьных технологий, 2008.
5. Математика. Справочник необходимых знаний./ Автор-составитель Г.Н. Васюрина. – М.: Издательство «Мартин», 2006.
13PAGE 15
13PAGE 142115
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Приложенные файлы
