Различные способы решения задач на смеси

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №4 г.Пыть-ЯхХанты-Мансийский автономный округ – Югра
Межпредметный практикоориентированный проект
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА СМЕСИ
Авторы проекта:
Ингилист Даниил, ученик 9 а класса
Левченкова Анита, ученица 9 а класса
МБОУ СОШ №4 г. Пыть-Ях
ХМАО – Югры
Руководители:
Сагирова Гамиля Шайхразыевна,
учитель математики
Аболмасова Наталья Викторовна,
учитель химии МБОУ СОШ №4
г.Пыть – Ях ХМАО – Югры
Пыть – Ях2017
Содержание
Введение…………………………………...………………………………2
Глава 1. Теоретические обоснование основных положений …………..2
Глава 2. Способы и методы рационального решения задач на смеси ...4
Глава 3. Анкетирование учащихся……………………………………….9
Выводы……………………………………………………………...……..10
Список источников информации…………………………..…………….10

Введение
Задачи с использованием таких понятий как концентрация, массовая доля, процентное содержание вещества в смеси включены в экзаменационные варианты ЕГЭ (Задание 11) и ГИА (Задание 22) по математике и химии (Задание 27 ЕГЭ 2017). Такие задачи являются хорошим средством развития логического мышления и углубления своих знаний. Кроме того, задачи на смеси имеют практическую направленность: человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Поэтому на сегодняшний день умение решать такие задачи является актуальным.
Освоение одного из возможных путей подготовки к государственной итоговой аттестации через изучение разных методов (способов) решения задач на смеси стало проблемой нашего проекта. В нашей ситуации будет полезным не только самим научиться решать задачи такого типа, но и научить одноклассников.
Цель: исследовать разные способы решения задач на смеси.
Задачи:
Научиться решать задачи на смеси разными способами.
Провести анкетирование на параллелях 9, 11 классов по знанию способов и методов решения задач на смеси.
Познакомить учеников 9, 11 классов, сдающими в этом году ГИА по математике и химии, с разными способами решения задач.
Объект исследования: задачи на смеси.
Предмет исследования: способы и методы решения задач.
Методы исследования: изучение информации о способах решения задач на смеси, систематизация способов решения, сравнение, анализ, анкетирование учащихся, обработка данных.
Гипотеза – все задачи на смеси можно решить разными способами.
Предполагаемые результаты: подготовка к удачной сдаче экзаменов по математике и химии.
Глава 1. Теоретические обоснование основных положений
Перед тем как приступить к объяснению различных способов решения задач, примем некоторые основные допущения:
Термин «смесь» будем употреблять независимо от ее вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная).
Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что берется за основное вещество, в каждой задаче определяется отдельно.
Масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов, что отражает закон сохранения массы:
m = m1 + m2
Процентным содержанием (концентрацией, массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси:
ω=m(вещества)m (раствора) ; ω%=m(вещества)m (раствора)· 100%
Сумма массовых долей всех компонентов, составляющих смесь, очевидно, равна единице (или 100%).
Типы задач на смеси можно разделить на следующие группы:
Существуют следующие способы и методы решения задач:
с помощью расчетной формулы;
с помощью таблицы;
метод чаш;
правило креста или конверт Пирсона;
«метод рыбки»;
метод площадей равновеликих прямоугольников и подобия прямоугольных треугольников
Необходимо иметь в виду, что в задачах такого рода, предлагаемых на ГИА и ЕГЭ по математике и химии, никаких химических процессов и взаимодействий, влияющие на количественные соотношения задачи, не происходит.
Глава 2. Способы и методы решения задач на смеси
2.1. Решение задач с помощью расчетной формулы.
При решении задач на смеси можно использовать химические формулы.
Массовая доля растворенного вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора.
ω=m(вещества)m (раствора) ; ω%=m(вещества)m (раствора)· 100%
где ω - массовая доля растворенного вещества в растворе;
m(вещества) - масса растворенного вещества в растворе
Масса полученного при смешивании раствора равна:
m(раствора) = m1(раствора) + m2(раствора).
Массы растворенных веществ в первом и втором растворах:
m1(вещества) = ω1•m1(раствора),
m2(вещества) =   ω2•m2(раствора).
Задача 1.Сколько граммов воды нужно добавить к 200 г 96% раствора уксусной кислоты, чтобы получить 12% раствор уксусной кислоты?
Решение: ω=m(вещества)m (раствора) m(вещества) = ω•m(раствора)
m(СН3СООН) = 200 г • 0,96 = 192г
m(раствора) = m (вещества) : ω;
m(раствора) = 192г : 0,12 = 1600г
Ответ: m(раствора) = 1600г
2.2. Табличный способ решения задач
При решении задач на смеси удобно использовать таблицу, так как зрительное восприятие определённого расположения величин в таблице даёт дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.
Таблица для решения задач имеет вид
Наименование смесей % содержание вещества (доля содержания вещества) Масса смеси Масса вещества
Задача 2. Имеется два сплава золота с медью. Содержание золота в первом сплаве 37,5%, а во втором 75%. В каком отношении необходимо взять эти сплавы, чтобы содержание золота в новом сплаве было равно 50%?
Решение при помощи таблицы:
Масса сплава % содержание золота в сплаве Масса золота
I сплав x г 37,5% = 0,375 0,375x г
II сплав y г 75% = 0,75 0,75y г
Новый сплав x + y г 50% = 0,5 0,5(x + y) г
0,375x + 0,75y = 0,5 (x + y )0,375x + 0,75y = 0,5x + 0,5y
0,75y – 0,5y = 0,5x – 0,375x
0,25y = 0,125x
2y = x
.
Ответ: .
2.3. Решение задач «Методом чаш»
Метод состоит в следующем: необходимо изобразить каждую смесь в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты. После заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1) Над каждым «маленьким» прямоугольником указываем соответствующие компоненты смеси.
2) Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание соответствующего компонента. Если смесь состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
3) Под прямоугольником записываем массу соответствующей смеси (или компонента). И учитывая, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов, составляем уравнение.
Задача 3. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Решение:
Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (200-х) г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
5791208255свинец
свинец
свинец
медь
медь
медь
15%
65%
30%
х г
(200-х) г
200 г+
=
00свинец
свинец
свинец
медь
медь
медь
15%
65%
30%
х г
(200-х) г
200 г+
=


Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
0,15х + 0,65·(200-х) = 0,3·200
х=140
Если х=140, то 200-х=60.
Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго – 60 г.
Ответ:140г, 60г.
Такая форма записи условия очень удобна для решения задач. По ней достаточно просто составить алгебраическую модель.
2.4. «Правило креста» или «Конверт Пирсона»
«Конверт Пирсона» - это удобный и рациональный способ решения задач. Данный способ предложил английский математик, статистик, биолог и философ Карл Пирсон. Метод состоит в следующем: при расчетах записываем одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитаем по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
  Как и все методы решений, метод Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения.
  Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть, если нужно смешать три или более веществ, метод Пирсона не поможет.
Схема

Слева, на концах отрезков, записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху - большая). На пересечении отрезков - заданная, а справа, на их концах, записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.
Задача 4. Смешали 10% и 25% растворы соли и получили 3 кг 20% раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
Решение. Составим диагональную схему

Ответ: 1кг, 2кг.
Метод Пирсона не известен почти в школе на уроках математики, в учебниках по математике его нет. Но его можно считать одним из самых простых и запоминающихся при решении задач на смеси, так как он очень прост в применении.
2.5. Решение задач «Методом рыбки»
Впервые в России такой способ решения задач был описан в арифметике 18 века, автором которой был замечательный русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий. При решении задач этим способом строится схема, похожая на рыбку, вот поэтому он так и называется. Метод состоит в следующем: друг под другом записываем содержания веществ имеющихся смесей, слева от них и примерно посередине - содержание вещества в смеси, который должен получиться после смешивания. Соединяем написанные числа прямыми. В каждой паре из большего числа вычитаем меньшее, и результат записываем в конце соответствующей прямой. Получаемые массовые доли показывают, в каком отношении надо взять исходные смеси. Записываем пропорцию и решаем её.
Задача 5. Для приготовления торта «Воздушный» маме требуется 10 г 40% раствора лимонной кислоты. Какова масса 20% и 70% растворов лимонной кислоты, которые она смешала, чтобы получить раствор нужной концентрации?

Решение: составляем пропорцию и решаем её

2х = 30-3х;
5х = 30;
х = 6(г) - масса 20% раствора;
10 – 6 = 4(г) - масса 70% раствора.
Ответ: 6 грамм 20% раствора и 4 грамма 70% раствора.
2.6. Решение задач методом площадей равновеликих прямоугольников и подобия прямоугольных треугольников
В тех задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, целесообразно для наглядности представлять такое произведение в виде площади прямоугольника. Для решения задач необходимо построить диаграмму по заданному условию. В горизонтальном направлении откладываем массу смеси, а в вертикальном — концентрацию смеси или число долей вещества в смеси. Получаем равновеликие прямоугольники, составляем уравнение, приравняв их площади.
Задача 6. Какую массу молока 5% жирности и пломбира 30% жирности необходимо взять для приготовления 100г 20% праздничного коктейля?
Решение с использованием площадей равновеликих прямоугольников:
Обозначим x г массу первого раствора, тогда масса второго (100 - x) г. Составим уравнение:
10x = 15·(100 - x)
10x = 1500 - 15x
25x =1500
x = 60

Ответ: 60 г молока и 40 г пломбира.
Задача 7. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Решение методом подобия прямоугольных треугольников:

Прямоугольные треугольники подобны. Запишем равенство отношений соответствующих сторон, подставив значения:

50 кг масса первого раствора,
200 – x = 200 – 50 = 150 (кг) масса второго раствора.
150 – 50 = 100 (кг). На 100 кг масса первого раствора меньше массы второго.
Ответ: 100 кг.
Глава 3. Анкетирование учащихся
Среди учащихся 9-11 классов нашей школы мы провели анкетирование по трём вопросам:
Возникают ли у вас затруднения при решении задач на смеси?
На каких уроках вы чаще решаете задачи на смеси – математике или химии?
Какие способы решения задач по данной теме вы знаете?
В данном опросе приняли участие 45 человек. Результаты опроса отражены в Таблице 1.
Вопросы 9 класс 11 класс
Возникают ли у вас затруднения при решении задач на смеси?
Да 100% 47%
Нет 0% 53%
На каких уроках вы чаще решаете задачи на смеси?
Математика 7% 10%
Химия 93% 90%
Какие способы решения задач по данной теме вы знаете?
Арифметический 38% 59%
Алгебраический 46% 55%
Метод пропорции 78% 47%
Табличный способ 21% 69%
Метод Пирсона 0% 4%
Метод чаш 0% 0%
Метод площадей равновеликих прямоугольников 0% 0%
Метод рыбки 0% 0%
Из таблицы видно, что задачи по данной теме ученики 9 классов решают чаще на уроках химии, а ученики 11 класса – на уроках химии и математики, т.к. готовятся к сдаче ЕГЭ по этим предметам. Большая часть учащихся 9, 11 классов испытывает затруднения при решении задач на смеси. Мало кто знает рациональные и нестандартные способы решения подобных задач и поэтому при решении на ЕГЭ и ГИА выпускники могут потерять «драгоценное» для себя время и баллы.
Выводы
1. Мы рассмотрели разные способы решения задач на смеси, научились решать задачи разными способами.
2. В процессе решения задач выяснили, что таблицы, рисунки позволяют точнее, быстрее и проще составлять уравнения и системы уравнений к задачам, и при этом упростить вычислительный процесс.
3. Работа имеет практическое значение, так как может быть использована при подготовке к итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов.
Список источников информации:
Мальцев, Д.А., Мальцев, А.А., Мальцева, Л.И., Каибханова, С.З. и др. Ма-тематика 9 класс. Итоговая аттестация 2012. Предпрофильная подготовка: учебно-методическое пособие / под ред. Д.А. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: НИИ школьных технологий, 2012.
Образовательный портал для подготовки к экзаменам.- http://reshuege.ruСеменов, А.В. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие / А.В.Семенов, А.С. Трепа-лин, И.В. Ященко, П.И. Захаров; под. ред. И.В. Ященко; Московский центр не-прерывного математического образования. – 2-е изд., доп. – М.: Интеллект-Центр, 2012.
Учимся решать задачи по химии. 8 – 11 классы / авт.-сост. Р.А. Бочарникова. – Волгоград: Учитель, 2008.
Н.М. Чичерова. Метод Пирсона http://easyen.ru/load/math/ege/metod_pirsona_v_reshenii_zadach_na_smesi_i_splavy/43-1-0-12300Шевкин, А.В. Текстовые задачи. Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1997.