Задачи с практическим содержанием для уроков математики.


00Задачи с практическим содержанием для уроков математики.
Задачи с практическим содержанием для уроков математики.

Рекомендуется использование сборника на уроках объяснения нового материала, закрепления и повторения  в 10-11 классах
Оглавление
Введение3
Процент8
Сложный процент11
Прогрессии14
Функции15
Работа с графиками19
Квадратные корни и квадратные уравнения28
Логарифмическая и показательная функции31
Применение производной в задачах:
А) физического содержания36
Б) на нахождение наиб./наим. значения 41
Применение интеграла44
Цилиндр, конус, шар49
Векторы51
Задачи, решаемые людьми различных
специальностей 54
Практические задачи творческого характера59
Литература 61
 
Введение.
Математике должны учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни.
Н.И. Лобачевский
Прикладная направленность обучения математике предполагает ориентацию его содержания и методов на тесную связь с жизнью, основами других наук, на подготовку школьников к использованию математических знаний в предстоящей профессиональной деятельности. Одним из основных средств, применение которого создает хорошие условия для достижения прикладной и практической направленности обучения математике, являются задачи с практическим содержанием (задачи прикладного характера).
 
Под задачей с практическим содержанием понимается математическая задача, фабула которой раскрывает приложения математики в окружающей нас действительности, в смежных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций.
К задачам прикладного характера естественно наряду с общими требованиями к математическим задачам предъявить и следующие дополнительные:
 
а) доступность школьникам используемого нематематического материала;
б) реальность описываемой в условии ситуации, числовых значений данных, постановки вопроса и полученного решения.
Задачи с практическим содержанием представлены в школьных учебниках преимущественно в виде стандартных алгебраических и геометрических задач, зачастую не отвечающих сформулированным требованиям. Содержание этих задач нуждается в существенном обогащении.
Прикладная направленность обучения математике предполагает планомерную подготовку школьников к применению знаний и умений по предмету к решению практических задач, возникающих в различных областях человеческой деятельности. Использование задач прикладного характера способствует такой подготовке лишь в известной мере. но не раскрывает саму технологию применения фактов и методов математики к решению практических проблем. Однако жизнь настойчиво требует постепенного введения учащихся в мир практических задач, умения решать простейшие из них. Это нелегкая педагогическая проблема. Она нуждается в должном математическом и методическом обеспечении. Решения практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа:
 
Формализацию – перевод исходной задачи на язык математики.
Решение полученной математической задачи.
Интерпретацию найденного решения – перевод его с языка математики в терминах первоначальной задачи.
Наилучший способ обучения учащихся математике, дающий им сознательные и прочные знания и обеспечивающий их умственное развитие, заключается в том, что перед учащимися ставятся последовательно одна за другой посильные теоретические и практические задачи, решение которых дает им новые знания.
Обучение на немногочисленных, но хорошо подобранных задачах, решаемых учениками в основном самостоятельно, способствует вовлечению их в творческую исследовательскую работу, последовательно проводя через этапы научного поиска, развивает логическое мышление.
Усвоение учебного материала через последовательное решение учебных задач происходит в едином процессе приобретения новых знаний и их немедленного применения, что способствует развитию познавательной самостоятельности и творческой активности учащихся.
Рассмотрим задачи, которые позволяют вооружать школьников математическими методами познания реальной действительности. Наибольшие возможности для этого предоставляет сближение методов решения задач рассматриваемых в курсе математики, с методами решения задач, используемыми практикой. Анализ этих методов показывает, что применение математики к решению задач из любой другой области, явно не сформулированных в математических терминах, включает в себя следующие три этапа:
1. Перевод предложенной задачи на язык подходящей для ее решения математической теории – построение математической модели задачи;
2. Решение задачи в рамках математической теории, на язык которой она переведена – решение задачи внутри модели;
3. Обратный перевод результата решения на язык, на котором была сформулирована исходная задача – интерпретация полученного решения.
Усвоение учащимися этих закономерностей применения математики на практике является важным условием развития мышления школьников. Эффективным средством обучения общим средством решения прикладных задач служат, во-первых, явное выделение всех трех этапов при решении задач, во-вторых, обучение школьников сознательному выполнению каждого из этих этапов решения задач в отдельности.
Хороший материал для организации такой деятельности представляют
 
задачи с практическим содержанием, или если задача возникает как бы на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.Любая задача, возникающая на практике, не является математической, и чтобы решить ее требуется переформулировать на язык математики. Это для учеников наиболее трудная часть работы. Часто ребята решают задачи, сформулированные явно, но такую же задачу, которую надо перевести на язык математики решают с большим трудом. Например, задачи на нахождение углов в прямоугольном треугольнике у ребят не вызывают трудностей, а задача с практическим содержанием может вызвать трудности так как требуется знать не только геометрические сведения но и географические: “Путешественник Стив Каллаган потерпел кораблекрушение, оставшись на плоту посередине атлантического океана. Для того чтобы определить свои координаты он из трех карандашей смастерил секстант и нашел широту, на которой находился. Приведите способы определения широты”. (Угол между горизонтом и полярной звездой соответствуют широте, на которой находился путешественник.)
Для решения некоторых практических задач учащимся необходимо выполнить измерения, оценить их точность, выбрать приемлемый масштаб для изображения фигуры, провести необходимые вычисления, оценить результат. Например:
1. В магазине проволока продается на вес. Желая ускорить расчеты с покупателями, которым нужна проволока определенной длины (с точностью до 0,1 м), продавец начертил график зависимости массы куска проволоки от его длины. Начертите этот график.
2. Самолет летит из Москвы в Санк-Петербург, затем в Ригу и возвращается в Москву. Представьте себе, что вы штурман, задайте пилоту курс для каждого участка полета.
3. Как человек, едущий в поезде может узнать его скорость?
4. Скорость западного ветра равна 12 км/ч, собственная скорость самолета 160 км/ч. Компас показывает, что самолет летит на север. Каков действительный курс самолета и какова его скорость относительно Земли?
5. Два железнодорожных пути пересекаются под прямым углом. По направлению к перекрестку движутся два поезда: первый со скоростью 800 м/мин, второй 600 м/мин. В 10 часов утра первый поезд находился в 40 км от перекрестка, второй – 50 км. В какой момент расстояние между поездами будет минимальным? Где будут находиться поезда в этот момент?
Для решения задач практического характера, как правило , требуются некоторые дополнительные справочные данные. Целесообразно эти данные в задачу не включать, чтобы ребята сами могли определить каких именно, не хватает данных и дать возможность самим отыскать данные в справочнике. Так при решении вышеприведенных задач учащимся требуется знать, например, что масса 1 м проволоки – 250 г, расстояние между столбами, поддерживающими провода вдоль железной дороги – 50 м.
 
Мы рассматривали использование задач прикладного характера в
системе дидактических упражнений. Однако такие задачи могут служить средством создания на уроке проблемной ситуации, применяться на этапе мотивации учащихся, убеждения учащихся в необходимости данного материала. Например, наблюдая за солнечным зайчиком, ребята замечают, что свет от одной точки до другой распространяется по прямой, выбирая кратчайший путь, равный длине отрезка между точками. Вопрос: “ По какому пути распространяется свет, если он идет от одной точки к другой не прямо, а отражаясь от поставленного на его пути зеркала? Выбирает ли при этом свет наименьшее расстояние?”
Работа с задачами, имеющими практическое содержание, возможна на таких этапах урока математики как объяснение нового материала и закрепление.
При этом на этапе закрепления, возможно, осуществить дифференцированный подход к учащимся. Рассмотрим, как это сделать на примере практических задач темы «Метрические соотношения в треугольнике».
Практические задачи темы «Метрические соотношения в треугольнике» подразделяются на два вида: практические задачи, связанные с измерительными работами и сюжетные задачи, имеющие в своей основе решение треугольников. Рассмотрим второй вид.
На этапе закрепления учащиеся получают карточки со следующими задачами и заданиями к ним:
 1296035597598500
Задача Группа А
Футбольный мяч находиться на расстояниях 23м и 24м от оснований стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м. Группа В
Длина строительных балок под крышей дома равна 8м и 6м. Угол между стропилами равен 110°. Найдите ши
рину дома. Группа С
Какова должна быть длина водопроводного шланга, чтобы его хватило для прокладки шланга между баней и колодцем, если расстояние между домом и колодцем равно 15м, между домом и баней -23м, а угол между прямыми баня-дом и колодец - дом равен 60°.
1511935129603500
Задание Переведите реальные объекты в математические, заполнив таблицу; запишите краткое условие задачи в математических терминах; сделайте чертеж.
Реальные объекты Математические объекты
Мяч  
Ворота  
Расстояние до правой стоики ворот  
Расстояние до левой стоики ворот  
Угол попадания мяча в ворота  
  Составьте таблицу перевода реальных объектов, имеющихся в задаче в математические, и запишите краткое условие задачи в математических терминах. Сделайте чертеж к задаче. Запишите условие задачи в математических терминах. Сделайте чертеж к нему.
Контроль Один из учеников выполняет задание на доске. Затем остальные учащиеся группы сверяют свое решение с решением на доске Выполняют задание с помощью учителя. Выполняют задание самостоятельно.
В течение урока учитель индивидуально проверяет правильность выполнения.
После решения, полученной геометрической задачи, учащиеся групп А и В, пользуясь имеющимися таблицами, переводят полученные математические результаты в реальные объекты и записывают ответ. Учащиеся группы С дают ответ в реальных объектах.
 
ПРОЦЕНТ
Если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, то в этих случаях сумма процентов рассчитывается по формуле простых процентов. Простые проценты не предусматривают капитализации процентов. При выборе вида вклада, на это стоит обращать внимание. Когда сумма вклада большая, а применяется формула начисления простых процентов, то можно недополучить значительную сумму дохода.
Если ссуда выдается на t дней, то срок инвестиций определяется по формуле:
n=t/Kгде t - число дней ссуды, К - число дней в году или временная база.
Если К = 360 (30 дн. x 12 мес.), то полученные проценты называют обыкновенными или коммерческими. Если К = 365 дн., К = 366 дн., то получают точные проценты.Число дней ссуды t также можно измерять приближенно и точно, т.  е. либо условно - 30 дней в месяц, либо точно - по календарю.
Пример. Выдана ссуда 5 млн. долл. на один месяц - февраль под 13%. Определить точные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды: S = 5(1 + (28 / 365) * 0,13) = 5,0498 долл., при t = 28 дн.2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
S = 5.(1 + (28 / 360) * 0,13) = 5,05056 долл.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:S = 5.(1 + (30 / 360) * 0,13) = 5,0542 долл.
 
1. Предположим, что банком принят депозит в сумме 50 тыс. рублей сроком на 6 месяцев по ставке 10,5 процентов «годовых». Произвести расчет простых процентов и суммы банковского депозита с простыми процентами.
2. Банком принят депозит в сумме 50 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 10,5 процентов. Произвести расчет простых процентов и суммы банковского депозита с простыми процентами.
3. Выдана ссуда 6 млн. долл. на один месяц – январь под 13%. Определить точные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Следующие задачи предлагаются для решения каждому ученику, причем N– номер учащегося по журналу.
4. Ссуда равна (2000 + 10N) тыс.руб., срок ее погашения - 3 года, проценты простые, ставка - 21% годовых. Определить проценты и сумму накопленного долга.
5. Ссуда в размере (10 млн. руб. + N млн.руб.) выдана 20 января до 5 октября под 18%. Подсчитать, какую сумму должен заплатить должник при расчете по:
 точному проценту и точному числу дней ссуды;
 обыкновенному проценту и точному числу дней ссуды;
 обыкновенному проценту с приближенным числом дней ссуды.
6. (100 + 10N) тыс. руб. положены 1 марта на месячный срок под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?
7. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка - 16%, каждый последующий год ставка повышается на 5%. Определить множитель наращения на (5 + N) лет.
8. Переводной вексель выдан на сумму 5 млн. руб. с уплатой 17 ноября. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября. по учетной ставке (20 + 0,1N)%. Определить сумму, полученную векселедателем и дисконт векселедержателя.
9. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы
долг, равный 10 млн. руб., вырос до 12 млн. руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке (25 + 0,1N)% годовых; временная база равна 365 дней?10. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 110 млн. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - (90 + 0,1N) млн. руб. Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента и учета ставки (дисконта). Временная база - 360 дней.
Проценты
1.Лекарственное растение ромашка при сушке теряет 84% массы. Сколько ромашки должны собрать школьники, если они обязались высушить и сдать 16 кг этого растения?
2.Завод дважды в течение года увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод выпускал 1200 изделий, а в конце года стал выпускать 1452 изделия.
3.Два сплава состоят из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих сплавах одинаково. Из 300 кг первого сплава и 500 кг второго получен новый сплав, содержащий 30% цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.
4.Автомобиль «Москвич 2140» в соответствии с паспортными данными расходует 8,8 л бензина АИ-92 на 100 км пути при скорости 80 км/ч; 1 л бензина стоит 20 р. При движении со скоростями выше рекомендованных расход топлива в среднем повышается на 25%. На сколько дороже окажется поездка на расстояние 500 км по автостраде при езде с повышенными скоростями?
5.В городе с населением 57 100 человек было проведено медицинское обследование населения с целью выявления частоты встречающихся групп крови. Выяснили , что людей с группой крови ОО-32,9%, с группой крови ОА-35,8%, с группой крови ОВ-23,25 и с группой АВ-8,1 %. Сколько человек с каждой из групп крови проживает в городе?
 
 
Пропорции
№1 Повар решил сварить варенье из черной смородины. По рецепту на 2 килограмма ягод расходуется 3 килограмма сахара. Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 2,5 килограммов смородины?
№2 Заведующая пришкольным участком сообщила, что на 3 сотки земли ушло 9 ведер картофеля. Хватит ли 50 ведер картофеля, если участок 15 соток?
№3 Для покраски 5 кв. м пола требуется 1 кг краски. Сколько краски нужно для покраски 40 кв. м пола?
№2  Трактор с грузоподъемностью 4 т перевозит 60 т зерна за несколько рейсов. Сколько тонн зерна перевезет за столько же рейсов трактор, грузоподъемностью 2 т?
№3 Длина дома на плане 25 см. Чему равна длина дома на местности, если масштаб плана равен 1:30
№4 12 куб см. стали весят 96 кг. Сколько граммов весит 24 куб см. стали
Cложный процент
Если начисляемые по вкладу проценты, причисляются к вкладу через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально), то в этих случаях сумма процентов рассчитывается по формуле сложных процентов. Cложные проценты предусматривают капитализацию процентов (начисление процентов на проценты). Для расчета сложных процентов можно применять две формулы сложных процентов по вкладам, которые выглядят так:
Sp = P ·[(1 + I ·t / K/100) n - 1] или Sp = S – P = P·(1 + I ·t / K / 100) n – P, где
I – годовая процентная ставкаt – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу K – количество дней в календарном году (365 или 366)P – сумма привлеченных в депозит денежных средствSp – сумма процентов (доходов).n — число периодов начисления процентов.S — сумма вклада (депозита) с процентами
Однако, при расчете процентов проще сначала вычислить общую сумму вклада с процентами, и только затем вычислять сумму процентов (доходов). Формула расчета вклада с процентами будет выглядеть так:
S = P ·(1 + I·t / K / 100) n.
1. Принят депозит в сумме 50 тыс. руб. сроком на 90 дней по ставке 10,5 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней. Перепроверьте правильность расчета процентов по приведенному выше примеру. Для этого разбейте срок депозита на 3 периода (месяца) и рассчитайте начисление процентов для каждого периода, используя формулу простых процентов.
2.Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка
равна 17%.
3. Сколько лет потребуется для того чтобы из 1000 рублей, положенных в банк, стало 20000 рублей, если процентная ставка равна 14% годовых?
4. Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 рублей нарастились до 30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?
5. Зарплату рабочему повысить сначала на 10% , а через год еще на 20%. На
 
сколько процентов повысилась зарплата рабочего по сравнению с первоначальной?
6. Цену на товар снизили на 10%, а через месяц повысили на 10%.
Дороже или дешевле стал товар по сравнению с начальной ценой?
7. Саша за весну похудел на 20%, за лето поправился на 30%, за осень похудел на 20%, за зиму поправился на 10%. Как изменился его вес?
8. влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5%, по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?
9. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 4 раза. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?
10. За 3 года население города увеличилось с 2000000 до 2315250 человек. Найти средний годовой процент прироста населения.
11. Деньги, вложенные в акции фирмы, приносят ежемесячно 20% дохода.
За сколько месяцев вложенная сумма удвоился?
12. В автоинспекции города подсчитали, что число легковых автомобилей
увеличилось за последние годы на 15% ежегодно. Во сколько раз
увеличилось число автомобилей за 5 лет.
13. Какой величины достигнет долг, равный 10 млн. руб., через 5 лет при росте по ставке сложного процента i = 15% годовых.
14. При (10% + N) ставке дисконта ожидаемая к получению сумма через год составит 100 долл. Сколько сегодня должен вложить инвестор? Сформулируйте обратную задачу, сделайте проверку.
15. На депозит положены 82,64 долл. при ставке (10% + N) на два года. Сколько получит вкладчик? Сформулируйте обратную задачу, сделайте проверку.

 
Прогрессии
1.Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5 мин, а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин, если он начал загорать в среду?
 
2.Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что кукушка кукует 1 раз, когда часы показывают половину очередного часа, и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?
 
3.Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток?
 
4.Из пункта А в пункт В одновременно с постоянными скоростями отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист, прибыв в пункт В, повернул назад и встретил пешехода через 1 ч после начала движения из пункта А. После встречи с пешеходом велосипедист снова поехал в пункт В, а по прибытии туда повернул обратно и встретился с пешеходом через 1 ч после первой встречи. После второй встречи велосипедист опять поехал в пункт В, а доехав, повернул обратно и т. д. Найти время, за которое пешеход пройдет путь АВ.
 
5. Музыкальная октава делится на 12 равных интервалов-полутонов. Частота каждого последующего звука приблизительно в 1,059 раза больше частоты предыдущего. Во сколько раз нота соль выше ноты до той же октавы (вычисления провести на микрокалькуляторе)?
 
Функции
Задача 1. В цилиндре под поршнем при постоянной температуре находится газ. Объем V (литров) газа при давлении р (атмосфер) вычисляется по формуле V =12/p.
1. Найти объем, занимаемый газом при 4 атм.; 5 атм.; 10 атм.
2. Вычислить, при каком давлении газ имеет объем 3 л, 5л, 15л.
Построить график зависимости объема газа от его давления.
Задача 2. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 150 м со скоростью 60 км/ч. Найти центростремительное ускорение автомобиля. Увеличится или уменьшится центростремительное ускорение, если скорость автомобиля останется прежней, а радиус закругления дороги увеличится?
Задача 3. Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле:
v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура (в oC). Найдите с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой -35 oC и в летний день с температурой +30 oC.
Задача 4.Численность зубров в заповеднике может быть найдена по формуле:
y = 50 +3t, где y - количество особей, а t - время (в годах). Найдите сколько особей будет в данном заповеднике через 3 года. Через сколько лет в этом заповеднике особей будет 65 штук?
Задача 5. Волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Через сколько дней длина волос у мальчика достигнет 5 см, если считать, что их первоначальная длина была 3 см. Какой будет длина волос у этого мальчика через пять дней (формула l = 30 +0,4t, где l - длина в миллиметрах, t - количество дней.
Задача 6. Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем двигался равномерно, продолжая движение в том же направлении со скоростью 4 км/ч, шел пешком.
а) Записать формулу линейной зависимости проделанного пути от города S (в км) от времени движения туриста t (в часах).
(ответ: S = 10 + 4t)
б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.
Таблица 1 t 0,5   Таблица 3 t 1,5  
S   20 S   12
 
Таблица 2 t 0,8   Таблица 4 t 1,2  
S   15 S   18
Задача 7. Перед тем как высадить растения в теплицу необходимо довести t воздуха в ней до 25 oC
а) Записать формулу, выражающую изменение температуры T oC в теплице в зависимости от времени t (в минутах) от нагревания, если при нагревании воздуха в теплице каждую минуту температура повышалась на 1,5 oC, а первоначальная температура в теплице была 8 oC.
б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.
 
3816350538226000
Таблица 1 t 12   Таблица 3 t 10  
T   23 T   17
 
Таблица 2 t 6   Таблица 4 t 5  
T   14 T   20
Задача 8. Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому T лет, (T < 18) должен спать t часов в сутки.
а) Задайте формулой зависимость продолжительности сна t (часах) от возраста человека (лет), если известно, что после рождения ребенок должен спать не менее 17 часов в сутки, уменьшая продолжительность сна на половину своего возраста.
(t = 17 – T/2)
б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.
 
3816350538226000
Таблица 1 T 1   Таблица 3 T 5  
t   9 t   11
 
Таблица 2 T 3   Таблица 4 T 7  
t   10 t   12
Запись формулы функциональной зависимости ведется группами 4, 5, 6 сообща, работа по таблице индивидуальна, для этого и предлагается несколько вариантов.
 
Работа с графиками
Задача 1. Используя график зависимости массы m воды и льда от V ответить на вопросы.
1. Является ли функция m(V) линейной?
2. Какой объем занимают лед и вода, если они имеют одинаковую массу, равную 500 г.?
3. Сделать вывод о зависимости m(V)? Одинаковы ли эти зависимости для разных веществ?
Чертеж к задаче

Рисунок 2
Задача 2. Сила тока в реостате I (в амперах) вычисляется по формуле I =U/R, где U – напряжение (в вольтах). R – сопротивление (в омах).
1. Построить график зависимости I(R) при U=6.
2. По графику приближенно найти:
а) силу тока при сопротивлении, равном 6, 12, 20 Ом;б) сопротивление реостата при силе тока, равной 10, 5, 1,2 А.
 
Практическая работа №1
Используя график зависимости веса M, г рыбки от массы корма m, г ответьте на вопросы.
1. Является ли функция M(m) линейной?
 
2. Рисунок .Какой вес будет иметь рыбка, поедающая 15 г сухого корма, и рыбка, поедающая 15 г живого корма?
Сделать вывод о зависимости M(m)? Одинакова ли эта зависимость для рыбки на сухом корме и рыбки на живом корме?
 
Практическая работа №2
Используя график зависимости повышения гемоглобина от массы, г употребления в пищу яблок или гранатового сока, ответить на вопросы:
1. На сколько поднимется гемоглобин в крови у человека, употребляющего в пищу 600 гр. яблок или 600 гр. гранатового сока?
2. Что обозначает общая точка графиков?
3. Сделать вывод о зависимости гемоглобина от массы употребляемого в пищу продукта. Одинакова ли эта зависимость для яблок и для гранатового сока?
 
0-63500
Рисунок 4
Практическая работа №3
Автомобили A1 и A2 выезжают одновременно навстречу друг другу. По заданному графику движения автомобилей. Найти:
1. время от начала движения до встречи автомобилей;
2. путь, пройденный каждым автомобилем до их встречи;
скорость движения каждого автомобиля.
Рисунок 5
 
Практическая работа №4

Рисунок 6
Ученые наблюдают за количеством бактерий в двух водоемах I и II. I-водоем молодой, II-старый на рисунке представлены графики зависимостей общего числа бактерий (в тыс. (мл.)) от месяца наблюдения. Используя графики ответить на вопросы:
1. На каком этапе исследования количество бактерий в водоемах будет одинаковым?
2. Изменение количества бактерий в каждом водоеме.
3. Через сколько месяцев в каждом водоеме количество бактерий будет равно 10 тыс/мл.
Практическая работа №5

Рисунок 7
На чертеже два графика I график показывает зависимость количества бактерий от дня использования антибиотиков, II график – зависимость количества бактерий от дня заболевания (без использования лекарственных средств).
Глядя на графики ответить на вопросы:
1. В какой день количество бактерий у обоих заболевших будет одинаковым?
2. Определить скорость изменения количества бактерий у каждого заболевшего.
3. На какой день количество бактерий у заболевших будет равно 150 тыс. экземпляров.
Используя определение линейной функции, построить график, который описывает следующий процесс: бак объемом 14 литров заполнили водой за пять минут, затем кран закрылся, и через четыре минуты из дна вытащили пробку, бак оказался пустым за три минуты.
(результат работы должен выглядеть так: Рисунок 8)
 
 
0-63500
 
 
Рисунок 8
Практическая работа №6
Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс:
В середине марта на дереве начинают появляться первые листочки и уже к июню количество листьев на нем достигает 200 штук. С середины августа дерево начинает готовиться к зиме и уже к середине октября на дереве не остается ни одного листа.
(результат работы должен выглядеть так:

Рисунок 9
 
 
Практическая работа №7
Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс: в зимние месяцы люди начинают болеть гриппом, процент заболевших людей достигает 70% на 10 день эпидемии. Количество заболевших начинает снижаться на 20 день эпидемии и уже на 28 день составляет 10% населения.(результат работы должен выглядеть так: Рисунок 10

Рисунок 10
Вопросы к выводу:
1. Из скольких частей состоит график каждого процесса?
2. Что происходит с функцией на первом этапе?
3. Что происходит с функцией на втором этапе?
4. Что происходит с функцией на втором этапе?
5. Что происходит с функцией на третьем этапе?
1.Одна из формул для вычисления «идеального веса» человека m (кг) при данном росте l(см): m = 1—100. Постройте график этой функции. Найдите «идеальный вес» при росте 150, 160, 171 см.
 
2.В течение первых 5 мин давление газа в трубопроводе изменяется по формуле
р =(t+7)/(t+2), где р — давление газа (Па), t —время (мин). Увеличивается или уменьшается давление?
3. В таблице представлено население (млрд) земного шарав различные годы.
 
Год, / 1900 1940 1950 1970 1990
Население, Н 1,63 2,25 2,53 3,64 5,30
По этим данным постройте график. Оцените приближенно по графику население Земли в 1981, 1987, 2000 гг.
4.В сосуд с одним литром кипятка вливают х литров водыс температурой 20 °С. Найдите функцию, выражающую зависимость температуры Т смеси от объема влитой воды. Вычислите ее значение при х = 0,1; 0,5; 1; 2; 4; 9. Постройте график функции по этим точкам. Найдите по графику значение Т при х = 3.
Указание. Температура смеси выражается по формуле:
T=(100+20x)/(1+х)
5.Сжатие х пружины пропорционально приложенной силе F (т. е. F = kx). Для сжатия пружины на 3 см нужна сила 10 Н. Какая сила потребуется для сжатия пружины на 5 мм? Постройте график зависимости длины пружины от приложенной силы (для O≤F≤10 Н), если длина пружины в состоянии покоя равна 50 см.
 
6. При бороновании 1 га пахоты трактор расходует 1,3 кг горючего. Составьте формулу для вычисления зависимости расхода горючего М (кг) от площади поля S (га). Постройте график зависимости М от S.
7. Норма высева пшеницы 170 кг/га. Найдите зависимость расхода семян m от засеянной площади S. Постройте график полученной
зависимости. Сколько семян потребуется для посева на площади 10 м2; 100 м2; 0,5 га?
8. Длина автомобильного моста через Каму в Перми 1050 м (при 0°). Найдите зависимость его длины от температуры Т воздуха. Как изменится длина моста, если температура изменится от —20° до 20°? Справка. От нагревания тела расширяются, при этом их линейные размеры увеличиваются и могут быть вычислены по формуле
l = l0(l+аТ), где l0 — длина тела при температуре 0 °С, Т — температура окружающей среды в °С, а — коэффициент линейного расширения (его значения различны для разных веществ), l — длина тела при температуре T. Коэффициент линейного расширения бетона а=12∙10-6.
 
9. Из одного пункта в одном направлении с отрывом в 1 ч друг от друга последовательно вышли лыжник со скоростью 10 км/ч, мотоцикл со скоростью 20 км/ч и автомобиль со скоростью 40 км/ч. Для каждого из них, на одной координатной плоскости, постройте график зависимости пройденного пути от времени (для 0≤t≤5). Пользуясь графиками, ответьте на вопросы:
а)Кто движется первым через 5 ч после выхода лыжника?
б)Кого раньше догнал автомобиль — лыжника или мотоциклиста?
в)В какой момент времени все трое окажутся за отметкой 60 км от исходного пункта?
 
 
Квадратные корни и квадратные уравнения
№ 1. Кирпич падает с высоты 1 м. С какой скоростью он упадет на Землю? Во сколько раз увеличится скорость, если высота увеличится в 2, 4 , 100 раз ? Справка: Скорость свободного падения тела связана с высотой падения формулой , где g – ускорение свободного падения 9,81 м/с2 . Давайте продолжим задачу и узнаем, насколько опасно ходить под карнизами домов, ответив на вопрос: С какой силой кирпич (сосулька) ударится о землю? Для этого воспользуемся формулой:
, где ∆t – время взаимодействия. Из анализа формулы можно сделать вывод: чем больше ∆t , тем сила удара меньше. Вот почему наличие шапки или каски на голове смягчает удар № 2. Период Т качания математического маятника равен , где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения. Сравните периоды качания маятников, длины которых относятся как 4 : 1.
№ 3. Имеется кусок картона в форме прямоугольного треугольника. Длина одного из катетов равна 15 см. Какой длины должен быть второй катет, чтобы из прямоугольника можно было вырезать квадрат площади S? Решите задачу в общем виде, вычислите катет при S=1 дм2 .
№ 4 . Задача Эйлера (для молодых предпринимателей).
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна - больше, чем другая: обе выручили одинаковую сумму. Первая сказала тогда второй: “Будь у меня твои яйца, я выручила бы за них 15 крейцеров”. Вторая ответила: “А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 и 2/3 крейцера”. Сколько яиц было у каждой? Крейцер - мелкая разменная монета Австро-Венгрии и южной Германии, обращавшаяся до конца 19 в. (Решение задачи приводит к пропорции, а её решение - к вычислению квадратного корня).
 
№ 5.(к переписи населения 2002 года) Придумайте задачу по следующим данным: Россия: в 1995 году – 148,7 млн. человек, в 1997 году – 147,3 млн. человек. Например, население России с 1995 по 1997 год уменьшилось от 148,7 млн. человек до 147,3 млн. человек. Оцените, на сколько процентов в год уменьшалась численность населения. Найдите, какое население по данным задачи будет в России к 2003 году.
№ 6. Сила натяжения струны Р (Н) вычисляется по формулеМерсенна P=4πr²L²pn²g, где L — длина (м), r — диаметр сечения (мм), р — плотность (г/см3), п — частота колебаний (гц). Выразите частоту колебаний п через остальные величины, используя корень и заменяя дроби степенью с отрицательным показателем.
Квадратное уравнение
1.Внук возвращается из школы:
Дедушка, мы всем классом к Новому году решили обменяться фотоснимками.
Это хорошо. Память будет. Но это ж сколько карточек надо?
А мы уже сосчитали — 650. Нас в классе...
—Подожди, не говори. Я сам сосчитаю.Так сколько учеников в классе?
2. В сборнике напечатана 171 партия кругового турнира по шашкам (т. е. такого, в котором каждый с каждым встречается по одному разу). Сколько было участников турнира?
3. Во дворце культуры произвели ремонт зрительного зала, в котором число рядов меньше числа мест в ряду. До ремонта в нем было 770 мест, а стало 660. Во время ремонта убрали 2 ряда целиком и по 2 кресла в каждом ряду. Сколько теперь рядов в зрительном зале?
4. Центр площадки размером 26X12 м нужно оставить для прямоугольного газона площадью 120 м2. Дорожка какой ширины останется по краям?
Ученики отправились из Перми на прогулку по Каме на теплоходе. По
2. карте они увидели, что теплоход отошел от города на 48 км. На стоянке определили скорость течения — по плывущим предметам. Она оказалась равной 4 км/ч. Общее время в пути (без стоянки) составило 5 ч. Какова собственная скорость теплохода?
3. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой — в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 ч расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.
7. Фирменный поезд «Кама» Москва — Пермь в середине пути стоял час из-за ремонта путей. Чтобы прийти вовремя, он увеличил скорость на 7 км/ч. Сколько времени поезд был в пути? Справка. Расстояние от Москвы до Перми 1540 км.
8. Винни-Пух с Пятачком выполнили работу за 2 ч 24 мин. Пятачок один затратил бы на нее на 2 ч меньше, чем Пух. За какое время каждый из них, работая один, может выполнить работу? 9. Через какое время тело, брошенное вверх со скоростью 20 м/с, достигнет высоты 15 м? Может ли оно достичь 25 м? Указание. Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v, движется по закону ,S = vt — 10t2.
10. Мальчик, стоя на склоне горки в 16 м от ее основания, ударил по футбольному мячу. Мяч катился вверх 3 с и укатился на 9 м. Через какое время он скатится с горки?
11.Если в дне железной консервной банки пробить отверстие и налить в нее воды, то уровень воды будет убывать по квадратичному закону. Найдите формулу для этого закона и определите, через какое время вытечет вся вода, если начальный уровень 15 см, через 1 мин он опустится до 10 см, еще через минуту — до 6 см.
12. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v (м/с) от глубины h (м): v=- h2 + 2h + 8.
Найдите максимальную глубину реки (т. е. глубину, где v = 0) и глубину с максимально сильным течением.
 
Логарифмическая и показательная функции
Психофизическими опытами установлено, что величина ощущений изменяется медленнее, чем сила раздражителя. Интенсивность ощущений Е выражается логарифмической зависимостью (закон Вебера – Фехнера) Е = К• lgJ +С, где J – интенсивность раздражителя; K и С – некоторые константы, определяемые данной сенсорной системой.
Посредством степенной функции f(x) = Ax описывается зависимость интенсивности основного обмена от веса животного. Здесь х – вес животного; f(x) – количество кислорода, поглощаемого животным в единицу времени; А и – параметры, постоянные для данного класса живых существ. Для млекопитающих и птиц, например, = 0,74, А = 70, для рыб = 0,8, А = 0,3.
Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: y = y0ax.
1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1 м2 суши.
3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить
8 • 1014. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.
4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N0ekt. По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.
5. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (согласно формуле Т = Т0 + (100 – Т0)е-kt. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.
6. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М0 e-kt , где: М0 – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то
есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально
7. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессов в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции.
8. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону: , где h – высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического нивелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности.
9. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле:
I = I0e-ks, где: s – толщина слоя, k – некоторый коэффициент, характеризующий мутную среду.
Подобный же закон будет характеризовать процесс поглощения газа соответствующей средой, изменение скорости ветра и т.п.
10. Закон охлаждения. Пусть Т1 – температура тела, Т0 – температура окружающей среды, где Т1>Т0 , Тогда температура тела Т будет меняться по закону: Т = Т0 + (Т1 – Т0)е-kt, где k – некоторый коэффициент, зависящий от природы охлаждающего тела.
1. Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле
m= т0 2-t/T, где т0 — масса вещества в начальный момент t = 0, m — масса вещества в момент времени t, Т — период полураспада радиоактивного вещества.
Период полураспада радия равен 1600 лет, урана-238 — 4,5 млрд лет, цезия-137 — 31 год, иода-131 — 8 суток.
 Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде т = т0 e-t/τ . Связь константы τ с периодом полураспада нетрудно найти: τ≈1,45Т
2. Рост народонаселения. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой N = N0eat, где N0 -число людей при t = 0,N — число людей в момент времени t, а — некоторая константа,
3.Барометрическая формула. Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону р=р0е-h/H, где р0 — давление на уровне моря (h = 0), р — давление на высоте h, Н — некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20 СС величина H ≈7,7 км.
4. Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты v с ее массой т, такова: v= vT ln( т0/m),где vT — скорость вылетающих газов, т0 — стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа vr при сгорании топлива невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и, для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение ( т0/m), т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
5. Коэффициент звукоизоляции стен вычисляется по формуле D= A lg (р0/р), где р0 — давление звука до поглощения, р — давление звука, прошедшего через стену, А — некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например, 20 дБ, то это означает, что lg (р0/р)= 1 или р0 = 10р, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).
1.Вычислите период полураспада вещества, если за год его масса уменьшилась в 10 раз.
2.Период полураспада вещества равен двум суткам. Через какое время его масса уменьшится в 1000 раз?
 
3.Выведите из барометрической формулы формулу для вычисления высоты подъема в зависимости от давления.
4.Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича?
5.От т мг вещества через t мин радиоактивного распада осталось n мг. Найдите его период полураспада.
6.К началу радиоактивного распада имели 1 г полония-218. Через сколько минут останется 0,125 г полония, если его период полураспада равен 3 мин?
7.Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч. Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз? Вычислите, какая доля радиоактивного вещества останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.
8.При радиоактивном распаде количество вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? через 3,5 суток?
9.На некотором лесном участке можно заготовить 4·105 м3 древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет?
10.Температура Т остывающего чайника с кипятком в момент времени t (мин) вычисляется по формуле T = 20+80/20,1t . Заполните таблицу:
t, мин 0 10 20 30 40 50
Т, °С            
 
Используя данные таблицы, постройте график. Определите по графику приближенное значение температуры при t = 5;t=10.
11. Закон движения тела, замедляющего свое движение под действием
силы сопротивления среды, имеет вид , где t – время, с; х – перемещение, м. Через сколько секунд после начала замедления тело пройдет 100м?
12. Средний относительный ущерб Q объекта противника при нанесении по нему ряда ударов однотипными ракетами определяется по формуле , где п – число ракет. Сколько нужно ракет, чтобы нанести объекту противника ущерб в среднем 70%?
 
0-63500
Применение производной в задачах
физического содержания
1. Нахождение мгновенной скорости и ускорение материальной точки по её координатам.
2. Нахождение мощности по работе.
3. Нахождение плотности неоднородного стержня по массе.
4. Нахождение силы тока и кинетической энергии.
5. Составление уравнения падения тела в атмосферной среде.
 
 
 1367790540004000
Закон движения тела, t= 3 c
X=√3Sinp t + Cosp t Закон гармонических колебаний точки t = 3c
Ф(t) = 0,01 Sin10p t Закон изменения магнитного потока
m = 100 e –0,06t Закон радиоактивного распада
q(t) = 3,05 + 6,11t –0,8/(t+1) Закон изменения заряда на обкладках конденсатора
y = x tg a – Уравнение траектории полета снаряда
Задача 1. Две точки движутся по одной прямой по законам S=t2 и
S=t3/2 (t0). Каковы их скорости в момент встречи? В какой момент времени их скорости одинаковы? Постройте графики движения и поясните на графике полученные результаты.
Задача 2. Покажите, что движение, определяемое любой линейной функцией S=kt+b является равномерным. Каков механический и геометрический смысл коэффициентов k и b?
Задача 3. Тело массой 2 килограмма движется прямолинейно по закону х(t)= t2 +t+1. Координата х измеряется в см, время t – в секундах. Найдите:
а) действующую силу;
б) кинетическую энергию тела через 2 сек. после начала движения.
Задача 4. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20см, от стоящей от точки А на расстоянии L, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m(l)=3l2 +5l. Найдите линейную плотность стержня: а) в середине стержня; б) в конце стержня.
Задача 5. Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60°, движутся два тела: первое – равномерно со скоростью 5 км/ч, второе – по закону S(t)=2t2+ t. С какой скоростью они удалятся друг от друга? (S – в км, t – в сек.).
Задача 6. Профиль моста имеет форму параболы, уравнение которой у=-0,05х2, длина моста 80м. Каков должен быть наклон (к горизонту) подходов АВ и СD насыпи моста, чтобы проезд с насыпи на мост и обратно, совершался плавно (подходы должны быть касательными к профилю моста).
Задача 7. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0, задаётся формулой g=3t2+t+2. Найдите силу тока в момент времени t=3.
 
Задача 8. Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью v0 и начальной высоты от земли h0 меняется по закону х= h0+ v0' t - gt2/2, где g=10м/с2 – ускорение силы тяжести.
Найдите зависимость скорости камня от времени.
При h0=20м, v0=8м/с. Найдите скорость камня через 2с. Зачем указано значение h0? Через какое время камень упадёт на землю?
На какой высоте скорость обратится в 0?
Покажите, что энергия камня Е=mv2/2+mgh (где m – масса камня) не зависит от энергии!
Задача 9. Точка движется по закону S=2+20 – 5t2. Найдите мгновенную скорость в момент t=0, t=1, t=2. постройте график зависимости мгновенной скорости от времени.
Задача 10. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
Задача 11. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t2. Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см2/с.
Задача 12. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону
S(t) = 2t +√t, где S - путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с.
Задача 13. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t - 0,1t2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7с; б) в какой момент времени маховик остановится.
 
Задача 14. Точка движется прямолинейно согласно закону S(t) = t2 – 6t + 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Найдите скорость движения точки.
Задача 15. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t3 – 3t2. Выберите, какой из формул v(t) = t2 – 2t; v(t) = Зt2 – 6t; v(t) = 3t2 – 3t задается скорость движения этой точки в момент времени t.
Задача 16. Прямолинейное движение точки происходит по закону S(t) = 2t2 – 4t – 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Определите, в какой момент времени скорость движений точки будет составлять 4 см/с.
Задача 17. Найдите кинетическую энергию тела Е =(mv2 /2) массой 1 кг, движущегося прямолинейно по закону S(t) = t2 + t (время измеряется в секундах, путь в метрах).
Задача 18. Найдите ускорение материальной точки, движущейся прямолинейно, если скорость изменяется согласно закону v(t) = 6t2 + 1 (м/с).
Задача 19. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 4t – 3. Среди данных законов движения S(t) = 4t2 – 3; S(t) = 2t 2 – 3t (м);S(t) = 4t2 – 3t выберите тот, который описывает движение данной материальной точки.
Задача 20. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону (t) = 0,1t2+ 0,2 .Найти угловую скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени t = 20 с.
 
Механика
1.Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью v0 с начальной высоты от земли h0, меняется по закону h = h0 + v0t -gt2
где g ≈ 10 м/с2 — ускорение силы тяжести.
Найдите зависимость скорости камня от времени.
При h0 = 20 м, v0 = 8 м/с найдите скорость камня через 2 с. Зачем указано значение h0? Через какое время камень упадет на землю?
3)На какой высоте скорость станет равна 0?
4)Покажите, что энергия камня Е =(mv2 /2)+ mgh (где m — масса камня) не зависит от времени.
2.Тело удаляется от земли по закону s = A(t + с) 2/3 .
Найдите закон, по которому меняется скорость тела.
Вычислите ускорение тела.
Докажите, что сила, действующая на тело, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния s.
3.Докажите, что движение по закону s = at3 + bt2 + ct + d происходит с ускорением, меняющимся линейно.
4.Точка движется по закону s = 2 + 20t-5t2 . Найдите мгновенную скорость в моменты времени t = 0, t = 1, t = 2. Постройте график зависимости мгновенной скорости от времени.
5.Движение точки по оси х задано законом x(t)=10/t. Найдите мгновенную скорость в моменты времени t=1, t=2, t= 3. Обратите внимание на знак скорости.
6.Точка движется прямолинейно по закону s = t3 + 3t2 . Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 1.
7.Точка движется прямолинейно по закону s = √t. Докажите, что движение замедленное и что ускорение а пропорционально кубу скорости V.
8.Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону s = t2 - 3t + 2, где t
измеряется в секундах, s — в метрах. Найдите кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения.
9.В какой момент времени тело, движущееся прямолинейно по закону s = k(t +1/t ), будет иметь минимальную кинетическую энергию?
10.При равномерном движении тела по окружности угловой скоростью тела называется угол поворота в единицу времени. Дайте определение угловой скорости для неравномерного движения.
Электричество
11.При равномерном протекании заряда по проводнику силой тока называется заряд, протекающий за единицу времени. Сформулируйте определение силы тока в общем случае.
12. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0, задается формулой q = 3t2 +t +2. Найдите силу тока в момент времени t=3.
13.В какие моменты ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник задается формулой:
1)q=t+k/t
2)q=t+√t+1
14. Измерение величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд меняется во времени по закону q(t)=3,05+6,11t-0,8/(t+1) (t≤10, время в секундах, заряд в микрокулонах) Найдите закон изменения силы тока.
Другие приложения
15. Если бы процесс радиоактивного распада протекал равномерно, то под скоростью распада следовало бы понимать количество вещества, распавшегося в единицу времени. На самом деле процесс неравномерен. Дайте определение скорости радиоактивного распада.
16. Пусть Q(T)-количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1кг воды от 0°до T°(по Цельсию). Известно, что в диапазоне 0≤T≤ 95
формула Q(T)=0,396T+2,081∙10-3 T2-5,023∙10-7 T3 дает хорошее приближение к истинному значению Q(T). Найдите как зависит теплоёмкость воды от температуры.
17. Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону l=l0(1+0,001t+0,0001t2). Найдите коэффициент линейного расширения при t=5°C.
18. Найдите производную площади круга как функции от радиуса.
 
Применение производной в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений.
Какие математические задачи особенно важны? Наверно, не вы и не я сразу не сможем ответить на этот вопрос. Очень много задач ставит жизнь перед математикой, есть среди задач простые, а есть и очень трудные. Есть задачи, оставляющие решающего человека спокойным, а есть и такие, от которых дух захватывает. Однако, некоторые группы задач все же можно признать особенно важными для самой математики и ее приложений. К ним относятся задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин, или как их называют задачи на нахождение экстремумов.
При решении таких задач используется алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Способ поиска наибольшего и наименьшего значения функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом он действует по схеме:
 Выбирают удобный параметр Х, через который интересующую на величину выражаем как функцию f (x);
 Средствами анализа, по алгоритму нахождения наибольшего и наименьшего значения этой функции на некотором промежутке, ищется наибольшее или наименьшее значения этой функции на заданном промежутке.
 Выясняется, какой практический смысл ( в терминах первоначальной задачи) имеет полученный ( на языке функций) результат.
 
1.На какой высоте надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса a, чтобы площадка была максимально освещена у границы площадки.
2.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны быть размеры ее, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
 
3.На автомобиле КРАЗ имеется два топливных бака цилиндрической формы емкостью 200 литров каждый. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?
4. Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что ее масса изменяется по закону m(t) = 1–2/3t (m – в г; t – в с). Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?
5. Десантный катер высадил разведгруппу в районе (3205) в 3 км от берега в створе с устьем реки Прямая. Задача группы на надувной лодке выйти к мысу Сагиз (В), находящемуся на берегу на расстоянии 5 км от устья (А) реки Прямой. Скорость лодки 4 км/ч, а скорость передвижения группы по суше 5 км/ч. к какому пункту (С) берега должна пристать лодка, чтобы группа вышла к мысу Сагиз в кратчайший срок?
6.. Над центром круглого стола радиуса r висит лампа . На какой высоте надо подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность? (Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке).
7.. Из пункта А, находящегося в лесу в 5 км от прямолинейной дороги, пешеходу нужно попасть в пункт В, расположенный на этой дороге в 13 км от пункта А. По дороге пешеход может двигаться с максимальной скоростью 5 км/ч, а по лесу — с максимальной скоростью 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход сможет добраться из пункта А в пункт В ?
8.Из прямоугольного листа жести размером 5X8 надо изготовить открытую коробку наибольшего объема, вырезая квадратные толки так, как показано на рисунке.

 0000
9.Требуется изготовить ящик без крышки с прямоугольным основанием и заданным объемом V, отношение сторон основания которого равнялось бы k. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы его поверхность была наименьшей? Вычислите размеры ящика при k=2, V=36.
10. Вспомним сказку, где барин говорит крестьянину: “ Какой участок земли успеешь обежать с восхода до захода Солнца, он твой”. Переведем эту задачу на математический язык. Она будет звучать так: Периметр участка Р км. Какую длину должны иметь стороны участка, чтобы площадь была наибольшей.
11. Имеется проволока длины L. Требуется согнуть ее так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий по возможности наибольшую площадь.
12. Параболическим сегментом называется фигура, ограниченная параболой и прямой, перпендикулярной к оси параболы. Расстояние от вершины параболы до этой прямой называется высотой сегмента, а длина отрезка прямой, высекаемого параболой, — основанием сегмента. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в параболический сегмент с основанием а и высотой H? (Одна из сторон прямоугольника параллельна оси параболы).
13. Бак цилиндрической формы должен вмещать V литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы поверхность его (без крышки) была наименьшей?
14.Через пункт О из пунктов А и В, находящихся от О на расстоянии l1 и l2 , едут два велосипедиста с постоянными скоростями v1 и v2 по
прямолинейным дорогам, угол между которыми 60°. В какой момент времени расстояние между велосипедистами наименьшее?
15. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ч, составляет (90+0,4v²) рублей в час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость одного километра пути была наименьшей?
16. В странице книги печатный текст должен занимать 150 см². Верхнее и нижнее поля страницы по 3 см, правое и левое - по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
17. На двух стройплощадках возводятся два одноэтажных здания склада общей площадью 600 м². Стоимость постройки склада прямо пропорциональна квадрату его площади. Кроме того известно, что строительство 1м² на второй площадке обходиться на 40% дороже, чем на первой. Какой должна быть площадь каждого склада, чтобы стоимость строительства была наименьшей?
18. Требуется выгородить прямоугольное пастбище площадью 1км² и разделить его на два прямоугольных участка. Какой наименьшей длины забор при этом может получиться?
 
 
 
 Применение интеграла
 
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла :
1) масса неоднородного стержня с плотностью,
2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
1223645345567000
Применение интеграла
Математика
1. Вычисления Sфигур.
2. Длина дуги кривой.
3. V тела на S параллельных сечений.
4. V тела вращения и т.д. Физика
1. Работа А переменной силы.
2. S – (путь) перемещения.
3. Вычисление массы.
4. Вычисление момента инерции линии, круга, цилиндра.
5. Вычисление координаты центра тяжести.
6. Количество теплоты и т.д.
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .
Примеры:
1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, . Следовательно,
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расрасстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) находим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.
Пример:
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА
Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх .Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,
где — плотность жидкости, кг/м3; S — площадь площадки, м2; х - глубина погружения площадки, м.
Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
5. ДЛИНА ДУГИ
Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) — непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)
где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.
6. ЦЕНТР МАСС
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:
1) Координата х? центра масс системы материальных точек А1, А2 ,..., Аn с массами m1, m2, ..., mn, расположенных на прямой в точках с координатами х1, х2, ..., хn, находятся по формуле
(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х' равна .
Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х0 < х1 < х2 < ... <хn= b .На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (хk - 1) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна
Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы mk , помещенной в точке , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так

Теперь осталось заметить, что при n —> числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу
1. Вычислите массу участка стержня от , если его линейная плотность задается формулой
2. Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [ 2;3 ], если сила тока задается формулой
3. Вычислите работу за промежуток времени [4;9 ], если мощность вычисляется по формуле
4. Вычислите работу по переносу единичной массы, совершенную силой [ -1;2].
4. Пирамида Хеопса представляет собой правильную четырехугольную пирамиду высотой 147 м, в основании которой лежит квадрат со стороной 232 м.Она построена из камня плотность которого 2,5 г/см³. Найти работу против силы тяжести затраченную при постройке.
 
5.Из цистерны, имеющей форму конуса с радиусом основания R и высотой Н, выкачивают воду через вершину конуса. Найдите совершаемую при этом работу. Найдите численное значение работы при R = Зм, H=5м, считая плотность воды р = 1 г/см³ .
6.Найдите работу против силы тяжести, совершенную при постройке великой пирамиды Хефрена, имеющей высоту Н = 215 м и сторону основания L = 143,5 м. Плотность материала пирамиды равна р = 2,5 г/см³ . Ответ дайте в джоулях и тонно-километрах.
7. Два точечных электрических заряда +10-4 и -10-4 Кл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Найдите работу, необходимую для того, чтобы развести их на расстояние 10 км.
Давление
8. Вычислите силу давления воды на квадратную пластину со стороной а, погруженную в воду перпендикулярно ее поверхности, считая, что верхнее основание пластины находится
а) на поверхности воды
б) на расстоянии h от поверхности воды
Теплота
9. Найдите количество теплоты, выделяемой переменным током
I(t) = I0sin (ωt + α) в течение одного периода времени в проводнике сопротивления R.
Путь
10. Точка движется по оси абсцисс так, что скорость ее в произвольный момент времени t задается формулой v(t) = cos( t + π/4). Найдите положение точки в момент времени t =π/2, если при t = π/4 она имела абсциссу, равную -1.
11. Точка движется по прямой. В начальный момент времени t=1c ее скорость равна 1м/с, а затем уменьшается по закону v=1/t².Найдите длину пути, пройденного точкой за 4 с от начального момента времени.
12.тело массой 1 движется с ускорением, меняющемся линейно по закону а(t)=2t-1. Какой путь пройдет тело за 4 единицы времени от начала движения t=0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?
13. Задан закон изменения скорости движения материальной точки по прямой: v=2(t+1) 2/3
(время в секундах, скорость в метрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 7с от начала движения (t=0)
 Сила
14*. Найдите силу гравитационного взаимодействия между расположенными на одной прямой материальной точкой массой т и однородным стержнем длиной I и массой М. Расстояние от точки до ближайшего конца стержня равно I.
 
Цилиндр, конус, шар.
 
1.Один арбуз больше другого в обхвате в 2,5 раза. Каково отношение их масс?
2. В сосуд конической формы налили 100 мл микстуры для больного ребенка. А он отказывался пить: Она горькая.
Хорошо, выпей до половины.
Ребенок согласился и отпил половину (по высоте). Сколько микстуры осталось в сосуде?
3. Найдите массу мотка медной проволоки сечением 2 мм и длиной 50 м. Справка. Масса вычисляется по формуле m = pV, где р — плотность вещества. В частности, для меди р = 8,9 г/см3. А для вычисления объема цилиндра V нужно воспользоваться формулой V = nR2H.
4. Дедушка спрашивает внука:
-Как, по-твоему, у кучи песка какая форма?
-Конуса, конечно.
Этот песок я высыпал из ведра цилиндрической формы, и что интересно: высота кучи песка совпала с высотой ведра. Ну, сможешь ты вычислить диаметр ведра? Только сначала измерь основание конуса.
5. Жестянщику заказали ковш цилиндрической формы объемом 1 л и высотой 1 дм. Начертите развертку и сделайте модель из плотной бумаги.
6. Прочность балки (разрушающая нагрузка, Н) с прямоугольным сечением размером а Х Ь пропорциональна ab² , где а — основание, b — высота прямоугольника. У балки уменьшили вдвое основание сечения. Как нужно изменить высоту сечения, чтобы прочность осталась той же?
7. Пятачок надувал воздушный шарик. И когда радиус его достиг 10
см, Пятачок попросил помощи у Винни-Пуха. Пух дул так, что радиус увеличивался равномерно со скоростью 0,1 см/с. Выразите площадь поверхности шарика через время, в течение которого Пух надувал шарик. Если площадь поверхности шарика достигнет 50,26 дм2, то он лопнет. Когда Пятачку следует остановить друга? Какой при этом будет радиус шарика?
8. Горючее хранят в цилиндрических резервуарах, лежащих горизонтально. С поверхности горючего происходит испарение (за месяц примерно 4,8 кг с м2), поэтому ее называют «зеркалом испарения». Найдите формулу для вычисления площади «зеркала испарения», если известны длина цилиндра l, диаметр основания d = 2r и глубина слоя горючего h.Вычислите потери горючего за месяц при хранении его в цистерне с l = 6 м, d = 2 м, h= 1,8 м.
9. Требуется изготовить развертку картонной коробки формы параллелепипеда (без крышки) высотой 8 см, объемом 1 л и с отношением длины к ширине 5:4. Какого размера нужно взять лист картона?
10.Планируется построить канал оросительной системы длиной 1 км с прямоугольным сечением. Для облицовки стен и дна имеется 6000 м2 материала. Выберите такие размеры сечения, чтобы объем воды в канале был наибольшим.
11. Требуется изготовить ковш в форме усеченного конуса объемом 3 л, высотой 20 см, с диаметром нижнего основания 10 см. Каков диаметр верхнего основания?
12.Две трубы, внутренние диаметры которых равны 15 и 25 мм, требуется заменить одной, не изменяя их пропускной способности. Каким должен быть внутренний диаметр новой трубы?
 
Векторы.
 
а) Достаточно ли сказать, на сколько метров переместился стул, чтобы знать его новое положение? Определите графически перемещение стула, если известно, что сначала его передвинули на 3 м параллельно одной стене, а затем на 5 м параллельно другой (смежной) стене. (Задача выполняется с последующей самопроверкой по образцу Рисунок 1)
 

Рисунок 1
б) Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман на высоте 1 м. Найдите путь и перемещение мяча.
Ответ: Путь – 4 м; перемещение – 2 м.
в) На рисунке 2 показаны перемещения пяти материальных точек. Найдите проекции векторов перемещения на оси координат.
 
0-63500
 
 
Рисунок 2
Ответ: A (4 м; 0); B (4 м; 2 м); C (– 4 м; 0); D (0; 3 м); E (3 м; – 4 м).
г) На рисунке 3 показана траектория движения материальной точки из A в B. Найдите координаты точки в начале и конце движения, перемещение, проекции перемещения на оси координат.
left12890500 
 
 
 
 
 
 
 
 
рисунок 3
Ответ: A (20 м; 20 м); B (60 м; – 10 м); 50 м; 40 м; – 30 м.
 
д) Тело переместилось из точки с координатами (0; 2) в точку с координатами (4; –1). Сделайте чертеж, найдите перемещение и его проекции на оси координат.
Ответ: 5 м; 4 м; – 3 м.
Sx = x2 – x1 = 4 м; Sy = y2 – y1 = –3 м.
е) Выбрав подходящий масштаб, начертите вектор, изображающий полет самолета сначала на 300 км на юг от А до В, потом на 500 км на восток от В до С.
Скорость.
ж).Скорость лодки в реке относительно воды 2 м/с, а скорость течения относительно берега 1,5 м/с. Какова скорость лодки относительно берега, когда лодка плывет по течению? Против течения?
Решение: рис.4 , 2 + 1,5 = 3,5 (м/с); 2 – 1,5 = 0,5 (м/с).
 
 
 
 
 
 
Рис.4
з) Скорость движения автомобиля за 40 секунд возросла от 5 м/с до 15 м/с. Определите ускорение автомобиля.
и) Двигаясь со скоростью 72 км/ч, мотоциклист притормозил и через 20 с достиг скорости 36 км/ч. С каким ускорением он тормозил?
 
Задачи, решаемые людьми различных
специальностей .
1. Паркетчик, вырезая квадраты из дерева, проверял их так: он сравнивал длины сторон, и если все четыре стороны были равны, то он считал квадрат вырезанным правильно, Надежна ли такая проверка? (Такая проверка недостаточна. Четырехугольник мог выдержать такое испытание, не будучи квадратом, ромб тоже имеет равные стороны).
2. Другой паркетчик проверял свою работу иначе: он мерил не стороны, а диагонали. Если обе диагонали оказывались равными, паркетчик считал квадрат вырезанным правильно. Вы тоже так думаете? (Эта проверка ненадежна. В квадрате диагонали равны, но не всякий четырехугольник с равными диагоналями есть квадрат. Равные диагонали могут быть и у прямоугольника и у равнобокой трапеции).
3. Третий паркетчик при проверке квадратов убеждался в том, что все 4 части, на которые диагонали разделяют друг друга, равны между собой. По его мнению, это доказывало, что вырезанный четырехугольник есть квадрат. А по-вашему? (Этим свойством обладают не только диагонали квадрата, но и диагонали прямоугольника)
4. Швее нужно отрезать кусок полотна в форме квадрата. Отрезав несколько кусков, она проверяет свою работу тем, что перегибает четырехугольный кусок по диагонали и смотрит, не совпадают ли края. Если совпадают, значит, решает она, отрезанный кусок имеет в точности квадратную форму. Так ли это? (Проверка недостаточна. Есть четырехугольники, края которых при перегибании по диагонали совпадут, но все таки это не квадрат. Это может быть ромб или четырехугольник произвольного вида)
5. Другая швея не довольствовалась проверкой применяемой ее подругой. Она перегибала отрезанный четырехугольник сначала по одной диагонали, затем, расправив полотно, перегибала по другой. И только, если края фигуры совпадали в обоих случаях, она считала квадрат вырезанным правильно. Что вы скажите о такой проверке? (Эта проверка недостаточна ).Это моможет быть не только квадрат, но и ромб. Чтобы действительно убедиться, квадратной ли формы отрезанный кусок, нужно кроме того, что сделала белошвейка, проверить также, равны ли диагонали или углы).
6. Сколько следует выписать на складе светло-голубой краски для окраски панели помещения размером 7x6,5м, если высота панели равна 2м. Укрывистость данной краски составляет 100 г/м2.
7. Какое количество пасты, идущей на клеевую окраску гобелена высотой 0,7м для 10 служебных комнат, следует выдать бригаде, если расход пасты 24кг на 100м2? Развертка комнаты дана на рис.1.
рис.1
8. При несоблюдении нормы толщины штукатурного намета допускается перерасход сырья и денег. Подсчитайте, на сколько увеличится стоимость штукатурных работ (рис.1), если толщину штукатурного намета увеличить на 2мм.Примечание. Стоимость  штукатурного намета на 1м2 поверхности составляет 150руб.
9.Какое время потребуется маляру для окраски панели (высотой 2м) в помещении (рис.1) маховой кистью и валиком, если норма времени для окраски 100м2 поверхности: кистью - 6,4ч, валиком - 3,4ч?10. На строительных площадках песок хранят в штабелях. После приемки влажный песок уложили в штабель конической формы, размеры которого оказались следующими: длина окружности основания С=32м, длина но откосу l = 7м. Определить объем принимаемого песка, учитывая скидку на влажность воздуха 15%.11. Маляру требуется покрыть поверхность общей площадью 200м2. Внутренний диаметр резервуара краскопульта ручного действия приблизительно равен 178мм, высота - 715мм. Известно, что при двукратном покрытии расходуется 480г краски на 1м2. Рассчитайте, сколько раз и каким количеством водной краски придется наполнять рабочему резервуар, чтобы не оставалось излишков.Указание. Принять массу 1л водной краски равной 1кг. 12. По графикам зависимости удельного расхода материала Q от площади поверхности покрытия S (рис.2) определите наиболее экономически эффективный тип покрытия для малых (до 20*103 м2)и больших площадей поверхностей при проектировании зданий. Типы покрытий: 1 - плоскостные конструкции; 2 - решетчатые плиты 1 -го типа; 3 - купола; 4 - висячие системы.Для выполнения этого здания учащимся нужно использовать понятия возрастания функции и скорости изменения функции в данной точке (производной).Чтобы учащиеся нашли   ключ к решению, рекомендуется задать им такие вопросы:
 Сколько графиков на чертеже?
 Зависимость между какими переменными изображена на каждом из графиков?
 Как изменяется удельный  расход материала при увеличении площади покрытия (на рис.3)?
 
 Назовите функцию (номер графика), возрастающую быстрее других, и функцию, возрастающую медленнее других. При каком покрытии для одинаковой площади поверхности удельный расход сырья меньше? Какое из этих покрытий наиболее экономично?
С помощью графиков определите тип покрытий, который наиболее экономичен для: а) малых (до 20*103 м2);  б) больших площадей поверхностей.
 

рис.2
13. Зависимость между временем схватывания гипса и количеством имеющейся добавки выражается линейной функцией, графиком которой является прямая. При этом чтобы построить график, сначала выясняют время схватывания гипса без добавок. Затем гипс затворяют водой, в которую ввели 1,5% добавки (по массе к воде затворения), и снова отмечают время схватывания. В дальнейшем интересующие данные находят по графику. Способ нахождения добавки по графику экономит рабочее время и исключает необходимость вновь проводить опыт для очередной порции добавки.
 
0-63500
рис.3
По данному графику находятся ответы на следующие задания:
 Проследите по графику функции (рис.3), как изменяется время схватывания гипса в зависимости от количества имеющейся добавки.
 Какое количество добавки (в процентах) следует ввести, чтобы время схватывания гипса было равно 20мин.?
 Через сколько времени закончится схватывание гипса, если ввести в водогипсовую смесь 1,0% добавки?
Как следует распределить имеющуюся в наличии добавку, чтобы ускорить время схватывания гипса? Ответ обоснуйте.
 
Практические задачи творческого характера.
 
Журавль белый1. Белые журавли устраивают свои гнезда только в Якутии и на Оби. В Якутии их на 20% больше, чем на Оби, от общего числа белых журавлей, сохранившихся в природе. Сколько белых журавлей сохранилось в природе, если в Якутии на 60 особей больше, чем на Оби?Бабочка2. Куколки бабочек выносят температуру 6 градусов холода, что составляет 2/3 температуры, которую выдерживают бабочки, и 2/15 температуры, которую выдерживают гусеницы бабочек. Определить, сколько градусов холода выдерживают бабочки и их гусеницы?Кабарга3. Самые крупные из оленей – лоси достигают веса 500 кг. Вес самого маленького из оленей – кабарги составляет 2/125 веса лося. Сколько весит кабарга?Дельфин4. Два дельфина, плывущих навстречу друг другу, разделяет расстояние 33 км. Когда встретятся дельфины, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости второго и их скорости относятся как 5:6?
Лимон5. Один лимон и один апельсин вместе стоят 77,5 сумов. Определить цену одного лимона и одного апельсина, если 5 лимонов и 2 апельсина стоят 275 сумов.
6. 8 шагов дедушки составляют 4,8 м, а 9 шагов его внука - 3,6 м. Для того, чтобы обойти сад прямоугольной формы, дедушка делает 60 шагов. По ширине этого сада внук проходит за 40 шагов. Найдите периметр и площадь сада.
7. Три бульдозера разровняли землю на площадке в 13,5 га за 45 минут. За сколько времени мождно разровнять двумя такими бульдозерами площадку в форме прямоугольника длиной 0,9 км и шириной 0,4 км?
 8. Путешествие совершается на двух автомобилях— российском и британском. Счетчик первого из них показывает расстояние в километрах, второго — в милях. В начале путешествия первый показывал 28 300, а второй — 5615. В конце путешествия первый — 31 205, второй — 7420.
Вычислите длину мили в километрах.
Выведите формулы пересчета показаний счетчика одного автомобиля через показания другого.
9. С помощью графиков функции проиллюстрируйте смысл пословиц:
Каково жизнь проживёшь - такую славу наживёшь.Без терпенья – нет уменья.Кто скоро помог – тот дважды помог.Пересев хуже недосева.Горяч на помине – да скоро остыл.Какой мерой меряешь, такой и тебе отмерится.
Интерпретация некоторых пословиц:
 
Каково жизнь проживёшь - такую славу наживёшь.
 
 
Если на протяжении своей жизни будешь совершать отрицательные дела, поступки, то и слава о тебе будет отрицательная, и наоборот.
Пересев хуже недосева
 
209550-30797500
Если семян мало, то и урожай будет мал. Если семян слишком много, то им расти будет плохо, и семена потеряешь, и урожая не соберешь. Нужно посадить оптимальное количество семян и урожай будет высоким.
Пословицы – отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом человечества.
10. Снаряд зенитной пушки, выпущенный вертикально вверх со скоростью 800 м/с, достиг цели через 6 с. На какой высоте находился самолет противника и какова скорость снаряда при достижении цели?
11. Наверное, вы слышали, как о ком-нибудь говорят: «Да он же золотой человек!» А если бы человек на самом деле был из золота, то его удельная теплоемкость была такой же, как у золота. На сколько градусов повысилась бы температура тела человека от выпитого стакана горячего чая (57°С)?
Ответ: приблизительно 2.2oС.
 
Литература.
 
1. “Простейшие задачи на максимум и минимум” И. П. Натансон. Москва 1957г.
2. Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М. Просвещение 1994г.
3. Фридман Л.М. Изучаем математику. М.Просвещение 1995г.
4. Бродский И.Л., Видус А.М., Коротаев А.Б. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов 7-11кл.
5. Соколова А.В., Пикан В.В., Оганесян В.А. Из опыта преподавания математики в средней школе: пособие для учителя. М. Просвещение 1979г.
6. Гельфман Э.Г. и др. Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. 6кл .
7. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 2000.
8. Башмаков М.И. Ценностные ориентиры математического образования // Математика, №20, 2005.
9. Модернизация российского образования: достижения и уроки / серия “Актуальные вопросы образовательной политики”. – М.: Изд. “Алекс”, 2004.
10. Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / Под ред. П.И. Пидкасистого. – М.: Педагогическое общество России, 1998.
11. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике. Профильный уровень // Математика, №14, 2006.
12. Хадобин А.И., Худобин Н.И., Шуршалов М.Ф. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителей. – М.: Прсвещение, 1970.
13. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2001. 384 с.
14. Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. Для студентов хим.-биол. спец. пед. вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1993. – 319с.
15. Безопасность жизнедеятельности. Производственная безопасность и
охрана труда./ П.П. Кукин, В.Л. Лапин, Н.Л.Пономарев и др.; Учеб.пособие для студентов средних спец. учеб. Заведений. – М.: Высш. шк., – 2001. – 431с.
16. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. Чтения 9-10 кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192с.
17. Есипенко Г.Е. Математика в жизни. Новосибирское книжное издательство, 1960. С.100
18. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Учись применять математику. Выпуск 1. М.: “Знание”, 1977., с.144
19 .Уалянская Н. О, функция, как ты важна// Математика. – 1999. – № 45. – С.11.
20. Фестиваль «Открытый урок-1 сентября».
21. Фоминых П.П. Сборник прикладных задач 7-9 класс.
22. Отделочные строительные работы: Учебник для начального профессионального образования. А. А. Ивлиев, А. А. Кальгин. – М.:
 

Приложенные файлы

  • docx zadachnik
    Для учителя математики
    Размер файла: 379 kB Загрузок: 5