учебное пособие по физике (раздел «Магнетизм»)

ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено студентам дневной и вечерней форм обучения. Пособие написано с целью помочь студентам овладеть основными приемами и техникой решения задач по разделу “Магнетизм”.
Учебное пособие состоит из двух глав. Весь материал сгруппирован в отдельные параграфы таким образом, чтобы охватить основные законы данного раздела.
Каждый параграф содержит методические указания к применению формул, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Краткое теоретическое введение имеет справочный характер и дается для того, чтобы студент имел “под рукой” необходимые формулы и не должно рассматриваться как источник для изучения теории.
Глава I
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА
§1. Закон Био – Савара – Лапласа
1.1. Основные понятия и законы
Известно, что источником магнитного поля может являться электрический ток, постоянный магнит или движущийся электрический заряд. Силовыми характеристиками магнитного поля являются вектор магнитной индукции и вектор напряженности магнитного поля, которые связаны соотношением
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн/м – магнитная постоянная; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – магнитная проницаемость вещества.
Закон Кулона утверждает, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Элемент тока длиной HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 создает поле с магнитной индукцией
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Данное выражение и есть закон Био-Савара-Лапласа. Направление вектора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 определяется векторным произведением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Применим данный закон для вычисления магнитных полей, создаваемых проводниками простейших форм.
Магнитная индукция в центре кругового тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – радиус кругового витка с током.
Магнитная индукция на оси кругового тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – расстояние от центра кругового тока до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля бесконечно длинного прямого проводника с током:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля, созданного отрезком проводника с током:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – углы между направлением тока и направлениями радиус-векторов, проведенных из концов проводника в точку, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.
1.2. Примеры решения задач
Задача 1. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис.1). По проводам текут токи HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15А HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15А. Расстояние между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.
Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 поля, создаваемого токами HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, определяется выражением
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – магнитная индукция поля, созданного в точке А (рис.1) током HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – магнитная индукция поля, созданного токомHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Направления векторов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находятся по правилу буравчика, угол между ними HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Модуль вектора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 можно определить по теореме Пифагора:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Модули векторов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провод

с током: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В нашем случае HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15мкТл.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15мкТл.
Задача 2. Бесконечно длинный провод образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу течет ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Магнитная индукция в центре витка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл. Найти радиус витка.
Решение. По принципу суперпозиции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – магнитные поля прямого и кругового токов (рис.2).
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Используя правило буравчика, находим, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Тогда модуль вектора индукции можно определить следующим образом:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=5 см.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см.
Задача 3. Длинный провод с током 50 А изогнут под углом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 3). Расстояние HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см.
Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15

В соответствии с принципом суперпозиции будет равна геометрической сумме магнитных индукций HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Магнитная индукция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 равна нулю, так как точка А лежит на оси провода. Магнитную индукцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 найдем, воспользовавшись соотношением для индукции поля отрезка проводника с током:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В нашем случае HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (провод длинный), HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Определим расстояние r. Из прямоугольного треугольника HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Тогда магнитная индукция
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, , HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкТл.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкТл.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Ток силой I, протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S, создает в центре кольца индукцию магнитного поля, равную В. Какова разность потенциалов между концами проволоки, образующей кольцо?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Задача 2. Определить индукцию магнитного поля в точке, равноудаленной от проводящей квадратной рамки, на расстоянии, равном его стороне. По квадратной рамке течет ток I=5 А. Сторона рамки а=10 см.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл.
Задача 3. На рис. 4 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
длинных проводников с токами HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Расстояния АВ=ВС=5 см. На каком расстоянии от т. А находится точка, в которой напряженность магнитного поля равна нулю?


Ответ. Н=3,3 см.
Задача 4. Найти напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника стоком в т. С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии b=5 см от него. По проводнику течет ток I=20 А. Отрезок АВ проводника виден из т. С под углом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 5. В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле напряженностью Н при разности потенциалов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на концах витка. Какую разность потенциалов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 надо приложить, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же проволоки?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 6. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной а=10 см, течет ток I=5 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл.
Задача 7. Магнитное поле создано в вакууме одинаково направленными прямыми бесконечными параллельными токами HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А, расстояние между которыми HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Определить индукцию магнитного поля в точке, расположенной на расстоянии HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см от каждого проводника.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл.
Задача 8. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому течет ток
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
I=5 А, согнут под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точках А и С, находящихся на биссектрисе угла и в точке D на продолжении одной из его сторон. Расстояние от вершины угла до каждой из точек HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см (рис. 5).

Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл.
Задача 9. Прямой бесконечно длинный проводник, по которому течет ток I1=3,14 A, и круговой виток, по которому течет ток I2 расположены так, как показано на рис. 6.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Расстояние от центра витка до прямого проводника равно радиусу витка. Найти, какой ток I2 должен протекать по витку, чтобы в его центре магнитная индукция была направлена под углом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 к оси витка.

Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Задача 10. Виток радиуса R=1 м, по которому течет ток I=2 А, сгибается по диаметру так, что две его полуплоскости составляют угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найти изменение модуля вектора магнитной индукции в центре витка.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл.
§2. Действие магнитного поля на проводник с током. Закон Ампера
2.1. Основные понятия и законы
На элемент проводника HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15dl, по которому течет ток I, в магнитном поле действует сила Ампера
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Направление силы Ампера определяется с помощью правила левой руки: силовые линии должны входить в ладонь, четыре пальца ориентируются по току, тогда отогнутый на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 большой палец укажет направление силы.
Модуль силы Ампера
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Для прямолинейного проводника длиной l, помещенного в однородное магнитное поле, закон Ампера принимает вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – угол между направлением вектора индукции и тока в проводнике.
Если в магнитном поле находится рамка с током, то на нее действует пара сил с вращающим моментом
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если рамка состоит из нескольких витков N, то
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Направление магнитного момента рамки с током совпадает с направлением нормали к плоскости рамки и определяется выражением
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Работа, совершаемая при повороте рамки с током в магнитном поле, связана с вращающим моментом соотношением
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Направление нормали HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 связано с направлением тока в рамке правилом буравчика. Рамка будет поворачиваться до тех пор, пока HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, при этом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Это состояние устойчивого равновесия. Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, но это состояние неустойчивого равновесия: малейшее отклонение приведет к повороту на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Магнитное поле, как и электростатическое, можно изображать с помощью силовых линий. За направление HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 принимают направление северного конца магнитной стрелки: линии магнитной индукции выходят из северного полюса магнита.

2.2. Примеры решения задач
Задача 1. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Какую работу надо совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см?
Решение. Будем считать, что один из токов (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)создает магнитное поле, а другой (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) находится в нем и перемещается. Магнитное поле прямого тока неоднородное, по мере удаления от проводника уменьшается согласно формуле:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Элементарная работа внешней силы по перемещению проводника I2 на db равна:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Направление HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 определяется по правилу буравчика, а направление силы – по правилу левой руки (рис. 9).
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Согласно закону Ампера HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Тогда в расчете на единицу длины элементарная работа равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Найдем полную работу, необходимую для раздвижения проводников:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж/м.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкДж/м.
Задача 2. Виток радиуса r=2 cм, по которому течет ток I=10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается постоянной.
Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – магнитный момент витка с током; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – угол между направлением вектора магнитной индукции и нормалью к плоскости рамки.
Согласно условию задачи, в начальный момент HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, поэтому М = 0. Под действием внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, отличный от нуля. Он стремится вернуть виток в исходное положение. Следовательно, внешние силы при повороте совершают работу против момента.
Вычислим элементарную работу HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, необходимую для поворота рамки на угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, когда момент сил можно считать постоянным:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Определим работу, совершаемую при повороте витка на угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкДж.
Задача 3. В однородном магнитном поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл помещен проводник, имеющий форму полукольца радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м. По проводнику течет ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить силу, действующую на проводник со стороны магнитного поля.
Решение. Рассмотрим элемент проводника с током dl. На него со стороны магнитного поля действует сила HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В рассматриваемом случае линии индукции перпендикулярны dl, поэтому
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.Направление силы определяется с помощью правила левой руки (рис. 10). Для каждого элемента направление силы имеет свое направление. Для нахождения силы, действующей на проводник, проецируем вектор силы на оси, а затем произведем суммирование соответствующих проекций.
Результирующую силу найдем по формуле
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В силу симметрии HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Учтем, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, отсюда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Н.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Н.

2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Длинный прямой проводник расположен в одной плоскости с квадратной проволочной рамкой параллельно двум ее сторонам. По рамке и проводу текут одинаковые токи HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине. Определить силу, действующую на рамку.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Н.
Задача 2. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм и индукция магнитного поля в его центре HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкТл.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Тл.
Задача 3. Квадратная рамка со стороной 1 м и массой m=1 кг расположена
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
в одной плоскости на расстоянии b=1 м от прямого бесконечного проводника с током HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А (рис. 11). При каком токе I2 в рамке она будет висеть неподвижно в воздухе на расстоянии b=1 м от прямого проводника?


Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Задача 4. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии друг от друга, текут одинаковые токи I=100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу, действующую на отрезок длиной l=1 м каждого провода.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15=20 мН; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=34,6 мН.
Задача 5. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R=15 см, находится в однородном магнитном поле (В=20 мТл). По проводу течет ток I=30 А. Плоскость, в которой лежит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подводящие провода находятся вне поля. Определить силу, действующую на провод.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15=0,156 Н.

Задача 6. Рамка гальванометра длиной а=4 см и шириной b=1,5 см, содержащая N=200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией В=0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Найти механический момент, действующий на рамку, когда по витку течет ток I=1 мА и магнитный момент рамки при этом токе.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 мкНм; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкАм2.
Задача 7. Из проволоки длиной l=20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил, действующие на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл. По контурам течет ток I=2 А. Плоскость каждого контура составляет уголHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с направлением поля.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Нм; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Нм.
Задача 8. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,5 Тл движется равномерно проводник длиной l=10 см. По проводнику течет ток I=2 А. Скорость движения проводника v=20 cм/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу по перемещению проводника за время t=10 с и мощность, затраченную на это перемещение.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Дж; Р=20 мВт.
Задача 9. Заряд HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Кл равномерно распределен на тонком кольце радиуса R=0,1 м. Кольцо равномерно вращается с частотой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гц относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Определить магнитный момент, обусловленный вращением кольца.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Ам2.
Задача 10. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной l=2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстояние d=20 см. Определить силу взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним идет ток I=10 кА.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Н.
§3. Магнитный поток. Работа по перемещению
проводника и рамки в магнитном поле
3.1. Основные понятия и законы
Потоком HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 вектора индукции магнитного поля HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 через бесконечно малую площадку HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 называется скалярная величина
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15,
где HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 – нормаль к площадке HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Полный магнитный поток через поверхность S равен
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Поток вектора HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 через произвольную замкнутую поверхность
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
При включении магнитного поля на проводник АС (рис. 12) будет действовать сила Ампера. Под действием этой силы проводник перемещается на расстояние dx. В результате совершается работа
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Таким образом, работа поля по пере-

мещению проводника с током (рамки) во внешнем однородном магнитном поле
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – магнитные потоки, пронизывающие рамку в начальном и конечном положениях.
Закон полного тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 называется циркуляцией вектора напряженности магнитного поля, а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.
В отличие от электростатического поля, для которого HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Поля, обладающие таким свойством, называются вихревыми или соленоидальными. Силовые линии таких полей всегда замкнуты; опыт показывает, что причина этому – отсутствие магнитных зарядов. А из этого следует, что
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3.2. Примеры решения задач
Задача 1. В плоскости прямоугольной рамки со стороной а=5 см и b=4 м параллельно большой ее стороне расположен тонкий прямой бесконечный проводник на расстоянии HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м от ближайшей большой стороны рамки. По проводнику течет ток I=10 А. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.
Решение. Рамка расположена в неоднородном магнитном поле, поэтому магнитный поток нужно искать, используя метод дифференцирования и интегрирования.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Выделим на стороне рамки b элемент dx. Тогда элементарная площадка dS равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а магнитный поток, пронизывающий ее HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Выделенная площадка расположена на расстоянии х от проводника, создающего поле. Тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Интегрируя по х от HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Вб.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Вб.
Задача 2. Квадратная рамка с током HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние b=3 cм. Сторона рамки а=2 см. Найти работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку вокруг ее оси на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение. Работа, совершаемая внешними силами при перемещении рамки равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Для вычисления потоков (рис. 14) рамку следует разбить на элементарные площадки dS, в пределах которых поле прямого тока остается постоянным. Площадь выделенной нами площадки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а индукция поля на расстоянии х равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Поток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, пронизывающий рамку в начальный момент : HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Так как величина х изменяется от HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, поток будет равен:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
При повороте рамки на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 изменится направление нормали к поверхности рамки и, следовательно, знак потока вектора магнитной индукции.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Таким образом, работа по перемещению рамки с током в магнитном поле
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Дж.
Задача 3. Коаксиальный длинный кабель состоит из медного проводника радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см и тонкостенной трубы радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, разделенных изоляцией (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Рассчитать магнитный поток, пронизывающий площадку S, расположенную в плоскости осевого сечения и ограниченную осью и одной из образующих цилиндра длиной l=1 м. Токи, текущие по центральному проводнику и цилиндрической трубе, равны и противоположны по направлению (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А).
Решение. В данной задаче магнитную индукцию нельзя рассчитать по закону Био-Савара-Лапласа, так как проводники не являются линейными. Воспользуемся законом полного тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как линии магнитной индукции поля, созданного проводниками, имеют вид концентрических окружностей, то в качестве контура L выбираем окружность радиуса r (рис. 15). В этом случае вектор магнитной индукции в каждой точке контура будет одинаков по величине, а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Определим по закону полного тока вектор HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 для любой точки поля, лежащей между проводниками (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Циркуляция вектора по указанному контуру равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Суммарный ток, охватываемый контуром, включает в себя весь ток I1, текущий по центральному проводнику, т.е.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Тогда из закона полного тока получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Для точек поля, лежащих внутри первого проводника (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), циркуляция вектора индукции вдоль контура равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если контур охватывает часть тока HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то необходимо определить эту часть с учетом плотности тока HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Тогда из закона полного тока получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Найдем элементарный поток через элементарную площадку dS: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Поток магнитной индукции представим как сумму потоков через площадку, расположенную внутри центрального проводника и через площадку, находящуюся между центральным проводником и внешней трубой, т.е.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Отсюда Ф = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 =
= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Вб.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Вб.

3.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В однородном магнитном поле напряженностью Н=79,6 кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой составляет с направлением магнитного поля угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Сторона рамки а=4 см. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.
Ответ. Ф = 80 нВб.
Задача 2. Ток I=10 А течет по полой тонкостенной трубе радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см и возвращается по сплошному проводнику радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, проложенному по оси трубы. Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстоянии HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см от оси трубы.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Тл.
Задача 3. Определить, во сколько раз отличаются магнитные потоки, пронизывающие рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током, представленных на рис. 16.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15

Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Вб.

Задача 4. Через центр железного кольца перпендикулярно к его плоскости
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Проходит длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I=25 А. Кольцо имеет четырехугольное сечение (рис. 17), размеры которого HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм и h=5 мм. Считая приближенно, что в любой точке сечения кольца индукция одинакова и равна индукции на средней линии кольца,

найти магнитный поток, пронизывающий площадь сечения кольца.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 мкВб.
Задача 5. Проволочное кольцо радиуса r=10 см лежит на столе. По кольцу течет ток , сила которого поддерживается равной HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть кольцо с одной стороны на другую? Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Дж.
Задача 6. Рамка площадью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см 2 равномерно вращается с частотой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с -1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям магнитной индукции B = 4 мкТл. Найти максимальный поток сквозь плоскость рамки; магнитный поток в момент времени HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Вб; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Вб.
Задача 7. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиуса r=10 см, течет ток силой I=100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл, по направлению совпадающей с индукцией собственного магнитного поля кольца. Определить работу внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упругих сил пренебречь.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Дж.
Задача 8. По соленоиду с полым сердечником виде тора с прямоугольным
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
поперечным сечением, пропускают ток I=2,4 А. Число витков в соленоиде N=500. Определить магнитный поток через тороид, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, b=5 см (рис. 18).


Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15Вб.
Задача 9. В однородном магнитном поле, индукция которого B=0,1 Тл находится проводник, согнутый в виде квадрата со стороной а=0,1 м. По проводнику течет ток I=20 A. Плоскость квадрата составляет угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с направлением индукции. Определить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
Задача 10. Вычислить циркуляцию вектора индукции магнитного поля вдоль контура, охватывающего токи HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А, текущие в одном направлении и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А, текущий в противоположном направлении.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 А.
§4. Сила Лоренца.
Движение заряженных частиц в магнитном поле
4.1. Основные понятия и законы
На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В электромагнитном поле заряженные частицы движутся под действием силы, представляющей собой суперпозицию электрической (кулоновской) и магнитной составляющих:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Поскольку сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно движению заряда, она работу над частицей не совершает и, следовательно, не может изменить ее энергию. Сила Лоренца изменяет траекторию движения частицы.
4.2. Примеры решения задач
Задача 1. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус этой окружности.
Решение. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, она сообщит протону нормальное ускорение.
Согласно второму закону Ньютона
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – сила Лоренца.
Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Учтем, что нормальное ускорение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Подставим это во второй закон Ньютона:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Отсюда находим радиус окружности:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил поля по перемещению заряда и изменением кинетической энергии, то есть
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пренебрегая начальной кинетической энергией протона, получим
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Выразим отсюда скорость и подставим в формулу для радиуса частицы:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 мм.
Задача 2. Положительно заряженная частица влетела в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и начала вращаться по окружности радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Найти радиус HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться частица, если влетит в это же поле под углом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 к вектору магнитной индукции с той же начальной скоростью.
Решение. Рассмотрим сначала случай перпендикулярного входа частицы в магнитное поле. Сила Лоренца сообщает частице нормальное ускорение и согласно второму закону Ньютона
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если частица влетает в магнитное поле под углом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 к вектору индукции, то сила Лоренца изменяет направление только одной составляющей скорости, совершенно не влияя на другую (рис. 19).
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15

В плоскости YOZ частица будет двигаться по окружности, радиус которой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, с постоянной по модулю скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Поскольку эта скорость изменяется только по направлению, а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 не изменяется ни по направлению, ни по величине, можно записать, что
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = const.
Траектория частицы в этом случае представляет собой винтовую линию с постоянным шагом h.
В проекции на плоскость YOZ динамическое уравнение движения частицы имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; откуда следует HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Учтем, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и получим: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Шаг винтовой линии можно определить, умножив скорость в направлении оси OX на время, за которое частица совершит один полный оборот, то есть на период:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как за время, равное периоду, частица со скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 проходит по окружности радиусом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Таким образом, шаг винтовой линии будет равен
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Задача 3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-частица и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов U, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-частицы больше радиуса кривизны траектории электрона?
Решение. Поскольку масса и заряд HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-частицы (ядро атома гелия) отличаются от массы и заряда электрона, то скорости этих частиц будут разными. Работа электрического поля по перемещению частиц равна изменению их кинетической энергии. Отсюда получаем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, и, следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Так как в дальнейшем движение происходит в магнитном поле, на частицы действует сила Лоренца. Траектории их движения представляют собой окружности определенного радиуса. Согласно второму закону Ньютона
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Применим данную формулу для нахождения отношения радиусов кривизны траектории частиц:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
4.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с. Индукция поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл, радиус окружности HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кэВ.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Кл.
Задача 2. Два электрона движутся «бок о бок» в вакууме по параллельным проводам с одинаковой скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с. Расстояние между электронами HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм. Найти силу магнитного взаимодействия между электронами. Сравнить ее с силой кулоновского взаимодействия между этими электронами.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Н; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 3. По винтовой линии, радиус которой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см и шаг HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см движется электрон в магнитном поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл. Определить период обращения электрона и его скорость.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с.
Задача 4. Во взаимно перпендикулярных магнитном поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл и электрическом поле напряженностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кВ/м движется прямолинейно, перпендикулярно к обоим полям, заряженная частица. Вычислить скорость этой частицы.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с.
Задача 5. Покоящийся в начальный момент электрон ускоряется постоянным электрическим полем. Через время HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с электрон влетает в магнитное поле, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Во сколько раз нормальное ускорение электрона в этот момент больше его тангенциального ускорения, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 6. В магнитном поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл движется по окружности радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см заряженная частица. Параллельно магнитному полю возбуждено электрическое поле напряженностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В/м. В течение какого промежутка времени должно действовать электрическое поле для того, чтобы кинетическая энергия частицы возросла вдвое?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с.
Задача 7. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям индукции в однородное магнитное поле, созданное в среде. В результате взаимодействия с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину своей первоначальной энергии. Во сколько раз будут отличаться радиусы кривизны траектории начала и конца пути?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 8. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В, влетает в однородные, скрещенные под прямым углом магнитное (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл) и электрическое поля. Определить напряженность электрического поля, если протон движется в скрещенных полях прямолинейно.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кВ/м.
Задача 9. Заряженная частица с энергией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм. Найти силу, действующую на частицу со стороны поля.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3
·HYPER14HYPER15 пН.
Задача 10. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с. Длина конденсатора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Напряженность поля конденсатора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому полю. Индукция магнитного поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мТл. Найти радиус и шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см.
§5. Энергия магнитного поля
5.1. Основные понятия и законы
Индуктивностью L называют коэффициент пропорциональности между силой тока I, протекающего через контур, и полным магнитным потоком (потокосцеплением) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; между скоростью изменения силы тока HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и ЭДС самоиндукции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Индуктивность зависит от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости среды.
Индуктивность катушки физически бесконечной длины (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15<HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15,
где N и n – число витков и плотность витков на единицу длины катушки.
Контур с индуктивностью L и током I возбуждает магнитное поле, энергия которого

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если энергия распределена равномерно, то используется понятие объемной плотности энергии магнитного поля
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если поле неоднородно, то
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Интегрируя выражение по всему объему магнитного поля, можно найти энергию неоднородного поля:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
5.2. Примеры решения задач
Задача 1. По бесконечной прямой полой трубке радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см идет ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Определить энергию магнитного поля, заключенного в цилиндре радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м и длиной HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м, расположенного соосно с трубкой.
Решение. Магнитное поле, созданное током, идущим по трубке, является неоднородным. Для расчета энергии такого поля применяется метод дифференцирования и интегрирования. Разобьем цилиндр на малые полые цилиндры толщиной dr (рис. 20).
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
В пределах каждого такого цилиндра магнитное поле можно считать однородным. Объем элементарного цилиндра HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а энергия поля, создаваемого этим цилиндром
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Согласно закону Био-Савара-Лапласа, напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током на расстоянии r от центра равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В этом случае энергия, заключенная в элементарном цилиндре, равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Проинтегрировав уравнение по r в пределах от HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получим:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Дж.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мДж.
Задача 2. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет 10 витков на каждый сантиметр длины. При каком токе в обмотке тороида плотность энергии магнитного поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж/м3?
Решение. Плотность энергии магнитного поля находится следующим образом: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Так как сердечник немагнитный, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Напряженность поля тороида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где n – число витков на единицу длины.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Задача 3. Края соленоида с квадратным сечением соединили, образовав кольцо с внутренним радиусом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Сторона квадратного сечения соленоида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Определить энергию магнитного поля, запасенную внутри соленоида, если его обмотка имеет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 витков и по ней течет ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Считать, что каркас соленоида изготовлен из материала с магнитной проницаемостью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение. Магнитную индукцию поля внутри соленоида определим с помощью закона полного тока. С этой целью выберем контур в виде окружности радиусом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, проходящей внутри соленоида (рис. 21).
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Центр окружности находится на оси кольца. Закон полного тока запишем в виде
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Отсюда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, магнитное поле внутри соленоида зависит от расстояния до оси кольца.
Объем кольцевого слоя dv прямоугольного

сечения толщиной dr и высотой а равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Запасенную энергию определим интегрированием плотности энергии магнитного поля по объему соленоида:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
5.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В горизонтально расположенном соленоиде, имеющем число витков HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 1/м, находится железный сердечник, длина которого равна длине соленоида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м, а радиус равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, радиус витка соленоида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Определить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы вытащить сердечник из соленоида. Магнитная проницаемость HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Ток в соленоиде HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
Задача 2. Обмотка тороида содержит HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 витков/см. Сердечник немагнитный. При какой силе тока плотность энергии магнитного поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж/м 3? Считать, что диаметр витка обмотки много меньше диаметра тороида.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Задача 3. Индукция магнитного поля в вакууме HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл. Какой должна быть напряженность электрического поля (в вакууме), чтобы объемная плотность энергии этого поля была равна объемной плотности энергии данного магнитного поля?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В/м.
Задача 4. Определить энергию магнитного поля внутри бесконечного прямого сплошного цилиндрического медного проводника радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м на длине HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м. По проводнику течет постоянный ток плотностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А/м2.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж/м.
Задача 5. По обмотке тороида течет ток силой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Витки провода диаметром d=0,4 cм плотно прилегают друг к другу. Найти энергию магнитного поля в стальном сердечнике тороида, если площадь сечения его равна 4 см2, диаметр средней линии равен 30 см.
Примечание: для определения магнитной проницаемости следует воспользоваться графиком зависимости HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мДж.
Задача 6. Плотность энергии магнитного поля в соленоиде HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж/м3. Во сколько раз увеличится плотность магнитной энергии, если внутрь соленоида ввести железный сердечник?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 7. В электрическую цепь с омическим сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом включен соленоид с сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. Определить индуктивность соленоида, если через время HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с после размыкания цепи ток уменьшится в три раза.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Гн.
Задача 8. По витку радиуса 1 м и индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн идет постоянный ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Определить, через сколько времени после замыкания ключа плотность энергии магнитного поля в центре витка уменьшится в 10 раз. Сопротивление витка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с.
Задача 9. Две катушки намотаны на один общий сердечник. Индуктивность первой катушки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн, второй – HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн. Сопротивление второй катушки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. Какой ток потечет по второй катушке, если ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А, текущий в первой катушке, спадает до нуля в течение времени HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Задача 10. Обмотка соленоида имеет сопротивление R=10 Ом. Какова его индуктивность, если при протекании тока за 0,5 с в нем выделяется количество теплоты, эквивалентное энергии магнитного поля соленоида?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн.
§6. Явление электромагнитной индукции
6.1. Основные понятия и законы
Явление электромагнитной индукции заключается в возникновении электрического тока в проводящем контуре при любом изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур.
Закон Фарадея для электромагнитной индукции: ЭДС индукции в контуре равна скорости изменения потока магнитной индукции, пронизывающей этот контур
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Возникающий ток называется индукционным и направление его определяется правилом Ленца:
индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем препятствовать изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.
Ток, текущий в любом контуре, создает магнитный поток, пронизывающий этот же контур. При изменении тока будет меняться и поток, следовательно, в контуре будет наводиться ЭДС. Данное явление называется самоиндукцией.
Так как величина магнитной индукции в любой точке поля пропорциональна силе тока в контуре, магнитный поток также пропорционален силе тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где L – индуктивность контура.
Закон Фарадея для самоиндукции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Наличие ЭДС самоиндукции приводит к тому, что при выключении источника тока ток в цепи, содержащей индуктивность, исчезает не сразу, а спадает постепенно (рис. 22). Установление тока в цепи также происходит не мгновенно, а постепенно (рис. 23).
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15

Если в одном из двух контуров, расположенных недалеко друг от друга, изменяется ток, следовательно, изменяется индукция магнитного поля, лини индукции пронизывают витки соседнего контура и в нем возникает HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Такие контуры называются связанными, а явление – взаимной индукции.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – взаимная индуктивность.
Явление взаимной индукции используется в трансформаторах; взаимная индуктивность двух обмоток, намотанных на общий сердечник, равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
6.2. Примеры решения задач
Задача 1. Внутри соленоида, находящегося в вакууме, имеющего длину HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см и число витковHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, находится металлическое кольцо, которое охватывает площадь HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см 2 . Сопротивление кольца HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. Плоскость кольца перпендикулярна оси соленоида. Ток в соленоиде нарастает по закону HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А/с. Определить силу, действующую на единицу длины кольца через 5 с после включения тока.
Решение. Поскольку ток в соленоиде изменяется со временем, магнитный поток через сечение соленоида также будет меняться, что приведет к возникновению ЭДС индукции в металлическом кольце.
Поток магнитной индукции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Из закона Фарадея для электромагнитной индукции следует
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Индукционный ток, возникающий в кольце, согласно закону Ома, равен
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
На контур с током в магнитном поле действует сила Ампера
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как кольцо с током перпендикулярно оси соленоида, а вектор магнитной индукции направлен параллельно оси соленоида, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Сила, действующая на единицу длины кольца, равна
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Н/м.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Н/м.
Задача 2. Квадратная проволочная рамка со стороной 5 см и сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мОм находится в однородном магнитном поле (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с линиями индукции. Определить заряд, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.
Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая законом Фарадея
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Возникшая ЭДС вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить по закону Ома:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как мгновенное значение силы индукционного тока HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то закон Ома можно переписать в виде HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Из последнего выражения находим заряд:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Найдем магнитный поток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. По определению магнитного потока,
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Заряд, протекающий по рамке при выключении поля, равен
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Кл.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мКл.
Задача 3. В однородном магнитном поле с напряженностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кА/м равномерно с частотой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гц вращается стержень длиной HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности и ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов.
Решение. При вращении стержня изменяется количество линий магнитной индукции (магнитный поток), пересекаемых стержнем, и на концах стержня вследствие явления электромагнитной индукции возникнет разность потенциалов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Так как магнитное поле однородно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Учтем, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, и получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В.


6.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В центре круглой рамки, состоящей из HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 витков радиусом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см каждый, расположена маленькая рамочка, состоящая из HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 витков, площадью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см 2 каждый. Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров большой рамки с постоянной угловой скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 рад/с. Найти максимальное значение возникающей ЭДС индукции, если в обмотке первой рамки течет ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В.
Задача 2. К источнику тока с HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг другу. Расстояние между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с прямолинейный проводник сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Определить ЭДС индукции и силу тока в цепи.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А.
Задача 3. Рамка площадью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см2 содержит 1000 витков провода сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл) с частотой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гц. Определить максимальную мощность тока в цепи.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Вт.
Задача 4. В магнитном поле, индукция которого меняется по закону HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл/с2 , расположена квадратная рамка со стороной HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, причем плоскость рамки перпендикулярна вектору индукции. Определить количество теплоты, которое выделится в рамке за первые 5 с, если сопротивление рамки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
Задача 5. Тонкий медный проводник массой 1 г согнут в виде квадрата и концы его замкнуты. Квадрат помещен в магнитное поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл так, что плоскость его перпендикулярна вектору индукции. Какое количество электричества протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию? Удельное сопротивление HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом м; плотность HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кг/м 3.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Кл.
Задача 6. Катушку сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом и индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн подключили к источнику тока. Через какой промежуток времени сила тока достигнет 0,9 предельного значения?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с.
Задача 7. По электрической цепи с сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом и индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн идет ток HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 А. Какое количество тепла выделится в этой цепи за первую секунду после размыкания ключа?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Дж.
Задача 8. По двум медным шинам, установленным под углом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 к горизонту, скользит под действием силы тяжести медный брусок массой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кг. В окружающем шины пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл, перпендикулярное к плоскости, в которой перемещается брусок. Вверху шины закорочены сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. Найти установившуюся скорость бруска, если коэффициент трения между поверхностями шин и бруском HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, расстояние между шинами HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см. Сопротивлением шин, бруска и контактов пренебречь.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15м/с.
Задача 9. Квадратная рамка со стороной 1 м и сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом закреплена в однородном магнитном поле, величина которого линейно растет со скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл/с. Направление магнитного поля образует с плоскостью рамки угол HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найти мощность, рассеиваемую в рамке.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Вт.
Задача 10. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны 10 см и 20 см. Найти силу тока в проводе, если при включении через рамку протекло количество электричества HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкКл.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кА.
Глава II
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА
§1. Электромагнитные колебания
1.1. Основные понятия
В колебательном контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор, катушку, активное сопротивление, возникают электромагнитные колебания, дифференциальное уравнение которых имеет вид
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – коэффициент затухания, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – собственная частота контура, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – решение данного уравнения.
Если R =0, колебания свободные незатухающие; дифференциальное уравнение таких колебаний – частный случай, решением его является гармоническое колебание, которое описывается уравнением
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Собственная частота колебаний HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и частота затухающих колебаний связаны уравнением
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Время релаксации – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Логарифмический декремент затухания – натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, равно
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – индуктивное сопротивление; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – емкостное сопротивление.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение, равен
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Явление резонанса – это возбуждение сильных колебаний (возрастание амплитуды) при частоте внешней ЭДС, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура.
Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания.
1.2. Примеры решения задач
Задача 1. Чему равно отношение энергии магнитного поля идеального колебательного контура, состоящего из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C, к энергии его электрического поля для момента времени HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с?
Решение. В данном колебательном контуре происходят незатухающие электромагнитные колебания. Пусть в начальный момент на обкладках конденсатора разность потенциалов была наибольшей. Тогда со временем она изменяется по закону
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ток в контуре, согласно определению, изменяется по закону
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Энергия магнитного поля
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Энергия электрического поля
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Учитывая последние две формулы, найдем отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получим
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 2. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн. Чему равно омическое сопротивление контура, если известно, что амплитуда колебаний в нем за время HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с уменьшилась в е раз?
Решение. Зная коэффициент затухания HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, можно определить сопротивление контура. Так как известно время релаксации, коэффициент затухания равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом.
Задача 3. Колебательный контур имеет емкость HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ф и индуктивность HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн. Логарифмический декремент затухания HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. За сколько времени энергия в контуре уменьшится в 10 раз?
Решение. Так как колебания в контуре затухающие, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Энергия в колебательном контуре пропорциональна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), следовательно, пропорциональна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. По условию задачи
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Отсюда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Логарифмический декремент затухания
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Из последнего соотношения находим коэффициент затухания
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – собственная частота колебаний.
Искомое время HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 равно
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Разность потенциалов на конденсаторе идеального контура Томсона изменяется по закону HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Определить максимальное значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В.
Задача 2. Найти индукцию магнитного поля в катушке колебательного контура в момент времени HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с, если при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 заряд на конденсаторе HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Кл, а начальный ток в контуре HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Емкость конденсатора HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ф; индуктивность катушки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн; число витков на единицу длины в катушке контура HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151/м; омическое сопротивление контура HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл.
Задача 3. Сопротивление HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом и катушка с индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн соединены последовательно. Какую емкость необходимо включить последовательно в цепь, чтобы уменьшить сдвиг фазы между ЭДС и силой тока на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15? Частота изменения ЭДС HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Гц.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкФ.
Задача 4. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кв. см и катушка с индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкГн, резонирует на волну длиной HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м. Определить расстояние между пластинами конденсатора.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мм.
Задача 5. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мГн и конденсатора переменной электроемкости от HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 пФ до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 пФ. Определить диапазон длин волн электромагнитных волн, которые могут вызывать резонанс в колебательном контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Задача 6. Найти логарифмический декремент затухания в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкФ и катушки индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн, если разность потенциалов на обкладках конденсатора за время HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с уменьшается в три раза. Чему равно омическое сопротивление контура?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом.
Задача 7. Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний в реальном колебательном контуре имеет вид HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найти отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в контуре в момент максимума тока.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 8. Определить заряд на пластинах плоского конденсатора в идеальном контуре Томсона в момент времени HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с, если при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 заряд HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Кл, ток в контуре HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний имеет вид HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Кл.
Задача 9. Два конденсатора с емкостями HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкФ и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В и частотой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гц. Найти ток в цепи и падения потенциала на первом и втором конденсаторах.
Ответ. а) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мА; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В.
Задача 10. Какое сопротивление надо ввести в LC-контур (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мГн; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 нФ), чтобы изменить частоту колебаний на 0,01%? Увеличится или уменьшится частота колебаний?
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ом.


§2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны
2.1. Основные понятия и законы
Система уравнений Максвелла в интегральной форме является системой фундаментальных законов электрического и магнитного полей. Уравнения полностью описывают электромагнитное поле. Теория Максвелла привела к представлениям об электромагнитном поле, как о неразрывной совокупности взаимосвязанных электрического и магнитного полей, которые могут превращаться друг в друга и распространяться в пространстве.
Первое уравнение Максвелла
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
является выражением закона электромагнитной индукции. Физический смысл уравнения заключается в том, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющееся во времени магнитное поле.
Второе уравнение системы Максвелла – это теорема Гаусса для потока вектора электрического смещения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Третье уравнение Максвелла отражает теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру или закон полного тока:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Из первого и третьего уравнения вытекает важнейший вывод: переменное электрическое и магнитное поля не могут существовать отдельно; они всегда существуют вместе, образуя единое электромагнитное поле.
Четвертое уравнение отражает теорему Гаусса для потока вектора магнитной индукции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Это уравнение указывает на отсутствие магнитных зарядов.
Электромагнитной волной называется распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, характеризуемое в каждой точке периодическим изменением вектора напряженности электрического и магнитного полей. В электромагнитной волне векторы напряженности электрического поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и магнитной индукции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 всегда колеблются в одинаковых фазах. Векторы взаимно перпендикулярны, перпендикулярны HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и образуют правовинтовую систему.
В случае плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ уравнение волны имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Скорость распространения волны в среде
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решения волновых уравнений для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеют вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Энергия, переносимая электромагнитной волной за единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, выражается модулем вектора Умова – Пойтинга
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Плотность потока электромагнитной энергии – вектор Умова – Пойтинга связан с объемной плотностью энергии электромагнитного поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 соотношением
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Направление вектора Умова – Пойтинга перпендикулярно к HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и совпадает с направлением скорости распространения волны.

2.2. Примеры решения задач
Задача 1. Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус которого R, меняют так, что индукция магнитного поля внутри соленоида возрастает со временем по закону HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – постоянная. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 от оси соленоида.
Решение. Чтобы определить плотность тока смещения, воспользуемся первым уравнением Максвелла:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Нужно найти напряженность электрического поля, которое в данном случае является вихревым, так как магнитное поле меняется со временем.
При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 уравнение принимает вид
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
откуда получаем выражение для напряженности поля: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Учитывая, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, найдем плотность тока смещения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15);
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15); HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
Задача 2. Какую скорость приобретает электрон в конце первого витка в бетатроне, радиус которого R, если напряженность однородного магнитного поля изменяется по закону HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – постоянный коэффициент.
Решение. Принцип работы бетатрона основан на явлении электромагнитной индукции. Возникающее переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле, ускоряющее электроны. Это поле, совершая работу, увеличивает кинетическую энергию электрона, поэтому HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Из первого уравнения Максвелла найдем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Учитывая, что магнитный поток, пронизывающий камеру
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
получаем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Работа электрического поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Отсюда находим скорость электрона:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 3. Напишите уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ в однородной среде (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), если при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 напряженность ее электрического поля HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В/м. Амплитуда волны HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В/м, длина волны HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Решение. Уравнение волны с учетом начальной фазы имеет вид
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Волновое число HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, скорость волны HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Учитывая, что скорость распространения волны HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получим выражение для частоты
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Начальную фазу определяем из начальных условий: при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведем вычисления:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 рад/с.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В/м.
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Пространство между двумя концентрическими металлическими проводящими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и диэлектрической проницаемостью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В момент времени HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Задача 2. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см, подключен к переменному косинусоидальному напряжению частоты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 1/с. Найти отношение максимальных значений энергии магнитного и электрического поля внутри конденсатора.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Задача 3. Скорость изменения магнитной индукции в бетатроне HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Тл/с. Вычислить напряженность вихревого электрического поля на орбите электрона, если ее радиус HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 см.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В/м.
Задача 4. Рассчитайте кинетическую энергию, которую приобретает электрон в бетатроне, сделав HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 оборотов, если средняя скорость изменения магнитного потока в бетатроне HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Вб/с. Определить путь, пройденный электроном, если радиус орбиты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 МэВ; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Задача 5. Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки с индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн и переменного конденсатора, емкость которого может меняться в пределах от HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ф до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ф. В каком диапазоне длин волн может принимать радиостанции этот приемник?
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 м; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м.
Задача 6. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Гн и конденсатора, площадь каждой пластины которого HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кв. м. Контур резонирует на волну HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м. Найти расстояние между пластинами конденсатора.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 мм.
Задача 7. Протоны, имеющие одинаковую скорость HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, образуют пучок круглого сечения с током HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Найти направление и модуль вектора Умова – Пойтинга вне пучка на расстоянии HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 от его оси.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Задача 8. Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний в колебательном контуре имеет вид HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (записано в СИ).Определить логарифмический декремент затухания.
Ответ. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.








HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER1447HYPER15



HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Рис. 1

А

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Рис. 2

А

d

I

O

1

2

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

r

Рис. 3

I1

I2


I3


A

B

C

Рис. 4

I

C

D

A

Рис. 5

I1

I2

R

Рис. 6

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


I

Рис. 7

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

N

S

Рис. 8

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Рис. 9

I

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

x

y

r

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Рис. 10

I1

b

a

Рис. 11

I

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

A

C

dx

Рис. 12

b

a

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

I

x

dx

Рис. 13

Рис. 14

dx

x

I2

I1

a

b

I2

r1

r2

l

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Рис. 15

1

2

а



Рис. 16

I



l1

l2

I

h

Рис. 17

R2

R1

b

Рис. 18

dr

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

x

y

Рис. 19

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

z

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

l

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Рис. 20

Рис. 21

а

R

I

r

R+a

t

I

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

I

t

Рис. 23

Рис. 22

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Z

R

Рис. 24

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file5.doc
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 3