учебное пособие по физике (раздел «Магнетизм»)

ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено студентам дневной и вечерней форм обучения. Пособие написано с целью помочь студентам овладеть основными приемами и техникой решения задач по разделу “Магнетизм”.
Учебное пособие состоит из двух глав. Весь материал сгруппирован в отдельные параграфы таким образом, чтобы охватить основные законы данного раздела.
Каждый параграф содержит методические указания к применению формул, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Краткое теоретическое введение имеет справочный характер и дается для того, чтобы студент имел “под рукой” необходимые формулы и не должно рассматриваться как источник для изучения теории.
Глава I
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА
§1. Закон Био – Савара – Лапласа
1.1. Основные понятия и законы
Известно, что источником магнитного поля может являться электрический ток, постоянный магнит или движущийся электрический заряд. Силовыми характеристиками магнитного поля являются вектор магнитной индукции и вектор напряженности магнитного поля, которые связаны соотношением
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 Гн/м – магнитная постоянная; 13 EMBED Equation.3 1415 – магнитная проницаемость вещества.
Закон Кулона утверждает, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока:
13 EMBED Equation.3 1415.
Элемент тока длиной 13 EMBED Equation.3 1415 создает поле с магнитной индукцией
13 EMBED Equation.3 1415.
Данное выражение и есть закон Био-Савара-Лапласа. Направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 определяется векторным произведением 13 EMBED Equation.3 1415.
Применим данный закон для вычисления магнитных полей, создаваемых проводниками простейших форм.
Магнитная индукция в центре кругового тока:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – радиус кругового витка с током.
Магнитная индукция на оси кругового тока:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – расстояние от центра кругового тока до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля бесконечно длинного прямого проводника с током:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля, созданного отрезком проводника с током:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – углы между направлением тока и направлениями радиус-векторов, проведенных из концов проводника в точку, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси):
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.
1.2. Примеры решения задач
Задача 1. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис.1). По проводам текут токи 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415А. Расстояние между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.
Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция 13 EMBED Equation.3 1415 поля, создаваемого токами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, определяется выражением
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – магнитная индукция поля, созданного в точке А (рис.1) током 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – магнитная индукция поля, созданного током13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Направления векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 находятся по правилу буравчика, угол между ними 13 EMBED Equation.3 1415. Модуль вектора 13 EMBED Equation.3 1415 можно определить по теореме Пифагора:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Модули векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провод

с током: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415мкТл.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415мкТл.
Задача 2. Бесконечно длинный провод образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу течет ток 13 EMBED Equation.3 1415 А. Магнитная индукция в центре витка 13 EMBED Equation.3 1415 Тл. Найти радиус витка.
Решение. По принципу суперпозиции 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – магнитные поля прямого и кругового токов (рис.2).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Используя правило буравчика, находим, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда модуль вектора индукции можно определить следующим образом:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.


Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415=5 см.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 см.
Задача 3. Длинный провод с током 50 А изогнут под углом 13 EMBED Equation.3 1415. Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 3). Расстояние 13 EMBED Equation.3 1415 см.
Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

В соответствии с принципом суперпозиции будет равна геометрической сумме магнитных индукций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Магнитная индукция 13 EMBED Equation.3 1415 равна нулю, так как точка А лежит на оси провода. Магнитную индукцию 13 EMBED Equation.3 1415 найдем, воспользовавшись соотношением для индукции поля отрезка проводника с током:
13 EMBED Equation.3 1415.
В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415 (провод длинный), 13 EMBED Equation.3 1415. Определим расстояние r. Из прямоугольного треугольника 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда магнитная индукция
13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 мкТл.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мкТл.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Ток силой I, протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S, создает в центре кольца индукцию магнитного поля, равную В. Какова разность потенциалов между концами проволоки, образующей кольцо?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 2. Определить индукцию магнитного поля в точке, равноудаленной от проводящей квадратной рамки, на расстоянии, равном его стороне. По квадратной рамке течет ток I=5 А. Сторона рамки а=10 см.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Тл.
Задача 3. На рис. 4 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
длинных проводников с токами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Расстояния АВ=ВС=5 см. На каком расстоянии от т. А находится точка, в которой напряженность магнитного поля равна нулю?


Ответ. Н=3,3 см.
Задача 4. Найти напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника стоком в т. С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии b=5 см от него. По проводнику течет ток I=20 А. Отрезок АВ проводника виден из т. С под углом 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 5. В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле напряженностью Н при разности потенциалов 13 EMBED Equation.3 1415 на концах витка. Какую разность потенциалов 13 EMBED Equation.3 1415 надо приложить, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же проволоки?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 6. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной а=10 см, течет ток I=5 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Тл.
Задача 7. Магнитное поле создано в вакууме одинаково направленными прямыми бесконечными параллельными токами 13 EMBED Equation.3 1415 А, расстояние между которыми 13 EMBED Equation.3 1415 см. Определить индукцию магнитного поля в точке, расположенной на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 см от каждого проводника.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Тл.
Задача 8. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому течет ток
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
I=5 А, согнут под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точках А и С, находящихся на биссектрисе угла и в точке D на продолжении одной из его сторон. Расстояние от вершины угла до каждой из точек 13 EMBED Equation.3 1415 см (рис. 5).

Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Тл; 13 EMBED Equation.3 1415 Тл; 13 EMBED Equation.3 1415 Тл.
Задача 9. Прямой бесконечно длинный проводник, по которому течет ток I1=3,14 A, и круговой виток, по которому течет ток I2 расположены так, как показано на рис. 6.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Расстояние от центра витка до прямого проводника равно радиусу витка. Найти, какой ток I2 должен протекать по витку, чтобы в его центре магнитная индукция была направлена под углом 13 EMBED Equation.3 1415 к оси витка.

Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Задача 10. Виток радиуса R=1 м, по которому течет ток I=2 А, сгибается по диаметру так, что две его полуплоскости составляют угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найти изменение модуля вектора магнитной индукции в центре витка.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Тл.
§2. Действие магнитного поля на проводник с током. Закон Ампера
2.1. Основные понятия и законы
На элемент проводника 13 EMBED Equation.3 1415dl, по которому течет ток I, в магнитном поле действует сила Ампера
13 EMBED Equation.3 1415.
Направление силы Ампера определяется с помощью правила левой руки: силовые линии должны входить в ладонь, четыре пальца ориентируются по току, тогда отогнутый на 13 EMBED Equation.3 1415 большой палец укажет направление силы.
Модуль силы Ампера
13 EMBED Equation.3 1415.
Для прямолинейного проводника длиной l, помещенного в однородное магнитное поле, закон Ампера принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – угол между направлением вектора индукции и тока в проводнике.
Если в магнитном поле находится рамка с током, то на нее действует пара сил с вращающим моментом
13 EMBED Equation.3 1415.
Если рамка состоит из нескольких витков N, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Направление магнитного момента рамки с током совпадает с направлением нормали к плоскости рамки и определяется выражением
13 EMBED Equation.3 1415.
Работа, совершаемая при повороте рамки с током в магнитном поле, связана с вращающим моментом соотношением
13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Направление нормали 13 EMBED Equation.3 1415 связано с направлением тока в рамке правилом буравчика. Рамка будет поворачиваться до тех пор, пока 13 EMBED Equation.3 1415, при этом 13 EMBED Equation.3 1415. Это состояние устойчивого равновесия. Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, но это состояние неустойчивого равновесия: малейшее отклонение приведет к повороту на 13 EMBED Equation.3 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Магнитное поле, как и электростатическое, можно изображать с помощью силовых линий. За направление 13 EMBED Equation.3 1415 принимают направление северного конца магнитной стрелки: линии магнитной индукции выходят из северного полюса магнита.

2.2. Примеры решения задач
Задача 1. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи 13 EMBED Equation.3 1415 А и 13 EMBED Equation.3 1415 А. Какую работу надо совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния 13 EMBED Equation.3 1415 см?
Решение. Будем считать, что один из токов (13 EMBED Equation.3 1415)создает магнитное поле, а другой (13 EMBED Equation.3 1415) находится в нем и перемещается. Магнитное поле прямого тока неоднородное, по мере удаления от проводника уменьшается согласно формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Элементарная работа внешней силы по перемещению проводника I2 на db равна:
13 EMBED Equation.3 1415.
Направление 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по правилу буравчика, а направление силы – по правилу левой руки (рис. 9).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Согласно закону Ампера 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда в расчете на единицу длины элементарная работа равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем полную работу, необходимую для раздвижения проводников:
13 EMBED Equation.3 1415.

Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 Дж/м.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мкДж/м.
Задача 2. Виток радиуса r=2 cм, по которому течет ток I=10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается постоянной.
Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – магнитный момент витка с током; 13 EMBED Equation.3 1415 – угол между направлением вектора магнитной индукции и нормалью к плоскости рамки.
Согласно условию задачи, в начальный момент 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому М = 0. Под действием внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, отличный от нуля. Он стремится вернуть виток в исходное положение. Следовательно, внешние силы при повороте совершают работу против момента.
Вычислим элементарную работу 13 EMBED Equation.3 1415, необходимую для поворота рамки на угол 13 EMBED Equation.3 1415, когда момент сил можно считать постоянным:
13 EMBED Equation.3 1415.
Определим работу, совершаемую при повороте витка на угол 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мкДж.
Задача 3. В однородном магнитном поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл помещен проводник, имеющий форму полукольца радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 м. По проводнику течет ток 13 EMBED Equation.3 1415 А. Плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить силу, действующую на проводник со стороны магнитного поля.
Решение. Рассмотрим элемент проводника с током dl. На него со стороны магнитного поля действует сила 13 EMBED Equation.3 1415.
В рассматриваемом случае линии индукции перпендикулярны dl, поэтому
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

13 EMBED Equation.3 1415.Направление силы определяется с помощью правила левой руки (рис. 10). Для каждого элемента направление силы имеет свое направление. Для нахождения силы, действующей на проводник, проецируем вектор силы на оси, а затем произведем суммирование соответствующих проекций.
Результирующую силу найдем по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. В силу симметрии 13 EMBED Equation.3 1415; следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Учтем, что 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 Н.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Н.

2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Длинный прямой проводник расположен в одной плоскости с квадратной проволочной рамкой параллельно двум ее сторонам. По рамке и проводу текут одинаковые токи 13 EMBED Equation.3 1415 А. Ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине. Определить силу, действующую на рамку.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Н.
Задача 2. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка 13 EMBED Equation.3 1415 мм и индукция магнитного поля в его центре 13 EMBED Equation.3 1415 мкТл.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Тл.
Задача 3. Квадратная рамка со стороной 1 м и массой m=1 кг расположена
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
в одной плоскости на расстоянии b=1 м от прямого бесконечного проводника с током 13 EMBED Equation.3 1415 А (рис. 11). При каком токе I2 в рамке она будет висеть неподвижно в воздухе на расстоянии b=1 м от прямого проводника?


Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Задача 4. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии друг от друга, текут одинаковые токи I=100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу, действующую на отрезок длиной l=1 м каждого провода.
Ответ. 13EMBED Equation.31415=20 мН; 13 EMBED Equation.3 1415=34,6 мН.
Задача 5. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R=15 см, находится в однородном магнитном поле (В=20 мТл). По проводу течет ток I=30 А. Плоскость, в которой лежит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подводящие провода находятся вне поля. Определить силу, действующую на провод.
Ответ. 13EMBED Equation.31415=0,156 Н.

Задача 6. Рамка гальванометра длиной а=4 см и шириной b=1,5 см, содержащая N=200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией В=0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Найти механический момент, действующий на рамку, когда по витку течет ток I=1 мА и магнитный момент рамки при этом токе.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 мкНм; 13 EMBED Equation.3 1415 мкАм2.
Задача 7. Из проволоки длиной l=20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил, действующие на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл. По контурам течет ток I=2 А. Плоскость каждого контура составляет угол13 EMBED Equation.3 1415 с направлением поля.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Нм; 13 EMBED Equation.3 1415 Нм.
Задача 8. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,5 Тл движется равномерно проводник длиной l=10 см. По проводнику течет ток I=2 А. Скорость движения проводника v=20 cм/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу по перемещению проводника за время t=10 с и мощность, затраченную на это перемещение.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Дж; Р=20 мВт.
Задача 9. Заряд 13 EMBED Equation.3 1415 Кл равномерно распределен на тонком кольце радиуса R=0,1 м. Кольцо равномерно вращается с частотой 13 EMBED Equation.3 1415 Гц относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Определить магнитный момент, обусловленный вращением кольца.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Ам2.
Задача 10. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной l=2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстояние d=20 см. Определить силу взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним идет ток I=10 кА.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Н.
§3. Магнитный поток. Работа по перемещению
проводника и рамки в магнитном поле
3.1. Основные понятия и законы
Потоком 13EMBED Equation.31415 вектора индукции магнитного поля 13EMBED Equation.31415 через бесконечно малую площадку 13EMBED Equation.31415 называется скалярная величина
13EMBED Equation.31415,
где 13EMBED Equation.31415 – нормаль к площадке 13EMBED Equation.31415.
Полный магнитный поток через поверхность S равен
13 EMBED Equation.3 1415.
Поток вектора 13EMBED Equation.31415 через произвольную замкнутую поверхность
13EMBED Equation.31415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
При включении магнитного поля на проводник АС (рис. 12) будет действовать сила Ампера. Под действием этой силы проводник перемещается на расстояние dx. В результате совершается работа
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, работа поля по пере-

мещению проводника с током (рамки) во внешнем однородном магнитном поле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – магнитные потоки, пронизывающие рамку в начальном и конечном положениях.
Закон полного тока:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 называется циркуляцией вектора напряженности магнитного поля, а 13 EMBED Equation.3 1415 – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.
В отличие от электростатического поля, для которого 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Поля, обладающие таким свойством, называются вихревыми или соленоидальными. Силовые линии таких полей всегда замкнуты; опыт показывает, что причина этому – отсутствие магнитных зарядов. А из этого следует, что
13 EMBED Equation.3 1415.
3.2. Примеры решения задач
Задача 1. В плоскости прямоугольной рамки со стороной а=5 см и b=4 м параллельно большой ее стороне расположен тонкий прямой бесконечный проводник на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 м от ближайшей большой стороны рамки. По проводнику течет ток I=10 А. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.
Решение. Рамка расположена в неоднородном магнитном поле, поэтому магнитный поток нужно искать, используя метод дифференцирования и интегрирования.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Выделим на стороне рамки b элемент dx. Тогда элементарная площадка dS равна 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, а магнитный поток, пронизывающий ее 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Выделенная площадка расположена на расстоянии х от проводника, создающего поле. Тогда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

Интегрируя по х от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 Вб.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Вб.
Задача 2. Квадратная рамка с током 13 EMBED Equation.3 1415 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток 13 EMBED Equation.3 1415 А. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние b=3 cм. Сторона рамки а=2 см. Найти работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку вокруг ее оси на 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Работа, совершаемая внешними силами при перемещении рамки равна
13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Для вычисления потоков (рис. 14) рамку следует разбить на элементарные площадки dS, в пределах которых поле прямого тока остается постоянным. Площадь выделенной нами площадки 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, а индукция поля на расстоянии х равна 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Поток 13 EMBED Equation.3 1415, пронизывающий рамку в начальный момент : 13 EMBED Equation.3 1415.

Так как величина х изменяется от 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, поток будет равен:
13 EMBED Equation.3 1415.
При повороте рамки на 13 EMBED Equation.3 1415 изменится направление нормали к поверхности рамки и, следовательно, знак потока вектора магнитной индукции.
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, работа по перемещению рамки с током в магнитном поле
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Дж.
Задача 3. Коаксиальный длинный кабель состоит из медного проводника радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см и тонкостенной трубы радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см, разделенных изоляцией (13 EMBED Equation.3 1415). Рассчитать магнитный поток, пронизывающий площадку S, расположенную в плоскости осевого сечения и ограниченную осью и одной из образующих цилиндра длиной l=1 м. Токи, текущие по центральному проводнику и цилиндрической трубе, равны и противоположны по направлению (13 EMBED Equation.3 1415 А).
Решение. В данной задаче магнитную индукцию нельзя рассчитать по закону Био-Савара-Лапласа, так как проводники не являются линейными. Воспользуемся законом полного тока:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как линии магнитной индукции поля, созданного проводниками, имеют вид концентрических окружностей, то в качестве контура L выбираем окружность радиуса r (рис. 15). В этом случае вектор магнитной индукции в каждой точке контура будет одинаков по величине, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Определим по закону полного тока вектор 13 EMBED Equation.3 1415 для любой точки поля, лежащей между проводниками (13 EMBED Equation.3 1415).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Циркуляция вектора по указанному контуру равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Суммарный ток, охватываемый контуром, включает в себя весь ток I1, текущий по центральному проводнику, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415.

Тогда из закона полного тока получим 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Для точек поля, лежащих внутри первого проводника (13 EMBED Equation.3 1415), циркуляция вектора индукции вдоль контура равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Если контур охватывает часть тока 13 EMBED Equation.3 1415, то необходимо определить эту часть с учетом плотности тока 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда из закона полного тока получим 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем элементарный поток через элементарную площадку dS: 13 EMBED Equation.3 1415 Поток магнитной индукции представим как сумму потоков через площадку, расположенную внутри центрального проводника и через площадку, находящуюся между центральным проводником и внешней трубой, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда Ф = 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 =
= 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 Вб.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Вб.

3.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В однородном магнитном поле напряженностью Н=79,6 кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой составляет с направлением магнитного поля угол 13 EMBED Equation.3 1415. Сторона рамки а=4 см. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.
Ответ. Ф = 80 нВб.
Задача 2. Ток I=10 А течет по полой тонкостенной трубе радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см и возвращается по сплошному проводнику радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см, проложенному по оси трубы. Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 см и 13 EMBED Equation.3 1415 см от оси трубы.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Тл.
Задача 3. Определить, во сколько раз отличаются магнитные потоки, пронизывающие рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током, представленных на рис. 16.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Ответ. 13EMBED Equation.31415 Вб.

Задача 4. Через центр железного кольца перпендикулярно к его плоскости
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Проходит длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I=25 А. Кольцо имеет четырехугольное сечение (рис. 17), размеры которого 13 EMBED Equation.3 1415 мм, 13 EMBED Equation.3 1415 мм и h=5 мм. Считая приближенно, что в любой точке сечения кольца индукция одинакова и равна индукции на средней линии кольца,

найти магнитный поток, пронизывающий площадь сечения кольца.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 мкВб.
Задача 5. Проволочное кольцо радиуса r=10 см лежит на столе. По кольцу течет ток , сила которого поддерживается равной 13 EMBED Equation.3 1415 А. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть кольцо с одной стороны на другую? Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли 13 EMBED Equation.3 1415 Тл.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Дж.
Задача 6. Рамка площадью 13 EMBED Equation.3 1415 см 2 равномерно вращается с частотой 13 EMBED Equation.3 1415 с -1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям магнитной индукции B = 4 мкТл. Найти максимальный поток сквозь плоскость рамки; магнитный поток в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 с.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Вб; 13 EMBED Equation.3 1415 Вб.
Задача 7. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиуса r=10 см, течет ток силой I=100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл, по направлению совпадающей с индукцией собственного магнитного поля кольца. Определить работу внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упругих сил пренебречь.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 Дж.
Задача 8. По соленоиду с полым сердечником виде тора с прямоугольным
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
поперечным сечением, пропускают ток I=2,4 А. Число витков в соленоиде N=500. Определить магнитный поток через тороид, если 13 EMBED Equation.3 1415 см, 13 EMBED Equation.3 1415 см, b=5 см (рис. 18).


Ответ. 13EMBED Equation.31415Вб.
Задача 9. В однородном магнитном поле, индукция которого B=0,1 Тл находится проводник, согнутый в виде квадрата со стороной а=0,1 м. По проводнику течет ток I=20 A. Плоскость квадрата составляет угол 13 EMBED Equation.3 1415 с направлением индукции. Определить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
Задача 10. Вычислить циркуляцию вектора индукции магнитного поля вдоль контура, охватывающего токи 13 EMBED Equation.3 1415 А, 13 EMBED Equation.3 1415 А, текущие в одном направлении и 13 EMBED Equation.3 1415 А, текущий в противоположном направлении.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 А.
§4. Сила Лоренца.
Движение заряженных частиц в магнитном поле
4.1. Основные понятия и законы
На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца
13 EMBED Equation.3 1415.
В электромагнитном поле заряженные частицы движутся под действием силы, представляющей собой суперпозицию электрической (кулоновской) и магнитной составляющих:
13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно движению заряда, она работу над частицей не совершает и, следовательно, не может изменить ее энергию. Сила Лоренца изменяет траекторию движения частицы.
4.2. Примеры решения задач
Задача 1. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 13 EMBED Equation.3 1415 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус этой окружности.
Решение. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, она сообщит протону нормальное ускорение.
Согласно второму закону Ньютона
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – сила Лоренца.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Учтем, что нормальное ускорение 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим это во второй закон Ньютона:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда находим радиус окружности:
13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил поля по перемещению заряда и изменением кинетической энергии, то есть
13 EMBED Equation.3 1415.
Пренебрегая начальной кинетической энергией протона, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Выразим отсюда скорость и подставим в формулу для радиуса частицы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 мм.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 мм.
Задача 2. Положительно заряженная частица влетела в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и начала вращаться по окружности радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см. Найти радиус 13 EMBED Equation.3 1415 и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться частица, если влетит в это же поле под углом 13 EMBED Equation.3 1415 к вектору магнитной индукции с той же начальной скоростью.
Решение. Рассмотрим сначала случай перпендикулярного входа частицы в магнитное поле. Сила Лоренца сообщает частице нормальное ускорение и согласно второму закону Ньютона
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Если частица влетает в магнитное поле под углом 13 EMBED Equation.3 1415 к вектору индукции, то сила Лоренца изменяет направление только одной составляющей скорости, совершенно не влияя на другую (рис. 19).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

В плоскости YOZ частица будет двигаться по окружности, радиус которой 13 EMBED Equation.3 1415, с постоянной по модулю скоростью 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку эта скорость изменяется только по направлению, а 13 EMBED Equation.3 1415 не изменяется ни по направлению, ни по величине, можно записать, что
13 EMBED Equation.3 1415 = const.
Траектория частицы в этом случае представляет собой винтовую линию с постоянным шагом h.
В проекции на плоскость YOZ динамическое уравнение движения частицы имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415; откуда следует 13 EMBED Equation.3 1415. Учтем, что 13 EMBED Equation.3 1415 и получим: 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Шаг винтовой линии можно определить, умножив скорость в направлении оси OX на время, за которое частица совершит один полный оборот, то есть на период:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как за время, равное периоду, частица со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 проходит по окружности радиусом 13 EMBED Equation.3 1415, то 13EMBED Equation.31415.
Таким образом, шаг винтовой линии будет равен
13EMBED Equation.31415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 м; 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Задача 3. 13 EMBED Equation.3 1415-частица и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов U, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории 13 EMBED Equation.3 1415-частицы больше радиуса кривизны траектории электрона?
Решение. Поскольку масса и заряд 13 EMBED Equation.3 1415-частицы (ядро атома гелия) отличаются от массы и заряда электрона, то скорости этих частиц будут разными. Работа электрического поля по перемещению частиц равна изменению их кинетической энергии. Отсюда получаем
13 EMBED Equation.3 1415, и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Так как в дальнейшем движение происходит в магнитном поле, на частицы действует сила Лоренца. Траектории их движения представляют собой окружности определенного радиуса. Согласно второму закону Ньютона
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Применим данную формулу для нахождения отношения радиусов кривизны траектории частиц:
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
4.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. Индукция поля 13 EMBED Equation.3 1415 Тл, радиус окружности 13 EMBED Equation.3 1415 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия 13 EMBED Equation.3 1415 кэВ.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Кл.
Задача 2. Два электрона движутся «бок о бок» в вакууме по параллельным проводам с одинаковой скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. Расстояние между электронами 13 EMBED Equation.3 1415 мм. Найти силу магнитного взаимодействия между электронами. Сравнить ее с силой кулоновского взаимодействия между этими электронами.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Н; 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3. По винтовой линии, радиус которой 13 EMBED Equation.3 1415 см и шаг 13 EMBED Equation.3 1415 см движется электрон в магнитном поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл. Определить период обращения электрона и его скорость.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 с; 13 EMBED Equation.3 1415 м/с.
Задача 4. Во взаимно перпендикулярных магнитном поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл и электрическом поле напряженностью 13 EMBED Equation.3 1415 кВ/м движется прямолинейно, перпендикулярно к обоим полям, заряженная частица. Вычислить скорость этой частицы.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 м/с.
Задача 5. Покоящийся в начальный момент электрон ускоряется постоянным электрическим полем. Через время 13 EMBED Equation.3 1415 с электрон влетает в магнитное поле, 13 EMBED Equation.3 1415. Во сколько раз нормальное ускорение электрона в этот момент больше его тангенциального ускорения, если 13 EMBED Equation.3 1415 Тл?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 6. В магнитном поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл движется по окружности радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см заряженная частица. Параллельно магнитному полю возбуждено электрическое поле напряженностью 13 EMBED Equation.3 1415 В/м. В течение какого промежутка времени должно действовать электрическое поле для того, чтобы кинетическая энергия частицы возросла вдвое?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 с.
Задача 7. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям индукции в однородное магнитное поле, созданное в среде. В результате взаимодействия с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину своей первоначальной энергии. Во сколько раз будут отличаться радиусы кривизны траектории начала и конца пути?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 8. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 13 EMBED Equation.3 1415 В, влетает в однородные, скрещенные под прямым углом магнитное (13 EMBED Equation.3 1415 Тл) и электрическое поля. Определить напряженность электрического поля, если протон движется в скрещенных полях прямолинейно.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 кВ/м.
Задача 9. Заряженная частица с энергией 13 EMBED Equation.3 1415 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом 13 EMBED Equation.3 1415 мм. Найти силу, действующую на частицу со стороны поля.
Ответ. 13 EMBED Equation.3
·1415 пН.
Задача 10. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. Длина конденсатора 13 EMBED Equation.3 1415 см. Напряженность поля конденсатора 13 EMBED Equation.3 1415 В/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому полю. Индукция магнитного поля 13 EMBED Equation.3 1415 мТл. Найти радиус и шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мм; 13 EMBED Equation.3 1415 см.
§5. Энергия магнитного поля
5.1. Основные понятия и законы
Индуктивностью L называют коэффициент пропорциональности между силой тока I, протекающего через контур, и полным магнитным потоком (потокосцеплением) 13 EMBED Equation.3 1415; между скоростью изменения силы тока 13 EMBED Equation.3 1415 и ЭДС самоиндукции 13 EMBED Equation.3 1415:
13EMBED Equation.31415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Индуктивность зависит от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости среды.
Индуктивность катушки физически бесконечной длины (13 EMBED Equation.3 1415<<13 EMBED Equation.3 1415), тороида
13EMBED Equation.31415,
где N и n – число витков и плотность витков на единицу длины катушки.
Контур с индуктивностью L и током I возбуждает магнитное поле, энергия которого

13 EMBED Equation.3 1415.
Если энергия распределена равномерно, то используется понятие объемной плотности энергии магнитного поля
13 EMBED Equation.3 1415.
Если поле неоднородно, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрируя выражение по всему объему магнитного поля, можно найти энергию неоднородного поля:
13 EMBED Equation.3 1415.
5.2. Примеры решения задач
Задача 1. По бесконечной прямой полой трубке радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см идет ток 13 EMBED Equation.3 1415 А. Определить энергию магнитного поля, заключенного в цилиндре радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 м и длиной 13 EMBED Equation.3 1415 м, расположенного соосно с трубкой.
Решение. Магнитное поле, созданное током, идущим по трубке, является неоднородным. Для расчета энергии такого поля применяется метод дифференцирования и интегрирования. Разобьем цилиндр на малые полые цилиндры толщиной dr (рис. 20).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В пределах каждого такого цилиндра магнитное поле можно считать однородным. Объем элементарного цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415, а энергия поля, создаваемого этим цилиндром
13 EMBED Equation.3 1415.
Согласно закону Био-Савара-Лапласа, напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током на расстоянии r от центра равна
13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае энергия, заключенная в элементарном цилиндре, равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Проинтегрировав уравнение по r в пределах от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13EMBED Equation.31415.
Произведем вычисления:
13EMBED Equation.31415 Дж.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мДж.
Задача 2. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет 10 витков на каждый сантиметр длины. При каком токе в обмотке тороида плотность энергии магнитного поля 13 EMBED Equation.3 1415 Дж/м3?
Решение. Плотность энергии магнитного поля находится следующим образом: 13 EMBED Equation.3 1415. Так как сердечник немагнитный, 13 EMBED Equation.3 1415. Напряженность поля тороида 13 EMBED Equation.3 1415, где n – число витков на единицу длины.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 А.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Задача 3. Края соленоида с квадратным сечением соединили, образовав кольцо с внутренним радиусом 13 EMBED Equation.3 1415 см. Сторона квадратного сечения соленоида 13 EMBED Equation.3 1415 см. Определить энергию магнитного поля, запасенную внутри соленоида, если его обмотка имеет 13 EMBED Equation.3 1415 витков и по ней течет ток 13 EMBED Equation.3 1415 А. Считать, что каркас соленоида изготовлен из материала с магнитной проницаемостью 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Магнитную индукцию поля внутри соленоида определим с помощью закона полного тока. С этой целью выберем контур в виде окружности радиусом 13 EMBED Equation.3 1415, проходящей внутри соленоида (рис. 21).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Центр окружности находится на оси кольца. Закон полного тока запишем в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415, магнитное поле внутри соленоида зависит от расстояния до оси кольца.
Объем кольцевого слоя dv прямоугольного

сечения толщиной dr и высотой а равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Запасенную энергию определим интегрированием плотности энергии магнитного поля по объему соленоида:
13EMBED Equation.31415=13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
5.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В горизонтально расположенном соленоиде, имеющем число витков 13 EMBED Equation.3 1415 1/м, находится железный сердечник, длина которого равна длине соленоида 13 EMBED Equation.3 1415 м, а радиус равен 13 EMBED Equation.3 1415 см, радиус витка соленоида 13 EMBED Equation.3 1415 см. Определить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы вытащить сердечник из соленоида. Магнитная проницаемость 13 EMBED Equation.3 1415. Ток в соленоиде 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
Задача 2. Обмотка тороида содержит 13 EMBED Equation.3 1415 витков/см. Сердечник немагнитный. При какой силе тока плотность энергии магнитного поля 13 EMBED Equation.3 1415 Дж/м 3? Считать, что диаметр витка обмотки много меньше диаметра тороида.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Задача 3. Индукция магнитного поля в вакууме 13 EMBED Equation.3 1415 Тл. Какой должна быть напряженность электрического поля (в вакууме), чтобы объемная плотность энергии этого поля была равна объемной плотности энергии данного магнитного поля?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 В/м.
Задача 4. Определить энергию магнитного поля внутри бесконечного прямого сплошного цилиндрического медного проводника радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 м на длине 13 EMBED Equation.3 1415 м. По проводнику течет постоянный ток плотностью 13 EMBED Equation.3 1415 А/м2.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Дж/м.
Задача 5. По обмотке тороида течет ток силой 13 EMBED Equation.3 1415 А. Витки провода диаметром d=0,4 cм плотно прилегают друг к другу. Найти энергию магнитного поля в стальном сердечнике тороида, если площадь сечения его равна 4 см2, диаметр средней линии равен 30 см.
Примечание: для определения магнитной проницаемости следует воспользоваться графиком зависимости 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мДж.
Задача 6. Плотность энергии магнитного поля в соленоиде 13 EMBED Equation.3 1415 Дж/м3. Во сколько раз увеличится плотность магнитной энергии, если внутрь соленоида ввести железный сердечник?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 7. В электрическую цепь с омическим сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом включен соленоид с сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. Определить индуктивность соленоида, если через время 13 EMBED Equation.3 1415 с после размыкания цепи ток уменьшится в три раза.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415Гн.
Задача 8. По витку радиуса 1 м и индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн идет постоянный ток 13 EMBED Equation.3 1415 А. Определить, через сколько времени после замыкания ключа плотность энергии магнитного поля в центре витка уменьшится в 10 раз. Сопротивление витка 13 EMBED Equation.3 1415 Ом.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 с.
Задача 9. Две катушки намотаны на один общий сердечник. Индуктивность первой катушки 13 EMBED Equation.3 1415 Гн, второй – 13 EMBED Equation.3 1415 Гн. Сопротивление второй катушки 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. Какой ток потечет по второй катушке, если ток 13 EMBED Equation.3 1415 А, текущий в первой катушке, спадает до нуля в течение времени 13 EMBED Equation.3 1415 с?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Задача 10. Обмотка соленоида имеет сопротивление R=10 Ом. Какова его индуктивность, если при протекании тока за 0,5 с в нем выделяется количество теплоты, эквивалентное энергии магнитного поля соленоида?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Гн.
§6. Явление электромагнитной индукции
6.1. Основные понятия и законы
Явление электромагнитной индукции заключается в возникновении электрического тока в проводящем контуре при любом изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур.
Закон Фарадея для электромагнитной индукции: ЭДС индукции в контуре равна скорости изменения потока магнитной индукции, пронизывающей этот контур
13 EMBED Equation.3 1415.
Возникающий ток называется индукционным и направление его определяется правилом Ленца:
индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем препятствовать изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.
Ток, текущий в любом контуре, создает магнитный поток, пронизывающий этот же контур. При изменении тока будет меняться и поток, следовательно, в контуре будет наводиться ЭДС. Данное явление называется самоиндукцией.
Так как величина магнитной индукции в любой точке поля пропорциональна силе тока в контуре, магнитный поток также пропорционален силе тока:
13 EMBED Equation.3 1415,
где L – индуктивность контура.
Закон Фарадея для самоиндукции
13 EMBED Equation.3 1415.
Наличие ЭДС самоиндукции приводит к тому, что при выключении источника тока ток в цепи, содержащей индуктивность, исчезает не сразу, а спадает постепенно (рис. 22). Установление тока в цепи также происходит не мгновенно, а постепенно (рис. 23).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Если в одном из двух контуров, расположенных недалеко друг от друга, изменяется ток, следовательно, изменяется индукция магнитного поля, лини индукции пронизывают витки соседнего контура и в нем возникает 13 EMBED Equation.3 1415. Такие контуры называются связанными, а явление – взаимной индукции.
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – взаимная индуктивность.
Явление взаимной индукции используется в трансформаторах; взаимная индуктивность двух обмоток, намотанных на общий сердечник, равна
13 EMBED Equation.3 1415.
6.2. Примеры решения задач
Задача 1. Внутри соленоида, находящегося в вакууме, имеющего длину 13 EMBED Equation.3 1415 см и число витков13 EMBED Equation.3 1415, находится металлическое кольцо, которое охватывает площадь 13 EMBED Equation.3 1415 см 2 . Сопротивление кольца 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. Плоскость кольца перпендикулярна оси соленоида. Ток в соленоиде нарастает по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 А/с. Определить силу, действующую на единицу длины кольца через 5 с после включения тока.
Решение. Поскольку ток в соленоиде изменяется со временем, магнитный поток через сечение соленоида также будет меняться, что приведет к возникновению ЭДС индукции в металлическом кольце.
Поток магнитной индукции
13 EMBED Equation.3 1415.


Из закона Фарадея для электромагнитной индукции следует
13 EMBED Equation.3 1415.
Индукционный ток, возникающий в кольце, согласно закону Ома, равен
13 EMBED Equation.3 1415.
На контур с током в магнитном поле действует сила Ампера
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как кольцо с током перпендикулярно оси соленоида, а вектор магнитной индукции направлен параллельно оси соленоида, то 13 EMBED Equation.3 1415. Сила, действующая на единицу длины кольца, равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 Н/м.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Н/м.
Задача 2. Квадратная проволочная рамка со стороной 5 см и сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 мОм находится в однородном магнитном поле (13 EMBED Equation.3 1415 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол 13 EMBED Equation.3 1415 с линиями индукции. Определить заряд, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.
Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая законом Фарадея
13 EMBED Equation.3 1415.
Возникшая ЭДС вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить по закону Ома:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как мгновенное значение силы индукционного тока 13 EMBED Equation.3 1415, то закон Ома можно переписать в виде 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Из последнего выражения находим заряд:
13 EMBED Equation.3 1415; или 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем магнитный поток 13 EMBED Equation.3 1415. По определению магнитного потока,
13EMBED Equation.31415.
Заряд, протекающий по рамке при выключении поля, равен
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 Кл.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мКл.
Задача 3. В однородном магнитном поле с напряженностью 13 EMBED Equation.3 1415 кА/м равномерно с частотой 13 EMBED Equation.3 1415 Гц вращается стержень длиной 13 EMBED Equation.3 1415 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности и ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов.
Решение. При вращении стержня изменяется количество линий магнитной индукции (магнитный поток), пересекаемых стержнем, и на концах стержня вследствие явления электромагнитной индукции возникнет разность потенциалов 13 EMBED Equation.3 1415. Так как магнитное поле однородно, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415.

Учтем, что 13 EMBED Equation.3 1415, и получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 В.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 В.


6.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В центре круглой рамки, состоящей из 13 EMBED Equation.3 1415 витков радиусом 13 EMBED Equation.3 1415 см каждый, расположена маленькая рамочка, состоящая из 13 EMBED Equation.3 1415 витков, площадью 13 EMBED Equation.3 1415 см 2 каждый. Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров большой рамки с постоянной угловой скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 рад/с. Найти максимальное значение возникающей ЭДС индукции, если в обмотке первой рамки течет ток 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415В.
Задача 2. К источнику тока с 13 EMBED Equation.3 1415 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг другу. Расстояние между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция 13 EMBED Equation.3 1415 Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с прямолинейный проводник сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Определить ЭДС индукции и силу тока в цепи.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 В; 13 EMBED Equation.3 1415 А.
Задача 3. Рамка площадью 13 EMBED Equation.3 1415 см2 содержит 1000 витков провода сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (13 EMBED Equation.3 1415 Тл) с частотой 13 EMBED Equation.3 1415 Гц. Определить максимальную мощность тока в цепи.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415Вт.
Задача 4. В магнитном поле, индукция которого меняется по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 Тл, 13 EMBED Equation.3 1415 Тл/с2 , расположена квадратная рамка со стороной 13 EMBED Equation.3 1415 см, причем плоскость рамки перпендикулярна вектору индукции. Определить количество теплоты, которое выделится в рамке за первые 5 с, если сопротивление рамки 13 EMBED Equation.3 1415 Ом.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
Задача 5. Тонкий медный проводник массой 1 г согнут в виде квадрата и концы его замкнуты. Квадрат помещен в магнитное поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл так, что плоскость его перпендикулярна вектору индукции. Какое количество электричества протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию? Удельное сопротивление 13 EMBED Equation.3 1415 Ом м; плотность 13 EMBED Equation.3 1415 кг/м 3.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Кл.
Задача 6. Катушку сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом и индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн подключили к источнику тока. Через какой промежуток времени сила тока достигнет 0,9 предельного значения?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 с.
Задача 7. По электрической цепи с сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом и индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн идет ток 13 EMBED Equation.3 1415 А. Какое количество тепла выделится в этой цепи за первую секунду после размыкания ключа?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Дж.
Задача 8. По двум медным шинам, установленным под углом 13 EMBED Equation.3 1415 к горизонту, скользит под действием силы тяжести медный брусок массой 13 EMBED Equation.3 1415 кг. В окружающем шины пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией 13 EMBED Equation.3 1415 Тл, перпендикулярное к плоскости, в которой перемещается брусок. Вверху шины закорочены сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. Найти установившуюся скорость бруска, если коэффициент трения между поверхностями шин и бруском 13 EMBED Equation.3 1415, расстояние между шинами 13 EMBED Equation.3 1415 см. Сопротивлением шин, бруска и контактов пренебречь.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415м/с.
Задача 9. Квадратная рамка со стороной 1 м и сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом закреплена в однородном магнитном поле, величина которого линейно растет со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 Тл/с. Направление магнитного поля образует с плоскостью рамки угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найти мощность, рассеиваемую в рамке.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Вт.
Задача 10. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны 10 см и 20 см. Найти силу тока в проводе, если при включении через рамку протекло количество электричества 13 EMBED Equation.3 1415 мкКл.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 кА.
Глава II
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА
§1. Электромагнитные колебания
1.1. Основные понятия
В колебательном контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор, катушку, активное сопротивление, возникают электромагнитные колебания, дифференциальное уравнение которых имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициент затухания, 13 EMBED Equation.3 1415 – собственная частота контура, 13 EMBED Equation.3 1415 – решение данного уравнения.
Если R =0, колебания свободные незатухающие; дифференциальное уравнение таких колебаний – частный случай, решением его является гармоническое колебание, которое описывается уравнением
13 EMBED Equation.3 1415.
Собственная частота колебаний 13 EMBED Equation.3 1415 и частота затухающих колебаний связаны уравнением
13 EMBED Equation.3 1415.
Время релаксации – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз:
13 EMBED Equation.3 1415.
Логарифмический декремент затухания – натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период:
13 EMBED Equation.3 1415.
Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение 13 EMBED Equation.3 1415, равно
13 EMBED Equation.3 1415.
где 13 EMBED Equation.3 1415 – индуктивное сопротивление; 13 EMBED Equation.3 1415 – емкостное сопротивление.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение, равен
13 EMBED Equation.3 1415.


Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока:
13 EMBED Equation.3 1415.
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Явление резонанса – это возбуждение сильных колебаний (возрастание амплитуды) при частоте внешней ЭДС, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура.
Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура
13 EMBED Equation.3 1415.
Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания.
1.2. Примеры решения задач
Задача 1. Чему равно отношение энергии магнитного поля идеального колебательного контура, состоящего из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C, к энергии его электрического поля для момента времени 13 EMBED Equation.3 1415 с?
Решение. В данном колебательном контуре происходят незатухающие электромагнитные колебания. Пусть в начальный момент на обкладках конденсатора разность потенциалов была наибольшей. Тогда со временем она изменяется по закону
13 EMBED Equation.3 1415.
Ток в контуре, согласно определению, изменяется по закону
13 EMBED Equation.3 1415.
Энергия магнитного поля
13 EMBED Equation.3 1415.
Энергия электрического поля
13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая последние две формулы, найдем отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 2. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн. Чему равно омическое сопротивление контура, если известно, что амплитуда колебаний в нем за время 13 EMBED Equation.3 1415 с уменьшилась в е раз?
Решение. Зная коэффициент затухания 13 EMBED Equation.3 1415, можно определить сопротивление контура. Так как известно время релаксации, коэффициент затухания равен 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 Ом.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Ом.
Задача 3. Колебательный контур имеет емкость 13 EMBED Equation.3 1415 Ф и индуктивность 13 EMBED Equation.3 1415 Гн. Логарифмический декремент затухания 13 EMBED Equation.3 1415. За сколько времени энергия в контуре уменьшится в 10 раз?
Решение. Так как колебания в контуре затухающие, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Энергия в колебательном контуре пропорциональна 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415), следовательно, пропорциональна 13 EMBED Equation.3 1415. По условию задачи
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Логарифмический декремент затухания
13 EMBED Equation.3 1415.
Из последнего соотношения находим коэффициент затухания
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – собственная частота колебаний.
Искомое время 13 EMBED Equation.3 1415 равно
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 с.
13 EMBED Equation.3 1415 с.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 с.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Разность потенциалов на конденсаторе идеального контура Томсона изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Определить максимальное значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 В.
Задача 2. Найти индукцию магнитного поля в катушке колебательного контура в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 с, если при 13 EMBED Equation.3 1415 заряд на конденсаторе 13 EMBED Equation.3 1415 Кл, а начальный ток в контуре 13 EMBED Equation.3 1415. Емкость конденсатора 13 EMBED Equation.3 1415 Ф; индуктивность катушки 13 EMBED Equation.3 1415 Гн; число витков на единицу длины в катушке контура 13 EMBED Equation.3 14151/м; омическое сопротивление контура 13 EMBED Equation.3 1415 Ом.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Тл.
Задача 3. Сопротивление 13 EMBED Equation.3 1415 Ом и катушка с индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн соединены последовательно. Какую емкость необходимо включить последовательно в цепь, чтобы уменьшить сдвиг фазы между ЭДС и силой тока на 13 EMBED Equation.3 1415? Частота изменения ЭДС 13 EMBED Equation.3 1415Гц.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мкФ.
Задача 4. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью 13 EMBED Equation.3 1415 кв. см и катушка с индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 мкГн, резонирует на волну длиной 13 EMBED Equation.3 1415 м. Определить расстояние между пластинами конденсатора.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 мм.
Задача 5. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 мГн и конденсатора переменной электроемкости от 13 EMBED Equation.3 1415 пФ до 13 EMBED Equation.3 1415 пФ. Определить диапазон длин волн электромагнитных волн, которые могут вызывать резонанс в колебательном контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 м; 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Задача 6. Найти логарифмический декремент затухания в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью 13 EMBED Equation.3 1415 мкФ и катушки индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн, если разность потенциалов на обкладках конденсатора за время 13 EMBED Equation.3 1415 с уменьшается в три раза. Чему равно омическое сопротивление контура?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 Ом.
Задача 7. Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний в реальном колебательном контуре имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415. Найти отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в контуре в момент максимума тока.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 8. Определить заряд на пластинах плоского конденсатора в идеальном контуре Томсона в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 с, если при 13 EMBED Equation.3 1415 заряд 13 EMBED Equation.3 1415 Кл, ток в контуре 13 EMBED Equation.3 1415, а дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Кл.
Задача 9. Два конденсатора с емкостями 13 EMBED Equation.3 1415 мкФ и 13 EMBED Equation.3 1415 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением 13 EMBED Equation.3 1415 В и частотой 13 EMBED Equation.3 1415 Гц. Найти ток в цепи и падения потенциала на первом и втором конденсаторах.
Ответ. а) 13 EMBED Equation.3 1415 мА; 13 EMBED Equation.3 1415 В; 13 EMBED Equation.3 1415 В.
Задача 10. Какое сопротивление надо ввести в LC-контур (13 EMBED Equation.3 1415 мГн; 13 EMBED Equation.3 1415 нФ), чтобы изменить частоту колебаний на 0,01%? Увеличится или уменьшится частота колебаний?
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 Ом.


§2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны
2.1. Основные понятия и законы
Система уравнений Максвелла в интегральной форме является системой фундаментальных законов электрического и магнитного полей. Уравнения полностью описывают электромагнитное поле. Теория Максвелла привела к представлениям об электромагнитном поле, как о неразрывной совокупности взаимосвязанных электрического и магнитного полей, которые могут превращаться друг в друга и распространяться в пространстве.
Первое уравнение Максвелла
13 EMBED Equation.3 1415
является выражением закона электромагнитной индукции. Физический смысл уравнения заключается в том, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющееся во времени магнитное поле.
Второе уравнение системы Максвелла – это теорема Гаусса для потока вектора электрического смещения:
13 EMBED Equation.3 1415.
Третье уравнение Максвелла отражает теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру или закон полного тока:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из первого и третьего уравнения вытекает важнейший вывод: переменное электрическое и магнитное поля не могут существовать отдельно; они всегда существуют вместе, образуя единое электромагнитное поле.
Четвертое уравнение отражает теорему Гаусса для потока вектора магнитной индукции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение указывает на отсутствие магнитных зарядов.
Электромагнитной волной называется распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, характеризуемое в каждой точке периодическим изменением вектора напряженности электрического и магнитного полей. В электромагнитной волне векторы напряженности электрического поля 13 EMBED Equation.3 1415 и магнитной индукции 13 EMBED Equation.3 1415 всегда колеблются в одинаковых фазах. Векторы взаимно перпендикулярны, перпендикулярны 13 EMBED Equation.3 1415 и образуют правовинтовую систему.
В случае плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ уравнение волны имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость распространения волны в среде
13 EMBED Equation.3 1415.
Решения волновых уравнений для 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Энергия, переносимая электромагнитной волной за единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, выражается модулем вектора Умова – Пойтинга
13 EMBED Equation.3 1415.
Плотность потока электромагнитной энергии – вектор Умова – Пойтинга связан с объемной плотностью энергии электромагнитного поля 13 EMBED Equation.3 1415 соотношением
13 EMBED Equation.3 1415.
Направление вектора Умова – Пойтинга перпендикулярно к 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и совпадает с направлением скорости распространения волны.

2.2. Примеры решения задач
Задача 1. Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус которого R, меняют так, что индукция магнитного поля внутри соленоида возрастает со временем по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – постоянная. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния 13 EMBED Equation.3 1415 от оси соленоида.
Решение. Чтобы определить плотность тока смещения, воспользуемся первым уравнением Максвелла:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Нужно найти напряженность электрического поля, которое в данном случае является вихревым, так как магнитное поле меняется со временем.
При 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение принимает вид
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда получаем выражение для напряженности поля: 13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, найдем плотность тока смещения:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (для 13 EMBED Equation.3 1415);
13 EMBED Equation.3 1415 (для 13 EMBED Equation.3 1415).
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 (для 13 EMBED Equation.3 1415); 13 EMBED Equation.3 1415 (для 13 EMBED Equation.3 1415).
Задача 2. Какую скорость приобретает электрон в конце первого витка в бетатроне, радиус которого R, если напряженность однородного магнитного поля изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – постоянный коэффициент.
Решение. Принцип работы бетатрона основан на явлении электромагнитной индукции. Возникающее переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле, ускоряющее электроны. Это поле, совершая работу, увеличивает кинетическую энергию электрона, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.
Из первого уравнения Максвелла найдем 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая, что магнитный поток, пронизывающий камеру
13 EMBED Equation.3 1415,
получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Работа электрического поля 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда находим скорость электрона:13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3. Напишите уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ в однородной среде (13 EMBED Equation.3 1415), если при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 напряженность ее электрического поля 13 EMBED Equation.3 1415 В/м. Амплитуда волны 13 EMBED Equation.3 1415 В/м, длина волны 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Решение. Уравнение волны с учетом начальной фазы имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Волновое число 13 EMBED Equation.3 1415, скорость волны 13 EMBED Equation.3 1415. Учитывая, что скорость распространения волны 13 EMBED Equation.3 1415, получим выражение для частоты
13 EMBED Equation.3 1415.
Начальную фазу определяем из начальных условий: при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведем вычисления:
13 EMBED Equation.3 1415 рад/с.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 В/м.
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Пространство между двумя концентрическими металлическими проводящими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением 13 EMBED Equation.3 1415 и диэлектрической проницаемостью 13 EMBED Equation.3 1415. В момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 2. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 см, подключен к переменному косинусоидальному напряжению частоты 13 EMBED Equation.3 1415 1/с. Найти отношение максимальных значений энергии магнитного и электрического поля внутри конденсатора.
Ответ. 13EMBED Equation.31415.
Задача 3. Скорость изменения магнитной индукции в бетатроне 13 EMBED Equation.3 1415 Тл/с. Вычислить напряженность вихревого электрического поля на орбите электрона, если ее радиус 13 EMBED Equation.3 1415 см.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 В/м.
Задача 4. Рассчитайте кинетическую энергию, которую приобретает электрон в бетатроне, сделав 13 EMBED Equation.3 1415 оборотов, если средняя скорость изменения магнитного потока в бетатроне 13 EMBED Equation.3 1415 Вб/с. Определить путь, пройденный электроном, если радиус орбиты 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 МэВ; 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Задача 5. Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки с индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн и переменного конденсатора, емкость которого может меняться в пределах от 13 EMBED Equation.3 1415 Ф до 13 EMBED Equation.3 1415 Ф. В каком диапазоне длин волн может принимать радиостанции этот приемник?
Ответ. 13EMBED Equation.31415 м; 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Задача 6. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 13 EMBED Equation.3 1415 Гн и конденсатора, площадь каждой пластины которого 13 EMBED Equation.3 1415 кв. м. Контур резонирует на волну 13 EMBED Equation.3 1415 м. Найти расстояние между пластинами конденсатора.
Ответ. 13EMBED Equation.31415 мм.
Задача 7. Протоны, имеющие одинаковую скорость 13 EMBED Equation.3 1415, образуют пучок круглого сечения с током 13 EMBED Equation.3 1415. Найти направление и модуль вектора Умова – Пойтинга вне пучка на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 от его оси.
Ответ. 13EMBED Equation.31415.
Задача 8. Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний в колебательном контуре имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415 (записано в СИ).Определить логарифмический декремент затухания.
Ответ. 13EMBED Equation.31415.








13PAGE 15


13PAGE 144715



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 1

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 2

А

d

I

O

1

2

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

r

Рис. 3

I1

I2


I3


A

B

C

Рис. 4

I

C

D

A

Рис. 5

I1

I2

R

Рис. 6

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


I

Рис. 7

13 EMBED Equation.3 1415

N

S

Рис. 8

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 9

I

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

x

y

r

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 10

I1

b

a

Рис. 11

I

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

A

C

dx

Рис. 12

b

a

13 EMBED Equation.3 1415

I

x

dx

Рис. 13

Рис. 14

dx

x

I2

I1

a

b

I2

r1

r2

l

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 15

1

2

а



Рис. 16

I



l1

l2

I

h

Рис. 17

R2

R1

b

Рис. 18

dr

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

x

y

Рис. 19

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

z

13 EMBED Equation.3 1415

l

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 20

Рис. 21

а

R

I

r

R+a

t

I

13 EMBED Equation.3 1415

I

t

Рис. 23

Рис. 22

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Z

R

Рис. 24

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file5.doc
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 6