методические указания для практических занятий по физике (раздел «Механика»)


ВВЕДЕНИЕ
Методические указания написаны с целью оказания помощи студентам в овладении основными приемами и техникой решения задач по разделу «Механика» курса физики. Материал, рассмотренный в настоящих методических указаниях, соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направлений 15.03.05 Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств и 27.03.04 Управление в технических системах. Указания содержат краткий теоретический материал по каждой теме – основные законы и формулы – и может служить как справочный материал для решения задач.
Весь материал сгруппирован в отдельные параграфы таким образом, чтобы охватить основные законы данного раздела. Каждый параграф содержит комментарии к применению формул, контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения, которые позволят закрепить материал и проконтролировать степень его усвоения.
§1. КИНЕМАТИКАПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1.1.Основные формулы для решения задач
Радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве
r=xi+yj+zk.Мгновенная скорость определяется по формуле
v=drdt.Мгновенное ускорение равно
a=dvdt.При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих
a=an+aτ.
Модули составляющих и полного ускорения определяются уравнениями
an=v2R, aτ=dvdt, a=an2+aτ2.Кинематическое уравнение прямолинейного равноускоренного движения имеет вид
s=v0t+at22.Кинематическое уравнение прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси ОХ имеет вид
x=x0+v0xt+axt22.Кинематическое уравнение скорости при равноускоренном движении
v=v0+at.1.2.Контрольные вопросы и задания
Что называется механическим движением? Какое движение называется поступательным? Что такое материальная точка? Приведите примеры, в которых одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точкой, а в других нельзя.
Что называется системой отсчета? Что называется радиус-вектором материальной точки относительно начала координат (рисунок)? Что называют координатами материальной точки (рисунок)? Что такое вектор перемещения (рисунок)?
Что называется траекторией движения материальной точки? Как можно получить уравнение траектории, если известен закон изменения радиус-вектора материальной точки?
Что такое скорость материальной точки? Что называется ускорением точки? Как записать среднюю величину скорости и среднюю величину ускорения за промежуток времени от t1 до t2? Вектор мгновенной скорости? Вектор мгновенного ускорения?
Какую задачу называют прямой задачей кинематики? Как, зная закон изменения координаты точки, определить законы изменения ее скорости и ускорения вдоль заданного направления? Как подсчитать мгновенные значения скорости и ускорения в данный момент времени?
Запишите формулы для определения пути и скорости при равноускоренном (равнозамедленном) прямолинейном движении. Как найти ускорение в этом случае?
Какую задачу называют обратной задачей кинематики? Как определить законы изменения скорости и координаты вдоль заданного направления, если задан закон изменения ускорения вдоль этого направления? Что должно быть задано дополнительно для того, чтобы ответы были однозначными?
Чему равно расстояние между двумя точками в системе отсчета? Как определить расстояние в данный момент времени между двумя движущимися материальными точками, если известны законы изменения их скоростей в одной и той же системе отсчета?
В чем состоит принцип независимости движений? Как будет двигаться тело, брошенное горизонтально над поверхностью Земли?
Какие составляющие ускорения называют нормальной и тангенциальной? Как они направлены? Какие изменения скорости они характеризуют?
Как, зная нормальное и тангенциальное ускорения, определить вектор полного ускорения и его модуль? Рисунок.
Что называют кривизной траектории? Чему равен радиус ее кривизны [2]?
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Движение двух материальных точек выражается следующими уравнениями: x1=20+2t-4t3и x2=2+2t+0,5t3 (координаты в метрах, время в секундах). В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?
Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью 10 км/ч, вторую треть со скоростью 20 км/ч и последнюю треть – со скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.
Тело начинает падать со скоростью 16 м/с, находясь на высоте 200 м. Определить, через сколько времени тело достигнет земли, если начальная скорость направлена: а) вверх; б) вниз. Доказать, что скорость приземления в обоих случаях одинакова.
Тело свободно падает и последние 196 м пути проходит за 4 секунды. Сколько времени падало тело? Чему равна высота?
Тело брошено под углом 30° к горизонту. С какой скоростью было брошено тело и какова горизонтальная дальность его полета, если оно находилось в полете 2с? Какова максимальная высота подъема тела?
С какой скоростью должен лететь самолет и какой курс он должен держать, чтобы за 1 час пролететь точно по направлению на север путь 200 км, если во время полета дует северо-восточный ветер под углом 35°к меридиану со скоростью 30 км/ч?
Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит половину всего пути. Найти, с какой высоты падает тело; продолжительность его падения.
Фонарь, находящийся на расстоянии 3 м от вертикальной стены, бросает на нее световой «зайчик». Фонарь равномерно вращается вокруг вертикальной оси с частотой 0,5 Гц. При вращении фонаря «зайчик» бежит по стене по горизонтальной прямой. Найдите скорость «зайчика» через 0,1 с после того, как луч света был перпендикулярен стене.
Скорость тела выражается формулой v=9-t2. Найти путь и перемещение тела через10 секунд от начала движения.
Зависимость координаты тела от времени задается следующим уравнением x=9t-6t2+t3 (координата – в метрах, время – в секундах). Найти зависимость скорости и ускорения от времени; путь, перемещение, скорость и ускорение тела через 2 секунды после начала движения. Движение прямолинейное.
Зависимость координаты тела от времени задается следующим уравнением x=16t-9t2+2t3. Найти среднее значение модуля скорости и величину среднего ускорения тела в интервале времени от 1 секунды до 4 секунд.
Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения тела имеет вид: x=2+3t+0,01t3 (координата – в метрах, время – в секундах). Каковы скорость и ускорение в моменты времени 0 с и 10 с от начала движения?Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.
Мотоциклист, имея начальную скорость 10 м/с, стал двигаться с ускорением 1 мс2. За какое время он пройдет путь 192 м и какую скорость приобретет в конце пути?
Поезд, движущийся со скоростью 72 км/ч, проходит от начала торможения до остановки расстояние 1 км. Чему равно ускорение? Найти скорость поезда у светофора, находящегося в середине тормозного пути.
Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3с. Какова была начальная скорость тела? На какую высоту поднялось тело?
С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через 2 секунды мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.
С отвесной скалы падает камень. Через 6 секунд доносится звук удара о землю. Определить высоту скалы. Скорость звука 320 м/с.
Тело падает вертикально с высоты 19,6 м без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за первую 0,1с своего движения? За последнюю 0,1с своего движения?
Тело падает вертикально с высоты 19,6 м без начальной скорости. За какое время тело пройдет первый метр своего пути? Последний метр своего пути?
Камень бросили вверх на высоту 10 м. Через сколько времени он упадет на землю? На какую высоту поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?
Тело падает без начальной скорости с высоты 490 м. Определить перемещение тела в последнюю секунду падения.
Камень, брошенный горизонтально с высоты 2 м над землей, упал на расстоянии 7 м от точки бросания (по горизонтали). Найти его первоначальную и конечную скорости.
Камень брошен горизонтально с высоты 30 м с начальной скоростью 30 м/с. На каком расстоянии по горизонтальному направлению и под каким углом к горизонту он упал?
Тело брошено горизонтально с высоты 20 м со скоростью 15 м/с. Через сколько времени тело упадет на землю? На каком расстоянии от места бросания по горизонтали упадет тело и какова будет его скорость в момент падения?
Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении, упало на расстоянии 40 м от основания башни под углом 45° к горизонту. Найти высоту башни и начальную скорость тела.
Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, упало на землю на расстоянии, вдвое большем, чем высота башни. Найти высоту башни.
Снаряд вылетел из дальнобойной пушки с начальной скоростью 1000 м/с под углом 30° к горизонту. Сколько времени снаряд будет находиться в воздухе? На каком расстоянии от пушки он упадет на землю?
Из одинаковых пожарных труб бьют струи воды: одна под углом 45° к горизонту, другая – 60°. Во сколько раз наибольшая высота, достигаемая первой струей, меньше, чем вторая?
Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40° к горизонту. Найти: на какую высоту поднимется мяч; на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю; сколько времени он будет в движении; под каким углом к горизонту летел мяч на половине максимальной высоты.
Тело брошено под углом к горизонту. Продолжительность полета 2,2 с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а обратно – 16 км/ч. Найти среднюю скорость парохода и скорость течения реки.
Наблюдатель, стоявший в момент начала движения электропоезда у его переднего края, заметил, что первый вагон прошел мимо него за 4 с. В течение какого времени мимо него будет двигаться n-й (седьмой) вагон? Движение считать равноускоренным.
Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 20 м/с. Под каким углом к горизонту движется тело после начала движения через 1,5 с? Через 2,5 с? Через какое время и на какой высоте тело будет двигаться под углом 45° к горизонту [3]?
§2. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
2.1. Основные формулы для решения задач
Кинематическое уравнение вращательного движения материальной точки имеет вид
φ=f(t),где φ- угол поворота.
Модуль мгновенной угловой скорости равен
ω=dφdt.Модуль мгновенного углового ускорения равен
ε=dωdt.Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности, выражается уравнениями
v=ωR; aτ=εR; an=ω2R,где v – линейная скорость, aτ – тангенциальное ускорение, an – нормальное ускорение, R – радиус окружности.
Угол между полным ускорением и нормальным равен
α=arccosana.Кинематическое уравнение равнопеременного вращения имеет вид
φ=φ0+ω0t+εt222.2. Контрольные вопросы и задания
Какое движение является вращательным?
Что называется угловым перемещением материальной точки?
Что называется угловой скоростью и угловым ускорением материальной точки?
Как, зная закон изменения углового ускорения материальной точки, найти ее угловую скорость и угловое смещение в данный момент времени?
Запишите формулы для определения углового перемещения и угловой скорости при равномерном вращательном движении, при равноускоренном (равнозамедленном) вращательном движении.
Какая связь существует между линейными и угловыми характеристиками движения материальной точки?
Какие составляющие ускорения называют нормальной и тангенциальной? Как они направлены? Какие изменения скорости они характеризуют [2]?
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 минуту от 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время. Через какое время колесо остановится?
Вал вращается со скоростью, соответствующей частоте 180 об/мин. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равным 3 радс2. Через сколько времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?
Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 смс2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному?
Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60°с направлением линейной скорости этой точки.
Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением φ=A+Bt2+Ct3, где B=2 рад/с2, C=1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения: угловую скорость; линейную скорость; угловое ускорение; тангенциальное ускорение; нормальное ускорение; полное ускорение.
Колесо радиусом 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением φ=A+Bt+Ct2+Dt3, где D=1 рад/с3. Найти для точек, лежащих на ободе колеса, изменение тангенциального ускорения за каждую секунду движения.
Колесо радиусом 30 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением: v=3t+t2 (скорость – в м/с, время – в секундах). Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени 5 с после начала движения.
Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит равноускоренно путь 600 м за время 30 с. Радиус закругления 1 км. Найти скорость и полное ускорение поезда в конце этого участка пути.
Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня и радиус кривизны траектории через 3 с после начала движения.
Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равнаv0. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости vу=А∙у, где A постоянная, у высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема: а) величины сноса шара х(у); б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.
Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Длина пути автомобиля выражается уравнением s=10+10t+0,5t2 (путь – в метрах, время – в секундах). Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 5 с после начала движения.
Материальная точка движется по окружности радиуса 80 см по закону s=10t-0,1t3 (путь в метрах, время в секундах). Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 2 с после начала движения.
По дуге окружности радиуса 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 5 м/с2, а вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60°. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.
Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением s=A+Bt+Ct2+Dt3, где C=0.14 м/с2, D=0.01 м/с3. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с2? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?
Тело брошено со скоростью 14,7 м/с под углом 30° к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела через 1,25 с после начала движения.
Тело брошено горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти нормальное и касательное ускорение через 1 с после начала движения.
Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения.
Тело брошено со скоростью v0 под углом α к горизонту. Найти величины v0 и α, если наибольшая высота подъема тела 3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории 3 м.
Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
Маховое колесо спустя 1 минуту после начала вращения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Вращение считать равноускоренным.
Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его остановки?
Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала 79,2 см/с.
Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 см/с.
Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения угловую скорость; линейную скорость; тангенциальное ускорение; нормальное ускорение; полное ускорение.
Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s=0,1t3 (путь – в метрах, время – в секундах). Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна 0,3 м/с.
Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s=A+Bt+Ct2, где B=-2 м/с и C=1 м/с2. Найти линейную скорость точки, ее тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 3 с после начала движения, если нормальное ускорение точки в момент времени 2 с равно 0,5 м/с2.
Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с2. Через 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно 13,6 см/с2. Найти радиус колеса.
Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением φ=A+Bt+Ct2+Dt3, где B=1 рад/с, C=1 рад/с2, D=1 рад/с3. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 3,46 м/с2.
Маховое колесо, вращающееся с частотой 240об/мин, останавливается в течение 30 с. Найти число оборотов, сделанных колесом до полной остановки.
На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить, к концу которой привязан грузик. Двигаясь равноускоренно, грузик за 3с опустился на 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус равен 4 см.
Тело вращалось равноускоренно с начальной частотой 40 об/мин. После того, как совершилось 20 оборотов, частота увеличилась до 120 об/мин. Найти угловое ускорение и время, в течение которого изменялась частота.
Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением 20 см/с2. Определить угловую скорость шкива в тот момент, когда груз пройдет путь 1 м [4]?
§3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
3.1. Основные формулы для решения задач
Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью v, равен:
p=mv.
Второй закон Ньютона имеет вид
dpdt=F .Сила упругости равна
Fупр=kx,где k – коэффициент упругости; x – абсолютная деформация.
Модуль силы гравитационного взаимодействия определяется формулой
F=Gm1m2r2 ,где G=6,67∙10-12Нм2кг2 – гравитационная постоянная; m1и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами.
Сила тяжести равна
Fтяж=mg.Cила трения скольжения равна
Fтр=μN.гдеμ – коэффициент трения; N – сила нормального давления.
3.2. Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте основные законы динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела. В чем состоит закон инерции? Какие системы отсчета называются инерциальными? В каком случае при решении задач можно использовать второй закон Ньютона? Как найти величину ускоряющей силы, действующей на материальную точку, если известен закон изменения ее ускорения?
2. Как определить момент времени, в который изменяющаяся величина силы, действующей на тело, приобретает заданное значение, если известен закон изменения скорости этого тела?
3. Сформулируйте третий закон Ньютона, поясните его. Какие силы называют внешними, а какие внутренними? Что называется центром масс (центром инерции) механической системы? Когда при рассмотрении движения механической системы достаточно рассматривать движение только её центра масс?
4. Запишите формулы для определения пути и скорости при равноускоренном (равнозамедленном) прямолинейном движении. Как найти ускорение в этом случае? Под действием каких сил осуществляется движение с постоянным ускорением?
5. Какие силы действуют на груз, подвешенный на нити? Что называют весом тела? В каком случае вес тела численно равен силе тяжести? На какое тело действует вес, а на какое – сила тяжести в случае, когда груз подвешен на невесомой нерастяжимой нити? Сделать рисунок. Когда груз находится на опоре? Сделать рисунок.
6. Сколько уравнений необходимо для описания механической системы, состоящей из n тел, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы? Как составляют эти уравнения? Чему равна сумма всех внутренних сил, действующих на систему тел [2]?
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 30° и 45°. Бруски одинаковой массы 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение брусков и натяжение нити, если коэффициент трения брусков о плоскости 0,1.
На столе стоит тележка массой m1=4 кг. К тележкепривязан один конец шнура, перекинутого через блок. С какимускорением будет двигаться тележка, если к другому концушнура привязать гирю массой m2=1 кг?
Тело скользит с вершины неподвижной наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Высота наклонной плоскости 50 м. Коэффициент трения скольжения 0,05. Определить время движения, скорость тела в конце наклонной плоскости, путь, пройденный телом по горизонтальной поверхности до остановки.
Два груза 2 кг и 3 кг, лежащие на горизонтальном столе, связаны нитью. Когда эту систему тянут в горизонтальном направлении за меньший груз с силой 60 Н, нить обрывается. Определить прочность нити.
На горизонтальной плоскости лежат пять связанных нитью грузов массы m каждый. На нити, прикрепленной к этим грузам и перекинутой через блок, подвешен груз массой 2m. Коэффициент трения скольжения между плоскостью и грузками 0,1. Определить ускорения грузов; силу натяжения нити, действующую на груз, наиболее удаленный от блока; во сколько раз сила натяжения нити между двумя ближайшими к блоку грузками больше этой силы.
На тело массой 2 кг действуют силы 3 Н и 4 Н под углом60° и 120°к начальной скорости тела 2 м/с. Найти ускорение тела, его скорость и перемещения к концу десятой секунды движения.
Брусок весом P тянут по горизонтальной поверхности, прикладывая силу F под угломα к горизонту. При этом брусок за время t изменил свою скорость от v1 до v2, двигаясь равноускоренно в одну сторону. Найти коэффициент трения бруска о плоскость.
Ледяная гора составляет с горизонтом угол 10°. По ней пускают снизу вверх камень, который за 3с проходит расстояние 12 м, после чего соскальзывает вниз. Чему равно время движения камня вниз? Каков коэффициент трения между камнем и горкой?
При скоростном спуске лыжник скользит вниз по склону, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег0,1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости лыжника, коэффициент сопротивления 0,7. Какую максимальную скорость может развить лыжник, если его масса 70 кг? Угол наклона горы равен 45°.
На концах нити, перекинутой через блок, висят две гири разной массы. В начальный момент времени они на одинаковой высоте. Через 2 с расстояние между ними по высоте равно 1,2 м. Масса большей гири 0,2 кг. Блок и нить считать невесомыми. Определить массу меньшей гири, натяжение нити, силу давления на ось блока.
Через легкий блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с общей массой 10 кг. После освобождения грузы приходят в движение, и за 0,5 с каждый смещается на 0,75 м. определить силу давления на ось блока, натяжение нити, массу каждого груза.
По клину, грани которого составляют углы α1 и α2 с горизонтом, движутся два бруска, массы которых m1 и m2. Связывающая их нить перекинута через блок, зная коэффициент трения брусков о клинμ1 и μ2. Найти ускорение тел; натяжение нити; силу давления на ось блока; условия, при которых бруски не будут двигаться.По наклонной плоскости с углом наклона α и коэффициентом трения μ движется под действием силы F, составляющей угол β с направлением вверх вдоль наклонной плоскости, тело массой m. Тело двигалось вверх замедленно, имея начальную скорость v0. Через какое время от начала наблюдения тело будет иметь скорость v0 уже при движении вниз?
Ледяная горка составляет с горизонтом угол 30°. По ней пускают снизу вверх шайбу, которая за 2с проходит расстояние 12 м, после чего соскальзывает вниз. Чему равно время движения шайбы вниз? Каков коэффициент трения между шайбой и горкой?
На наклонной плоскости находится груз массой 0,5 кг, связанный нитью, перекинутой через невесомый блок с другим грузом m1. Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1, угол наклона плоскости 30°. При каких значениях m2 система будет находиться в равновесии?
Небольшое тело начинает скользить с вершины клина, основание которого 2,1 м. Коэффициент трения между телом и поверхностью клина 0,14. При каком значении угла клина время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?
Брусок массы m втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения равен μ. Найти уголβ, который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим. Чему оно равно[4]?
§4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
4.1. Основные формулы для решения задач
Закон сохранения импульса выражается формулой
i=1Npi=const,или для двух тел (i=2):
m1v1+m2v2=m1u1+m2u2.Механическая работа, совершаемая постоянной силой F, равна
A=Fs=Fscosα,где α – угол между векторами силы и перемещения.
Работа переменной силы определяется формулой
A=0LFdr.Мгновенная мощность равна
N=dAdt.Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно, равна
Wк=mv22.Потенциальная энергия упругодеформированной пружины равна
Wп=kx22.Потенциальная энергия тела связана с силой, действующей на тело в данной точке поля, соотношением
F=-gradWп.
Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, равна
Wп=mgh,где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой.
Закон сохранения механической энергии имеет вид
W=Wк+Wп=const,где W – полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы.
Работа, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения полной механической энергии системы:
A=∆W=W2-W1.4.2.Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте закон сохранения импульса и объясните его связь с однородностью пространства.
Запишите закон сохранения импульса для двух взаимодействующих тел.
Запишите закон сохранения импульса для двух взаимодействующих тел, направления движения которых составляют угол альфа. Какой вид примет этот закон для составляющих векторов импульсов вдоль заданного направления?
Что называется импульсом силы? Какой вид имеет закон изменения импульса для незамкнутой системы? В каких случаях может быть использован закон сохранения импульса для реальной незамкнутой системы.
Поясните, что такое механическая работа. Что называется мощностью?
Запишите формулу для работы переменной силы. Поясните ее.
Какая энергия называется кинетической? По какой формуле ее рассчитывают?
Какая энергия называется потенциальной? Приведите примеры тел, обладающих какой-нибудь потенциальной энергией. Какие формулы для расчета потенциальной энергии вам известны? Из чего складывается полная механическая энергия тела и системы тел?
Какая связь существует между потенциальной энергией материальной точки во внешнем силовом поле и силой, действующей на материальную точку?
Какие поля называются центральными? Что называется напряженностью гравитационного поля? Что такое потенциал гравитационного поля? Какая связь существует между потенциалом и напряженностью в данной точке поля?
Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Поясните его связь с однородностью времени.
Что такое удар? Поверхность соприкосновения? Линия удара? В каком случае удар называют центральным? Прямым? Рисунки.
Какое соударение двух тел называется абсолютно неупругим? Какой из известных вам законов сохранения в механике выполняется при абсолютно неупругом ударе? (рисунок). Как выполняется закон сохранения энергии в этом случае?
Какое соударение двух тел называется абсолютно упругим? Какие законы сохранения выполняются при абсолютно упругом ударе? (рисунок). Запишите формулы для скоростей двух шаров после абсолютно упругого удара в векторном виде и в проекции на линию удара.
Что такое диссипация энергии? Какие механические системы являются диссипативными? Приведите примеры диссипативных систем [2].
4.3. Задачи для самостоятельного решения
Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 30° и 45°. Бруски одинаковой массы 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение брусков и натяжение нити, если коэффициент трения брусков о плоскости 0,1.
Стальной шарик массой 20 г, падая с высоты 1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту 81 см. Найти импульс силы, полученный плитой за время удара, и количество теплоты, выделившейся при ударе.
Какую работу нужно выполнить для того, чтобы равномерно передвинуть по полу ящик массой 50 кг на 4,5 м, нажимая на него руками под углом 30° к горизонту? Коэффициент трения 0,2.
Пуля массой 9 г, летящая со скоростью 500 м/с, попадает в доску, установленную перпендикулярно направлению полета пули, и углубляется в нее на 6 см. Определить среднюю силу сопротивления доски движению пули.
При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.
В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка плывет со скоростью 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с относительно лодки. Найти скорость движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки; 2) человек прыгает в сторону, противоположную движению лодки.
Самолет массой 2000 кг летит на высоте 500 м со скоростью 80 м/с. Летчик выключает двигатель, и самолет в планирующем полете достигает поверхности земли, касаясь ее со скоростью 40 м/с. Определить работу сил сопротивления во время спуска самолета.
Молекула массой 4,65∙10-23 кг, летящая со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом 60°к нормали и под таким же углом упруго отскакивает от нее. Найти импульс силы, полученный стенкой за время удара.
Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, догоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью будет двигаться тележка? С какой скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?
Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляла 60 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка.
Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, второго 0,1 кг. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар упругий? Неупругий?
На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием 15 тонн. Орудие стреляет под углом 60° к горизонту в направлении движения. Какую скорость приобретет платформа вследствие отдачи, если масса снаряда 20 кг, а его скорость 600 м/с?
Трубка с каплей эфира подвешена на легком стержне длиной 1 м. С какой скоростью должна вылететь пробка после нагревания эфира, чтобы трубка сделала полный оборот в вертикальной плоскости? Масса пробки 20 г, масса трубки 100 г.
Пуля массой 10 г, летящая с горизонтальной скоростью 400 м/с, попадает в мешок с ватой массой 4 кг, висящий на длинной нити. Определить, на какую высоту поднимется мешок, если пуля застрянет в нем, и долю кинетической энергии, которая будет израсходована на пробивание ваты.
Шар массой 10 кг сталкивается с шаром массой 4 кг. Скорость первого шара 4 м/с, второго – 12 м/с. Найти общую скорость шаров после удара в двух случаях: 1) когда малый шар догоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) когда шары движутся навстречу друг другу. Удар прямой, центральный, абсолютно неупругий.
Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара больше массы первого?
Налетев на пружинный буфер, вагон массой 16 т, двигавшийся со скоростью 0,6 м/с, остановился, сжав пружину буфера на 8 см. Найти жесткость пружины.
Если на верхний конец вертикально расположенной пружины положить груз, то она сожмется на 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на верхний конец пружины с высоты 8 см?
Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой 10 г со скоростью 300 м/с. Затвор пистолета массой 200 г прижимается к стволу пружиной жесткостью 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.
Молот массой 5 кг ударяет по небольшому куску железа, лежащему на наковальне. Масса наковальни 100 кг. Удар абсолютно неупругий. Определить КПД удара молота при данных условиях. Массой куска железа пренебречь.
Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте над поверхностью должен находиться спутник, чтобы быть неподвижным относительно земного наблюдателя?
На какую часть уменьшается вес тела на экваторе вследствие вращения Земли?
Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем координата изменяется по закону x=A-Bt+5t2-t3 (время – в секундах, координата – в метрах). Найти силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
Брусок массой 200 г движется по горизонтальному столу под действием силы натяжения привязанной к ней нити. Нить перекинута через прикрепленный к столу блок и привязана к другому, падающему бруску массой 300 г. Определить силу натяжения нити, если коэффициент трения равен 0.25. Масса блока ничтожно мала. Как изменится ответ, если бруски поменять местами? Определить силу, действующую на ось блока в обоих случаях.
Санки скатываются с ледяной горы высотой h и останавливаются на ледяном поле на расстоянии s по горизонтальному направлению от вершины наклонной плоскости. Покажите, что коэффициент трения равен μ=hs.
Автомобиль движется вверх по небольшому подъему с установившейся скоростью 3 м/с. Если он движется в обратном направлении, то есть под уклон, то при той же мощности двигателя устанавливается скорость 7 м/с. Какая скорость установится при той же мощности двигателя во время движения по горизонтальному пути?
Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. При движении грузика вертикальная составляющая его скорости сначала возрастает, затем убывает. Какой угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая [1]?
§5. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
5.1. Основные формулы для решения задач
Момент силы Fотносительно неподвижной точки О определяется формулой
M=r,F,где F – вектор силы, r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы.
Момент инерции J относительно оси вращения:
а) материальной точки
J=mr2,где r – расстояние от данной точки до оси вращения;
б) твердого тела
J=r2dm;в) стержня длины lотносительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину
J=112ml2;г) стержня длины lотносительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец
J=13ml2;д) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и совпадающей с осью
J=mR2,где R – радиус кольца (цилиндра);
е) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр
J=12mR2;ж) однородного шара массой m и радиусом RJ=25mR2.Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид
M=Jε.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О определяется формулой
L=mvr.Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Oz, равен
Lz=Jzω.
Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, имеет вид
J1ω1=J2ω2.Работа постоянного момента силы, действующего на вращающееся тело, равна
A=Mφ.Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется формулой
Wk=Jω22.Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, равна
Wk=Jω22+mv22.5.2. Контрольные вопросы и задания
Что называется моментом инерции материальной точки относительно заданной оси? Как определяют в общем случае момент инерции тела относительно какой-либо оси?
Чему равны моменты инерции сплошного однородного диска, цилиндра, шара, стержня относительно оси, проходящей через центр масс? Чему равны моменты инерции тонкостенного полого цилиндра и обруча относительно оси, проходящей через центр масс? Сделайте рисунки.
Как определить момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс тела? Запишите формулу Гюйгенса-Штейнера и сделайте рисунок.
Что называется моментом силы относительно точки? Каков модуль и направление вектора момента силы? Что такое момент силы относительно оси? Какова величина момента силы относительно оси, которая параллельная линии действия силы?
Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Поясните его.
Что называется моментом импульса материальной точки относительно заданной оси? Каков модуль и направление вектора момента импульса?
Сформулируйте закон сохранения момента импульса. Запишите его. В каких случаях может быть использован закон сохранения момента импульса для реальных систем?
Поясните связь закона сохранения момента импульса с изотропностью пространства.
Чему равна работа силы, совершаемая при вращательном движении за малый промежуток времени? Как определить работу за промежуток времени от t1 до t2, если величина момента силы, действующего на вращающееся тело, постоянна? Если с течением времени изменяется [2]?
5.3. Задачи для самостоятельного решения
Шар, радиус которого равен r, скатывается по наклонному желобу и описывает «мертвую петлю» радиусом R. Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, найдите наименьшую начальную высоту h центра масс шара над центром петли, при которой это возможно.
Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5м и массой 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Столб высотой 4 м из вертикального положения падает на землю. Определить момент импульса столба относительно точки опоры и скорость верхнего конца столба в момент удара о землю. Масса столба 60 кг.
На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 1 м, стоит человек. Масса платформы 100 кг, масса человека 50 кг. Платформа может вращаться около вертикальной оси, проходящей через центр. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы?
Однородный шар массой 2 кг и радиусом 4 см скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°. Найти кинетическую энергию шара через 7 с после начала движения.
Однородный стержень длиной 85 см подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
Найти линейные скорости движения центров тяжести шара, диска, обруча, скатившихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости 50 см, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскользнувшего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.
Якорь мотора делает 1500 об/мин. Определить вращающий момент, если мотор развивает мощность 500 Вт.
Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей 300 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Работа сил трения равна 44,4 Дж. Найти момент инерции вентилятора и момент сил торможения.
Два маленьких шарика массами 40 г и 120 г соединены стержнем длиной 20 см, массой которого можно пренебречь. Система вращается относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс. Частота оборотов равна 3 с-1. Определить момент импульса системы.
Найти момент инерции и момент импульса земного шара относительно оси вращения.
Маховик, обладающий моментом инерции 4 кг.м2, вращается под действием постоянного тормозящего момента и уменьшает частоту вращения от 600 до 120 об/мин за 2 мин. Вычислить угловое ускорение маховика; тормозящий момент; работу торможения; число оборотов за время торможения.
Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой. Какую работу совершает при этом человек? Радиус платформы 1,5 м.
Человек стоит в центре скамьи Жуковского, вращающейся с частотой 0,5 об/с. Момент инерции тела человека вместе с платформой относительно оси вращения равен 0,25 кг.м2. В вытянутых руках он держит гири массой по 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1,6м. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если он опустит руки, и расстояние между гирями станет равным 0,6 м?
Маховик в виде диска массой 80 кг и радиусом 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту вращения 10об/с? Какую работу пришлось бы совершить, если бы при такой же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?
Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 78 кг, причем на массу колес приходится 3 кг. Колеса считать обручами.
Какую работу надо совершить, чтобы увеличить частоту вращения однородного диска радиусом 0,5 м относительно его оси от 200 до 400об/мин? Масса диска 10 кг.
На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0,8 м и массой 6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него со скоростью 10 м/с мяч массой 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии 0,4 м от оси скамьи. Скамью считать диском.
Сплошной цилиндр массой 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра равна 1 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра.
Диск массой 1 кг и диаметром 60 см вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, делая 125 рад/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск?
Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 2 м/с. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет своей кинетической энергии? Синус угла наклона горки равен 0,01.
Маховик вращается с частотой 10 об/с.Его кинетическая энергия равна8 кДж. За какое время вращающий момент сил 50 Н.м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза?
На какой угол надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость 5 м/с? Длина стержня 1 м.
Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорость будет иметь в конце падения: середина карандаша; верхний его конец? Длина карандаша 15 см.
Шар диаметром 6 см и массой 250 г катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения 4 Гц. Найти кинетическую энергию шара.
Медный шар радиусом 10 см вращается с частотой 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое? Плотность меди 8900 кг/м3.
С какой наименьшей высоты должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом 75кг, причем на массу колес приходится 3 кг. Колеса считать обручами.
Сплошной цилиндр массой 2 кг, катящийся без скольжения со скоростью 0,09 м/с, ударяется о массивную стенку и откатывается от нее со скоростью 0,05 м/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.
Маховик равноускоренно разгоняется за 1 минуту до 300 об/мин. Определить действующий на маховик момент силы, если на разгон требуется энергия 1000 Дж.
Колесо, вращаясь равно замедленно при торможении, уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса 2 кг.м2. Найти угловое ускорение колеса, тормозящий момент, работу торможения и число оборотов за 1 мин.
Однородный стержень массой 12 кг и длиной 1 м может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через один конец. Во второй свободно висящий конец попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень от вертикали?
Невесомый стержень может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси, проходящей через его конец. На стержне на расстояниях 75 см и 1 м от оси вращения укреплены грузы с массами 2 кг и 1 кг соответственно. Стержень отпущен без начальной скорости из положения, составляющего угол 30° с вертикалью. Определить линейную скорость грузов в момент, когда стержень займет вертикальное положение [1].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Новиков, С.М. Сборник заданий по общей физике: учебное пособие для студентов вузов/ С.М. Новиков. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2007. – 512 с.
Трофимова, Т.И. Курс физики: учебное пособие для вузов/Т.И. Трофимова. – 11-е изд., стер. – М: Издательский центр «Академия», 2006. – 560 с.
Трофимова, Т.И. Сборник задач по курсу физики. М: Высшая школа. 1991.
Чертов, А.Г. Задачник по физике: учебное пособие для втузов/ А.Г. Чертов, А.А. Воробьев. – 8-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Физматлит», 2008. – 640 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………….…….... 3
§1. Кинематика поступательного движения……………………….. 3
§2. Кинематика вращательного движения…………………………. 7
§3. Динамика материальной точки……………..………..…............... 11
§4. Законы сохранения в механике…..……………………………… 14
§5. Динамика вращательного движения………………....................... 19
Библиографический список………………………………………… 24

Приложенные файлы

  • docx file6.doc
    Размер файла: 81 kB Загрузок: 4