Учебное пособие по математике «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики» для студентов 1 курса специальности 44.02.02 Преподавание в начальных классах

Тамбовское областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Педагогический колледж г. Тамбова»















Учебное пособие
по математике
«Элементы комбинаторики,
теории вероятностей,
математической статистики»




















Тамбов 2015
Составитель: преподаватель математики высшей категории ТОГАОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова» С.В. Мельникова

Рецензенты:
преподаватель математики высшей категории ТОГАОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова» Лаппа Т.И.;
учитель высшей категории МАОУ «Новолядинская сош» в с. Тулиновка Юминова З.А.

Учебное пособие для студентов 1 года обучения ТОГАОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова» по математике «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики».


Рекомендовано научно – методическим советом ТОГАОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова».
Пояснительная записка
Учебное пособие для студентов 1 года обучения ТОГАОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова» по математике «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики» содержит дополнительный материал к учебникам А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа, 10 - 11 класс», А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа, 10 - 11 класс».
Учебное пособие предназначено для изучения стохастической линии математики, отвечает требованиям федерального государственного образовательного стандарта общего образования по математике. В пособии изложены основные идеи начал комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики. Каждый раздел содержит краткие теоретические сведения, примеры решения задач, задачи для самоконтроля.
Содержание:
Раздел 1. Элементы комбинаторики 5
1. 1 Перебор всех возможных вариантов 5
1 2. Дерево вариантов 5
1.3 Правило суммы 6
1.4 Правило произведения 6
1.5 Перестановки без повторений 7
1.6 Перестановки c повторениями 8
1.7 Размещения без повторений 9
1.8 Размещения с повторениями 10
1.9 Сочетания без повторений 10
1.10 Сочетания с повторениями 11
1.11 Треугольник Паскаля. Бином Ньютона 11
Раздел 2. Элементы теории вероятностей. 13
2.1 Вероятность и риск. Пространство элементарных событий. 13
2.2 Классическое определение вероятности. 15
2.3 Статистическое определение вероятности. 16
2.4 Геометрическое определение вероятности. 17
2.5 Теоремы сложения и умножения вероятностей. 18
Раздел 3. Элементы математической статистики. 20
Ответы к задачам для самостоятельной работы 25

Раздел 1. Элементы комбинаторики
Комбинаторика (комбинаторный анализ)  раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них.
Способы решения комбинаторных задач:
перебор всех возможных вариантов;
дерево вариантов;
правило суммы;
правило произведения;
формулы подсчета количества перестановок, размещений, сочетаний
1. 1 Перебор всех возможных вариантов
Задача 1: Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 4, 5 и 7, при условии, что они в записи числа не повторяются?
Решение: Сначала, например, можно перечислить все двузначные числа, у которых цифра десятков – 4: 45, 47. Затем записать все двузначные числа с цифрой десятков 5: 54, 57. И, наконец, все двузначные числа, у которых цифра десятков равна 7: 74, 75. Таким образом, из цифр 4, 5, и 7 можно составить 6 двузначных чисел при условии, что цифры в записи числа не повторяются.
1 2. Дерево вариантов
Задача 2: Сколько флагов можно сшить из 3 кусков ткани различного цвета, если полотнище флага должно иметь прямоугольную форму, быть однотонным с кругом иного цвета в углу?
Решение: В задаче мы должны выбрать 3 элемента комбинации: цвет полотнища, цвет круга, положение круга на полотнище. Присвоим цветам порядковые номера: первый, второй, третий, четвертый.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: 24 флага.
1.3 Правило суммы
Правило комбинаторной суммы: если элемент a можно выбрать n способами, а элемент b – m способами, причем ни один из способов выбора элемента а не совпадает со способом b, то выбор либо а, либо b можно осуществить n+m способами.
Задача 3. Из города М в город Р ведут две дороги, а в город С – три дороги. Сколькими способами можно проехать из города М либо в город Р, либо в С?
Решение: Так как выбор дороги из М в Р можно осуществить двумя способами, а выбор дороги из М в С тремя способами, то согласно правилу суммы количество возможных вариантов 2 + 3=5, т.е. проехать из М в Р или в С можно пятью способами.
1.4 Правило произведения
Правило комбинаторного произведения: пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, второй элемент n2 способами, , и т.д., то число способов, которым могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1
· n2
·
· n k.
Задача 4. Сколько трехзначных четных шифров можно составить для кодового замка из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в записи шифра могут повторяться? Решение: n1=6 (т.к. в качестве цифры сотен можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n2=7 (т.к. в качестве цифры десятков можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n3=4 (т.к. в качестве цифры единиц можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6). Итак, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
Задачи для самостоятельной работы:
Задача № 1.4.1. 1) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?
Задача№1.4.2. Сколько двузначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1,3,5,7,9?
Задача № 1.4.3. В семье – 6 человек, а за столом в кухне – 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
Задача № 1.4.4. Десять различных писем раскладываются по одному в десять конвертов. Сколько существует способов раскладывания?
Задача № 1.4.5.Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. Кандидатуры на должность мэра – Иванов, Петров, Великанов. Кандидатуры на должность префекта – Старовойтов, Юшкин, Яковлев. Определите количество различных исходов голосования.
Задача № 1.4.6. Данила, Андрей и Наташа собрались потренироваться в бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за кем будет бросать. Сколькими способами они могут занять очередь?
Задача №1.4.7. Пётр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор: 5 пар брюк, 6 камзолов, 3 шляпы, 2 пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
1.5 Перестановки без повторений
Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.
Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn (Р- первая буква французского слова permutation – перестановка). Читается: «Число перестановок из эн элементов».
Рn= n!
Задача 5. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?
Решение: 2 книги одного автора заменим одной книгой, тогда число перестановок из 7 элементов Pn= 7!=5040, но в каждой этой перестановке книги одного автора будут меняться местами то 5040*2=10080 способов.
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №1.5.1 Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?
Задача №1.5.2. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, и 8?
Задача № 1.5.3. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести цветов и все стулья должны быть разного цвета?
Задача № 1.5.4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла в каком порядке. Укажите наибольшее число вариантов, чтобы позвонить подруге?
Задача № 1.5.5. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были красные, а другие - белым, чёрным, зелёным, синим?
Задача №1.5.6. В расписании на понедельник 6 уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами составить расписание, чтобы 2 урока математики стояли рядом?
Задача №1.5.7. Семь мальчиков, в число которых входят Иван и Андрей, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Иван должен стоять в конце ряда; б) Иван должен стоять в начале ряда, а Андрей в конце; в)Иван и Андрей должны стоять рядом.
1.6 Перестановки c повторениями
Пусть имеем k1 - элементы 1 типа
k2 – элементы 2 типа и т. д.
km – элементы m типа.
Причём k1+k2++km= n, тогда перестановкой с повторением из n элементов, называется упорядоченный набор или соединения содержащий элементы всех типов.
Pn(k1, . . . ,km)= n!______
k1!**km!

Задача 6.Сколько анаграмм можно составить из букв слова ИНИЦИАТИВА?
И 4; н 1; ц 1; а 2; т 1; ь - 1
P10(4,1,1,2,1,1)=___10!__=5*6*7*8*9*5=75600
4!*2!


Задачи для самостоятельной работы:
Задача № 1.6.1. Сколько анаграмм можно получить, переставляя буквы в слове математика?
Задача № 1.6.2. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?
Задача№1.6.3. У мамы было 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?
1.7 Размещения без повторений
Размещением из n элементов по k (k
·n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённым порядке из данных n элементов.
Число размещений из n элементов по k обозначают Ank (читают А из n по k).
Ank= n!__
(n-k)!
Задача 7. Из группы в 15 человек выбирают четырёх участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
Решение: Так как порядок следования выбранных спортсменов существенен, то перед нами размещения – из 15 элементов по 4.
А154= 15! = 15! =15*14*13*12=32760 способов.
(15-4)! 11!
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №1.7.1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры в записи числа не повторяются?
Задача №1.7.2 Сколько всего семизначных телефонных номеров в каждом из которых цифры не повторяются?
Задача №1.7.3. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
Задача №1.7.4. Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров нет?
Задача №1.7.5. Сколькими способами могут занять 1, 2, 3 места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м.?
Задача №1.7.6. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал семи различных цветов?


1.8 Размещения с повторениями
Кортежи длины k, составленные из элементов n- элементного множества, называется размещениями с повторениями из n элементов по k.
Ank=nk
Задача 8. Сколько существует пятизначных номеров, составленных из цифр 2, 3, 5, 7?
Решение: Порядок следования цифр важен, => речь идет о размещении. Цифры в записи числа могут повторяться. A45=45=1024.
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №1.8.1. Имеется набор из 16 карточек. На четырёх из них написана буква «а», на четырёх - буква «б», на четырёх – буква «в», и на четырёх – буква «г». Сколько различных комбинаций букв можно получить, выбирая из набора 4 карточки и располагая их в некотором порядке?
Задача №1.8.2. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Задача №1.8.3. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв, точки можно называть одинаковыми буквами?
1.9 Сочетания без повторений
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, состоящее из k элементов, выбранных из данных n элементов.
В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.
Cnk= n!___
k!(n-k)!
Задача 9. Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?
Решение: Выбрать 3 яблока из 9 можно количеством С93 , а выбрать 2 груши из 6 можно количеством С62. С93*С62= 9!__ * 6!__ =1260 (с).
3!(9-3)! 2!(6-2)!
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №1.9.1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать 3 дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Задача №1.9.2. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Задача №1.9.3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Задача №1.9.4. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, нужно отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если а) заведующий лабораторией должен обязательно поехать; б)заведующий лабораторией должен остаться?
Задача №1.9.5. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, нужно отравить в наряд 3 человек. Сколькими способами это можно сделать, если а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно, б) Иванов и Петров должны остаться; в) Иванов должен пойти, а Петров остаться?
1.10 Сочетания с повторениями
Сочетанием с повторениями из n элементов по k элементов называется любой неупорядоченный набор k элементов в котором каждый из этих k элементов является элементом одного из данных n типов элементов.
Cnk=Ckn+k-1
Задача 10. Сколько костей домино можно сделать, используя числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Решение: С72=С27+2-1=С82= 8!___= 28 (к).
2!(8-2)!
Задачи для самостоятельной работы:
Задача № 1.10.1. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?
Задача № 1.10.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нём 12 открыток?
Задача № 1.10.3. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов
если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 10?
Задача № 1.10.4 В цветочном магазине продаются цветы 6 сортов. Сколько можно составить различных букетов из 10 цветов в каждом букете, отличается лишь расположением цветов, считается одинаковым?
1.11 Треугольник Паскаля. Бином Ньютона
Треугольником Паскаля называют особую числовую таблицу треугольной формы. Она была известна ещё учёным Древней Индии, но её заново открывали и изучали многие математики, жившие в разные времена. Таблица содержит коэффициенты членов многочленов, получавшихся при возведении двучлена в степень. Эту таблицу назвали треугольником Паскаля в честь выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля, жившего в 17 в, посвятившего ей своё сочинение «Трактат об арифметическом треугольнике».
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Первая строка в этой таблице содержит коэффициенты одночленов для показателя степени  n = 1;  вторая - для  n = 2;  третья - для   n = 3 и т. д.
Формула Бинома Ньютона представляет выражение ( a + b ) n  при положительном целом  n  в виде многочлена:
            [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Заметим, что сумма показателей степеней для  a  и  b  постоянна и равна n.
Числа   [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называются биномиальными коэффициентами.
Свойства биномиальных коэффициентов:                                                                               
 1.  Сумма коэффициентов разложения ( a + b )n  равна  2n .
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.
3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения.
Пользуясь формулой Бинома Ньютона, мы можем легко вывести формулу куба суммы двух выражений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача  11 . Представить в виде многочлена (1+х)6
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задачи для самостоятельной работы:
Задача 1.11.1. Представьте в виде многочлена ( a + b )7.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Раздел 2. Элементы теории вероятностей.
2.1 Вероятность и риск. Пространство элементарных событий.
Исторически первой группой случайных событий, которые были исследованы математиками, были азартные игры. Сами правила игры предполагали равноправие участников перед судьбой, при всем мастерстве игрока многое зависело от "везения". Мы также рассмотрим несколько примеров из этой области, т.к. они хорошо иллюстрируют некоторые возможности аппарата теории вероятностей, который пригодится нам в дальнейшем для других случаев. В условиях игры (в карты, в кости) математики и игроки связывают понятие вероятности выигрыша с шансом получения выигрышной комбинации по сравнению с общим числом всех возможных комбинаций.
Пример 1. При падении монеты существует два возможных результата (математики называют эти результаты элементарными исходами): выпадет герб или выпадет решетка. Оба результата равновероятны, т.е. вероятность того, что монета останется лежать гербом вверх равна 50% (или 1/2), с такой же вероятностью выпадет другая сторона. Какой бы результат не загадал игрок как благоприятный для себя, его шанс выиграть и вероятность проиграть одинаковы. Пример 2. При бросании игральной кости существует уже шесть возможных элементарных исходов (количество выпавших очков может меняться от 1 до 6). Если игральная кость имеет правильную форму, все шесть результатов равновероятны. Другими словами, вероятность того, что при единственном выбрасывании кости выпадет, например, шесть очков, равна 1/6. Если только эта цифра считается выигрышем при данном броске, шансов выиграть у игрока в три раза меньше, чем в прошлый раз. Если мы хотим "уровнять" шансы при бросании игральной кости с шансом выиграть при бросании монеты, нам надо изменить правила игры, например, считать выигрышем выпадение любого четного числа. Поскольку игральная кость имеет три грани с четными числами и три грани с нечетными, шансы выиграть и проиграть при единственном броске у нас будут одинаковыми (вероятность выигрыша станет равной 1/2, т.е. такой же, как при бросании монеты).
Задача 12. При подбрасывании монеты вероятность выиграть составляет 1/2, а при бросании игральной кости выигрышем считается выпадение цифры шесть (вероятность выигрыша 1/6). Чему равна вероятность проигрыша в каждом случае? Значит ли это, что играть в кости менее выгодно?
Решение: В каждом из двух случаев вероятность выиграть и проиграть должны составить в сумме 100% или единицу, поскольку ничейный вариант в этих ситуациях невозможен. Это означает, что при бросании монеты вероятность проиграть равна 1/2, а при бросании игральной кости - 5/6. Если при бросании монеты участвуют два игрока, сделавшие одинаковые ставки, причем выигравший забирает все, то возможный выигрыш в такой игре должен вдвое превышать исходную ставку. Менее очевидный случай - бросание кости. Должен ли выигрыш в шесть раз превышать ставку игрока, и откуда возьмется эта сумма, если игроков по-прежнему только двое? Вот если бы игроков было шестеро, и каждый поставил бы на разную цифру, то при одинаковых исходных ставках получилась бы вполне справедливая игра. Выигравший забрал бы в шесть раз больше, чем поставил, но шансы каждого игрока выиграть были бы одинаковыми. Если же играют двое, причем один выигрывает, только при выпадении цифры "шесть", значит второй выигрывает при любой другой ситуации, и его шансы на выигрыш в пять раз выше. Само по себе это не означает, что игра "нечестная", просто справедливые правила должны потребовать от второго игрока сделать исходную ставку, которая будет в пять раз выше, чем ставка первого игрока. Совокупность всех возможных результатов опыта в теории вероятности называется пространством элементарных исходов. Элементарные исходы могут образовывать группы, каждая из которых называется событием.
Событие является достоверным, если оно произойдет при любых условиях, событие является невозможным, если оно не может произойти ни при каких условиях, событие, которое может произойти, а может не произойти, является случайным. События называются независимыми, если реализация одного из них не оказывает никакого влияния на вероятность реализации другого. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.
2.2 Классическое определение вероятности.
Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.
Такое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим.
Задача 13. На четырех карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось: а) число 123; б) число 312 или 321; в) число, первая цифра которого 2?
Решение. Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения важен). Общее число исходов: 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим события и их вероятности:
а) Событие А={из трех карточек образовано число 123}, 13 EMBED Equation.3 1415 (единственный вариант); 13 EMBED Equation.3 1415
б) Событие В={ из трех карточек образовано число 312 и 321}, 13 EMBED Equation.3 1415 (два варианта размещения карточек); 13 EMBED Equation.3 1415
в)Событие С={из трех карточек образовано число, первая цифра которого 2}. Если первая цифра фиксирована, то на оставшихся двух местах можно разместить любую из оставшихся трех цифр (с учетом порядка), то есть 13 EMBED Equation.3 1415
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №2.2.1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?
Задача № 2.2.2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?
Задача №2.2.3. Случайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:1) обе они согласные; 2) среди них есть «ъ»; 3) среди них нет «ъ»; 4) одна буква гласная, а другая согласная.
Задача №2.2.4. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент набрал правильный номер?
Задача № 2.2.5. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании: а) 3-х карточек получится слово РОТ; б) 4-х карточек получится слово СОРТ; в) 5-ти карточек получится слово СПОРТ?
Задача №2.2.6. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?
2.3 Статистическое определение вероятности.
Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной при проведении большого числа случайных экспериментов: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний.
Задача 14. Чтобы определить, вероятность встретить в лесопарке «Дружба» деревья разных пород, юннаты провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева.
Результаты были занесены в таблицу:
Породы
Сосна
Дуб
Береза
Ель
Осина
Всего

Число деревьев
315
217
123
67
35
757

Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет:
а) сосной; б) хвойным; в) лиственным. Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.
Решение.
а) A={выбранное наугад в парке дерево - сосна}
NА = 315, N = 757, Р(А) = 315/757 ( 0,416;
б) В ={выбранное наугад в парке дерево - хвойное}
NА = 315 + 67 = 382, N = 757. Р(А) = 382/757 ( 0,505;
в) C = {выбранное наугад в парке дерево - лиственное}
NА = 217 + 123 + 35 = 375, N = 757. Р(А) = 375/757 ( 0,495.
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №2.3.1. По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Задача №2.3.2. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов?
Задача №2.3.3. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.
Задача №2.3.4. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов, на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?
2.4 Геометрическое определение вероятности.
Если предположить, что попадание в любую точку области ( равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей 13 EMBED Equation.3 1415.
Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.
Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 15. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?
Решение:


Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата 16см2 – 4см2 = 12см2. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Задачи для самостоятельной работы:
Задача № 2.4.1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) АС; 3) МС; 4) МВ; 5) АВ?
А М С В


Задача №2.4.2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?
Задача №2.4.3. Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом 2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?
2.5 Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие D , происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В: D = A + B Пересечением (произведением) двух событий C и D называется событие F, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события C и D: F = C · D
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 15. Бросается игральная кость (один раз). Найти вероятность того, что выпадет 3 очка или 5 очков.
Решение: У кубика 6 граней, вероятность выпадения каждой из граней одинакова и равна 1/6. P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 16. В квадрат со стороной а = 30 см случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность Р того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем в r = 3 см от центра квадрата.
Решение: Задача интересная в том плане, что здесь также используется понятие [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Считаем, что точка с одинаковой вероятностью может попасть в любую область квадрата. Геометрическая вероятность находится как отношение площадей областей. Вероятность попасть в правую верхнюю четверть квадрата:
Р(А) = 1/4. Вероятность попасть в круг радиусом r = 3:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вероятность попасть в правую верхнюю четверть круга:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вероятность попасть хотя бы в одну из этих областей: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В частности, для независимых событий
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 17. В партии находятся 15 изделий: 10 изделий первого сорта, а 5 – второго. Наудачу одна за другой без возвращения в партию берутся 3 изделия. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется второго сорта.
Решение: Сначала найдём вероятность противоположного события: все три изделия, извлекаемые без возвращения из партии, оказались первого сорта. Вероятность извлечь первый раз первосортное изделие равна 10/15, второй раз условная вероятность этого события (в предположении, что первосортное изделие уже извлекли, и их стало на единицу меньше), равна 9/14, а третий раз условная вероятность в предположении, что перед этим уже два раза извлекали изделие первого сорта, равна 8/13. В соответствии с теоремой умножения вероятностей:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вероятность противоположного события (хотя бы одно изделие второго сорта, т.е. либо одно, либо два, либо все три) мы нашли, вычитая полученный результат от единицы.
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №2.5.1.Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного непопадания; в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания. 0,72 0,02 0,98 0,26
Раздел 3. Элементы математической статистики.
Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово « статистика» происходит от латинского слова status, которое означает «состояние, положение вещей».
Для изучения различных общественных и социально – экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводят специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения. Полученную информацию обрабатывают. Рассмотрим некоторые статистические характеристики:
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Казалось бы, простое и хорошо знакомое действие, но и тут имеется несколько проблем для обсуждения. При работе с некоторыми "показателями", использование только этой статистической характеристики приводит к формированию неверного представления об явлении, поневоле вспоминается известная шутка о "средней заработной плате чиновника и дворника, когда чиновник получал заработную плату 99000 руб., дворник – 1000 руб., а их средняя заработная плата составляла 50000 рублей»".
Размахом ряда называется разность между наибольшим и наименьшим из данных чисел.
Медианой упорядоченного ряда с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, медианой упорядоченного ряда с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Например, если мы расположим в порядке возрастания меры времени: секунда, минута, час, сутки и неделя - то медианой будет час.
Еще одно понятие для замены среднего - мода. Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Собранную обработанную информацию наглядно можно представить в виде
таблицы частот:
Сведения об успеваемости и качестве ЗУН студентов группы Ф -21 по предмету «Спортивно – боевые искусства» за 3 семестр 2009 – 2010 учебного года:
оценка
«отлично»
«хорошо»
«удовлетворительно»

количество
19
5
3

графика:





Полигон

диаграммы различного типа:







Гистограмма Круговая диаграмма Познакомимся с другими статистическими характеристиками на примере решения реальной экономической задачи.
Итак, допустим, фирма имеет две палатки, торгующие горячей выпечкой, которую они пекут на месте из полуфабрикатов. В таблице приводится примерная сводка ежедневной выручки каждой из палаток за неделю (в руб.)
Дни недели
понедельник
вторник
среда
четверг
пятница
суббота
воскресенье

Палатка 1
205
268
258
218
341
1515
1397

Палатка 2
759
801
670
599
633
420
301

Различие в ежедневной выручке в основном связано с расположением палаток. Палатка 1 находится в парке отдыха, в то время как Палатка 2 расположена напротив школы и вблизи проходной крупного НИИ. Владелец фирмы решил выплачивать ежемесячную премию продавцам той палатки, которая даст в этом месяце большую выручку. При распределении премии выяснилась удивительная вещь: выигрыш в этом "соревновании" зависел только от количества выходных в месяце. Видно, что если бы владельцу фирмы пришла в голову идея ежедневного премирования победителя какой-то фиксированной суммой, "Палатка выходного дня" могла бы рассчитывать на премии в два с половиной раза реже, хотя недельная выручка от нее больше. В таких условиях более разумное соревнование могло бы быть основано на осреднении показателей за неделю. Допустим, недельные показатели практически совпали. Как оценить, какая из палаток полезнее для фирмы, если по каким-то причинам фирме необходимо продать одну из них? Если выручка практически совпадает, владелец, по-видимому, поинтересуется стабильностью работы торговой точки. Вины продавцов в этом нет, но если оборудование работает два дня в неделю на износ, а в остальное время больше простоев, выход из строя такого оборудования более вероятен. Пусть в один (случайным образом выпавший) день в неделю идет сильный дождь, и на улицах мало прохожих, падение выручки особенно резко заметно, когда такой дождливый день совпадает с одним из выходных. Для сравнения можно представить спортсменов, которые имеют равные шансы выиграть, но один из них выступает ровнее. Скорее всего, именно он и будет принят в состав сборной. Но вот еще один вопрос: а не делает ли эта самая нестабильная палатка работу фирмы в целом более стабильной, прекрасно дополняя работу палатки 2? Давайте выдвинем это утверждение в качестве гипотезы и попробуем его доказать или опровергнуть. Чтобы оценить эту проблему количественно, надо прежде всего просуммировать дневную выручку обеих палаток.
Дни недели
понедельник
вторник
среда
четверг
пятница
суббота
воскресенье

Палатка 1+2
964
1069
928
817
974
1935
1698

То, что мы описали общими словами как "нестабильность работы", в статистике называется характеристикой рассеивания. К ним относятся такие показатели как дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Покажем на предыдущем примере, как определяются эти понятия. Посчитаем сначала среднее арифметическое выручки для каждой палатки отдельно, и для обеих палаток вместе (осреднение проводим за семь дней):
Хср.1=600 руб., Хср.2=598 руб., Хср.1+2=1198 руб.
Чтобы сравнить разброс значений, посчитаем для обеих палаток дневные отклонения выручки от их собственного среднего значения.
Дни недели
понедельник
вторник
среда
четверг
пятница
суббота
воскресенье

Палатка 1
-395
-332
-342
-383
-259
915
797

Палатка 2
161
203
72
1
35
-178
-297

Палатка 1+2
-234
-129
-270
-382
-224
737
500

Чтобы измерить, насколько одна палатка "нестабильнее" другой, хочется сложить всю строку за неделю и получить общее отклонение за весь отчетный период. Но этого делать нельзя, мы сами так построили эти показатели, что, сложив, получим ноль (с точностью до погрешности округления - среднее арифметическое величина не обязательно целая). Чтобы избежать этого обнуления, нам надо, чтобы каждое отклонение от среднего арифметического "лишилось" своего знака. Для этого возводят каждую величину в квадрат, и лишь затем суммируют весь ряд значений. Чтобы не зависеть от периода осреднения делят полученную сумму квадратов на число слагаемых (в нашем случае, по-прежнему на семь). Такая величина называется дисперсией.

Дисперсия (руб2)
Среднее квадратическое отклонение (руб)

Палатка 1
295522
543,6

Палатка 2
27633
166,2

Палатка 1+2
161938
402,4

Мы видим, что дисперсия действительно очень показательная величина. У "Палатки выходного дня" она выше более, чем в десять раз.
Дисперсией часто пользуются, но более удобная характеристика носит название среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии, он удобен тем, что имеет ту же размерность, что и исходные величины. Так, в нашем случае, дисперсия имела бы размерность "рубли в квадрате", в то время как среднее квадратическое отклонение получается просто и привычно, в рублях.
В нашем примере, видно, что суммарная дисперсия и среднее квадратическое отклонение у двух палаток вместе все-таки выше, чем у одной второй палатки, причем среднее квадратическое отклонение выше более чем в два раза. Значит, наша гипотеза о "повышенной стабильности суммы" за счет присутствия второй палатки несостоятельна.
Задачи для самостоятельной работы:
Задача №3.1.1. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда?
Задача № 3.1.2. Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно 13. Из этого ряда вычеркнули число 3. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?
Задача №3.1.3. В ряду чисел 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 одно число оказалось стертым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этих чисел равно 14.
Задача №3.1.4. В ряду чисел 3, 8, 15, 30, __, 24 пропущено одно число. Найдите его, если а) среднее арифметическое равно 18; б) размах ряда равен 40; в) мода ряда равна 24. Задача №3.1.5. Зная, что в упорядоченном ряду содержится т чисел, где т - нечетное число, укажите номер члена, являющегося медианой, если а) т=5; б) т=17; в) т=47.
Ответы к задачам для самостоятельной работы:
1.4.1. 25 1.4.2. 5 1.4.3. 720 1.4.4. 3628800 1.4.5. 9 1.4.6. 6 1.4.7. 180
1.5.1. 120 1.5.2. 120 1.5.3. 720 1.5.4. 6 1.5.5. 120 1.5.6. 240 1.5.7. а) 720 б) 120 в) 440
1.6.1. 151200 1.6.2. 5040 1.6.3. 1260
1.7.1. 12 1.7.2. 604800 1.7.3.1680 1.7.4. 24 1.7.5. 336 1.7.6. 210
1.8.1. 65536 1.8.2. 6561 1.8.3. 118813
1.9.1. 455 1.9.2. 210 1.9.3. 400400 1.9.4. а) 210 б) 252 1.9.5. а) 10 б) 120 в) 45
1.10.1. 120 1.10.2. 293930 1.10.3. 220 1.10.4 3003
1.11.1. а7+7а6b+21a5b2+35 a4b3+35 a3b4+21a2b5+7 ab6+b7
2.2.1. 1/10 2.2.2. 1/24 2.2.3. 1) 35/88 2) 2/33 3) 31/33 4) 35/88 2.2.4. 1/6 2.2.5. а) 1/60 б) 1/120; в) 1/120 2.2.6. 1/22
2.3.1. 0,997 2.3.2. 120 2.3.3. 102 2.3.4. 1118
2.4.1. 1) 1/6 2) 1/2 3) 1/3 4) 5/6 5) 13 EMBED Equation.3 1415. 2.4.2. а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415 2.4.3. 13 EMBED Equation.3 1415
2.5.1. а) 0,72 б) 0,02 в) 0,98 г) 0,26
3.1.1. 17 3.1.2. 14,25 3.1.3. а) 28 б) 43; в) 24. 3.1.5. а) 3 б) 9 в) 24














13 PAGE \* MERGEFORMAT 141215


13 PAGE \* MERGEFORMAT 142515



первый

второй


третий


Верхний левый угол

Верхний правый угол

Нижний левый угол

Нижний правый угол

Верхний левый угол


Верхний правый угол


Нижний левый угол


Нижний правый угол


второй

первый


третий


Верхний левый угол

Верхний правый угол

Нижний левый угол

Нижний правый угол

Верхний левый угол


Верхний правый угол


Нижний левый угол


Нижний правый угол


третий

первый


второй


Верхний левый угол

Верхний правый угол

Нижний левый угол

Нижний правый угол

Верхний левый угол


Верхний правый угол


Нижний левый угол


Нижний правый угол


13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415






Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial Cyr1 семестрArial Cyr2 семестрArial Cyr3 семестрArial CyrСведения об DArial Cyrуспеваемости студентов Arial CyrTimes New Roman1.
·Times New Roman1ґArial Cyr1"рArial Cyr1ЬArial Cyr1"
·
·Arial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-О+¤13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·""#,##0;[Red]\-""#,##0О7¦
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·""#,##0.00;[Red]\-""#,##0.00ОeЁ0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·"* #,##0.00_-;\-""* #,##0.00_-;_-""* "-"??_-;_-@_-О4«/
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·О¬
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·О!­
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·-2]\ ###,000_);[Red]\([$-2]\ ###,000\)а14 ° °

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Денежный [0]Связанная ячейка
·U
·Связанная ячейкаТекст предупреждения
·O
·14Текст предупреждения-       : 1 семестр - 89,1%, 2 семестр – 77,1%, 3 семестр – 90%.

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·2 семестр
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·-       Повышение уровня обученности в группе: 1 семестр - 93,8%, 2 семестр – 96,2%, 3 семестр – 100%.
я
·Samsung ML-1640 Series1 семестр
·3 семестр
·
·Samsung ML-1640 Series Arial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial Cyr1 семестрArial Cyr2 семестрArial Cyr3 семестрArial CyrСведения об Arial Cyrуспеваемости студентов Arial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial Cyr1 семестрArial Cyr2 семестрArial Cyr3 семестрArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrСведения о посещаемости 9Arial Cyrучебных занятий студентами Arial Cyrгруппы Times New Roman1.
·Times New Roman1ИArial Cyr1"ТArial Cyr1ЬArial Cyr1"р
·Arial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-О+¤13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·""#,##0;[Red]\-""#,##0О7¦
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·""#,##0.00;[Red]\-""#,##0.00ОeЁ0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·"* #,##0.00_-;\-""* #,##0.00_-;_-""* "-"??_-;_-@_-О4«/
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·О¬
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·О!­
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·-2]\ ###,000_);[Red]\([$-2]\ ###,000\)а14 ° °

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Денежный [0]Связанная ячейка
·U
·Связанная ячейкаТекст предупреждения
·O
·14Текст предупреждения-       : 1 семестр - 89,1%, 2 семестр – 77,1%, 3 семестр – 90%.

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·2 семестр
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·4
·Сведения о посещаемости учебных занятий студентами группы
·2 семестр
·Chart 1Сведения о посещаемости учебных занятий студентами группы ф -21.
·Arial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial Cyr1 семестрArial Cyr2 семестрArial Cyr3 семестрArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrСведения о посещаемости Arial Cyrучебных занятий студентами Arial Cyrгруппы Вероятность появления одного из двух несовместных событийВероятность совместного появления двух событийВероятность совместного появления двух независимых событийArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrСведения о качестве HArial Cyrзнаний студентов группыArial Cyr1 семестрArial Cyr2 семестрArial Cyr3 семестрTimes New Roman1.
·Times New Roman1ґArial Cyr1"ёArial Cyr1"ТArial Cyr1"БArial Cyr1ЬArial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-О+¤13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·""#,##0;[Red]\-""#,##0О7¦
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·""#,##0.00;[Red]\-""#,##0.00ОeЁ0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·"* #,##0.00_-;\-""* #,##0.00_-;_-""* "-"??_-;_-@_-О4«/
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·О¬
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·О!­
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·-2]\ ###,000_);[Red]\([$-2]\ ###,000\)а14 ° °

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Денежный [0]Связанная ячейка
·U
·Связанная ячейкаТекст предупреждения
·O
·14Текст предупреждения-       : 1 семестр - 89,1%, 2 семестр – 77,1%, 3 семестр – 90%.

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·2 семестр
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·-       Повышение уровня обученности в группе: 1 семестр - 93,8%, 2 семестр – 96,2%, 3 семестр – 100%.
d
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·4
·1 семестр
·3 семестр
·
·Samsung ML-1640 SeriesСведения о качестве знаний студентов группы ф -21
·Arial CyrArial CyrArial CyrArial CyrСведения о качестве Arial Cyrзнаний студентов группы Arial Cyr1 семестр Arial Cyr2 семестр Arial Cyr3 семестр

Приложенные файлы

  • doc posobie30
    Размер файла: 691 kB Загрузок: 21

Добавить комментарий