Тема: Производная
Составители:
Проскурина Н.С., преподаватель ГОУ НПО ПЛ№25
Черемных Г.Н., преподаватель ГОУ СПО
Мариинский педагогический колледж
Кожемякина Н.Н., преподаватель ГОУ НПО ПУ №47
Кемерово, 2010
Пояснительная записка.
Рабочая тетрадь по алгебре для учащихся 10-11 классов (1 курс ГОУ НПО, СПО) составлена в соответствии с действующими рабочими программами и учебниками по алгебре и может быть использована для самостоятельной работы учащимися, а также для выполнения домашних работ. Тетрадь содержит задачи репродуктивного, поискового характера, а так же имеется ряд задач повышенной сложности, решение которых требует определенных умений и навыков, которые могут служить базой для дальнейшего изучения курса алгебры.
Содержание
Определение производной
Основные правила дифференцирования
Упражнения на закрепление изученных понятий
Производные тригонометрических функций
Проверочная работа
Геометрический смысл производной
Физический смысл производной
Производная сложной функции
Письменная работа
Основные правила дифференцирования
1. a=0
2. x=1
3. (ax)=a
4. (x)=nx
·№
5. (u+v)=u+v
6. (uv)=uv+uv
7. (u/v)=(uv-vu)/vІ
1. a=0. Производная от числа равна нулю.
7=0; (13)=0; (-2,5)=0; (
·11)=0
4 =_____; (-15) =______; (7,81) = ______;
(
·2)=_______ (5/7) =______.
2. x=1. Производная от любой переменной равна
единице.
у =________________; в=_____________
3. (ax)=a. Постоянный множитель можно выносить
за знак производной.
(13х)=13; (¶х)= ¶; (-јх) = -ј; (
·2х) =
·2
(101х) = __________
(-56х) = __________
(х) = __________
(
·8х) = _________
4. (x)=n·x
·№
(х)=6х; (3х) = 3·4х3 = 12х3;
(-јх4) =-ј·4 х3=- х3
(Х21)' = _______________
(10х4)' = _______________
(-х3)' = _______________
(Х1/2)' = _______________
5. (u+v)=u+v
(3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3
(5х2+8х-10)'=(5х2)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8
(х4-х9)'= (х4)' – (х9)'= 4х3 – 9х8
(3х2 – 6х)' = _______________________________________________________
(х3+ 4х100-1)' = _____________________________________________________
(3х4-7х3+2х2+¶)'=___________________________________________________
6. (u·v)=u·v+u·v
1. (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·( х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3
2. ((х2-х)(5х-8))'= (х2-х)'·(5х-8) + (х2-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+
+(х2-х)5= 10х2-21х+8+5х2-5х= 15х2-26х+8
((х+5)(х+7))'=___________________________________________________________
_______________________________________________________________________
((х2-2)(х7+4))'=__________________________________________________________
_______________________________________________________________________
7. (u/v)=(u·v-v·u)/vІ
(х2/(х+3))'= ((х2)'·(х+3) - х2·(х+3)')/(х+3)2=
=(2х(х+3)-х2)/(х+3)2=(2х2+6х-х2) /(х+3)2=(х2+6х) /(х+3)2
((3х)/(2х-1))'=__________________________________________________________
______________________________________________________________________
((6х-9)/(-11х+7))'= ______________________________________________________
_______________________________________________________________________
Проверь себя
«3»
«4»
«5»
(4х2 – Зх)'=____________
_____________________
(2х3-3х2+5х+15)'=_______
______________________
______________________
(2х(х2+6))'=____________
______________________
______________________
((3х+5)/(8х4))'=_________
______________________
______________________
______________________
(12х3 -бх2)'=____________
______________________
(5х4+3х3-4х2+х8)'=_______
_______________________
_______________________
((7х+3)(8х4))'=__________
______________________
______________________
((3х3-8)/(2х+4))'= ______________________
______________________
______________________
_______________________
(јх4
·3х2+х)'=___________
______________________
(x8+x3-2x2+x8)'= ______________________
______________________
_______________________
((3х2-5х+1)(2х+9))'= ______________________
______________________
______________________
((7х2-3х+4)/(5х+3))'= ______________________
______________________
_______________________
_______________________
Производные тригонометрических
функций
(sinx)=cosx
(cosx)=-sinx
(tgx)=1/cosІx
(ctgx)=-1/sinІx
(2sinx)=2cosx; (x+2cosx)=1-2sinx;
(1/2tgx)=1/2cosІx; (сosx-tgx)=-sinx-1/cosІx
(2tgx-sinx)=2/cosІx-cosx
(tgx+11) '= _____________________________________________________________
(cosx- sinx) '=___________________________________________________________
(5sinx+2х) '= ___________________________________________________________
(Ctgx+2х3) '= ___________________________________________________________
(2sinx+ cosx-3)'= ________________________________________________________
(tgx +3 cosx)'= __________________________________________________________
(-sinx+х3) '= ____________________________________________________________
(2cosx-5х4+2х+1) '= ______________________________________________________
Установи соответствие
1.Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х0):
Решение: f(х) =х2, х0=-4
К= f '(х0); f '(х)=2х; f '(х0)= f '(-4)=2·(-4)=-8, т.е. к=-8
f(х)=1х, в х0=- 13 ______________________________________________
________________________________________________________________
f(х)= sinx, в х0 = ¶3_____________________________________________
______________________________________________________________
f(х)= 3х3 – 2х +1, в х0=1__________________________________________
________________________________________________________________
2. Найдем тангенс угла касательной к кривой у=12 х2 с осью Ох, в точке х0=1.
Решение: tg
·=у'(х0); у'(х)=( 12 х2)'=х; у'(х0)= у'(1)=1, т.е. tg
·=1;
·=¶4
1. у= х2 при х0=
·32________________________________________________
_______________________________________________________________________
2. f(х)=13 х3, х0=1 ________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. Найдем уравнение касательной к графику функции у=13 х2-2в точке с абсциссой х0=3.
Решение: Находим уравнение касательной у=у(х0)+у'(х0)(х-х0)
у(х0)=у(3)= 13 ·32-2=1; у'(х)= (13 х2-2)'=23 х; у'(х0)= у'(3)= 23 ·3= 2
у=1+2(х-3)=1+2х-6=2х-5; т.е. у=2х-5 – уравнение касательной
f(х)=3х2-5х+4, в х0=1____________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
у=12 х2+1, в х0=2_______________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Тело движется по закону S (t)=3t2-5t+8. Найдем скорость и ускорение движения тела и вычислить их значения при t=1.
Решение: V (t)= S' (t)= 6 t-5; V (1)=6·1-5=1
а= V'(t)=( 6 t-5)'=6
Ответ: V=1, а=6
Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= t2+2 в момент времени t=5: _____________________________
______________________________________________________________
_________________
·_____________________________________________
_______________________________________________________________________
Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= 0,5t3+2t2-7t+11 в момент времени t=2:
______________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Найдем производную сложной функции:
1.((2х+3)№°°)=2·100(2х+3)=200(2х+3)
2.(
·3хІ+1)=(1/2·(3хІ+1))·(3хІ+1)=6х/(2·
·3хІ+1)=3х/
·3хІ+1
у =(4х-9)7 _________________________________________________________
_______________________________________________________________________
у = (х3 +2)12_______________________________________________________
_______________________________________________________________________
у = (7-24х)10 _______________________________________________________
_______________________________________________________________________
у = cosx(5х-9)_______________________________________________
_______________________________________________________________________
у= sinx(7-2х) ______________________________________________
_______________________________________________________________________
1.Производная функции у=f(х) в точке х0 называется предел _________________
__________________, когда приращение аргумента стремится к нулю.
2.Функцию, имеющую производную в точке х0 называют____________________
_________________ в этой точке.
3.Найти производные функций:
3.1 у=х3+
·2____________________________________________________________
3.2 у=3х4-7х3-х+¶_______________________________________________________
3.3 у=7х3-5х___________________________________________________________
3.4 у=х-х3+7___________________________________________________________
3.5 у=(5х-2)·(4х-1)______________________________________________________
______________________________________________________________________
3.6 у=(5х+2)(4х-1)_____________________________________________________
______________________________________________________________________
3.7 у=(7х+5)·(8х-4)_____________________________________________________
______________________________________________________________________
3.8 у=(3х2-8)/(2х-4)_____________________________________________________
______________________________________________________________________
3.9 у=3cosх____________________________________________________________
3.10 у=sin2х___________________________________________________________
3.11 у=1/2 sinх-х5_______________________________________________________
3.12 у=5tgх____________________________________________________________
3.13 у= tg3х____________________________________________________________
3.14 у=3cosх+2_________________________________________________________
______________________________________________________________________
3.15 у=2х5-3cosх________________________________________________________
_______________________________________________________________________
4. Найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0:
4.1 у=7х3-21х2+18, при х0=1______________________________________________
_______________________________________________________________________
4.2 у=х3-2х2+3х-6, при х0=-1______________________________________________
_______________________________________________________________________
4.3 у=sinx+cosx, при х0=¶2________________________________________________
_______________________________________________________________________
4.4 у=х22+х, при х0=1____________________________________________________
_________________________________________
5.Пусть S, пройденный телом за время t, выражается формулой. Определить скорость тела V. Вычислить значение скорости при определенном значении t.
5.1 S(t)=2х3-5х2+11х-3, при t=2___________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
5.2 S(t)=5,5t2-8t+11, при t=2_______________________________________________
_______________________________________________________________________
5.3 S(t)=t2+2, при t=10___________________________________________________
_______________________________________________________________________
6. Найти угол, образованный касательной к графику функции в точке х0:
6.1 у=х6-4х, при х0=1_____________________________________________________
_______________________________________________________________________
6.2 f(х)= -х5-2х2+2, при х0=-1______________________________________________
_______________________________________________________________________
6.3 f(х)=10-cosх, при х0=3¶2_______________________________________________
6.4 f(х)=2tgх, при х0=¶4___________________________________________________
_______________________________________________________________________
7.Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:
7.1 у=-13 х2+4, при х0=3_________________________________________________
_______________________________________________________________________
7.2 у=16 х2+х-3, при х0=3_________________________________________________
_______________________________________________________________________
7.3 у=х3-6х2+5, при х0=1_________________________________________________
_______________________________________________________________________
7.4 у=х-х2+3, при х0=2___________________________________________________
_______________________________________________________________________
Критерий оценки: «3» - выполнить 16заданий
«4» - выполнить 24 задания
«5» - выполнить более 24 заданий
МАТЕМАТИКА - во всем, нам твердят
Многие не верят, спорить норовят
Математика от нас далеко,
Жить на свете без нее так легко.
Но однажды вечером пойдет дождь,
Подойдешь к окну и поймешь:
Все на свете что нам дано
Математикой предопределено.
Прямоугольники, квадраты и круги
Пространства времени
Неслышные шаги.
Все движется, все уплывает вдаль,
А кто не видит этого,
Того мне просто жаль.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14315
Производной функции у=f(х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю у'= lim f(х0+
·x)-f(х0).
·x
Нахождение производной данной функции у=f(х) называется дифференцированием.
(2sinx+3)'
(4 cosx+х2)'
(tgx+7)'
(ctgx+3х2+8)'
(7 sinx-1/7)'
(tgx+ 2sinx)'
((tgx)/3)'
(
·3 cosx-х5+0,3х)'
(3 cosx+15х)'
(sinx/ cosx)'
-
·3 sinx-5х4+0,3
13 cos 2x
-3 sinx+15
-1sin 2x +6х
1 2sinx 2x +6
-4 sinx+2х
1cos 2x
3cosx
2 cos 2x +6
7 cosx
1 cos 2x+2 cosx
15+ cosx
Производная в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функций у=f(х) в этой точке.
К = угловой коэффициент, равный тангенсу угла прямой с осью ОХ
К= f '(х0)= tg
·.
у=у(х0)+у'(х0)(х-х0) - уравнение касательной
Если точка движется вдоль оси Ох и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t)=х'(t)
V=S' (t), а ускорение а (t)= V' (t)=х'' (t)= S'' (t)
Если функция f имеет производную в точке х, а функция g имеет производную в точке у=f(х), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке х:
h(x)=g(f(x))·f(x)
Рабочая тетрадь по алгебре Физический смысл производной15
Приложенные файлы
