Работа 2 математические фокусы. Хузеева ю.р. Мбу 47


-457200-11430000МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 47
ГОРОДСКОГО ОКРУГА ТОЛЬЯТТИ
ХII городская научно-практическая конференция школьников
«Первые шаги в науку»
Возрастная категория: «Юный исследователь»
Секция: математика
Название работы:
«Математические фокусы – три важнейшие теоремы в теории чисел»
Автор работы:
Хузеева Юлия Ильфатовнаг.о. Тольятти, МБУ средняя школа № 47, 7 «А» класс
Научный руководитель:
Дьячкова Светлана Николаевна
учитель математики высшей категории, почетный работник общего образования РФ
Тольятти, 2016
Ведение
Актуальность исследования. Я очень увлекаюсь фокусами, все, что связано с практическими экспериментами меня завораживает. Учитель мне посоветовала ознакомиться с книгой М. Гарднера «Математические фокусы», под. Редакцией Г.Е Шилова, М: Наука, 1979 год. Сам автор пишет: «Фокусы – это небольшие эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур, чисел, лишь облеченные в несколько экстравагантную форму. И если понять суть этого эксперимента, то значит понять и разгадать некоторую, но точную математическую закономерность». [1]
В своей работе «Топологические фокусы – лист Мебиуса!», которая стала лауреатом городского конкурса «Первые шаг в науку» в 2014 году рассмотрела фокусы на завязывание и развязывание узлов на веревках, различные действия с лентами, кольцами и показала практические эксперименты с листом Мебиуса.
В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К. И. Нешкова, С.Б. Суворова «Алгебра,7 класс» под.ред С.А. Теляковского-М.: «Просвещение», 2014 г. Есть такая задача № 611. Задумай двузначное число, увеличь число десятков в 2 раза и к произведению прибавь 5 единиц, затем полученную сумму увеличь в 5 раз и к новому произведению прибавь 10 единиц и число единиц задуманного числа и результат сообщи учителю. Если учитель вычтет из твоего результата 35, он узнает задуманное число. Докажите справедливость способа отгадывания числа. Меня этот фокус очень заинтересовал, во первых почему нужно взять именно двузначное число, во вторых почему вычитаем 35, и какие свойства чисел мы используем.[5]
Вся новая работа будет посвящена новым математическим фокусам на угадывания задуманного числа. Основной темой математических фокусов является угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что "фокусник" использует три основные теоремы в теории чисел. Зная данные теоремы и свойства чисел, математический фокус в большинстве случаев довольно просто разоблачается.
Цель: показать практические эксперименты трех основных теорем в теории целых чисел через математические фокусы.
Предмет исследования: математические фокусы на угадывание чисел
Объект исследования: практические эксперименты трех основных теорем в теории целых чисел.
Гипотеза: Разгадывая и самостоятельно составляя математические фокусы на угадывания чисел человек, демонстрирует не только совершенную технику счета, но и знание трех основных теорем теории целых чисел.Методы исследования: мысленное моделирование, сравнение, измерение, эксперимент.
Задачи исследования:
Познакомиться с тремя важнейшими теоремами в теории чисел.
Изучить построение математических фокусов на угадывание чисел, имеющихся в литературе.
Рассмотреть практическое применение трех основных теорем в теории целых чисел через математические фокусы.
Провести урок-игру с обучающимися класса.
Основное содержание.
Три важнейшие теоремы в теории чисел или три взгляда на целые числа.
В книге И.Ж. Ибатуллина. Математические олимпиады: теория и практика. Основная школа. Учебное пособие. М. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013г. я нашла три важнейшие теоремы теории чисел.[3]
Теорема арифметики. Всякое натуральное число, отличное от 1, представимо в виде произведения простых чисел единственным образом с точностью до их расстановки.[7]
Доказательство. Пусть  a  – целое число, большее единицы. Обозначим через    его наименьший простой делитель, тогда   . Если  ,  то обозначим через    его наименьший простой делитель, т.е.  .  Если  ,  то также представим     и т.д. В конце концов, мы получим    и    и  .Если предположить, что число  a  раскладывается на простые множители другим способом:  ,  то получим, что    .Справа число делится на  ,  следовательно, и число слева делится на  ,  а тогда среди множителей есть по крайней мере один, который делится на  ,  но так как все множители простые, то этот множитель (будем считать, что это   ) равен  .  Сократим обе части равенства на  ,  получим   = .  Теперь повторим рассуждения с множителем  ,  получим   =   и т.д.
И основных теоремы, выходящие из теоремы арифметики
Теорема 1. Пусть а= и , Где р-простые числа, а и в –целые неотрицательные
Теорема 2. Количество делителей числа      , включая 1 и само число, равно  .  
Теорема о делении с остатком. Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде  a=b·q+r, где q и r – некоторые целые числа, причем .[7]
Доказательство. Ясно, что одно представление числа а равенством а = bq + r мы получим, если возьмем bq равным наибольшему кратному числа b , не превосходящему а(см. рис. 1)

( a = 3b+r )Рис. 1
Тогда, очевидно, 0˂ r < | b |. Докажем единственность такого представления. Ну пусть а = bq + r и а = bq1 + r1 — два таких представления. Значит 0 = а – а = b ( q – q1 ) + ( r – r1 ). Здесь 0 делится на b ; b ( q – q1 ) делится на b , следовательно ( r – r1 ) обязано делиться на b . Так как 0˂  r < b и 0 ˂r1 < b , то r – r1 < b и r – r 1 делится на b , значит r – r1  равно нулю, а, значит и q — q1  равно нулю, т. е. два таких представления совпадают.
Признаки делимости [7]
Признак делимости на 4Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.Признак делимости на 6Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.Признак делимости на 7Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).Признак делимости на 8Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.Признак делимости на 11Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.Признак делимости на 12Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.Признак делимости на 13Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).Признак делимости на 14Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.Признак делимости на 15Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.Признак делимости на 17Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)Признак делимости на 19Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).Признак делимости на 23Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).Признак делимости на 25Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.Признак делимости на 99Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.Признак делимости на 101Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).Свойство1. Числа а и b дают при делении на n равные остатки тогда и только тогда, когда разность a-b делится на n.Справедливость этого утверждения следует из того, что в разности а-b равные остатки взаимно уничтожаются, а различные - нет.Данное утверждение позволяет доказать следующие свойства остатков:Если числа а и b дают при делении на n равные остатки и числа с и d дают при делении на n равные остатки, то равные остатки получатся при делении на n чисел1) а+с и b+d;2) ас и bdСвойства делимости.I. Всякое число, отличное от нуля, делится на себя.II. Нуль делится на любое число, не равное нулю.III. Если а делится на b и b делится на c, то а делится на с (b≠0, c≠0).IV. Если а делится на b и b делится на а, то числа а и b либо равны, либо противоположны (b≠0,а≠0).Теорема о системах счисления. Любое натуральное число х можно представить в виде
Х = аn × 10n + аn-1 × 10n-1+ …+ а1 × 10 + а0 ,
где аn, аn-1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, такая запись единственна.
Каждая из теорем представляет целые числа в некотором виде, каждая эффективна в своих случаях:
Если необходимо вычислить количество или сумму натуральных делителей целого числа, то выгодно целые числа представить в виде произведения простых чисел (теорема арифметики)
Если необходимо доказать, что число кратно другому, или решить уравнение, или наоборот, что это не целое число, то легче разбить целые числа по остатку при делении на некоторое число (теорема о делении с остатком)Если необходимо записать целые числа с различным количеством используемого места, то это можно сделать, выбрав некоторую систему счисления (теорема о системах счисления).
Виды математических фокусов на угадывание чисел, имеющихся в литературе и их алгоритм построения.
Фокусы я разделила на две группы:
когда число угадывают, не спрашивая, что получилось после вычислений
когда число угадывают, спросив о результате вычислений.
Вот примеры таких фокусов:
1 группа.  Устроенные на обратных действиях.
Б.А. Кадемский. Математическая смекалка. М.,1959г.[2]
№ 1. Задумайте число. Прибавьте к нему 5. Прибавьте 2. Отнимите 4. Отнимите первоначально задуманное число. Отнимите 2. Прибавьте 9. Я и у вас получилось ….10!!!
Решение: Возьмем однозначное число 8+5+2-4-2+9-8=10
Здесь используется свойство сложение и вычитание противоположных чисел. И само задуманное число не важно.
№ 2. Задумайте число умножьте его на 7, затем на 143, затем на 2 и разделите на задуманное число, получим что????? А это 2002.
Решение: умножим делители 7*143*2=2002. Теорема арифметики.
1 группа Основанные на применение основных теоремы целых числах и правилах сложения многочленов и распределительном свойстве умножения чисел и признаки делимости.
И.Ж. Ибатуллина. Математические олимпиады: теория и практика. Основная школа. Учебное пособие. М. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013г[3]
№ 3.Арман, обращаясь к Даурену, сказал: «Задумайте трёхзначное число, чтобы первая цифра была больше третьей. Переставьте цифры в обратном порядке и из первого числа вычтите второе. Найдите сумму в обратном порядке и из первого числа вычтите второе. Найдите сумму цифр последнего числа. Это число….18!!!!
Решение: авс - сва =100а+10в+с-100с-10в-а=99а-99с=99(а-с)={9+9=18} Числа а и с однозначные и при чем, а≠0 и а ≠с вычитание они обязательно дадут однозначное число, отличное от нуля, а при умножении 99 на {1,2,3…,9} получится а9с, где а+с=9.
2 группа. Устроенные на обратных действиях
В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К. И. Нешкова, С.Б. Суворова «Алгебра,7 класс» под.ред С.А. Теляковского-М.: «Просвещение», 2014 г. Есть такая задача № 611. Задумай двузначное число, увеличь число десятков в 2 раза и к произведению прибавь 5 единиц, затем полученную сумму увеличь в 5 раз и к новому произведению прибавь 10 единиц и число единиц задуманного числа и результат сообщи учителю. Если учитель вычтет из твоего результата 35, он узнает задуманное число. Докажите справедливость способа отгадывания числа.
Решение: ав=(2а+5)*5+10-в=10а+в+35=ав+35. Если ав+35-35=авТрехзначное число взять нельзя.
2 группа. Основанные на применение основных теоремы целых числах и правилах сложения многочленов и распределительном свойстве умножения чисел и признаки делимости.
Теореме о арифметике.
№ 4. Запишите трехзначное число, умножьте его сначала на 7, потом на 13, после чего на 11. И задуманное число легко угадать, если зачеркнуть последние три цифры.
Решение: авс*1001=авс(1000+1)=авс000+авс=авсавсМожно взять двузначное число, но умножив его на 101.
Теорема о системах счисления и делении с остатком.
М. Гарднера «Математические фокусы», под. Редакцией Г.Е Шилова, М: Наука, 1979 год[1]
№ 5. Алексей говорит Борису: «Задумай двузначное число. Умножь его на 2, к полученному прибавь 5. Результат умножь на 5. Сколько у тебя получилось? 715?. Так ты задумал 69!
Решение: (2ав+5)*5=10ав+25. Если из результата вычесть 25, и рассмотреть только количество десятков то получим задуманное число.
Если взять трехзначное число, то эта формула действительна. Можно взять любое многозначное число.
Практическое применение трех основных теорем в теории целых чисел через математические фокусы.
Теорема арифметики
№ 6. Возьмите двузначное число. Умножьте это число на 20 и произведение сложите с исходным числом, и полученное число умножьте на 481, получим число задуманное, если зачеркнем последние четыре цифры.
Решение: (20ав+ав)*481=101101ав=авававЕсли рассмотреть однозначное число, то условие не изменится, лишь фокуснику надо будет зачеркнуть пять последних цифр.
Для многозначных чисел это условие не подходит.
№ 7. Возьмем число прибавим к нему 1 и нечетные последовательные однозначные числа, Затем вычтем 25. И разделим на задуманное число.
Решение: ((х+1+3+5+7+9)-25)/х=1
Здесь может быть любое число.
Для меня важно, что благодаря составлению таких фокусов и их решению я повторяю темы: действия с многочленами, признаки делимости.
Теорема о делении с остатком
№ 9. Задумайте число, прибавьте к нему 1, умножьте на 4, от произведения отнимите задуманное число и отнимите 3, полученное число умножьте на 2. Что у Вас получилось? 140? Значит, вы задумали 23.
Если рассмотреть однозначное число, то условие не изменится, лишь фокуснику надо будет зачеркнуть пять последних цифр.
Для многозначных чисел это условие не подходит.
Решение:((х+1)*4-х-3)*2=6х+2.
№ 10.Задумайте двузначное число, прибавьте к нему это же число, но записанное в обратном порядке, полученный результат разделите на сумму цифр задуманного числа. У вас поучилось…11!
Решение: (ав+ва)/(а+в)=11=11(а+в)/(а+в)
№11. Задумайте двузначное число, переставьте число единиц и десятков и припишите их к двузначному числу справа, до получения четырехзначного числа. Разделите его на 11. Назовите мне ответ, и я угадаю задуманное число.
Решение: авва /11=(1001а+110в)/11=11(91а+10в). Это число будет делиться на 11 всегда. И ответ получим трехзначное число вср. Чтобы узнать задуманное число, нужно в(с+р).
Например, 1221/11=111, это число12
5665/11=515, это число 56
2992/11=272, это число 29
№ 12. При делении некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.
Решение:
10а+в=7а+7в+6; 3а-6в=6; а=2+2в
10а+в=3ав+11; 10а-3ав+в=11; 10(2+2в)-в(6+6в)+в-11=0; 2в2-5в-3=0; 2в2-6в+в-3=0; 2в(в-3)+(в-3)=0; (в-3)(2в+1)=0, в=3,в=-,берем только число 3, а=8. Число86.
Для меня важно, что благодаря составлению таких фокусов и их решению я повторяю темы: нахождения значений буквенных выражений, решение уравнений способом группировки, действия с многочленами, признаки делимости.
Теорема о системах счисления
№ 12. Если к квадрату натурального числа прибавить 222, то получим 111111. Какое число я задумала.
Решение: 111111-222=111000+100-200+10-20+1-2=111000-111=111*999=(111*3)2=3332
№ 13. Первая цифра трёхзначного числа равна 9. Эту цифру переставили на последнее место, и получившееся трехзначное число вычли из данного. В результате получили 576. Что за число я задумала.
Решение: 900+10а+в-100а-10в-9=900-90а-9в-9=9(99-10а-в);
9(99-10а-в)=576
99-10а-в=64
10а+в=35. Ответ: 35
Для меня важно, что благодаря составлению таких фокусов и их решению я повторяю темы: решение линейных уравнений, действия с многочленами, признаки делимости.
Вывод.
Фокусы стараюсь придумывать как задачи логического характера. Практическое применение вижу не только  в “Гимнастике ума” полезной в любом возрасте и тренировке памяти, сообразительности, настойчивости, способности логически мыслить, анализировать и сопоставлять. Но и в тренировке умения по темам, изучаемым в классе. Урок становится интересным и открытым. Еще в Древней Элладе без игр не мыслилось гармоническое развитие личности. И игры древних не были только спортивными. Наши предки знали шахматы и шашки, ребусы и загадки.
Результаты ребят нашего класса.
Далее мы предложили ребятам решить ряд математических фокусов. На диаграмме и в таблице представлены сколько учащихся справились с работой. Кстати есть даже задачи в учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К. И. Нешкова, С.Б. Суворова «Алгебра,7 класс» под.ред С.А. Теляковского-М.: «Просвещение», 2014 г. Это № 611, 734, 876.
Также в учебниках Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К. И. Нешкова, И.Е. Фиоктистов «Алгебра,7 класс» под.ред С.А. Теляковского-М.: «Мнемозина», 2014 г.№ 30, 67,  125, 543[8]
Вот результаты.
В 7«А» классе обучается 24 человека.
Теорема арифметики Теорема деление с остатком Теорема о системах счисления
Задачи на когда число угадывают, не спрашивая, что получилось после вычислений
100% 100% 100%
Задачи
когда число угадывают, спросив о результате вычислений 89% 100% 100%
Задачи на олимпиадные задачи 54% 43% 63%

Заключение.
Вывод.
Гипотеза подтвердилась. Разгадывая и самостоятельно составляя математические фокусы на угадывания чисел человек, демонстрирует не только совершенную технику счета, но и знание трех основных теорем теории целых чисел.
Теорема арифметики. Всякое натуральное число, отличное от 1, представимо в виде произведения простых чисел единственным образом с точностью до их расстановки.
Теорема о делении с остатком. Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде  a=b·q+r, где q и r – некоторые целые числа, причем .
Теорема о системах счисления. Любое натуральное число х можно представить в виде
Х = аn × 10n + аn-1 × 10n-1+ …+ а1 × 10 + а0 ,
где аn, аn-1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, такая запись единственна.
Фокусы с числами я разделила на две группы:
когда число угадывают, не спрашивая, что получилось после вычислений
когда число угадывают, спросив о результате вычислений.
Фокусы стараюсь придумывать как задачи логического характера. Практическое применение вижу не только  в “Гимнастике ума” полезной в любом возрасте и тренировке памяти, сообразительности, настойчивости, способности логически мыслить, анализировать и сопоставлять. Но и в тренировке умения по темам, изучаемым в классе. Урок становится интересным и открытым. Еще в Древней Элладе без игр не мыслилось гармоническое развитие личности. И игры древних не были только спортивными. Наши предки знали шахматы и шашки, ребусы и загадки.
В дальнейшем перед собой ставлю задачу, рассмотреть другие математические фокусы с предметами.
Список литературы.
Мартин Гарднер «Математические фокусы», под. Редакцией Г.Е Шилова, М: Наука, 1979 год.
Живая математика. Я. И. Перельман. М: Просвещение, 1994
Математические олимпиады: теория и практика. Учебное пособие. И.Ж. Ибатуллина. М: БИНОМ, 2013.
Математическая шкатулка/Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин.-М: Дрофа, 2006
Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К. И. Нешкова, И.Е. Фиоктистов «Алгебра,7 класс» под.ред С.А. Теляковского-М.: «Мнемозина», 2014г
Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К. И. Нешкова, С.Б. Суворова «Алгебра,7 класс» под.ред С.А. Теляковского-М.: «Просвещение», 2014
Ресурсы интернет: Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона, С.-Петербург 1999г. https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_чисел

Приложенные файлы


Добавить комментарий