Работа арифм


Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 64 г. Волгограда
Городской конкурс учебно-исследовательских работ
« Я и Земля» им. В.И. Вернадского
(районный этап)
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
Секция « Математика»
Выполнили: Брянцева Людмила,
обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64,
Низкопоклонная Мария,
обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64.
Руководитель: Носкова Ирина Анатольевна,
учитель математики МОУ СОШ № 64
Волгоград 2014
Содержание
Введение …………………………………………………………… 3
Глава 1. Нестандартные способы решения задач
Задачи по теме « Натуральные числа» ………………….. 5
. Задачи « на части и проценты» …………………………... 8
Задачи на движение……………………………………...... 11
Задачи на совместную работу…………………………… 14
Заключение ………………………………………………………. 16
Литература ………………………………………………………. 16
Введение.
Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики , подражая учителю, решали задачи на определённое « правило». Таким образом, в давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся в практике ( в торговых расчётах и пр.).
Одна из причин этого заключалась в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определённого набора вычислительных умений, связанных с практическими расчётами. При этом линия арифметики – линия числа – ещё не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа( не просто 12, а 12 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными, например: «Продано 31719кг сахара по 2117 рубля за килограмм…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребности обучения вычислениям.
Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приёмов рассуждений. Научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов.
Ещё один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие во многом напоминает развитие человечества, поэтому использование старинных задач, разнообразных арифметических способов их решения позволяет идти в историческом контексте, что развивает творческий потенциал. Кроме того, разнообразные способы решения будят фантазию детей, позволяют организовать поиск решения каждый раз новым способом, что создаёт благоприятный эмоциональный фон для обучения.
Таким образом, актуальность данной работы можно обобщить в нескольких положениях:
- текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С помощью их учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач;
- использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык;
- арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами, истолковывать результат каждого действия, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи;
- арифметические способы решения текстовых задач приучают к абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес к процессу поиска решения, а затем и к самому предмету;
- использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащает опыт мыслительной деятельности, но и позволяет осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний стимул к поиску решений задач и изучению математики.
Из всего вышесказанного, мы делаем следующие выводы:
предметом исследования является блок текстовых задач по математике 5-6 классов;
объектом исследования является арифметический способ решения задач.
целью исследования является рассмотрение достаточного количества текстовых задач школьного курса математики и применение к их решению арифметического способа решения;
задачами для реализации цели исследования являются разбор и решение текстовых задач по основным разделам курса « Натуральные числа», « Рациональные числа», «Пропорции и проценты», « Задачи на движение»;
методом исследования является практико - поисковый.
Глава 1. Нестандартные способы решения задач.
Задачи по теме « Натуральные числа ».
На данном этапе работы с числами арифметические способы решения задач имеют преимущество над алгебраическими уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки жизненного опыта. Поэтому быстрее и лучше усваиваются различные приёмы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения.
1.Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.
133355270500Для решения можно использовать схематичный рисунок, помогающий наглядно представить взаимосвязь операций сложения и вычитания. Особенно эффективной помощь рисунка окажется при большем числе действий с неизвестной величиной. Задумали число 21.

2.Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2 комара, в третий – 3 и т.д. Сколько комаров влетело за сутки?
Здесь используется метод разбивания всех слагаемых на пары (первое с последним; второе с предпоследним и т.д.), найти сумму каждой пары слагаемых и умножить на количество пар.
1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + ( 2 + 23) + …. + ( 12 + 13) = 25 · 12 = 300.
Влетело 300 комаров.
3.Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет; Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой сестре?
1. 38 – 28 = 10 (лет) – Любе;
2. 23 – 10 = 13 (лет) – Наде;
3.28 – 13 = 15 (лет) – Вере.
Любе 10 лет, Наде 13 лет, Вере 15 лет.
4.В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино – 21 ,а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?
38105715000Рассмотрим решение задачи, на рисунке отражены этапы рассуждения.
30 – 5 = 25(чел.) – ходили в кино, или на
экскурсию;
25 – 23 = 2 (чел.) – ходили только в кино;
21 – 2 = 19 (чел.) – ходили и в кино, и на
экскурсию.
19 человек ходили и в кино, и на экскурсию.
5. Некто имеет 24 купюры двух видов – по 100 и 500 рублей на сумму 4000 рублей. Сколько у него купюр по 500 рублей?
Поскольку полученная сумма, число «круглое», то следовательно, количество купюр по 100 рублей кратно 1000. Таким образом, количество купюр по 500 рублей тоже кратно 1000. Отсюда имеем – по 100 рублей 20 купюр; по 500 рублей – 4 купюры.
У некто 4 купюры по 500 рублей.
6. Дачник пришёл от своей дачи на станцию через 12 минут после отхода электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 минуты меньше, то пришёл бы как раз к отходу электрички. Далеко ли от станции живёт дачник?
Тратя на каждый километр на 3 минуты меньше, дачник мог бы сэкономить 12 минут на расстоянии 12 : 3 = 4 км.
Дачник живёт в 4 км от станции.
7. Родник в 24 минут даёт бочку воды. Сколько бочек воды даёт родник в сутки?
Поскольку надо обойти дроби, то не надо находить , какую часть бочки наполняют за 1 минуту. Узнаем, за сколько минут наполнится 5 бочек: за 24 · 5 = 120 минут, или 2 часа. Тогда за сутки наполнится в 24 : 2 = 12 раз больше бочек, чем за 2 часа, то есть 5· 12 = 60 бочек.
Родник даёт в сутки 60 бочек.
8. На некотором участке меняют старые рельсы длиной 8м на новые длиной 12 м. Сколько потребуется новых рельсов вместо 240 старых?
На участке длиной 24 м вместо 3 старых рельсов положат 2 новых. Рельсы заменят на 240 : 3 =80 таких участках, а положат на них 80 · 2 = 160 новых рельсов.
Потребуется 160 новых рельсов.
9. В булочной было 654 кг чёрного и белого хлеба. После того как продали 215 кг чёрного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько килограммов чёрного и белого хлеба в отдельности было в булочной?
1) 215 + 287 = 502 (кг) – продали хлеба;
2) 654 – 502 = 152 (кг) – хлеба осталось продать;
3) 152 : 2 = 76 (кг) белого (и чёрного ) хлеба осталось продать;
4) 215 + 76 = 291 (кг) – чёрного хлеба было первоначально;
5) 287 + 76 = 363 (кг) – белого хлеба было первоначально.
291 кг чёрного хлеба было первоначально и 363 кг белого хлеба было первоначально.

Задачи « на части и проценты».
В результате работы с задачами данного раздела необходимо принимать подходящую величину за 1 часть, определять сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму ( разность), затем получить ответ на вопрос задачи.
10.Первая бригада может выполнить задание за 20ч, а вторая – за 30ч. Сначала бригады выполнили при совместной работе ¾ задания, а остальная часть задания выполнила одна первая бригада. За сколько часов было выполнено задание?
Задачи на производительность труда менее понятны , чем задачи на движение. Поэтому здесь необходим детальный анализ каждого шага.
1)Если первая бригада работает одна, то она выполнит задание за 20ч – это означает, что каждый час она выполняет 120 всего задания.
2)Аналогично рассуждая, получаем производительность труда для второй бригадой - 130 всего задания.
3)Сначала, работая вместе, бригады выполнили 34 всего задания. А сколько же времени они затратили? 120+130=560=112. То есть, за один час совместной работы обе бригады выполняют двенадцатую часть задания.
4)Тогда 34 задания они выполнят за 9 часов, так как 912=34 (по основному свойству дроби).
5)Осталось выполнить 14 задания, но уже только первой бригаде, которая за 1 час выполняет 120 всего задания. Стало быть первой бригаде надо работать 5 часов, чтобы довести дело до конца, так как 520= 14.
6)Окончательно имеем, 5 + 9 = 14 часов.
За 14 часов будет выполнено задание.
11.Объёмы ежегодной добычи из первой, второй, и третьей скважины относятся как 7 : 5 : 13. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 5% и из второй – на 6 % . На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился?
Задачи на части и проценты ещё более трудоёмкая и непонятная область задач. Поэтому конкретнее всего нам их было понять на числовых примерах. Пример 1.Пусть годовая добыча нефти составляет 1000 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 40 баррелей) имеем : первая вышка качает 280 баррелей, вторая – 200 баррелей, третья – 520 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 14 баррелей (280·0,05 = 14), то есть её добыча составит 266 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 12 баррелей ( 200·0,06 = 12), то есть её добыча составит 188 баррелей.
Всего за год они вместе будут качать 454 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 520 баррелей необходимо будет добывать 546 баррелей.
Это на 5% больше прежней добычи , так как 546520·100%=105%.
Пример 2.Пусть годовая добыча нефти составляет 1500 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 60 баррелей) имеем: первая вышка качает 420 баррелей, вторая – 300 баррелей, третья – 780 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 21 баррелей (420·0,05 = 21), то есть её добыча составит 399 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 18 баррелей ( 300·0,06 = 18), то есть её добыча составит 282 баррелей.
Всего за год они вместе будут качать 681 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 780 баррелей необходимо будет добывать 819 баррелей.
Это на 5% больше прежней добычи , так как 819780·100%=105%.
На 5% нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился.
Можно рассмотреть и другой вариант подобной задачи. Здесь мы вводим некоторую переменную, которая является лишь «символом» единиц объёма.
12.Объём ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин относятся как 6:7:10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой нефти не изменился?
Пусть объёмы ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин равны соответственно 6х, 7х, 10х некоторых единиц объёма.
1) 0,1 ·6х = 0,6х (единиц) – снижение добычи на первой скважине;
2)0,1 ·7х = 0,7х (единиц) – снижение добычи на второй скважине;
3)0,6х + 0,7х= 1,3х (единиц) – должно составить повышение объёма добычи нефти на третьей скважине;
4)1,3 ∙100%10х=13% - на столько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины.
Годовую добычу нефти из третьей скважины нужно увеличить на 13%.
13. Купили 60 тетрадей – в клетку было в 2 раза больше, чем в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?
-38103937000При решении задачи лучше опираться на схематический рисунок, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями. Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.
1) 1 + 2 = 3(части) – приходится на все тетради;
2) 60 : 3 = 20 (тетрадей) – приходится на 1 часть;
3) 20 · 2 = 40 (тетрадей) – тетради в клетку;
4) 60 – 40 = 20 (тетрадей) – в линейку.
Купили 20 тетрадей в линейку и 40 тетрадей в клетку.
14. В 1892 году некто думает провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведёт в деревне. Сколько времени некто проведёт в Петербурге?
Так как 1час равен 60 минутам и число минут равно числу часов, то некто в деревне проведёт в 60 раз больше времени, чем в Петербурге ( время на переезд здесь не учитывается). Если число дней, проведённых в Петербурге, составляет 1 часть, то число дней, проведённых в деревне, составляет 60 частей. Так как речь идёт о високосном годе, то на 1 часть приходится 366 : ( 60 + 1) = 6 (дней).
Некто проведёт в Петербурге 6 дней.
15.Яблоки содержат 78% воды. Их немного подсушили, и теперь они содержат 45% воды. Сколько процентов своей массы яблоки потеряли при сушке?
Пусть х кг – масса яблок, тогда в ней содержится 0,78х кг воды и х – 0,78х = 0, 22х (кг) сухого вещества. После подсушки сухое вещество составляет 100 – 45 = 55(%) массы сухих яблок, поэтому масса сухих яблок равна 0,22х : 0,55 = 0,46х(кг).
Итак, яблоки при сушке потеряли х – 0,46х = 0,54х, то есть 54%.
При сушке яблоки потеряли 54% своей массы.
16. Трава содержит 82% воды. Её немного подсушили, и теперь она содержит 55% воды. Сколько своей массы трава потеряла при сушке?
При начальных условиях живая масса травы составляла 100% - 82% = 18%.
После сушке эта величина увеличилась до 45%, но при этом общая масса травы уменьшилась на 40 % (45: 18 ·10% = 40%).
40% своей массы трава потеряла при сушке.
Задачи на движение.
Эти задачи считаются традиционно трудными. Поэтому есть необходимость более детально разобрать арифметический способ решения такого типа задач.
17. Из пункта А в пункт В одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 2 км/ч меньше другого. Велосипедист, который первый прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1ч 30 мин. после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?
-1397022796500Эта задача также решается на примере предметных образов и ассоциаций.
После того как рассмотрен ряд примеров, и число - расстояние 1,5 км ни у кого не вызывает сомнений, необходимо обосновать его нахождение из данных представленной задачи. А, именно, 1.5 км – это разность в отставании 2 от 1велосипедиста пополам: за 1,5 ч второй отстанет от первого на 3 км, поскольку 1 возвращается, то оба велосипедиста сближаются друг с другом на половину разницы пройденного пути, то есть на 1,5 км. Отсюда вытекает ответ задачи и метод решения такого рода текстовых задач.
Встреча произошла на расстоянии 1,5 км от пункта В.
18. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?
1) 26 · 2 = 52 (версты) – на сколько второй поезд отстал от первого;
2) 39 – 26 = 13 (вёрст) – столько второй поезд отставал от первого за 1 час;
3) 52 : 13 = 4 (ч) – столько времени был в пути первый поезд;
4) 39 · 4 = 156 (вёрст) – расстояние от Москвы до Твери.
От Москвы до Твери 156 вёрст.
Задачи на совместную работу.
19. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая – за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?
1) 1 : 9 = 19 ( задания) – выполнит первая бригада за один день;
2) 19 · 3 = 13 (задания) - выполнила первая бригада за три дня;
3) 1 - 13 = 23 (задания) – выполнила вторая бригада;
4) 1 : 12 = 112 (задания) – выполнит вторая бригада за один день;
5) 23 : 112= 8 (дней) – работала вторая бригада;
6) 3 + 8 = 11 (дней) – затрачено на выполнение задания.
Задание было выполнено за 11 дней.
20.Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съест 6 возов, коза – 3 воза, овца – 2 воза. Всего 11 возов, значит, в месяц они 116 воза, а один воз съедят за 1 : 116 = 611 (месяца).
Лошадь, коза, овца съедят воз сена за 611 месяца.
21.Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, четвёртый - за 4 года. За сколько времени они построят дом при совместной работе?
За 12 лет каждый в отдельности плотник может построить : первый – 12 домов; второй – 6 домов; третий – 4 дома; четвёртый – 3 дома. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 домов. Следовательно, один двор, работая вместе, они сумеют построить за 365 ∙1225= 175,2 дней.
Плотники смогут построить дом, работая вместе за 175, 2 дня.
Заключение.
В заключении следует сказать, что представленные в исследовании задачи лишь небольшой пример применения арифметических способов при решении текстовых задач. Надо сказать об одном важном моменте – выборе фабулы задач. Дело в том, что невозможно предусмотреть всех трудностей при решении задач. Но тем не менее, в момент первоначального усвоения приёма решения какого-либо типа задач их фабула должна быть как можно проще.
Приведённые образцы представляют особый случай, но они отражают направление – приближение школы к жизни.
Литература
1.Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. – Вып.I.Арифметика и алгебра/ перев. с нем. П.С. Юшкевича. – М.-Л.:1932.
2.Тоом А.Л. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы //Математика,2004.
3.Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики.М, 2006.

Приложенные файлы

  • docx rabota_arifm
    Размер файла: 272 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий