Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Муниципальное общеобразовательное учреждение Иркутского
муниципального образования «Смоленская средняя
общеобразовательная школа»
Метод вспомогательной окружности
при решении задач и задач на доказательство
Методические рекомендации
Бабкина Анастасия Валентиновна,
учитель математики
с.Смоленщина, 2016г.
Введение
Данные методические рекомендации являются составной частью
учебно
-
методического комплекса обучения учащихся ме
тоду
вспомогательной окружности при решении
задач курса геометрии,
включающего методические рекомендации для учителя.
Теоретической базой для разработки методики обучения методу
вспомогательной окружности при решении геометрических задач
послужили
методиче
ские идеи обучения различным методам
решения задач,
изложенные О.И. Плакатиной. Раскроем их.
В первую очередь автор отмечает, что:
методы явно вводятся в содержание обучения;
формирование любого метода осуществляется в течение
длительного времени поэтапно;
целенаправленно формируется ориентировочная основа
деятельности по применению метода;
при сообщении учащимся сведений о методах каждый из них
описывается по определенным
(одним и тем же
для всех методов
)
параметрам:
-
в любом методе выделяются его
объ
екти
вная
и
субъективная
стороны
-
метод характеризуется
формой
и
способом
его реализации
-
раскрытие основной
идеи (цели)
метода;
прежде чем ставить задачу овладения методом в целом,
необходимо
обеспечить освоение отдельных его компонентов, которые
также
явно
вводятся в содержание обучения;
при обучении компонентам метода используется методика
формирования учебных действий;
учащиеся знакомятся с областью применения каждого из
изучаемых методов.
Характеристика метода
вспомогательной окружности при решении
геоме
трических задач
Суть метода
вспомогательной окружности заключается в том, что на
чертеж к задаче, на котором трудно заметить
связь между данными и
искомыми величинами, вводится
окружность, возможная в данной
конфигурации, после чего эти связи становятся бо
лее ощутимыми
или даже
очевидными.
Способ реализации метода:
построение вспомогательной окружности,
которая позволяет
выделить новые данные
, позволяющие придти к
необходимому результату
при решении задач или задач на доказательство.
Признаки выбора метода:
метод вспомогательной окружности при
решении задач и задач на доказательство
используется, когда на начальной
геометрической модели
присутствуют признаки ее построения
:
необходимость установления равенства некоторых углов
;
нахождение
градусной меры углов;
установление равенства отрезков (которые могут
быть радиусами окружности)
;
если задан треугольник, в котором заданы
замечательные линии
, проведенные к одной стороне и др.
Выделение объективной и субъективной стороны данного метода
определяет отбор содержа
ния заданий
на каждом этапе для
успешного
овладения
учащимися
данного метода
.
Методика обучения учащихся методу вспомогательной окружности
при решении задач и задач на доказательство
1 этап
-
подготовительный
Цель этапа
-
создание базы для освоения метода
вспомогательной
окружности
при решении задач и задач на доказательств
о.
На данном этапе происходит накопление учащимися первичного опыта
применения метода.
Для того, чтобы познакомить учащихся с методом
, они должны иметь о
нем некоторые представления, то
есть учителю необходимо
обобщить
соответствующий теоретический материал, необходимый для дальнейшего
его изучения.
Задания
, предлагаемые на данном этапе направлены на систематизацию
знаний, уме
ний учащихся по данному вопросу
.
1.
Повторить необходимые определе
ния: окружность
, вписанная и
описанная окружность;
вписанный и центральный угол;
касательная, ее свойства и признаки;
углы, связанные с
окружностью
и т.д.
2.
Выяснить, при каких условиях можно вписать
в фигуру
окружность и при каких описать ее.
Около
всякого треугольника можно описать
окружность, и при том только одну
Если точки В и С лежат в одной полуплоскости
от прямой А
D
, причем
АВ
D
=
ACD
, то точки
A
,
B
,
C
,
D
принадлежат
одной окружности
Если в четырехугольнике
сумма
противоположных сторон равна 180
0
, то вокруг
него можно описать окружность
Четырехугольник можно описать около
окружности тогда и только то
гда, когда суммы
его противоположных
сторон равны.
2 этап
-
мотивационный
Цель
-
убедить учащихся в необходимости овладения методом
вспомогательной окружности
при решении задач и задач на
доказательство.
На данном этапе начинается процесс введения метода
вспомогательной
окружности
при решении задач и задач на доказательство.
Поэтому
учащимся необходимо предложить решить задачу,
которая вызовет
затруднение и предложить ее
решить при помощи
данного метода.
Задача:
В трапеции, у которой длины оснований рав
ны 10 и 26,
диагонали перпендикулярны
боковым сторонам. Найти площадь трапеции.
1 способ:
Дано:
ABCD
-
трапеция,
ВС10,
AD
=26
,
АС
CD
, В
D
АВ.
Найти:
S
ABCD
Решение:
1.
т.к.
АС
CD
, В
D
АВ
трапеция А
BCD
-
равнобедренная (по
свойству равнобедренной трапеции);
2.
ВЕ
-
высота
трапеции
(по построению);
3.
(по теореме о площади трапеции);
4.
АВЕ
BDE
-
прямоугольные (по двум катетам
);
5.
(по определению подобных треугольников
;
)
6.
(по свойству высоты в равнобедренной
трапеции, опущенной к основанию);
7.
(
по свойству адд
ити
вности)
;
8.
(по основному свойству пропорции);
9.
;
10.
Ответ: площадь трапеции равна 216 ед.
2 способ (метод вспомогательной окружности):
Дано:
ABCD
-
трапеция, ВС10,
AD
=26
,
АС
CD
, В
D
АВ.
Найти:
S
ABCD
Решение:
1.
т.к.
АС
CD
, В
D
АВ
трапеция А
BCD
-
равнобедренная (по
свойству равнобедренной трапеции);
2.
ВЕ СН
-
высоты
трапеции (по построению);
3.
(по теореме о площади трапеции);
4.
т.к. В и С лежат по одну сторону от А
D
и
ABD
=
ACD
=90
0
,
то
вокруг трапеции можно
описать окружность;
5.
ABD
-
вписанный
AD
-
диаметр
АО
OD
=13;
6.
ЕНВЕ10 (т.к.
ЕВСН
-
прямоугольник
)
(по
свойству высоты в
равнобедренной трапеции,
опущенной к основанию);
7.
ОВ
=13
-
радиус,
ОЕОА
-
АЕ13
-
8=
5;
8.
из
АВЕ:
(по теореме Пифагора);
9.
Ответ: площадь трапеции равна 216 ед.
Рассмотрев на примере данной задачи
п
рименение метода
вспомогательной окружности при решении геометрической задачи, можно
перейти к рассмотрению следующего этапа.
3 этап
-
ориентировочный
Цель
-
формирование ориентировочной основы деятельности
по
применению метода вспомогательной окружности
при решении задач и
задач на доказательство, то есть разъяснение
сути данного метода, его
компонентов.
На мотивационном этапе
была рассмотрен пример решения
геометрической задачи методом вспомогательной окружности.
Следовательно,
на данном этапе необходим
о сообщить основные сведения
.
Для
удобства при
менения рассматриваемого метода удобно составить
предписание использования метода вспомогательной окружности при
решении задач и задач на доказательство (опираясь на субъективную сторону
метода):
1.
Выполнение ана
лиза задачи и составление геометрической модели
текстовой задачи;
2.
Выбор данных, позволяющих определить возможность применения
вписанной или описанной окружности
.
3.
Проанализировать новую геометрическую модель и выделить новые
данные.
4.
Применить новые данные
при поиске неизвестного или доказательстве
утверждений.
5.
П
роанализировать
полученные данные и сделать вывод.
На ориентировочном этапе начинается освоение метода с показа образца
его применения, составленному предписанию.
Задача.
В остроугольном треугольник
е
АВС проведены высоты АР,
BQ
и
CR
. Доказать, что
ВАР
В
QR
.
Дано
:
АВС
-
остроугольный
АР,
BQ
,
CR
-
высоты
Доказать:
ВАР
В
Q
R
.
Доказательство:
1.
Выполнение анализа задачи
и составление геометрической модели
текстовой задачи.
По исходным данным изображается чертеж
2.
Выбор данных, позволяющих
определить возможность применения
вписанной или описанной
окружности.
-
Н
-
точка пересе
чения высот (по свойству высот в треугольнике)
;
-
Из чет
ырехугольника
ARHQ
:
ARH
=
AQH
=90
0
(по определению
высоты в треугольнике);
-
ARH
+
AQH
=
180
0
(сумма противолежащих у
глов в
чет
ырехугольнике
ARHQ
)
-
около четырехугольника
ARHQ
можно описать окружность
с
диаметром АН
(т.к.
ARH
=90
0
-
вписанный угол
)
.
3.
Проанализиров
ать новую геометрическую модель и выделить
новые данные
.
-
RAH
и
RQH
-
вписанные в окружность углы (по определению);
-
RAH
и
RQH
опираются на одну и ту же дугу
RH
.
4.
Применить новые данные
при поиске
неизвестного или
доказательст
ве утверждений.
-
RAH
=
RQH
(по свойству углов, опирающих
ся на одну и ту же дугу);
-
ВАР
В
QR
.
5.
Проанализировать полученные данные
и сделать выв
од
.
Что и требовалось доказать.
Задача.
В треугольнике АВС
,
. Точка М лежит внутри
треугольника, причем
МАС
=
МСА
.
Найдите
ВМС.
Дано:
АВС,
,
т. М
-
внутри
АВС,
МАС
МСА
Найти:
ВМС
Решение:
-
Проанализируем исходные данные.
-
из
АМС:
ВАМ
АВМ40
0
(по условию);
-
АМС
-
равнобедренный (по признаку);
-
АМСМ (по опр
еделению равнобедренного
треугольника);
-
Т.к. около любого треугольника можно описать
окружность, то
можно предположить, что
т. М
-
ц
ентр этой
окружности
, а
МА и МВ
-
радиусы.
-
Проверим
это предположение.
-
(
по св
-
ву аддитивности)
;
-
Заметим, что
АМС2
АВС
;
-
АВС
-
вписанный (по определению)
АМС
-
центральный;
-
т. М
-
центр окружности
(по свойств
у вписанных и
соответствующих
им центральных углов
)
;
-
С
АВ
-
вписанный (по определению)
В
МС
-
центральный;
-
(по свойству вписанных и
соответствующих им центральных
углов, опирающихся на одну и ту же
дугу).
Ответ:
ВМС140
0
.
4 этап
-
первоначальное овладение метода учащимися
Цель
-
формирование о
сновн
ых
компонентов метода вспомогательной
окружности при решении задач и задач на доказательство
, а
именно
в
ыбор
данных, позволяющих определить возможность применения вписанной или
описанной окружности
и а
нализ нов
ой
геометрическ
ой
модел
и
и выдел
ение
новы
х
данны
х.
Задача.
В остроугольном треугольнике АВС
, проведены
высоты А
D
и
ВЕ. Найдите
ВЕ
D
.
Дано:
АВС,
А
D
и ВЕ
-
высоты
Найти:
ВЕ
D
Решение:
После выполнения анализа задачи и составления
основной
геометрической модел
и, учащиеся пытаются решить ее при помощи тех
данных, которые им известны.
Затем учащиеся должны
попытаться
приме
ни
ть
метод вспомогательной
окружности,
а для этого нужно выбрать данные,
которые позволили бы
провести вспомогательную вписанную или описанную окружность
:
-
А
D
В
АЕВ (по определению высоты в треугольнике)
;
-
точки Е и
D
лежат в одной полуплоскости от АВ;
-
четы
рехугольник АВ
D
Е
можно
вписать в окружность.
Далее, анализируя новую модель,
появляются новые данные, которые
помогут решить задачу
:
-
ВА
D
и
ВЕ
D
-
вписанные (по
определению);
-
ВА
D
=
ВЕ
D
(по свойству вписанных
углов, опирающихся на одну и ту же дугу);
-
из прямоугольного
В
D
А
:
ВА
D
=50
0
(по
свойству
острых углов в прямоугольном
)
;
-
ВА
D
=
ВЕ
D
=50
0
.
Ответ:
.
Задача.
В четырехугольнике АВС
D
,
,
.
Чему равен
?
Дано:
четырехугольник АВС
D
,
,
.
Найти:
.
Решение:
-
В
АВ
D
+
CBD
=44
0
+58
0
=
102
0
.
Так как ре
шение на этом шаге "зашло в тупик", то
создается
необходимость в дополнительных построениях, а именно,
во
вспомогательной окружности. У
чащиеся должны
проверить возможность
построения
вписанной или описанной окружности
:
-
;
-
е
сли в четырехугольнике сумма противоположных сторон равна
180
0
, то вокруг него можно описать окружность
.
Следующим шагом учащиеся анализируют
новую модель и выделяют новые данные, которые
позволят
ответ
ить на вопрос задачи:
-
искомый
СА
D
и
CBD
-
вписанные (по
определению)
;
-
СА
D
=
CBD
(по свойству вписанных углов, опирающихся на одну и
ту же дугу)
;
-
СА
D
=58
0
.
Ответ:
СА
D
=58
0
.
Задача.
Высота и медиана треугольника, проведенные из одной
вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами,
выходящими из той же вершины. Доказать, что дан
ный треугольник
прямоугольный.
Дано:
АВС,
СН
-
высота, СМ
-
медиана
,
АСН
ВСМ
Доказать:
АВС
-
прямоугольный
Доказательство:
Используя данные
, уч
ащиеся
начинают доказательство:
-
АСН
ВСМ (по условию);
-
АМВМ (по определению медианы);
-
АНС90
0
(по определению высоты
)
Дальнейшее доказательство
вызывает затруднение.
Если на чертеже
к
задаче есть треугольник,
в котором заданы замечательные линии,
то около
него описывается
окружность, и рассматриваются точки пересечения
заданных замечательных линий с ней. Чаще всего этот прием применяется в
случаях, когда заданы биссектриса, высота и
медиана, проведенные к одной и
той же стороне треугольника.
После построения описанной около треугольника окружности,
учащиеся работают со следующей моделью:
-
Продолжим медиану СМ до пересечения с
окружностью в точке
D
;
-
Рассмотрим
АСН и
ВС
D
:
АСН
=
ВС
D
(по
условию)
,
САВ
С
D
В
(как вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу);
-
АНС
СВ
D
=90
0
С
D
-
диаметр окружности;
-
Центр окружности лежит на диаметре
CD
и на серединном
перпендикуляре
т к стороне АВ;
-
Прямые т и
CD
име
ют только одну общую точку М (т.к. СМ не
я
вляется высотой);
-
М
-
центр описанной окружности;
-
АВ
-
диаметр окружности;
-
АСВ
-
вписанный и опирает
ся на диаметр
, то
АСВ90
0
;
-
АВС
-
прямоугольный.
Что и требовалось доказать.
Задача.
В
четырехугольнике три тупых угла. Доказать, что из двух его
диагоналей больше та, которая проведена из вершины острого угла.
В предыдущих задачах было рассмотрено свойство окружно
сти: из
любой точки окружности диаметр виден под прямым углом.
Реже
применяется тот факт, что из любой точки, лежащей вне окружности,
диаметр виден под остр
ым углом; а из любой точки, лежащей внутри
окружности, диаметр виден
под тупым углом.
Посмотрим, ка
к используются
эти утверждения при доказательстве данной задачи:
Дано:
четырехугольник АВС
D
,
В,
С,
D
-
тупые,
АС и
BD
-
диагонали.
Доказать:
АС
�BD
.
Доказательство:
-
Построим на диагонали АС как на
диаметре окружность;
-
В и
D
тупые (по условию);
-
точки В и
D
лежат внутри окружности;
-
АС>
BD
(
т.к. из любой точки, лежащей
внутри
окружности, диаметр виден под
тупым углом
)
Что и требовалось доказать.
Задача.
Из вершины А
квадрата АВС
D
проведены лучи, образующие
между собой угол 45
0
. Один из них пересекает диагональ
В
D
в точке М,
другой
-
сторону С
D
в точке
N
. Найти величину угла
AM
N
.
Дано:
АВС
D
-
квадрат,
лучи АМ и А
N
выходят из вершины А,
М
В
D
,
N
CD
,
МА
N
=45
0
.
Найти:
АМ
N
.
Решение:
-
отрезок
MN
виден из точек А и
D
под угло
м 45
0
;
-
четырехугольник
ABCD
можно
вписать в окружность;
-
АМ
N
+
ADN
=
А
MN
+90
0
=180
0
(по свойству
противоположных углов в вписанном
четырехугольник
е)
;
-
AMN=180
0
-
90
0
=90
0
.
Ответ:
AMN=90
0
.
5 этап
-
формирование метода в целом
Цель
-
обобщить отдельные умения
, которые формировались в
предыдущих этапах
, в целостный метод вспомогательной окружности при
реш
ении задач и задач на доказательство.
На данном этапе учащиеся
в основном
пытаются
выполнять задания
самостоятельно, используя
те знания и умения, которые они получили на
предыдущих этапах. Функция учителя заключается
в побуждении учащихся
к правильным шаг
ам и выводам при помощи
наводящих вопросов.
Задача.
В четырехугольнике АВС
D
ВА
D
=96
0
,
ВАС54
0
,
СВ
D
=42
0
.
Чему равен
В
D
С?
Дано:
четырехугольник АВС
D
,
ВА
D
=96
0
,
ВАС54
0
,
СВ
D
=42
0
Найти:
В
D
С
Решение:
-
(по свойству
аддитивности)
-
т.к.
D
АС
В
D
С
и точки А и В лежат в одной полуплоскости от
D
С, то четырехугольник АВС
D
можно вписать в окружность;
-
искомый
В
D
С и
ВАС
-
вписанные
( по определению)
;
-
В
D
С и
ВАС
опираются на одну и ту же дугу;
-
В
D
С
ВАС54
0
.
Ответ:
В
D
С54
0
.
Задача.
В прямоугольном
АВС
С90
0
. На катете ВС выбран
а
произвольная точка М. Из точки М проведен перпендикуляр
MN
на
гипотенузу АВ. Доказать, что
А
NC=
AMC
.
Дано:
АВС
С90
0
,
Т. М
ВС,
MN
АВ
Доказать:
А
NC=
AMC
Доказательство:
-
АСМ
ANM
=180
0
(сумма противоположных
углов в четырехугольнике АСМ
N
);
-
вокруг четырехугольника
АСМ
N
можно описать окружность;
-
А
NC
и
AMC
-
вписанные (по определению);
-
А
NC
и
AMC
опираются на одну и ту же дугу;
-
А
NC
=
AMC
.
Что и требовалось доказать.
Задача:
В
АВС
В6
0
0
,АА
1
и СС
1
-
биссектрисы, пересекающиеся в точке
О. Доказать, что ОА
1
ОС
1
.
Дано:
АВС
В60
0
,
АА
1
и СС
1
-
биссектрисы,
О
-
точка пересечения АА
1
и СС
1
.
Доказать
:
ОА
1
ОС
1
.
Доказательство:
-
(по свойству вертикальных углов);
-
;
-
С
1
ВА
1
=
С
1
ОА
1
=180
0
;
-
значит вокруг четырехугольника ОС
1
ВА
1
можно описать
окружность;
-
С
1
ВО
ОВА
1
(по определению биссектрисы угла);
-
дуги С
1
О и ОА
1
равны (т.к. вписанные углы
С
1
ВО и
ОВА
1
равны)
;
-
ОС
1
ОА
1
(т.к. равные дуги стягивают равные хорды).
Что и требовалось доказать.
Задача.
Расстояние между
основаниями двух высот ВМ и В
N
ромба
ABCD
вдвое меньше
В
D
. Н
айдите углы ромба.
В данной зад
аче можно рассмотреть два способа решения:
1 способ:
В
-
тупой
2 способ:
В
-
острый
Рассмотрим первый способ:
Дано:
АВС
D
-
ромб, ВМ и
BN
-
высоты,
BD
=2
MN
Найти:
углы ромба.
Решение:
-
ВМ
D
=
BND
(
по определению высоты
)
;
-
ВМ
D
+
BND
=180
0
;
-
около четырехугольника ВМ
DN
можно описать
окружность
;
-
В
D
-
диаметр о
кружности (т.к. виден под прямым
углом);
-
О
-
центр окружности (
т.к. О
-
точка пересечения
диагоналей ромба
)
;
-
т.к.
2
M
N
=
BD
, то
MN
=
R
,
R
-
радиус окружности;
-
ON
=
OM
=
MN
=
R
MON
-
равносторонний;
-
MON
=60
0
(по свойству равностороннего
);
-
MON
-
центральный (по определению);
-
MBN
-
вписанный (по определению);
-
т.к.
MON
=60
0,
то
MBN
=30
0
(по свойству вписанных и
центральных
углов, опирающихся на одну и ту же дугу
)
;
-
MDN
=
180
0
-
MBN
=
180
0
-
30
0
=
150
0
(по свойству противоположных
углов
в вписанном в окружность четырехугольнике
)
;
-
ВА
D
=
180
0
-
ADC
=
180
0
-
150
0
=30
0
(
по свойству односторонних углов
при параллельных ВА и
CD
и секущей
AD
)
;
-
А
С30
0
,
В
D
=150
0
(по
свойс
тву углов в параллелограмме
).
Ответ:
углы ромба равны 150
0
и 30
0
.
Метод вспомогательной окружности основывается на умении увидеть и
сопоставить данные
геометрические факты, поэтому приемы его применения
приходят с опытом.
Контрольная работа
1.
В остроу
гольном треугольнике АВС
, проведены высоты А
D
и ВЕ. Найдите
ВЕ
D
.
(ответ: 44
0
)
2.
В четырехугольнике АВС
D
ВА
D
=
124
0
,
ВАС
78
0
,
СВ
D
=4
6
0
.
Чему ра
вен
В
D
С?
(ответ: 78
0
)
3. Внутри острого угла А взята произвольная точка М и проведены
перпендикуляры МВ и МС к сторонам угла. Из вершины А проведен
перпендикуляр к прямой ВС, пересекающий ее в точке К. Докажите, что
ВАК
САМ.
Список литературы
1.
Готман Э.Г. Вспомогательная окружность // Квант.
-
1971.
-
№1.
-
с.28
-
31.
2.
Игнатьева Н.К., Лоскутникова Е.Ф. О методе вспомогательной
окружности
. Психология и педагогика: Методы и пробл
емы.
С.265
-
271.
3.
Изаак Д.Ф. Выручает описанная окружность // Квант.
-
1987.
-
№2.
-
с.41
-
42.
4.
Плакатина О.И.
Специальная методика преподавания математики в
средней школе: Учеб. пособие
по теории и методике обучения
математике для студентов педагогических вуз
ов
5.
Полонский В.Б. и др. Учимся решать задачи по геометрии /
/ Киев.
-
1996.
-
253 с.
Приложенные файлы
