Формирования умений у учащихся основной школы проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения в условиях реализации ФГОС основного общего образования.


Министерство образования и науки Российской Федерации
ОРСКОГО ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА (ФИЛИАЛА)
ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Сектор дополнительного профессионального образования
Кафедра математики, информатики, теории и методики
обучения математике и информатике.
ВЫПУСКНАЯ АТТЕСТАЦИОННАЯ РАБОТА
Направление подготовки (специальность) ДПОП "Математика"
Формирования умений у учащихся основной школы проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения в условиях реализации ФГОС основного общего образования.
ОГТИ (филиал ОГУ) 15 (ПДС) М
Научный руководитель
доктор педагогических
наук, профессор _______________________ Т. И. Уткина
подпись, дата
Слушатель ________________________ М.А. Рязанова
подпись, дата
Орск 2015
Аннотация
Выпускная квалификационная работа содержит 63 страниц, библиографический список из 41 источника, 7 приложений на 28 страницах.
В работе изложена методика формирования умений проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения в условиях реализации ФГОС основного общего образования, организация которой осуществляется через основной курс геометрии в ходе изучения данной темы и через курс дисциплины внутришкольного компонента «Движения и их практическое использование» и математический вечер "Движения в изобразительном искусстве"
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Содержание:
Введение
Глава 1. Теоретические аспекты формирования умений проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач у учащихся основной школы
1.1. Понятие и содержание умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
1.2.Показатели и критерии оценки уровней сформированности умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы
1.3. Конструирование моделей формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы и компьютерное обеспечения её.
Глава 2. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
2.1. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы в процессе обучения геометрии.
2.2. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы в процессе изучения дисциплины внутришкольного компонента "Движение на плоскости и их практическое применение".
2.3. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы в процессе организации массовой внеурочной работы в форме математического вечера "Движение в изобразительном искусстве".
2.4. Методика организации, методы обработки и результаты педагогического эксперимента.
Заключение
Список использованных источников
Приложение
Введение
Геометрия — один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит значительный вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.
Курс геометрии не построен на основе геометрических преобразований, они вводятся в качестве эффективного метода доказательства теорем и решения задач (что в учебниках многократно иллюстрируется). Наличие аксиомы подвижности плоскости позволяет естественным образом ввести движения, изучать отдельные виды движений, провести четкое минимально достаточное изложение их свойств, вплоть до классификации движений и подобий (что, впрочем, выходит за рамки обязательных требований к знаниям учащихся, но открывает в школе еще одну «дверь» в углубленное ознакомление с геометрией на факультативных или кружковых занятиях). В учебнике стереометрии после изучения движений вводится общее понятие симметрии геометрической фигуры и перечисляются элементы симметрии куба и правильного тетраэдра. С «групповой» точки зрения, геометрия — это наука об инвариантах групп геометрических преобразований. В соответствии с этой трактовкой в классификационной модели современной геометрии в виде логических кругов Эйлера в центре будут круги, обозначающие движения и подобия. Образно говоря, сердцевиной современной геометрии как бы выступает школьный курс, основной предмет которого составляет изучение инвариантов группы движений и группы подобий. В учебниках как раз и представлены геометрические преобразования этих двух групп — движения и подобия. Геометрические преобразования не сконцентрированы в одной или нескольких темах, а вводятся постепенно по мере накопления достаточного числа геометрических фактов, на подходе к изложению такого геометрического материала, где преобразования можно эффективно применять. При этом, в силу подчиненного характера материала о преобразованиях, они не вводятся на основе понятий «отображение», «виды отображений», «обратимость отображений» и др., а вводятся на наглядной и сугубо геометрической основе.
Из выше сказанного следует, что объектом нашего исследования процесс обучения геометрии учащихся основной школы.
Предметом исследования является процесс формирования умений у учащихся основной школы проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения в условиях реализации ФГОС.
Проблема исследования - использование метода движения для решения геометрических задач для формирования умений у учащихся проводить доказательные рассуждения по поиску решения.
Гипотеза: Формирование умений будет обеспечено положительно, если определить содержание и компоненты, выявить показатели критерии выявить методику и осуществить эксперимент.
Цель: разработать модель формирования умений у учащихся основной школы проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения в условиях реализации ФГОС.
Задачи:
Определить понятие и содержание умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
Выявить показатели и критерии оценки уровней сформированности умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
Разработать модель формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы и её компьютерное обеспечение в условиях реализации ФГОС основного общего образования.
В соответствии с разработанной моделью выявить методику проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы (в основном курсе геометрии, через курс по выбору, во внеурочной работе).
Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
Методы исследования определялись в соответствии с целью и задачами работы. Анализ психолого-педагогической литературы; математико-статистический, аналитический, сравнительные методы; организация целенаправленной опытно-поисковой работы, включающей в себя изучение и анализ школьных программ по геометрии, и педагогический эксперимент.
Апробация осуществлена в образовательном процессе МБОУ «Адамовская средняя общеобразовательная школа № 2» в 9 «А» классе.
Структура исследовательской работы включает: введения, 2 главы, заключение, библиографический список из ---- источников, ----приложений.
Глава 1. Теоретические аспекты формирования умений проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач у учащихся основной школы
1.1. Понятие и содержание умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
Умения проводить доказательные рассуждения входят в число основных интеллектуальных умений. Ведущая роль в формировании этих умений принадлежит геометрии, однако, как показал анализ школьной практики, успех в этой работе в значительной степени предопределен готовностью учащихся уже в начале курса выполнять различные виды деятельности, связанные с проведением доказательных рассуждений. Готовить школьников к проведению доказательных рассуждений следует уже в курсе математики V-VI классов, но эту работу следует проводить и в VII-IX классах.
Следуя А.Н. Капиносову, мы под рассуждениями (проведением рассуждений) понимаем мыслительную деятельность, направленную на решение определенных задач, состоящую из актуализации некоторых ранее известных субъекту суждений и выполняемых на их основе переходов от одних суждений к другим. Под доказательными рассуждениями понимаются такие, в которых основаниями перехода от одних суждений к другим являются теоретические предложения (аксиомы, теоремы, определения некоторой математической теории).
В методической литературе выделяют четыре уровня проведения доказательных рассуждений:
– простого воспроизведения (предъявленная задача распознается субъектом, как ранее решенная и рассуждение представляет воспроизведение известного);
– обобщенного воспроизведения (рассуждение проводится на основе выделения общего в условии и требовании предъявленной задачи и ранее решенной или на основе распознавания задачи как принадлежащей к типу задач с известной схемой рассуждения);
– логического поиска (решение задачи отыскивается на основе выполнения действий выведения следствий и отыскания достаточных условий);
– логико-эвристический (выполнение действий выведения следствий или отыскания достаточных условий связано с применением различного рода эвристик).
Первые два уровня являются репродуктивными, а последние два – продуктивные. На уровне V-VI классов учащихся надо учить проводить доказательные рассуждения на первых трех уровнях, четвертый уровень относится к более поздним ступеням обучения. Обучать учащихся умениям доказательно рассуждать в V-VI классах надо в основном на числовом материале, ибо он занимает в этом курсе значительный удельный вес и он логически относительно прост.
Выделим правила доказательственного рассуждения. Тезис должен быть логически определенным, ясным, точным и оставаться тождественным на протяжении всего доказательства или опровержения. Аргументы должны быть истинными, не противоречащими друг другу и являться достаточным основанием для подтверждения тезиса; истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Необходимо, чтобы тезис был исключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений, или был бы получен в соответствии с правилами косвенного доказательства.
Если эти правила нарушаются, то в доказательстве или опровержении возникают логические ошибки. Доказательство должно основываться на данных науки и социально-исторической практике, поэтому оно не тождественно убеждению, которое может опираться на религиозную веру, предрассудки, равно как и на неосведомленность. Доказательство является обязательным этапом в процессе аргументации.
Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс. Но в XX в. отношение к математическому доказательству изменилось. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики. По мнению формалистов, одной лишь логики для этого недостаточно и логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими аксиомами. Представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда их указывали в явном виде.
Подводя итог этому пересмотру понятия доказательства в математике, Р. Л. Уайлдер писал, что математическое доказательство есть не что иное, как «проверка продуктов нашей интуиции…Совершенно ясно, что мы никогда не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. В этих условиях самое разумное, пожалуй, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в обратном».
Важное значение в доказательстве теорем принадлежит умению читать чертеж. Актуальность умения обусловлена и тем, что в школьных учебниках условия многих задач на доказательство заданы чертежом. Под чтением чертежа понимают осознание чертежа в соответствии с условием задачи. [5]
Образование не только расширяет знания, но и в определенное мере способствует развитию умения рассуждать правильно. Тем не менее, примерно каждое десятое умозаключении, проводимое представителями теоретического знания, является, как говорят психологи, логически не вполне корректным. Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа. [7]
К. Поппером и И. Лакатосом выделяются уровни понимания доказательства:
понимание аргументации и ее повторение;
самостоятельный разбор доказательства теоремы и его воспроизведение;
самостоятельное доказательство теоремы;
опровержение готовых доказательств.
Содержание выделенных уровней обнаруживает необходимость владения для понимания доказательства как логическими действиями, так и эвристическим приемам. Отсюда следует предположение, что обучение доказательству должно основываться на единстве логики и эвристики, что предполагает обучение процессам поиска, построения доказательства и опровержения готового доказательства.
Основу разработки методики обучения доказательству составляют следующие положения:
обучение доказательству есть обучение анализу доказательства, его воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию его доказательства, а также опровержению предложенных доказательств;
единство логики и эвристики в обучении доказательству;
обучение доказательству – деятельность, имеющая специфическое строение, условия и формы осуществления.
Как показал анализ школьной практики, умения доказательно рассуждать не приобретаются учащимися спонтанно, их нужно целенаправленно формировать и развивать посредством специально подобранных задач.
Федеральный компонент государственного стандарта общего образования определяет содержание темы «Движение» четырьмя видами движений (рис. 1):

Центральная симметрияОсевая симметрия

Параллельный переносПоворот
Рис. 1
Анализ итоговых требований, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся обязательным минимумом содержания основного общего образования, позволяет конкретизировать знания, умения и навыки. В результате изучения темы учащиеся должны:
знать:
понятие преобразования (плоскости для учебника Л.C. Атанасяна и др. и учебника И.Ф. Шарыгина или фигур для учебника А.В. Погорелова и учебника А.Д. Александрова и др.), определение движения; свойства движения;
в какие фигуры переводятся прямые, полупрямые и отрезки при движении;
что при движении сохраняются углы между полупрямыми;
понимать:что два движения, выполненные последовательно, являются движением;
преобразование, обратное движению, также является движением;
центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос и поворот являются движениями;
уметь:
изображать, обозначать и распознавать на рисунке фигуры, симметричные данным относительно точки и симметричные данным относительно прямой;
строить образы простейших фигур при повороте и при параллельном переносе.
Рабочая программа по геометрии для обучающихся 9 класса (ориентированная на использование учебника «Геометрия 7- 9» автора Л.С.Атанасян) составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования с учетом примерной программы курса геометрии для 9 классов средней общеобразовательной школы, рекомендованной Департаментом образовательных программ и стандартов общего образования Министерства образования Российской Федерации рассматривает следующие аспекты движения: отображение плоскости на себя, понятие движения, осевая и центральная симметрии, параллельный перенос, поворот, наложения и движения.
Основная цель темы "Движение" в программе — познакомить учащихся с понятие: движения и его свойствами, с основными видами движений, с взаимоотношениями наложений и движений.
Движение плоскости вводится как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками. При рассмотрении видов движений основное внимание уделяется построению образов точек, прямых, отрезков, треугольников при осевой и центральной симметриях, параллельном переносе, поворот. На эффектных примерах показывается применение движений при решении геометрических задач.
Понятие наложения относится в данном курсе к числу основных понятий. Доказывается, что понятия наложения и движения являются эквивалентными: любое наложение является движением плоскости и обратно. Изучение доказательства не являете обязательным, однако следует рассмотреть связь понятий наложения и движения.
На изучение данной темы отводится 8 часов в ходе которых формируются следующие универсальные учебные действия:
Регулятивные: исследуют ситуации, требующие оценки действия в соответствии с поставленной задачей;
Познавательные: находят в учебниках, в том числе используя ИКТ, достоверную информацию, необходимую для решения задач;
Коммуникативные: приводят аргументы в пользу своей точки зрения, подтверждают ее фактами.
В результате изучения темы в данной рабочей программе учащиеся должны знать и понимать:
- определение движения и его свойства;
-примеры движения: осевую и центральную симметрии, параллельный перенос и поворот;
- при движении любая фигура переходит в равную ей фигуру;
- эквивалентность понятий наложения и движения
Уметь:
-объяснять, что такое отображение плоскости на себя;
-строить образы фигур при симметриях, параллельном переносе и повороте;
- решать задачи с применением движений.
1.2.Показатели и критерии оценки уровней сформированности умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы
Теоретические основы содержания общего среднего образования разработаны Г.В. Дорофеевым, И.Я. Лернером, М.Н. Скаткиным и др. В частности, разработаны принципы и критерии отбора содержания школьного математического образования. В педагогике «принципы... указывают общее направление деятельности по формированию содержания образования..., критерии же реализуют процедуру конструирования, отбор учебного материала, его последовательность [24]. Н.В. Метельский сформулировал два требования, предъявляемые к научной информации, которая отбирается для включения в школьный курс — информация должна обладать общеобразовательной ценностью и быть доступной учащимся. Оценку общеобразовательного значения материала автор предлагает производить с учетом его потенциальных возможностей: «1) формировать мировоззрение; 2) развивать мышление, творческие силы и способности; 3) вооружать жизненно - прикладными знаниями и умениями; 4) готовить к самообразованию; 5) расширять научный кругозор» [21]. Системы принципов и критериев отбора содержания обучения математике, по мнению В.А. Оганесяна, должны базироваться на принципах дидактики, которые автор объединил в четыре следующие группы:
1.Принцип воспитывающего и развивающего обучения;
2.Принцип научности и доступности обучения;
3.Принцип систематичности и последовательности обучения;
4.Принцип связи обучения с жизнью и его политехнической направленности.
В своей работе Г.В. Дорофеев подразделяет принципы отбора содержания на внешние, социально обусловленные, и внутренние, обусловленные психолого-педагогическими и методическими требованиями. К внешним относятся два принципа: информационной емкости и социальной эффективности, в соответствии с которыми обучение математике должно обеспечивать приобретение всеми учащимися объема знаний, достаточного для реализации цели математического образования и формирование кадрового потенциала общества во всех сферах деятельности, требующих математических знаний и интеллектуальной культуры. К внутренним автор относит принципы интеллектуальной емкости, дифференцированной реализуемости, познавательной емкости и др.
Г.В. Дорофеевым разработан также механизм отбора содержания, основанного на разделении знаний на целевые (непосредственно отражающие цели обучения математике) и вспомогательные, которые не являются необходимыми в плане достижения целей математического образования, но без предварительного изучения которых, не могут быть освоены знания
Результаты исследований А.К. Марковой, И.М. Смирновой, Г.И. Щукиной и др. содержат в себе особенности содержания учебного материала, влияющие на формирование познавательного интереса. Содержание в том случае стимулирует развитие познавательного интереса учащегося, если оно является занимательным, постоянно обновляется, включает исторические сведения, показывает современные достижения науки, имеет личностную значимость для учащегося. Именно эти особенности содержания оказывают положительное влияние и на формирование профессиональных интересов школьников.
Перечисленные особенности в полной мере можно отнести и к геометрическому материалу. Чисто геометрическое содержание материала не может оказать влияния на формирование интереса к другим учебным дисциплинам. Поэтому, чтобы в процессе изучения геометрических преобразований было возможно выявлять, учитывать и развивать познавательные интересы к различным предметным областям, содержание темы целесообразно дополнить сведениями межпредметного и практического характера.
Например, развитию математических способностей учащихся способствуют такие особенности содержания учебного материала как: абстрактность, обобщенность, логичность, формализованность, наличие взаимно обратных утверждений. Для развития способностей естественнонаучного мышления имеет значение исследовательский характер заданий, обобщенность изложения, привлечение наглядности. Развитию гуманитарных способностей отвечает содержание, излагаемое естественным языком и наполненное образами, личностными отношениями, эстетическими образами.
Рассмотрим дидактические особенности темы «Геометрические преобразования плоскости и пространства», которые включают в себя:
1. Наличие внутрипредметных связей.
Данная тема может быть использована при изучении других тем школьного курса геометрии. Например, при доказательстве пропорциональности отрезков, равенства фигур, при решении задач на построение, при изучении площадей фигур и т.д.
2. Наличие межпредметных связей.
Основные знания и умения, приобретенные при изучении данной темы, могут быть использованы при изучении других учебных предметов в школе. Например, понятие движения и его видов могут быть использованы в физике (механическое движение, симметрия законов природы и др.), в курсе алгебры (преобразование графиков функций); химии (кристаллы), изобразительном искусстве, черчении и т.д.
3. Прикладная направленность материала темы «Движение».
Знания и умения, полученные школьниками в результате изучения данной темы, могут быть использованы ими в определенных жизненных ситуациях. Например, нахождение расстояния до недоступной точки, нахождение высоты предмета, выполнение орнаментов и т.п.
4. Общекультурный характер темы «Движение».
Эта особенность естественным образом вытекает из той роли, которую играет данная тема в математике как науке и, в частности, в школьном предмете. Например, независимо от интересов учащихся и их ориентации на будущую профессиональную деятельность, изучение данной темы необходимо всем, так как она имеет большой спектр приложений.
5. Развивающий потенциал темы «Движение».
Данная тема позволяет развить логическое мышление, воображение, интуицию и т.д. Изучение геометрических преобразований способствует формированию и развитию мировоззрения учащихся. Геометрические преобразования позволяют показать учащимся фигуры в движении, способствуют представлению о различных фигурах не как о чем-то неподвижном, а как об изменяющемся и преобразующемся одно в другое.
6. Применение как эмпирических, так и логических методов обучения при обучении по теме «Движение».
При изучении данной темы возможно использование таких методов обучения как эксперимент, наблюдение, опыт и, в то же время, есть возможность применить анализ, синтез, аналогию, абстрагирование и т.п. Например, лабораторные работы позволяют ученикам экспериментальным путем установить основные свойства геометрических преобразований. В то же время, анализируя свойства одного из геометрических преобразований, можно установить аналогичные свойства другого (например, осевая и центральная симметрии).
7. Обучение по теме «Движение» может осуществляться двумя способами: конкретно-индуктивным (с опорой на наглядность) и абстрактно-дедуктивным.
8. Тема допускает различные уровни обучения: базовый, повышенный и углубленный.
В 8-9 классах учащиеся обучаются в одном классе, поэтому для того, чтобы учесть индивидуальные возможности и запросы каждого школьника, необходимо в уровневую дифференциацию ввести элементы профилирования. В результате этого в классе выделятся относительно устойчивые группы учащихся с гуманитарными наклонностями, прикладными, естественнонаучными.
При отборе содержания темы «Движение» для групп и классов различного направления (гуманитарное, естественнонаучное (физическое) и математическое) целесообразно использовать следующие критерии отбора содержания материала, при выборе которых мы исходили из того, что одной из центральных задач преподавания геометрии в школе является профильная ориентация учащихся в соответствии с их интересами и способностями, а также связь обучения с жизнью.
Выделим пять наиболее общих критериев, которые способствуют решению данной задачи.
1) Критерий дидактической значимости заключается в том, что знания должны быть предметом изучения и одновременно средством для последующего изучения геометрии и математики в целом. Значимость знаний определяется с учетом степени их применяемости к решению задач, доказательству теорем, обоснованию закономерностей и т.д.
2) Критерий применения устанавливает, что знания должны иметь большую прикладную направленность.
3) Критерий активности предполагает, что знания должны активно работать на протяжении длительного времени (времени изучения темы, раздела, курса) и быть необходимыми для продолжения образования.
4) Критерий соответствия задачам и целям обучения в классе данного профиля.
Изучение геометрических преобразований способствует развитию познавательного интереса учащихся, формированию их творческой активности, а также усилению прикладной направленности выбранного профиля обучения. Метод геометрических преобразований дает возможность учащимся применять графические (конструктивные) способы решения задач, требующие развитого пространственного воображения.
5) Мировоззренческий критерий.
Изучение геометрических преобразований способствует развитию мировоззрения учащихся и дает возможность:
- повысить уровень математической культуры школьников;
- пополнить свои знания самостоятельно;
- проявить свои склонности и интересы.
Таким образом, изучение темы «Геометрические преобразования»:
- необходимо для изучения последующего курса математики и это должно учитываться при определении логического курса математики и отборе содержания;
- обеспечивает изучение других предметов. Данную особенность необходимо учесть при отборе содержания и построении логической структуры курса;
- способствует достижению одной из главных целей курса математики развитие мышления школьников;
- обеспечивает учащихся некоторыми умениями и методами, необходимыми им в повседневной жизни.
Руководствуясь выделенными критериями отбора содержания материала, рассмотрим общие умения, которыми должны овладеть учащиеся 8-9 классов при изучении геометрических преобразований:
1.Строить образы фигур при осевой и центральной симметрии, параллельном переносе, повороте и гомотетии.
2.Задавать ось симметрии, центр поворота, определять угол поворота, направление параллельного переноса, его расстояние.
3. Видеть ситуации, в которых могут быть использованы определенные виды преобразований.
4. Переводить условия задачи на язык геометрических преобразований, а затем применять свойства конкретного преобразования к решению данной задачи, и тем самым решать задачи по геометрии и другим смежным дисциплинам методом геометрических преобразований.
Данные умения конкретизируются для каждой группы учащихся класса.
Изучение темы «Движение» целесообразно проводить в два этапа. На первом этапе в 8-9 классах рассматриваются геометрические преобразования на плоскости, а на втором этапе в 10-11 классах изучаются геометрические преобразования в пространстве. Данное распределение соответствует традиционному расположению материала по программе общеобразовательной школы. Тогда эффективность изучения темы будет зависеть от того, каким образом она будет реализована внутри каждого этапа. Для того, чтобы добиться значительного повышения эффективности изучения данной темы различными группами учащихся, необходимо учесть при ее построении их индивидуальные возможности, опираясь на основные дидактические принципы, на выделенные дидактические особенности темы.
Достижению этих целей будет способствовать использование возможностей профильной дифференциации предпрофильной подготовки при изучении темы «Движение».
Необходимо добавить, что содержание темы в 8-9 классах имеет значительную базовую часть, необходимую для изучения всеми учащимися, независимо от их интересов и стремлений. В то же время отметим, что, в основном, к этому возрасту математические способности учащихся уже проявились. Поэтому в данный период возникает острая необходимость учета индивидуальных особенностей учащихся, так как часть школьников по окончании 9 класса уже имеет твердые профессиональные намерения. Все перечисленные факты приводят к выводу о том, что в 8-9 классах целесообразно при построении курса «Геометрические преобразования плоскости» реализовать уровневую дифференциацию с элементами профильной, которые заключаются в отборе теоретического материала и в подборе системы задач для каждой группы учащихся класса в соответствии с их интересами и возможностями.
В 8-9 классах в содержании темы «Движение» выделяются три уровня обучения: базовый, повышенный и творческий.
Базовый уровень содержит основное ядро темы, которое должно быть изучено всеми учащимися класса. Причем нужно заметить, что данная часть должна содержать все три составляющие: гуманитарную, прикладную и естественнонаучную. На данном уровне целесообразно использовать фронтальные формы работы учебной деятельности учащихся.
Повышенный уровень характеризуется включением на этапе закрепления темы задач определенного практического характера, которые иллюстрируют приложения геометрических преобразований. На этом уровне уже нужно рекомендовать учитывать индивидуальные особенности учащихся, их интересы. В содержании этого уровня целесообразно выделить три составляющие и таким образом организовать работу на уроке, чтобы школьники, имеющие гуманитарные способности, больше работали с учебным материалом гуманитарного содержания и, наоборот, учащиеся с математическими способностями больше имели дело с материалами естественнонаучного содержания. Среди учащихся класса следует отобрать таких, которым больше подходит прикладная составляющая. При организации такой работы лучше использовать групповые и индивидуальные формы учебной деятельности. Таким образом, при обучении наблюдаются уже элементы профильной дифференциации.
Еще одно ее проявление возможно на третьем уровне обучения — творческом. Данный уровень может проявляться в двух видах: через факультативы и курс углубленного изучения математики. Факультативные занятия или курсы по выбору могут проводиться в двух направлениях:
1.В содержании факультатива преобладает естественнонаучная составляющая, т.е. рассматриваются вопросы, позволяющие углубить изучение теоретических вопросов данной темы. Занятия целесообразно рекомендовать тем школьникам, которые затем продолжат обучение в классах математического профиля.
2.В содержании факультатива преобладают вопросы прикладного характера, практические задачи. Данные занятия рекомендуется посещать учащимся, которые либо продолжат обучение в колледжах или будут обучаться в классах технического профиля.
Изучение темы «Движение» в классах с углубленным изучением математики предусмотрено государственной программой для этих классов. Оно может проводиться в два этапа, отвечающие возрастным возможностям и потребностям школьников и соответственно различающиеся по целям. Первый этап относится к основной школе, второй - к старшей школе.
Первый этап (8-9 классы) углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику следует помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с тем, чтобы по окончании основной школы он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего изучения математики – углубленного либо обычного.
В основу уровневой дифференциации с элементами профилирования закладывается принцип, согласно которому большую часть учебного времени три группы учащихся работают вместе. Так как работа идет в одном классе, то у учащихся есть возможность перейти из одной группы обучения в другую, если интересы приобрели другую профессиональную окраску. Данный подход способствует осознанному выбору профиля обучения в старших классах и наиболее эффективному обучению в нем.
1.3. Конструирование моделей формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы и компьютерное обеспечения её.
Теоретический анализ основных понятий исследования позволил разработать модель формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения, представляющую собой схематизированное отражение реального процесса.
Целью и конечным результатом разработанной модели является формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
В основу создания модели развития учебной исследовательской деятельности учащихся относительно движения плоскости были положены системный (Ю. К. Бабанский, А. А. Греков, Н. В. Кузьмина, Н. К. Сергеев, А. П. Тряпицына, Э. Г. Юдин и др.), деятельностный (К. А. Абульханова-Славская, П. К. Анохин, Л. И. Анциферова, Л. С. Выготский, П. Я. Гальперин, Ю. А. Конаржевский, В. В. Краевский, Н. В. Кузьмина, О. А. Конопкин, Ю. Н. Кулюткин, А. Н. Леонтьев, И. Я. Лернер, Б. Ф. Ломов, А. В. Петровский, С. Л. Рубинштейн, И. М. Сеченов, М. Н. Скаткин, Н. Ф. Талызина, Э. Д. Телегина, А. И. Уёмов, А. С. Шаров, Д. Б. Эльконин, Э. Г. Юдин и др.), компетентностный (Г. А. Балл, И. С. Батракова, Е. З. Власова, Ф. Н. Гоноболин, В. А. Козырев, О. А. Конопкин, Н. В. Кузьмина, Ю. Н. Кулюткин, Н. Н. Лавров, Н. Д. Левитов, Э. Д. Новожилов, П. И. Пидкасистый, Н. Ф. Радионова, В. А. Сластёнин, Л. Ф. Спирин, Ю. Н. Столяров, О. К. Тихомиров, А. В. Тряпицын, А. В. Хуторской, А. С. Шаров, А. И. Щербаков и др.) и личностно-ориентированный (Б. Г. Ананьев, Э. Ф. Зеер, И. А. Зимняя, В. В. Сериков и др.) подходы.
Тема "Движения плоскости" позволяет использовать такие типы уроков как комбинированный уроки, поисковые уроки, учебные практикумы, лабораторные работы, уроки обобщения и систематизации знаний учащихся, уроки контроля знаний.
Для достижения целей используются следующие методические приемы: фронтальная работа, работа по готовым чертежам, диагностическое тестирование, текущее тестирование, подводящий диалог, организация самостоятельной работы, индивидуальная работа учащихся у доски, побуждающий диалог, работа с листами самоконтроля, показ примеров использования математики в искусстве, мысленное воспроизведение определения, грамотная формулировка определения, работа у доски, работа учащихся с карточками, теоретический опрос, оценивание ответов учащихся самими учащимися, решение задач с чередованием работы у доски и работой на местах, устная работа, групповая работа.
По проведению уроков по теме "Движения плоскости" воспитывается познавательный интерес, внимательность, сотрудничество в учебном труде, формирование умения слушать и слышать учителя и одноклассника, воспитание общей культуры, умение работать с учебником, активность, умение работать в группе, права выбора. Развивается логическое мышление, а именно, анализ, делать выводы, высказывать гипотезы по доказательству; самостоятельная работа, составлять план действий, умения объективно оценивать работу своего товарища, умения анализировать, развитие самоконтроля и самооценки, развитие памяти и математической речи, умение аргументировать, прогнозировать результаты своей работы.
В процессе обучения математике - задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов курса математики, вообще математических теорий. Великая роль задач в развитии математических способностей, мышления, в формировании у учащихся умений и навыков в практическом применении математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике.
Правильная методика обучения решению задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.
Успех обучения решению задач зависит от:
- знания математических фактов;
- понимания сути изучаемого материала;
- общей математической подготовки;
- знание способов решения задач и умения ими пользоваться;
- знание алгоритмов решения различных типов задач и умения ими пользоваться;
- знание общей схемы решения любой математической задачи.
С позиции деятельного подхода к обучению математической задачи можно разделить на алгоритмические, решение которых однозначно определяется некоторым алгоритмом, полуалгоритмические и полуэвристические, решение которых неоднозначно определяются той или иной схемой, содержащие как алгоритмические, так и эвристические указания; эвристические, решение которых не гарантируются конечным числом шагов, а предполагает их выбор из многих вариантов. Одна и та же задача для человека, знающая алгоритм ее решения является алгоритмической, а для незнающего - эвристической.
Отсюда следует, что для обучения всех учащихся решению задач самостоятельно необходимо их обучать умению находить способ решения задачи.
Поиск способа решения - один из основных компонентов решения задачи. Научить учащихся решать задачи - значит, научить их осознанному поиску способа решения.
Основные приемы поиска плана решения задачи
1. Анализ в форме расчленения.
1. 1. Если можно, разделить условие или заключение на более простые части;
1. 2. Выяснить план решения каждой из них;
1. 3. Составить план решения в целом.
2. Нисходящий анализ. Предполагает, что то утверждение, которое требуется доказать, имеет место, и пытаемся получить из него некоторые следствия до тех пор, пока не получим некоторые следствие, которое может быть верным или нет. Если верно, то нужно пройти в обратную сторону.
3. Восходящий анализ (аналитико - синтетический).
3. 1. Задать вопрос, что достаточно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Сформулировать это утверждение;
3. 2. Проверить, содержатся ли нужные свойства в условии задачи;
3. 3. Если "да" - задача решена. Если "нет" - задать следующий вопрос: "Что достаточно знать, чтобы доказать это предложение?" Сформулировать ответ;
3. 4. Продолжить этот процесс (суть которого - выделение частей и выявление их свойств) до тех пор, пока не получится известное или содержащиеся в условии свойство. Из которого будет следовать ответ на вопрос задачи;
3. 5. На основании пунктов 3. 1 - 3. 4 составить план решения задачи.
4. Варьирование условия задач.
4. 1. Изменить условие или заключение данной или известной задачи так, чтобы их можно было сравнить;
4. 2. Воспользоваться приемом аналогии.
5. Индуктивный метод или рассмотрение частных случаев.
5. 1. Выделить, если можно, частные случаи задач;
5. 2. Воспользоваться приемом расчленения.
6. Прогнозирование. Предвиденье тех результатов, к которым может привести поиск решения.
В педагогической психологии установлено, что обучение учащихся решению задач наиболее эффективно в процессе поиска их решения. При этом, конечно, не следует отрицать и того факта, что накопление опыта решения задач учащимися также дает положительный результат. Однако обучение поиску решения в наибольшей степени способствует развитию математических способностей школьников и раскрывает механизм умственной и практической деятельности.
Анализируя все вышесказанное по методике обучения решению задач и задачный материал темы можно сделать выводы:
1. Практически весь задачный материал темы относится к неалгоритмическим задачам, т. е. к задачам полуалгоритмическим, полуэвристическим и эвристическим.
2. При решении различных задач могут возникнуть трудности с выбором вида преобразования. В работе задачи, решаемые каким - либо методом (симметрия, параллельный перенос, поворот и т. д.) объединены в отдельные занятия. Его название уже подсказывает выбор нужного вида движения. Готовых рецептов, которые приводили бы к нужному результату нет. Однако, особенности условия и требования задачи могут указать на выбор преобразования. Поэтому, прежде, чем выбрать преобразование, необходимо проанализировать условие и требование задачи.
Проектируя модель процесса развития учебной исследовательской деятельности учащихся относительно движений плоскости, мы исходили из того, что любая научная модель представляет собой абстрагированное выражение сущности исследуемого явления. Наша модель включает целевой и содержательно-оценочный блоки, которые структурно и функционально взаимосвязаны (Рисунок 1).
Целевой блок является основополагающим системообразующим началом, определяющим направление и содержание учебно-исследовательской деятельности учащихся. Он включает социальный заказ, цель, подход, дидактические функции учебной исследовательской деятельности учащихся.
Содержательно-оценочный блок модели определяет устойчивый, последовательный, целенаправленный характер протекания процесса развития учебной исследовательской деятельности учащихся относительно движений плоскости. Он включает интеграцию видов учебной исследовательской деятельности, её структурных компонентов, показателей развития, а также дидактические, программные и методические средства достижения цели.

Рисунок 1 – Модель развития учебной исследовательской деятельности относительно движений плоскости
Для достижения цели в процессе формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся при изучении темы «Движения плоскости» предполагается использовать дидактические, методические и программные средства.
Формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы может осуществляться через основной курс геометрии в ходе изучения данной темы.
В преподавании геометрии до сих пор не уделяется должного внимания геометрическим преобразованиям, в частности движениям, в то время как развитие геометрической науки давно показало, что это одна из важнейших областей науки геометрии. Изучение движений открывает возможность подчинить единой идее всю школьную геометрию, позволяет упростить доказательство многих теорем, вооружает учащихся способами решения задач на построение, содержательных задач.
В настоящее время программой для общеобразовательных школ определена следующая цель изучения темы «Движения» познакомить учащихся с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом. То есть изучение понятия движения и его свойств предполагается вести в ознакомительном плане. Основные понятия учащиеся должны усвоить на уровне практических применений, для чего рекомендуется уделить особое внимание на выработку навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте.
В зависимости от учебника, по которому ведется преподавание, программой определено от 8 до 12 часов на изучение данной темы. На наш взгляд, необходимо уделить большее внимание движениям, как инструменту решения задач, доказательства теорем. Но, к сожалению, не всегда можно найти реальную возможность реализовать эту идею.
Сопроводить изучение движений плоскости можно внеурочными мероприятиями. В рамках выпускной квалификационной работы разработан курс дисциплины внутришкольного компонента «Движения и их практическое использование» и математический вечер "Движение в изобразительном искусстве"
Математический бой предполагает задействовать большое количество участников, например, несколько классов по параллели. Если же такой возможности нет, то изучение темы «Движения плоскости» можно завершить внеурочным мероприятием в форме математического вечера, на который предлагается пригласить учителей-предметников других дисциплин с рассказом об использовании видов движения в их научных направлениях.
Развитие учебной исследовательской деятельности учащихся относительно движений плоскости осуществляется путем решения исследовательских задач, поэтапным проектированием решения задачи, разработки и защиты мини-проектов и выполнения текущих домашних заданий продуктивного характера.
Данный процесс протекает во всестороннем использовании современных компьютерных технологий. В настоящее время разработаны специальные математические пакеты программного обеспечения, но они, как правило, труднодоступны для рядового пользователя. Разрабатываемая нами методика предполагает использование текстового процессора MSWord, программы презентаций MS Power Point и любой Интернет-браузер с возможностью выхода в глобальную сеть.
Очень часто сознательно или бессознательно и педагоги, и дети считают образовательный процесс тяжелым безрадостным трудом. Желание помочь ребенку подталкивает к применению новых форм и приемов педагогической техники. Применение компьютерных технологий позволяет заинтересовать, увлечь ученика. На уроках математики много времени уделяется отработке навыков и умений, иногда за счет большого числа однообразных упражнений.
Современные мультимедийные технологии позволяют представить материал ярко, наглядно, дают возможность активизировать познавательную деятельность учащихся.
Мультимедиа технологии способ подготовки электронных документов, включающих визуальные и аудиоэффекты, мультипрограммирование различных ситуаций. Применение мультимедиа технологий открывает перспективное направление развития современных компьютерных технологий обучения.
В настоящее время с помощью мультимедийного проектора представляется возможным использовать компьютер даже для фронтальной работы, например, при организации устного счета, или при проверке самостоятельной работы. Применение методических пособий презентаций, созданных в программе Power Point позволило отказаться почти ото всех ТСО старого поколения, поднять наглядность на более высокий уровень.
Сейчас в практике школы используются различные программные средства, разработанные для уроков математики. Охарактеризуем некоторые из них.
1. Электронный учебник-справочник «Планиметрия».Первым из программных средств для обучения математики на компьютере стал электронный учебник-справочник «Планиметрия» из серии «Домашний компьютер и школа» разработанный Учебно-демонстрационного издательским центром (КУДИЦ). «Планиметрии» присуще наличие целостного замысла и его исполнения в подборе материала, его размещении и изложении. Характерной чертой является дедуктивное построение - от аксиом и основных отношений к доказываемым фактам. Эти свойства позволяют назвать «Планиметрию» учебником.
Вместе с тем, имеется ряд отличий от стандартных учебников и в методическом плане. «Планиметрия» не является учебником для начинающих. Ее трудно рекомендовать для первичного изучения геометрии. Это, безусловно, связано с системой аксиом, которую выбрали авторы в качестве базовой для своего учебника.
И, наконец, благодаря развитой справочной системе, «Планиметрия» может явиться одним из источников при выполнении учащимися творческих исследовательских работ. Энциклопедические свойства «Планиметрии» для школьника вполне достаточны, может быть, даже избыточны. Особенно интересны разработки геометрических построений, благодаря специальным темам и редактору чертежей, который поставляется вместе с «Планиметрией».
2. Живая Геометрия.Программа «Живая Геометрия» эффективное средство для широкого спектра пользователей от учеников от 5-го класса до студентов вуза. Хотя в основном она рассчитана на поддержку школьного курса геометрии и алгебры. Живая Геометрия проявляет свою полную мощность при динамической работе с евклидовой и неевклидовой геометрий, алгеброй, тригонометрией, приближенными вычислениями и расчетами. И именно динамический, визуальный метод Живой Геометрии позволяет младшим ученикам приобретать необходимый опыт манипуляции математическими объектами. Этот опыт составляет ту базу, которая им нужна для движения вперед, для психологически сбалансированного повышения своего уровня.
3. Построение на плоскости и в пространстве.
Увеличивается количество программ, где ученикам предоставляется среда, в которой можно выполнять любые аналоги построений с помощью циркуля и линейки. Это прекрасные технические инструменты, приходящие на смену карандашу, линейке, циркулю, резинке. Быстро, аккуратно, точно, красочно можно выполнить практически любые геометрические построения и операции, ввести привычные обозначения, автоматически измерить длины и т. д.
Эти программы могут: строить аккуратные чертежи; трансформировать уже готовый чертёж, двигая одну из точек или прямых (построение при этом сохраняется). В ряде программ предусмотрена анимация.
Возможность трансформации чертежа интересна тем, что:
 не надо задумываться о положении базовых точек (при построении на бумаге может оказаться, что в одном месте чертежа точек много, а в другом мало, приходится перерисовывать);
 появляется возможность легко проверить построение;
 можно организовать самостоятельную поисковую деятельность.
Например, построив треугольник и проведя медианы, можно осуществлять различные изменения формы треугольника и замечать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, или, проводя соответствующие измерения, выяснить, в каком отношении делятся медианы их точкой пересечения.
4. «Свободная плоскость. СвоП 2.0».
Предназначена для построения геометрических чертежей и их детального анализа. С помощью этой программы можно отметить точку, провести прямую, луч, окружность. Можно изменять размеры построенных фигур, выполнять повороты, симметрично отражать относительно точки или прямой. Целесообразно использовать при решении задач по геометрии на стадии исследования.
5. Программа «ПланиМир».
Она представляет особый интерес для учителя математики, так как содержит прекрасно разработанный геометрический практикум по теме «Построение с помощью циркуля и линейки». Имеется поурочная методическая разработка, что позволяет даже на первом этапе знакомства с программой легко проводить уроки. «Геометрический практикум» составлен в соответствии с учебниками геометрии. Каждый раздел «Геометрического практикума» содержит одну из основных задач на построение из учебника, например о построении биссектрисы угла с пошаговым доказательством справедливости построения. Затем учащимся предлагаются две задачи для самостоятельного решения. Имеется раздел «Свободная работа в «ПланиМире», который позволяет решать любые задачи на построение уз учебника.
6. Программа «s 3D SecBuilder».
Эта программа очень удобна для построения пространственных фигур, так как содержит различные заготовки, которые можно увеличивать или уменьшать, поворачивать, включить режим анимации и наблюдать вращение тела в пространстве и, главное, построить сечение.
В процессе исследования был проанализирован опыт учителей в плане использования компьютерных технологий на уроках математики вообще, и на геометрии в частности.
Так, учитель математики и информатики Дубовской средней общеобразовательной школы Белгородского района, Л. А. Чеботарева приводит в качестве примеров следующие виды деятельности на различных этапах обучения:
1. Этап усвоения новых знаний. Для расширения видов учебной деятельности учащихся по усвоению новых знаний и способов действий Л. А. Чеботарева рекомендует использовать современные технические средства. Можно проводить уроки-исследования с использованием обучающих программ, на которых ученики самостоятельно в ходе исследовательской деятельности добывают знания. Например, при изучении темы: «Функции и их графики» преобразования графиков тригонометрических функций учащиеся осуществляют с помощью программы Advanced grapher и на экране монитора прослеживают всю динамику последовательных действий. Затем составляют алгоритм преобразования и делают выводы.
2. Этап проверки понимания и закрепления учащимися новых знаний и способов действий. В своей практике, Л. А. Чеботарева применяет использование обучающих и контролирующих программ по отдельным темам курса математики для работы с учащимися, способными достаточно быстро усваивать учебный материал на обязательном уровне. Такие ученики поочередно работают в индивидуальном режиме за компьютером и после успешного выполнения заданий переходят к упражнениям более высокого уровня сложности. Учитель в это время с классом отрабатывает материал обязательного уровня обучения.
3. Этап всесторонней проверки ЗУН. При организации контроля знаний, умений и навыков, учащихся Л. А. Чеботарева использует тестирование с помощью компьютера.
4. Проектная деятельность учащихся. К урокам обобщения и систематизации знаний и способов деятельности Л. А. Чеботарева предлагает учащимся выполнить проектные и творческие работы: компьютерные презентации или веб-странички об истории развития этой темы, о применении изучаемого материала в других областях знаний.
Акифьева Е. Ю., учитель математики отмечает некоторые варианты использования компьютера в учебной деятельности:
 создание дидактического материала для урока;
 использование программного обеспечения непосредственно на уроке математики:
 применение готового программного обеспечения по математике (GRIF, METATAKA); тренажёр «Устный счёт»; тренажерный комплекс «Пифагор»; «1С РЕПЕТИТОР» и др.;
 применение программного обеспечения, разработанного самими учителями и учениками с использованием редактора презентаций и специальных сред;
 использование электронных таблиц;
 участие в дистанционных олимпиадах по математике;
 использование ресурсов Интернет (при подготовке к ЕГЭ);
 использование домашнего компьютера в качестве учебного средства при семейном образовании.
В. И. Глизбург [6, с. 122] предлагает применять информационные технологии при проведении практических занятий. Практические занятия с полноценным использованием математических программных пакетов позволяют охватить больший объём материала, глубже понять и освоить теоретический материал. Для лучшего усвоения и закрепления Глизбург В. И. предлагает проводить лабораторно-исследовательские работы в средней школе в рамках элективных курсов по геометрии. Основными средствами обучения при проведении лабораторно-исследовательских работ являются компьютер, обучающие программы, компьютерные математические пакеты, материалы занятий.
Иманова О. А. и Смолянинова О. Г. отмечают, что наиболее прогрессивные возможности технологий мультимедиа заключаются в использовании их в учебном процессе в качестве интерактивного многоканального инструмента познания. Разработка учащимися собственных мультимедийных проектов в процессе освоения геометрии позволяет трансформировать традиционный учебный процесс в развивающий и творческий.
Итак, компьютер предоставляет принципиально новые возможности при изучении математики как школьного предмета и особенно в поддержке геометрической деятельности учащихся, такие возможности, которые без использования современных компьютерных технологий были бы недоступны. Обучение с использованием ИКТ может не просто помочь учащимся в овладении геометрическим содержанием, но и служить решению задачи всестороннего развития ребенка: развития его мотивационной сферы, психических процессов, интеллектуальных способностей, творческих качеств личности. При этом возможности компьютера здесь уникальны: не подменяя собой учебник или другие учебные пособия, электронные издания (ЭИ) позволяют организовать деятельность учащихся в таких направлениях, которые принципиально невозможно или чрезвычайно трудно осуществить, используя традиционные информационные источники. Назовем основные дидактические функции ЭИ:
 предъявление подвижных зрительных образов в качестве основы для осознанного овладения математическими фактами;
 отработка в интерактивном режиме элементарных базовых умений;
 усиление значимости и повышение удельного веса в учебном процессе исследовательской деятельности учащихся;
 возможность увеличения объема предъявляемой для изучения информации, а также собственной практической деятельности ученика;
 увеличение доли содержательной работы ученика за счет снятия проблем технического характера.
Какие задачи, стоящие перед учителем, позволяет решать ЭИ? Задачи индивидуализации и дифференциации обучения, стимулирования творческой деятельности учащихся, формирования навыков самоконтроля, привычки к рефлексии, изменения роли ученика в учебном процессе от пассивного наблюдателя до активного исследователя.
Таким образом, современный урок геометрии – это урок с использованием информационных технологий, позволяющий наглядно применить теорию на практике.
Мультимедийные компьютерные технологии позволяют заменить почти все традиционные технические средства обучения. Во многих случаях такая замена оказывается более эффективной и дает возможность учителю оперативно сочетать разнообразные средства, способствующие более глубокому и осознанному усвоению изучаемого материала, экономит время урока, насыщает его информацией.
Особенностью учебного процесса с применением компьютерных средств является то, что центром деятельности становится ученик, который исходя из своих индивидуальных способностей и интересов, выстраивает процесс познания. Между учителем и учеником складываются «субъект-субъектные» отношения. Учитель часто выступает в роли помощника, консультанта, поощряющего оригинальные находки, стимулирующего активность, инициативу, самостоятельность.
Считается, что применение компьютера на уроке обосновано при всех формах урока, нужно только правильно дозировать электронную информацию и электронный эксперимент с живым общением с учителем и реальными экспериментами. На таких уроках происходит восстановление, восполнение, объединение частей в целое, причем не механическое соединение, авзаимопроникновение, взаимодействие, взаимовидение. Система обучения с применением информационных технологий отвечает следующим требованиям:
 оптимизации содержания учебных курсов;
 активизации познавательной деятельности;
 индивидуализации учебного процесса;
 интенсификации процесса обучения;
 обеспечению непрерывного текущего контроля знаний учащихся и качества обучения.
Глава 2. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы.
2.1. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы в процессе обучения геометрии.
Приведем примеры некоторых заданий, на которых может строиться работа по формированию у учащихся умения проводить доказательные рассуждения.
Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание математики, но указывает также новые методы решения содержательных геометрических задач, чрезвычайно важные не только для самой математики, но и для ее приложений. Кроме того, геометрические преобразования дают представления о фигуре, как о множестве точек и преобразование, как о своеобразной геометрической функции, что развивает геометрические умения и навыки учащихся основной школы, связывая их с алгеброй, а также растут их пространственные представления, развивается логическое мышление и формируются умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач.
Преобразования плоскости во многих случаях позволяют экономно и изящно решать задачи на построение, вычисление и доказательство.
При решении задач методом геометрических преобразований развиваются следующие геометрические умения:
строить образы фигур при данном преобразовании;
видеть соответственные точки на соответствующих при том же преобразовании фигурах;
выделять элементы, определяющие преобразование;
строить соответственные при заданном преобразовании точки на произвольно заданных фигурах;
использовать специфические свойства преобразований.
В результате изучения теоретического материала по геометрическим преобразованиям, учащиеся смогут строить образы фигур при симметрии, повороте, параллельном переносе; видеть соответственные при указанном отображении точки на соответственных при том же отображении фигурах; выделять элементы, определяющие отображение: ось симметрии, центр поворота, угол поворота, направление параллельного переноса и его расстояние, центр и коэффициент гомотетии; строить соответственные при указанном отображении точки на произвольных фигурах.
Приведем примеры, когда решение, основанное на свойствах геометрических преобразований, значительно проще.
Задача 2.1.1. Через центр О параллелограмма ABCD проведена прямая l, пересекающая стороны ВС и AD параллелограмма соответственно в точках M и N. Докажите, что (рис.2.1.1)
Решение (традиционное): Отрезки BM и ND являются сторонами треугольников BMO и OND. Чаще такие треугольники приходиться строить, что значительно осложняет решение задачи. Мы выбрали простую задачу, чтобы показать сущность принципа.
Треугольники BMO и OND подобны, т.к. BO=OD (свойство диагоналей
М
N
С
Д
А
В
О
параллелограмма), (накрест лежащие углы при параллельных прямых), (вертикальные). Следовательно, BM=DN.
Решение (используя свойство геометрических преобразований):
Точка О – центр симметрии параллелограмма ABCD. Тогда Z0(B)=D, Z0(M)=N, т.к. N, следовательно, BM=DN.


M
М1
М2
рис2.1.3
Задача 2.1.3. Впишите в данный острый угол треугольник наименьшего периметра так, чтобы две его вершины принадлежали сторонам угла, а третья – данной точке внутренней области угла (рис.2.1.3).
Решение данной задачи основано на свойствах осевой симметрии. Строим точки М1 и М2, симметричные данной точке М относительно прямых, содержащих стороны данного угла. Точки пересечения отрезка М1М2 со сторонами угла являются вершинами искомого треугольника. Периметр полученного треугольника равен длине отрезка М1М2, периметр любого другого треугольника, одной из вершин которого является точка М, а две другие принадлежат сторонам данного угла равен длине ломанной, соединяющей точки М1 и М2.
Метод, основанный на признаках равенства треугольников, в данном случае, является «беспомощным».
Метод геометрических преобразований позволяет решать большинство задач на доказательство, построение и вычисление, упрощая при этом само решение.
В исследованиях психологов Е.Н.Кабановой-Меллер [4], Н.А.Менчинской [5] и других делается вывод о том, что знания сами по себе не превращаются в умения, для этого нужна специальная работа. Поэтому, формированию умения использовать геометрические преобразования при решении задач и доказательстве теорем, должно быть уделено самое серьезное внимание. Для разработки методики формирования умения необходимо выявить его компоненты, что позволит осуществить поэлементное формирование этого умения.
Исходя из теории поэтапного формирования умственных действий, мы сделали выводы о преобразовании действия в умение, а затем и в навык, согласно которым, компонентами развития геометрических умений и навыков являются следующие этапы:
1. Необходимо разбить геометрические действия на операции, которые соответствуют геометрическим знаниям, умения и навыкам учащихся академических лицеев, и выделить ориентировочную основу для того, чтобы учащийся сам мог повторить данное действие с новым материалом.
2. Опираясь на ориентировочную основу, учащийся академического лицея выполняет действие. Для этого необходимо развернуть (показать все операции и их взаимосвязь) и обобщить (выделить из многообразия свойств объекта только те, которые необходимы для выполнения действия) данное действие.
3. Моделирование выделенных свойств в графической или буквенной формах. Перенесение действий в задачную ситуацию.
4. Перенос действия и свободное использование данного геометрического действия (умения) в другие, более обобщенные ситуации.
5. Формирование умственного действия, которое предшествует навыкам.
Компоненты умения в использовании метода геометрических преобразований могут быть выявлены путем анализа решения конкретных задач. В процессе этого анализа выявляются элементарные умения, которые и являются компонентами учебных умений использовать геометрические преобразования при решении задач.
Рассмотрим ещё ряд примеров[6].
I. Задачи, решаемые методом осевой симметрии.
Задача 2.1.5. Даны две окружности и прямая l. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины принадлежали данным окружностям, а одна из высот – прямой l .
C
B
A
l
O2
O
O1
F1
F2
F1/

Решение. Предположим, что треугольник АВС искомый (рис. 2.1.4). Так как высота АД равностороннего треугольника АВС принадлежит прямой l, то точки В и С симметричны относительно этой прямой и лежат на данных окружностях (развивается умение строить на произвольных окружностях точки, симметричные относительно данной прямой). Если точка С принадлежит окружности F2 и симметрична точке В, принадлежащей окружности F1, относительно прямой l, то точка С принадлежит также и образу окружности F1 при симметрии относительно l. Следовательно, точка С - общая для F2 и F1/ при симметрии S(l). Построив окружность F1/, являющуюся образом окружности F1, найдём точку С. (развивается умение строить образ окружности при осевой симметрии).
Затем строим точку В как образ точки С при симметрии S(l), учитывая, что С принадлежит окружности F1/, и F1 симметрична F1/ (умение строить симметричные точки на заданных симметричных окружностях). Последовательность операций, выполняемых при решении этой задачи такова:
а) строим образ окружности F1 при симметрии S(l);
б) находим точки пересечения окружностей F1/ и F2;
в) отыскиваем на окружности F1 прообразы точек пересечения окружностей F1/ и F2;
г) строим равносторонний треугольник АВС ( А).
Задача может иметь:
а) единственное решение, когда F2F1/=С
б) два решения, когда F2F1/={M,K}
в) бесконечное множество решений, когда F1/= F2.
Задача не имеет решений, когда F2F1/=ǿ.
Итак, чтобы решить задачу учащиеся должны владеть следующими умениями:
1) строить образ окружности при осевой симметрии;
2) выделять соответственные при осевой симметрии точки на соответственных при той же симметрии окружностях;
3) строить симметричные относительно прямой точки на произвольных окружностях.
Задача 2.1.6. Окружность F1 пересекает концентрические окружности F2 и F3 соответственно в точках А, В и С, Д. Докажите, что хорды АВ и СД параллельны.
Решение. Пусть О-центр окружности F1 и О1- центр окружности F1 и F2. И пусть F1 F2={A,B} F1F3={C,D}.
Тогда (ОО1) – ось симметрии фигуры F=F1F2F3 (умение «видеть» ось симметрии).
Так как АF1F2, а (А)F1F2, т.е. (А)=В (умение видеть соответственные точки на соответственных фигурах).
Аналогично, (С)=Д. Т.к. [AB][ОО1] и [CD] ОО1, то АВ СД.
Анализируя решения этих и других задач, решаемых методом осевой симметрии, приходим к выводу, что овладение этим методом позволяет формировать и развивать следующие геометрические умения и навыки:
1) строить образы фигур при осевой симметрии;
2) «видеть» симметричные относительно прямой точки на симметричных относительно этой же прямой фигурах;
3) строить ось симметрии;
находить симметричные относительно прямой точки на произвольных заданных фигурах.
II. Задачи, решаемые методом поворота.
Задача 2.1.7. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была точка Р, друга принадлежала прямой а, третья – прямой в.
Решение. Пусть РКL искомый (рис.2.1.5).
K
P
L
600

Тогда точки K и L находятся на равном расстоянии от точки Р, принадлежат прямым а и в соответственно и «видны» из точки Р под углом 600 (их построение обеспечивается умением выделять на заданных фигурах соответственные при данном повороте точки).
Т.к. точка L является образом точки К при повороте вокруг точки Р на 600, то она принадлежит образу прямой а при указанном повороте (умение строить образы фигур при повороте), т.е. точка L есть общая точка прямой а/=RР( а) и прямой в.
Точка К является прообразом точки L. Если в= RР( а), то задача имеет бесконечное множество решений.
В остальных случаях задача не имеет более двух решений, т.к. прямая в имеет не более одной точки пересечения с прямой а/ и не более одной точки пересечения с прямой а//= RР( а).
Задача 2.1.8. Через центр О треугольника АВС проведены две прямые, образующие между собой угол в 600. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, конгруэнтны (рис.2.1.6).
F
M
E
A
C
1200
N
B

Решение: Для доказательства конгруэнтности отрезков мы должны найти перемещение, при котором один из отрезков отображается на другой. Так как угол между прямыми, подмножествами, которых являются указанные отрезки, равен 600, то естественно рассмотреть поворот вокруг точки О. Учитывая, что поворот вокруг точки О на 1200 отображает треугольник на себя, приходим к целесообразности рассмотрения поворота вокруг точки О на 1200. При этом АВ, ВС, СА, АВ ВС, ВССА, СА АВ.
Точка Е АС отобразится на точку М.. Точка F АВ – на N ВС. (поворот сохраняет пересечение фигур). Следовательно, FENM.
Значит, FE=NM.
Итак, мы видим, что овладение этим методом требует формирование таких умений:
1) строить образы фигур при повороте;
2) находить соответственные при повороте точки на соответственных при этом же повороте фигурах;
3) «видеть» центр поворота;
4) строить на соответственные при повороте точки на произвольно данных фигурах.
III. Задачи, решаемые методом параллельного переноса.
Задача 2.1.9. Даны две окружности F1, F2 и прямая l. Проведите прямую, параллельную прямой l , на которой окружности F1 и F2 высекают конгруэнтные хорды.
F2

F1

A O1 B A1 O1" B1 l

Решение: Пусть прямая l/ искомая, т.е. прямая l/ высекает на данных окружностях конгруэнтные хорды АВ и А/В/ (рис.2.1.7). Тогда точки А и А/, В и В/ можно рассматривать как соответственные при параллельном переносе: О1 О1/ (умение строить соответственные точки на любых заданных фигурах). Т.к. точка А/ является образом точки А, принадлежащей окружности F1, то точка А/ принадлежит образу окружности F1. Следовательно, А/- общая точка окружности F2 и образа окружности F1 при параллельном переносе (умение строить образы фигур при параллельном переносе).
Построив точку А/, находим на окружности F1 её прообраз (умение выделять соответственные при повороте точки на соответственных при том же повороте фигурах).
Если F2= (F1), то задача имеет бесконечное множество решений. В остальных случаях задача имеет не более четырех решений, т.к. окружность F2 имеет не более двух точек пересечения с окружностью F1/= (F1) и не более двух точек пересечения с окружностью F1//= (F1).
Задача 2.1.10. Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равных радиусов равно d.
Прямая, параллельная линии центров, пересекает первую окружность в точках А и В, вторую – в точках С и Д. Найдите длину отрезка АС (рис.2.1.8).
l A C B D


рис.2.1.8.

Решение. Обозначим центры данных окружностей через О1и О2.
Тогда параллельный перенос (умение выделять элементы,
определяющие параллельный перенос) отобразит окружность с центром О1 на окружность с центром О2.(умение строить образы фигур при параллельном переносе). Точка А при этом переносе перейдёт в точку С, а точка В – в точку Д (умение видеть соответственные пи параллельном переносе точки на соответственные при том же переносе фигурах).
Следовательно, АС=ВД= О1О2=d.
Нетрудно видеть, что при овладении методом параллельного переноса требует формирования таких же умений, как и при методах симметрии и поворота.
Анализ решения задач методами симметрии, поворота, параллельного переноса и позволили нам выделить те умения, овладения которыми будут способствовать развитию у них таких умений и навыков как: осмысленно подходить к поставленной проблеме; правильно изображать пространственные фигуры на чертежах; комбинированного применения тех или иных теорем и правил; распознавания различных геометрических объектов и их свойств; решения задач повышенной трудности с применением различного типа преобразований и групп преобразований; умение на практике применять полученные теоретические формулы и преобразования; конструктивные умения.
Рассмотрим разработку урока геометрии.
Тема: « Движения ».
Цели урока.
Образовательная цель - ввести понятие движения пространства, познакомить учащихся с различными видами движения.
Развивающая цель – формирование и развитие умений использования метода геометрических преобразований в решении задач.
Воспитательная цель - развитие умения использования методов научного исследования в решении задач.
Оборудование. Таблица по теме «движения», компьютерная программа – тест для проверки знаний и умений по теме, линейки и карандаши, карточки-образцы решенных задач.
Примерный план
Организационный момент.
Проверка домашнего задания и проверка знаний и умений, приобретенных ранее по данной теме (тест – опрос на компьютере).
Ввести понятие отображения пространства на себя: если каждой точке М пространства сопоставлена в соответствии некоторая точка М1, причём любая точка М1 пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке М, то говорят, что задано отображение пространства на себя.
Отметить, что особую роль в геометрии играют отображения пространства на себя, сохраняющие расстояние между точками. Они называются движениями пространства.
Таким образом, если при движении пространства точки А и В переходят (отображаются) а точки А1 и В1, то АВ=А1В1. В учебнике рассматриваются четыре вида движений и доказывается, что центральная симметрия и параллельный перенос являются движениями.
Доказательства этих утверждений достаточно прозрачны, они могут быть изучены на одном уроке.
В случае центральной, осевой и зеркальной симметрий используется метод координат сначала устанавливается связь между координатами двух симметричных точек М (х,у,z) и М1(х 1,у1 ,z1).
Например, если рассматривается центральная симметрия относительно начала координат, то х1 = -х, у1 = -у, z1= -z. Далее для любых двух точек А(х 1,у1 ,z1) и В (х2, у2, z2 )и симметричных им точек А1 и В1 доказывается, что АВ=А1В1,то есть сохраняется расстояние между точками.
Доказательство утверждения о том, что параллельный перенос является движением, можно привести с помощью векторов.
Решение задач.
М
А
В
А1
В1
М1
О
рис.2.2.5
Задача 2.2.3. Докажите, что при центральной симметрии прямая не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.
Решение. а) Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром О и произвольную прямую АВ, не проходящую через точку О
Прямая АВ и точка О определяют единственную плоскость α. Точки А и В переходят при данной симметрии в точки А1 и В1, также лежащие в плоскости α. Поэтому и вся прямая А1В1 лежит в плоскости α.

б) Докажем сначала, что прямые ОАВ и ОА1В1 равны по двум сторонам (ОА=ОА1, ОВ=ОВ1) и углу между ними (АОВ =А1ОВ1). Из равенства треугольников следует, что АОВ =А1В1О, т.е. равны накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и А1В1 секущей ВВ1. следовательно, АВ║А1В1
в) Докажем теперь, что при центральной симметрии с центром О прямая АВ отображается на прямую А1В1 , то есть произвольная точка М прямой АВ переходит в некоторую точку М1 прямой А1В1 ( иначе говоря, произвольная точка М прямой АВ симметрична некоторой точке М1 прямой А1В1 относительно точки О), и обратно, произвольная точка М1 прямой А1В1 симметрична относительно О некоторой точке М прямой АВ. Возьмём на прямой АВ произвольную точку М (отличную от А) и проведём прямую МО. Она пересекает прямую А1В1 в какой-то точке М1. (см. рис 2.2.7) Треугольники МАО и М1А1О равны по стороне (АО=А1О) и прилежащие к ней углы (МОА=М1 ОА1 , как вертикальные; МАО=М1 ОА1, как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущей ММ1). Поэтому МО=ОМ1, а это и означает, что точка М переходит при симметрии относительно О в точку М1, лежащую на прямой А1В1. Аналогично доказывается обратное: любая точка М1 прямой А1В1 симметрична некоторой точке М прямой АВ относительно О.
Итак, при симметрии с центром О прямая АВ, не проходящая через точку О, отображается на параллельную прямую А1В1 .
Задача 2.2.4. Докажите, что при центральной симметрии плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.
Решение. Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром в точке О и произвольную плоскость α., не проходящую через точку О. (рис.2.2.6). Пусть прямые а и в, пересекающиеся в точке А, лежат в плоскости α.. При симметрии с центром в точке О прямые а и в переходят в соответственно параллельные прямые а1 и в1 .
При этом точка А переходит в некоторую точку А1, лежащую на прямой в а1 , так и на прямой в1, а значит прямые а1 и в1 пересекаются.
Пересекающиеся прямые а1 и в1 определяют единственную
плоскость α.1. По признаку параллельности плоскостей α. α.1. в1 а1
А
α
рис.2.2.6
О
α1


Далее не трудно доказать, что при центральной симметрии с центром в точке О плоскость α. отображается на плоскость α.1. Доказательство можно провести аналогично тому, как было сделано в предыдущей задаче, как для прямых АВ и А1В1.
Постановка домашнего задания (по карточкам с решениями задач).
Задача 2.2.5. При зеркальной симметрии относительно плоскости α. плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если βα, то β1α..
Решение. Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что βα, а плоскости α.1 и β1 пересекаются. Тогда они имеют общую точку М. Так как Мα, то при данной зеркальной симметрии точка М отображается в себя. Отсюда следует, что точка М, которая принадлежит плоскости β1 , лежит также в плоскости β. Но тогда α. и β пересекаются. Полученное противоречие показывает, что наше предположение ложно, следовательно, β1α..
Задача 2.2.6. Докажите, что центральная симметричность цилиндра равносильна центральной симметричности его основания.( цилиндр общего вида)
Решение. Пусть Z-цилиндр, имеющий центр симметрии – точку О, а Q и Q′ - его основания. Пусть Q лежит в плоскости α, а Q′ - в плоскости α′ . Проведем через О прямую, параллельную образующим цилиндра. Она пересечёт плоскость α в точке А, а плоскость α ′ в точке А′. Точка О является серединой отрезка АА′ (так как О- центр симметрии цилиндра). Покажем, что А – центр симметрии основания Q, а точка А′ - основания Q′ (рис.2.2.9).
Х'
У'
А'
Z
O
Х
А
У'
Х'
У'
А'
Z
O
Х
А
У'
рис.2.2.7
а)
б)

М


М'


Возьмём любую точку хQ, и пусть У′ - симметричная ей точка (относительно О). ясно, что У′ Q′. Точка У′ является одной из концов образующей УУ′ цилиндра Z. Так как ХО= У′О и ОАУУ′, то ХА=АУ. Поэтому точка У симметрична точке Х относительно точки А.
Итак, А - центр симметрии основания Q. Точно так же А′ - центр основания Q′.
Пусть теперь, наоборот, дано, что Z имеет основание, симметричное относительно некоторой точки А. Тогда строим образующую АА′ и берём точку О - середину этого отрезка. Возьмём затем любую точку МZ и проведём через неё образующую ХХ′. Точка У, симметричная точке Х относительно точки А, будет точкой основания Q. Идущая из У образующая УУ′ цилиндра Z пересечет прямую ОМ в точке М′Z, симметричной точке М относительно точки О. Итак, О- центр симметрии цилиндра Z.
Задача 2.2.7. Куб повернули на 600 относительно его диагонали. Найдите пересечение и объединение исходного и полученного куба.
Решение. Известно, что в кубе есть сечение, являющееся правильным шестиугольником и перпендикулярное диагонали куба. Если в кубе

АВСДА1В1С1Д1 (рис.2.2.8)
L
K
N
P
D1
А1
В1
С1
D
C
B
A
M
O
взять диагональ АС1, то такое сечение можно получить, если провести через середину этой диагонали точку О- плоскость αАС1. В сечении получим правильный шестиугольник KLMNPQ=T,
причём K- середина ребра ДД1 и т.д.
При повороте куба вокруг АС1 на 600
рис 2.2.8 шестиугольник Т перейдёт сам в себя. Будем считать, что точка К перешла в точку L, точка L- в точку М и т.д. Так как вершины А и С1 лежат на оси поворота, то (А)=А и (С1)=С1.
Поэтому отрезки АК,AL,AQ и т.д. перейдут в отрезки AL,AM,AK и т.д. Поскольку отрезки AK и AL лежат в грани АА1Д1Д, то плоскость этой грани после поворота перейдёт в плоскость ALM, а образ этой грани квадрат (АА1Д1Д)- отсечёт от куба тетраэдр AA1LM. Кроме того, от куба АВ…С1Д1 повёрнутый куб отсечёт ещё два тетраэдра с вершиной А – ABNP и AДQK, а также три тетраэдра с вершиной С1. Следовательно, искомая часть кубов состоит из двух шестиугольных пирамид с вершинами А и С1 и общим основанием KLMNPQ.
K
S
D
B
O
C
M
H
A
Далее предложим задачи, в решении которых используются геометрические преобразования.
Задача 2.2.8. В трапеции АВСД с основаниями ВС и АД на сторонах АВ и СД выбраны точки К и М. Докажите, что если ВАМ = СДК, то ВМА=СКД.
Решение. Пусть О - точка
Пересечения продолжений боковых
сторон АВ и СД данной трапеции.
Выполним последовательно
симметрию S относительно
рис 2.2.9 . биссектрисы АОД и гомотетию Н
с центром О и коэффициентом ОД /
ОА. При этом точка А перейдёт в Д, а точка В – в точку С (поскольку ОС / ОВ = ОД / ОА) (рис.2.2.9), ОАМ – в равный ему по условию ОДК. Следовательно, точка М, лежащая на пересечении прямых АМ и ОД, перейдёт в точку пресечения образов этих прямых – ДК и ОА, т.е. в точку К. Итак, точки А,М,В переходят, соответственно, в Д,К,С, а значит, АМВ = ДКС.
Задача 2.2.9. Пусть АД – высота в прямоугольном треугольнике АВС, А=900. Прямая, проходящая через центр окружностей, вписанных в треугольники АВД и АСД, пересекает стороны АВ и АС соответственно в точках К и L. Докажите неравенство SАВС 2SАКL (рис.2.2.10)
Решение. Докажем, что AK = AL = АД. Выполним последовательно
поворот вокруг точки Д на угол 450 и гомотетию с центром Д и
коэффициентом ДО1 / ДВ.
L
D
C
A
B
K
O1
O2
Тогда точки В и А перейдут, соответственно в центры О1 и О2 окружностей, вписанных в треугольники ДВА и ДАС
(ВДО1 = АДО2= 450, а ДО2 / ДА= ДО1 / ДВ,
так как треугольники ДАС и ДВА подобны).
Следовательно, угол между прямыми ВА и
О1О2 равен 450, т.е. LKA=450. А значит
KAL – прямоугольный равнобедренный.
Рис.2.2.10
Треугольники АО1К и АО1 Д равны: они имеют общую сторону АО1 и равные углы (АКО1 =
АДО1 = 450, АО1 – биссектриса угла КАД). Поэтому AL = AK = АД.
Пусть АВС = , тогда АВ=, AC= и
SАВС = 2 SAKL.
При sin2=1, т.е. для (=450) равнобедренного треугольника АВС достигается равенство.
Задача 2.2.10. Из вершины А квадрата АВСД внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры BK,BL, ДМ, ДN из вершин В и Д. Докажите, что отрезки KL и MN равны и перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим поворот R вокруг центра квадрата на 900, при котором точки В и А перейдут соответственно в А и Д. Покажем, что при этом повороте отрезок KL перейдёт в MN. Поскольку КВА= (900- КАВ)= КАД и аналогично КАВ = АДМ, луч ВК при этом перейдёт в луч АМ, а луч АК - в луч ДМ..
Как на рисунке 2.2.11
L
A
B
D
C
N
K
M



рис.2.2.11.
Следовательно, точка К перейдёт в точку М, т.е. R (K) = M. Аналогично
R (L) = N
В результате решения этих задач, (здесь речь идет о задачах в условии которых не фигурируют геометрические преобразования) у учащихся развиваются умение применять геометрические преобразования, как метод решения задач.
7. Подведение итогов урока.
При подготовке к урокам, нами были проанализированы системы упражнений, развивающие определённые геометрические умения и навыки, составленные исследователями-методистами. Например, системы упражнений по планиметрии, предложенная С.М. Саврасовой (Журнал «Математика в школе» № 6 1987 г., стр 28.) . Автор развил систему упражнений на 4 серии, каждая серия состоит из трех частей:
справочная таблица;
набор тренировочных упражнений;
проверочная работа.
Серии были сделаны тематически:
Метрические соотношения в подобных треугольниках.
Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
Площади фигур.
Правильные многоугольники.
Для этих тем были сделаны справочные таблицы, учащимся предъявляются готовые рисунки и таблицы с тренировочными упражнениями и их решениями.
Предлагаемая таким образом система, направлена на ликвидацию недостатков в знаниях по планиметрии учащихся старших классов и на формирование специальных математических навыков решения задач планиметрии.
В системе задач на вычисление, предложенной Б.А. Абремским [7] геометрические задачи на вычисление подразделены следующим образом:
- выявление зависимости между элементами некоторой фигуры;
- непосредственное отыскание искомого из соотношения, содержащего одно неизвестное;
- выделение вспомогательной задачи;
- операция, посредством которой некоторые неизвестные выражаются через переменную или переменные;
- составление уравнения или системы уравнений;
- вычленение в геометрической ситуации несколько взаимно исключающих друг – друга случаев.
Система задач В.А. Онищук[11] составлена в соответствии с дидактическим назначением:
-актуализации опорных знаний (подготовительные);
-усвоения знаний (вводные);
-первичного применения знаний (пробные);
-овладения навыками в стандартных условиях (тренировочные); 
- творческого переноса знаний и навыков (творческие);
-контроля, коррекции и оценки навыков и умений (контрольные).
Близкой к системе В.А. Онищук является система, предложенная В.А. Гусевым [8], связанная с овладением учащимися приемами «синтез» и «анализ»:
-задачи и вопросы, ответы на которые учат делать выводы («учись делать выводы»);
-задачи для самоконтроля («ищи причину вывода»): решая их, нужно не только получать следствие из условия задачи, но и выяснить причину появления этого следствия;
-стандартные задачи – наиболее простые задачи; без умения их решать нельзя получить положительную оценку;
-учебные задачи – самая многочисленная группа задач, которые придется решать в аудитории и дома. Эти задачи позволяют усвоить новый теоретический материал и перейти к решению более сложных задач;
-творческие задачи; к ним относятся задачи, которые не удается решить стандартными методами; для их решения нужно выдвинуть некоторую новую идею;
-исследовательские задания. Для своего решения они требуют значительных усилий. Такие задания не могут полностью решаться в аудитории, они предполагают работу дома, возможно, даже не одного, а нескольких студентов.
В предложенных системах не проведена дифференциация уровней развития умений и навыков. Поэтому, проанализировав ряд подобных систем, для дальнейшего развития геометрических умений и навыков учащихся академических лицеев мы предлагаем классифицировать систему задач с применением геометрических преобразований следующим образом.
1. Систему задач разбиваем на 5 уровней сложности. Степень трудности задач этих уровней определяется набором используемых элементов знаний:
Первый уровень - воспроизводящий; задачи, составляющие его, предназначены для восстановления формально-логической структуры ранее изученных простейших понятий, образующих основу для формирования более сложных понятий.
Второй уровень - фактический; он соответствует начальному уровню формирования сложных понятий, который заключается в накоплении знаний о способах формально-логического описания простейших понятий, состоящего в основном из фактов; отличается от первого уровня увеличением числа структурных единиц понятий, необходимых для описания развернутого решения задачи.
Решения задач первого-второго уровней ограничиваются приведением единичных фактов, основанных на основных характеристиках геометрических понятий и операциях над ними.
Третий уровень - операционный; решение задач этого уровня заключается в умении осуществлять и полно описывать простейшие логические операции по готовому образцу, характеризуется образованием частносистемных ассоциаций и наличием основных связей между понятиями.
Микросистемы задач первого - третьего уровней соответствуют минимально необходимому качеству усвоения понятий, требуемого для освоения базового курса, умение восстанавливать развернутое решение задач этих уровней отражает степень сформированности основных понятий и способов деятельности.
Четвертый уровень - аналитико-синтетический; его задачи требуют умения обобщать, дифференцировать простейшие и сложные понятия, выделять главные идеи, основные положения, вскрывать разнообразные связи между понятиями, проводить аналогии, формировать полную структуру решения задачи посредством выделения ранее применяемых понятий и описания связей между ними.
Пятый уровень - творческий; он требует обобщений и переноса знаний в новые ситуации, создания нестандартных алгоритмов познавательных и практических действий.
2. Система задач, определенная для каждого тематического занятия, открыта для предварительной самостоятельной работы учащихся.
3. Требование открытости, а значит и предварительной работы учащихся с каждой из задач системы, обеспечивает возможность оценки уровня развития геометрических умений и навыков. Дидактическая характеристика уровня системы задач полно характеризует качественный уровень овладения учащимся умениями и навыками.
4. Переход к решению задачи следующего уровня может осуществляться только после положительного тестирования развернутого решения, содержащего рассмотрение всех принципиально различных случаев организации данных, влияющих на структуру решения.
5. Порядковый номер уровня системы задач может служить баллом для оценки работы учащегося во время учебного занятия и оценки уровня развития геометрических умений и навыков учащихся.
Как было отмечено выше, в процессе выполнения упражнений по геометрии происходит совершенствование умений и навыков измерения, построения, изображения, моделирования, конструирования, приближённых вычислений, доказательства и необходимости аргументирования того или иного действия. Система упражнений, предлагаемая нами, направлена на комплексное развитие указанных геометрических умений и навыков. Кроме того, система упражнений удовлетворяет требованиям системности, а также как указано в [9] "… требованиям полноты и целостности, органической связи отдельных видов упражнений, преемственности и перспективности, вариативности ".
Требование об открытости заданий для самостоятельной работы учащихся, способствует развитию умений и навыков самостоятельности, готовности учащихся к самообразованию.
Задача первого и второго уровней системы упражнений направлены на развитие умений и навыков по формированию нового понятия.
Приведём виды этих упражнений:
упражнения на применение ранее изученных понятий и теорем;
упражнения практического характера;
упражнения на построения объектов, удовлетворяющих указанным свойствам;
упражнения с моделями фигур;
упражнения на распознавания объектов, принадлежащих объёму понятия;
упражнения на выделение следствий из определения понятия;
упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий);
упражнения на составление родословной понятия;
упражнения на применение понятия в различных ситуациях;
упражнения на систематизацию понятий.
Задачи III-IV уровней системы упражнений включают в себя упражнения, направленные на развитие умений и навыков доказательства теорем и задачи на доказательства. Перечислим их:
упражнения на измерение величин, на оперирование моделями фигур;
упражнения с практическим содержанием;
упражнения на применение ранее изученных теорем и понятий;
упражнения на выделение условия и заключения теоремы;
упражнения на распознавание ситуации, удовлетворяющих теореме;
упражнения на ознакомление с методом доказательства теоремы;
упражнения, моделирующие способ доказательства;
упражнения на выделения в доказательстве недостающих утверждений и их обоснований;
упражнения на систематизацию теорем;
упражнения на составление родословной теоремы;
упражнения на составление планов доказательства теоремы;
упражнения на составление алгоритмов.
Покажем пример системы задач на геометрические преобразования плоскости и пространства.
Поскольку важным элементом математической культуры учащегося лицея является не только знание свойств движений и преобразований, а умение применять их к доказательству теорем и решению задач, необходимо показать методику решения задач с применением определенных геометрических преобразований и их композиций.
Уровень 1.
Задача 2.2.11. На рисунке 2.2.12. изображен угол АВС. Постройте угол, симметричный данному относительно оси .
Задача 2.2.12. Докажите, что при движении вертикальные углы отобразятся на вертикальные углы.
Задача 2.2.13. На рисунке 2.2.13 изображен угол АВС. Постройте угол, симметричный данному углу относительно центра О.
Задача 2.2.14. Докажите, что при движении смежные углы отображаются на смежные углы.
В
А
С
е
В
С
А




рис.2.2.12.рис. 2.2.13.

Уровень 2.
Задача 2.2.15. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов.
Задача 2.2.16. Докажите что при движении подобные ромбы отображаются на подобные ромбы.
Задача 2.2.17. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии относительно точки пересечения его высот.
Задача 2.2.18. Докажите что при движении подобные прямоугольники отображаются на подобные прямоугольники.
Уровень 3.
Задача 2.2.19. При помощи одной линейки постройте ось симметрии равнобедренной трапеции.
Задача 2.2.20. При некотором движении отрезок АВ отображается на отрезок ЕР, АВ=12см. Точка М принадлежит отрезку АВ, АМ=2 см. Точка М отображается на точку Н. Найдите НЕ.
Задача 2.2.21. На рисунке 2.2.14. отрезки АВ и А1В1 центрально симметричны относительно некоторого центра. С помощью одной линейки постройте образ точки М при этой симметрии.
А
В
М
В1
А1


рис. 2.2.14
.
Задача 2.2.22. Точка К принадлежит отрезку МН и делит его в отношении 3:2, считая от точки М. При некотором движении отрезок МН отображается на отрезок ЕР, а точка К – на точку Т. Найдите отношение ЕТ:ТР.
Уровень 4.
Задача 2.2.23. На рисунке 2.2.15. изображены две окружности и прямая . Найдите на этих окружностях точки, симметричные друг другу относительно прямой l.
.О1

l

рис 2.2.15.
Задача 2.2.24. Докажите, что равнобедренные трапеции АВСD и А1В1С1D1 (АВ и CD -основания) равны, если АВ= А1В1 , AD=A1D1 и угол ВАD= углу В1А1D1 .
Задача 2.2.25. На рисунке 2.2.16. изображены прямые а и в и точка О. Найдите на этих прямых точки, симметричные друг другу относительно центра О.
а

в

рис. 2.2.16.
Задача 2.2.26. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма равны диагоналям и углу между ними другого параллелограмма.
Уровень5.
Примером задач пятого (творческого) уровня могут служить следующие задачи:
Задача 2.2.27. Построить отрезок, являющийся образом отрезка АВ при повороте вокруг точки О на угол – 700
Решение. Проведём луч ОА и построим луч l, получающийся из луча ОА поворотом на 700 (против часовой стрелки).

А
В
О
700
А1
В1
l
рис.2.2.17.
На луче l построим такую точку А1,                                                            что О А1 = ОА ( рис.4) П(А)= А1.                                                            Аналогично строим П (В) = В1.
Отрезок    
                                           А1 В1 является образом отрезка АВ.
Задача 2.2.28. На сторонах треугольника АВС построены вне его равносторонние треугольники АВР, АСН, ВСМ ( рис. 2.2.18.). Доказать, что отрезки АМ, ВН, СР равны.
                                                          Решение. При повороте на 600 вокруг                                                           точки А имеем: П(Н)=С, П(В) =Р.                                                           Следовательно, отрезок АВ переходит в                                                           отрезок СР. Аналогично получаем, при                                                           повороте на 600 вокруг точки В
600
600
А
Р
М
С
В
Н
рис. 2.2.18
П(С)=М, П(Р)=А СР=АМ. Таким                                                          образом, АМ=ВН=СР.
m/
В
m
Q
A
O
Q/
Задача 2.2.29. Даны две окружности m,n и точка О. Найти на этих окружностях такие точки А,В, что отрезки ОА, ОВ равны и составляют между собой угол 500 .
500

рис.2.2.19.

Решение. На рис.2.2.19. точку В получаем поворотом точки А на 500 вокруг точки О.  Т.к. точка А лежит на окружности m, то точка В лежит на окружности m′, получающейся из m поворотом на 500 .
Но точка В лежит и на окружности n. Значит, В - точка пересечения окружностей m′ и n.
Проведённое рассуждение делает понятным решение задачи. Построим окружность m′, получающуюся из m поворотом на 500 вокруг точки О. Для этого нужно построить точку Q′, получающуюся из центра Q окружности m поворотом на 500 и провести окружность того же радиуса с центром Q′. Затем обозначаем через В точку пересечения окружностей m′ и n, а через А – точку, образом которой при этом повороте является В. Точки А и В – искомые.
Поворот может осуществляться на 500 , либо на - 500 , поэтому задача может иметь до четырёх решений.
Задача 2.2.30. Даны окружность S с центром О и точка А. Провести в окружности хорду MN данной длины так, чтобы из точки А она была видна под углом 400 .
Решение. Отбросим на время требование о том , чтобы хорда MN была видна из точки А под углом 400. Далее построим какую-нибудь хорду НК, имеющую требуемую длину. Далее построим какую-нибудь точку Т, из которой хорда НК видна под углом 400 (рис.2.2.20.)
Окружность, описанная вокруг треугольника НКТ, обладает тем свойством, что из любой точки дуги НК (содержащей точку Т) хорда НК видна под углом 400. Обозначим эту дугу через а. Говорят, что дуга а «вмещает» угол 400. Теперь ясно, что нужно повернуть эту дугу а вокруг точки О на такой угол, чтобы повёрнутая дуга прошла через точку А.
Для того, чтобы определить, на какой угол нужно осуществить поворот, проведем окружность q с центром О, проходящую через точку А, и обозначим через точку пересечения этой окружности с дугой а (рис.2.2.21).
рис.2.2.20
a
400
700
700
A
O
S
H
K
T
рис.2.2.21
400
K
400
O
A
α
H
B/
B
M
N
q
a1



При повороте вокруг точки О на угол =ВОА дуга а перейдет в дугу а1 проходящую через точку А, а хорда НК перейдет в искомую хорду MN, которая видна из точки А под углом 400 . Окружность q пересекает дугу а в двух точках В и В′. Поэтому задача имеет два решения.
Задача 2.2.31. На сторонах АС и АВ треугольника АВС вне его построены параллелограммы ABLK и ACMN так, что АВ : AL = AC : AN = t, BAL = ACM=. Выразите медиану AS треугольника АВС через длину отрезка NL. Найти угол между прямыми AS и NL.
Решение. Пусть обход треугольника АВС происходит в положительном направлении (рис.2.2.22.).Построим АВС до параллелограмма АВДС. Рассмотрим преобразование состоящее из последовательного применения поворота на угол (180-) и гомотетии с центром в точке В и коэффициентом
1/ t (т.е. композицию двух преобразований). При этом преобразовании П(А)=К, П(Д)=N1, т.е. П( АВД)= КВN1, подобный ему с коэффициентом 1/ t .
1800 -α
α
A
S
C
N1
M
N
L
K
B
D
α


рис.2.2.22.

Легко видеть, что КВN1 получается из LAN параллельным переносом на . Следовательно АS=, угол между прямыми AS и LN равен (или 1800- ).
2.2. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы в процессе изучения дисциплины внутришкольного компонента "Движение на плоскости и их практическое применение".
Обязательная программа не предусматривает широкого изучения различных свойств геометрических преобразований. Вопрос использования преобразований при решении геометрических задач предлагается вынести, как вариативный компонент, на факультативные занятия и внеклассную работу.
Пояснительная записка
Элективный курс «Движения на плоскости и их практическое применение» рассчитан на 10 часов в 9 классе и посвящен темам, которые не рассматриваются на уроках геометрии.
Элективный курс ориентирован на предпрофильную подготовку учащихся по художественному профилю. Он расширяет базовый курс математики и позволяет учащимся осознать практическую ценность геометрии.
Содержание темы «Движение» в 9 классах имеет значительную базовую часть, необходимую для изучения всеми учащимися, независимо от их интересов и стремлений. В основном, к этому возрасту математические способности учащихся уже проявились. Поэтому в данный период возникает острая необходимость учета индивидуальных особенностей учащихся, так как часть школьников по окончании 9 класса уже имеет твердые профессиональные намерения. Все перечисленные факты приводят к выводу о том, что в 9 классах целесообразно при построении курса «Движения на плоскости и их практическое применение» реализовать уровневую дифференциацию с элементами профильной, которые заключаются в отборе теоретического материала и в подборе системы задач для каждой группы учащихся класса в соответствии с их интересами и возможностями.
Первый этап (9 классы) углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику следует помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с тем, чтобы по окончании основной школы он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего изучения математики – углубленного либо обычного.
Многие учащиеся с гуманитарными наклонностями, встретившись с задачей математического или физического содержания, не проявляют интереса к ее решению. В то же время, задача исторического, художественного или лингвистического содержания может стать для них более интересной и привлекательной. В этом случае учащимся будет легче установить связи между величинами задачи и выразить их на математическом языке.
В основе методики элективного курса лежит деятельностный подход в обучении, реализуемый в поисково-исследовательской и творческой работе учащихся.
Данный элективный курс направлен на систематизацию и расширение знаний учащихся. Материал для занятий подобран таким образом, чтобы можно было проиллюстрировать красоту симметричных фигур, подчеркнуть эстетические стороны курса, показать связь с другими областями знаний.
Цели курса:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: критичности мышления, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;
формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
эстетическое воспитание средствами красоты и гармонии геометрических форм.
Разработанный курс направлен на решение следующих задач:
реализация внутрипредметных и межпредметных связей с биологией, физикой, историей, изобразительным искусством, архитектурой, скульптурой;
актуализация знаний учащихся по теме «Движение»;
формирование у учащихся умений проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения;
развитие у учащихся навыков графической культуры, умения обосновывать законы красоты с помощью геометрии;
углубление знаний об окружающем мире путем творческих поисков, исследований, проектов;
формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, развитие их математических способностей;
воспитание у учащихся эстетического вкуса, развитие творческой инициативы.
Достижению этих целей будет способствовать использование возможностей профильной дифференциации предпрофильной подготовки при изучении темы «Движение».
Для обучения учащихся 9 классов геометрическим преобразованиям могут быть использованы различные методы обучения. Наиболее целесообразно в предпрофильных классах основной школы и профильных старших классах использовать метод обучения через задачи. Сущность данного метода состоит в том, что математические задачи выступают как средство обучения и позволяют организовать процесс обучения таким образом, чтобы каждому учащемуся, независимо от его интересов и задатков, дать возможность обучаться по своей индивидуальной траектории.
Задачи делятся на воспроизводящие, которые способствуют выработке и закреплению определенного навыка или умения, и творческие, помогающие выявить и развить способности детей. Именно творческие задачи помогают самовыразиться учащимся, реализовать свои индивидуальные задатки.
Результатом изучения данного курса является формирование УУД:
Познавательные:   овладение понятийным аппаратом по основным разделам содержания курса, представление об основных изучаемых понятиях (движение, виды движения) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;   умение применять изученные понятия, методы для решения задач практического характера.
.Регулятивные: умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, представлять ее в понятной форме; осуществлять деятельность исследовательского характера;
Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.
Личностные: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; способность к восприятию математических объектов, задач, решений.
Тематический план изучения элективного курса
№№ разделов Наименование разделов, тем Количество часов Итоговая форма контроля
Всего Классная работа Внекл. работа Лекции Сем. Практ. Лаб. Виды внекл. работы 1. Роль и место движений в геометрии 1 1 Домашняя работа
2 Виды движения 1 1 Дом.
работа
3 Применение движений на практике.
6 3 1 2 Подготовка презентаций по группам.
Самостоят.раб
4 Решение прикладных задач 2 2 Контрольная работа
Содержание курса:
Роль и место движений в геометрии 1ч
История возникновение темы «Движение» в школьном курсе геометрии
Виды движения 1ч
Симметрия, параллельный перенос, поворот
Применение движений на практике 6ч
Движение в архитектуре, Геометрические узоры – орнаменты, бордюры, паркеты. Движение в технике. Движение в природе. Движения в живописи.
Решение прикладных задач 2ч
Решение прикладных задач по теме «Движения на плоскости и их практическое применение»
Программа самостоятельной работы учащихся
№ п/п Вид (наименование) работы Форма отчетности Срок отчетности
Самостоятельное решение прикладных задач Оформленные решения задач в рабочих Выступление «движение в природе» доклад Орнаменты. реферат Симметрия в архитектуре родного города. Проект,
творческая работы Рекомендуемые технические и электронные средства обучения
№ п/п Название рекомендуемых техническихи электронных средств обучения Наименованиераздела и темы
Презентация Симметрия в природе.
Документальный фильм Геометрические узоры – орнаменты, бордюры, паркеты. http://www.youtube.com/watch?v=dWe81XKi8kIПрезентация Роль и место движений в геометрии
2.3. Методика формирования умения проводить доказательные рассуждения по поиску решения геометрических задач методом движения у учащихся основной школы в процессе организации массовой внеурочной работы в форме математического вечера "Движение в изобразительном искусстве".
2.4. Методика организации, методы обработки и результаты педагогического эксперимента.
Заключение
Список использованных источников:
Далингер В.А. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ У УЧАЩИХСЯ УМЕНИЯ ПРОВОДИТЬ ДОКАЗАТЕЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ И ДЕЛАТЬ ВЫВОДЫ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 8 – С. 431-433 URL: www.rae.ru/meo/?section=content&op=show_article&article_id=8191 (дата обращения: 05.09.2015).
Геометрия. УМК для основной школы [Электронный ресурс] : 7–9 классы. Методическое пособие для учи- теля / Автор-составитель: М. Н. Бородин. — Эл. изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 89 с. : ил.
1. Далингер В.А. Как доказывать теоремы: Приемы и методы доказательства // Вечерняя средняя школа. – 1991. – N2. – С. 65-67.
3. Далингер В.А. Обучение учащихся доказательству теорем: Учебное пособие. – Омск: Изд-во Омского пединститута, 1990. – 127 с.
4. Далингер В.А. Чертеж учит думать // Математика в школе. – 1990. – N4. – С. 32-35.
5. Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 2006. – 256 с.
6. Драбкина М.Е., Никольская И.Л. Обучение доказательным рассуждениям в 7-9 классах: Методические рекомендации для учителей математики. – М.: Изд-во НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, 1990. – 39 с.
7. Капиносов А.Н. Учись рассуждать: Учебные задания по математике для 5-6 классов. – М.: Изд-во НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, 1986. – 27 с.
8. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе. //На путях обновления школьного курса математики. – М.: Просвещение, 1978. – С.29-48.

Приложенные файлы

  • docx file14
    Размер файла: 318 kB Загрузок: 5

Добавить комментарий