КВАДРАТУРА КРУГА


Квадратура круга и число π («пи»)

Напомним: число π («пи») определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d = 2r. Это кратко выражается формулой для вычисления длины окружности C = πd, или C = 2πr. Другая известная формула, в которой встречается π, – формула площади круга S = πr2, или S = πd2/4. В принципе π можно было бы определить как отношение площади круга к квадрату радиуса. За этими формулами скрываются три нетривиальных математических факта:
1) длина окружности пропорциональна ее диаметру;
2) площадь круга пропорциональная квадрату радиуса;
3) коэффициенты пропорциональности в двух последних случаях совпадают.
Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π ≈ 3,14.
Самое простое приближение для π полагает его равным 3 (несмотря на грубость этого приближения, его ошибка менее 5 %). Такое приближение использовалось, например, в Древнем Вавилоне в III–II вв. до н. э.: длину окружности находили по правилу, которое в современных обозначениях можно записать C = 3d, площадь круга находили по правилу S = C2/12. Значение π = 3 используется и древними иудеями: библейский автор упоминает, что при строительстве храма при царе Соломоне мастер Хирам из Тира в числе других храмовых украшений «сделал литое из меди море, – от края его до края его десять локтей, – совсем круглое,... и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар 7, 23). Позже для более точных вычислений использовалось геометрическое приближение: от площади квадрата, описанного вокруг круга, отнимались площади треугольников с длиной стороны, равной трети стороны квадрата, получалось довольно точное значение π = 3 + 1/9 = 3,11.

Рис. 1. Геометрические приближения площади круга,Древний Вавилон
В Древнем Египте для вычисления площади круга использовалось правило S = (8d / 9)2, что соответствует значению π = 4 ∙ (8/9)2 ≈ 3,1605. Ошибка при этом составляет менее 1 %. Как получали это правило, неизвестно.

Рис. 2. Геометрическое приближение площади круга, Древний Египет
У древнегреческих математиков с их превалирующим интересом к геометрическим построениям и доказательствам, а не к вычислениям, вопрос о численном значении π был не столь важным, нежели проблема квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, если удастся, то с помощью циркуля и линейки, а в противном случае – с помощью каких-то других инструментов. Задача о квадратуре круга имела широкую известность не только среди математиков: например, о ней говорится в комедии Аристофана «Птицы».
Изучая задачу о квадратуре круга, Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) нашел некоторые случаи, когда с помощью циркуля и линейки можно найти квадратуру определенных частей круга, ограниченных кривыми линиями (а именно, двумя окружностями). Такие части называются луночками. Самый простой случай – это луночка между окружностью, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника, и другой окружностью, диаметром которой служит катет этого треугольника.

Рис. 3. Для такой луночки можно построить квадратуру
Нетрудно видеть, что, по теореме Пифагора, AB2 = 2BC2, а потому площадь круга, построенного на AB, равна двум площадям круга, построенного на BC, а значит, площадь полукруга, построенного на BC, равна площади четверти круга, построенного на AB. Поэтому, вырезав из этих фигур их общую часть – сегмент BC – получим равновеликие фигуры: таким образом, площадь луночки равна площади прямоугольного треугольника BOC.
Древнейшие известные попытки собственно квадратуры круга принадлежат Антифонту и Бризону (V в. до н. э.). Антифонт последовательно вписывал в круг правильные многоугольники, каждый раз удваивая количество сторон, и полагал, что в конце концов многоугольник совпадет с окружностью. Бризон строил два квадрата – вписанный в окружность и описанный вокруг нее – и считал, что площадь квадрата, лежащего между ними, равна площади круга. Разумеется, в буквальном понимании и Антифонт, и Бризон заблуждались. Однако их идеи оказались весьма плодотворными: действительно, вписывая в окружность правильные многоугольники со все большим числом сторон, можно сколь угодно близко подойти к площади круга и длине окружности; смысл есть и в том, чтобы рассматривать не только вписанные, но и описанные многоугольники: при этом площадь круга будет лежать между площадями вписанных и описанных многоугольников, а длина окружности – между периметрами тех и других.

Рис. 4. Площадь круга – предел площади описанных и вписанных многоугольников
В дальнейшем именно вписанные и описанные правильные многоугольники стали активно применяться как для теоретических исследований, так и для конкретного вычисления числа π. Именно с помощью таких многоугольников было сформулировано строгое доказательство того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров, найденное, по-видимому, Евдоксом и приведенное в «Началах» Евклида. Архимед доказал, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на ее радиус. Кроме того, с помощью вычисленных им периметров вписанных и описанных правильных многоугольников (от 6-угольника до 96-угольника) Архимед нашел, что:

или, в десятичных дробях, 3,1409... < π < 3,1428... (подлинное значение π = 3,14159...).
Таким образом, он не только нашел приближенные значения π, но и оценил точность этих приближений. Уже найденная Архимедом верхняя оценка, равная 22/7, дает приближение π с точностью 0,04 %. Эту дробь часто называют «архимедовым числом». Клавдий Птолемей, использовав правильный 720-угольник, нашел, что π ≈ 377/120, что составляет приблизительно 3,14167 (ошибка меньше 0,003 %).
Как и для удвоения куба, и для трисекции угла, для квадратуры круга были изобретены методы, использующие свойства различных кривых. Общим свойством этих кривых было их образование путем сочетания двух типов движений – равномерного поступательного (вдоль некоторой прямой) и равномерного вращательного (вокруг некоторой точки или оси). При этом имеет место пропорциональность между углом, на который повернулся вращающийся элемент, и длиной отрезка, пройденной при поступательном движении.
Прежде всего, это была уже упомянутая квадратриса (см. урок, посвященный трисекции угла), которую впервые использовал для квадратуры круга Динострат. Оказывается, если K – точка, в которой квадратриса пересекает отрезок AD, то четверть длины окружности, проходящей через точку K, с центром в точке A, равна длине отрезка AB.


Рис. 5. Метод построения квадратрисы и использование ее для построения длины окружности
Из этого следует, что длина дуги BD равна AB2/AK, а площадь круга радиуса AB равна площади прямоугольника со сторонами AB2/AK и AB/2; такой прямоугольник легко построить с помощью циркуля и линейки, если известны отрезки AB и AK. Построив прямоугольник, можно построить и равновеликий ему квадрат.
Кроме квадратрисы, для квадратуры круга использовались связанные с ней винтовая линия и спираль Архимеда. Винтовая линия получается при движении точки по поверхности цилиндра, складывающемся из двух движений: во-первых, движения с постоянной скоростью вдоль оси цилиндра, а во-вторых, равномерного вращения по окружности основания цилиндра.

Рис. 6. Винтовая линия
Спираль Архимеда – эта кривая, которую заметает точка M, равномерно движущаяся вдоль радиуса AN, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки A.

Рис. 7. Спираль Архимеда
Задача, похожая на квадратуру круга, фигурировала и в Древней Индии. В уже упоминавшейся (см. урок по теореме Пифагора) книге «Шулва-сутра», излагавшей правила строительства алтарей, построение круга, равновеликого данному квадрату ABCD, производится так. Вокруг квадрата описывается окружность; пусть перпендикуляр к отрезку AB, проходящий через центр окружности O, пересекает прямую AB и окружность в точках P и Q, а точка K делит отрезок PQ в отношении PK : KQ = 1 : 2. ТогдаOK – радиус круга, равновеликого данному квадрату. Если a – сторона квадрата, то длина полученного радиуса  описанный способ соответствует приближенному значению π 

Рис. 8. Построение круга, приблизительно равновеликого квадрату, Древняя Индия
В более поздние времена в Индии использовались приближения для π, равные  (т. е. ≈ 3,162 – ошибка менее 1 %); 22/7 и даже 3,1416. Интересно наглядное доказательство предложения «площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого равны полуокружности и радиусу» у математика Ганеши (XVI в.). Как и в доказательстве теоремы Пифагора у Бхаскары, здесь все доказательство состоит из чертежа и слова «смотри». Ганеша делит круг на 12 секторов, а затем разворачивает каждый полукруг, состоящий из 6 секторов, в пилообразную фигуру, основание которой равно полуокружности, а высота – радиусу. Прямоугольник, о котором говорится в условии, получится при вставлении зубьев одной «пилы» в зазоры между зубьями другой. По-видимому, читатель должен был представлять себе, что круг разделен не на 12, а на столь большое число секторов, что эти секторы неотличимы от треугольников, составляющих «пилы».

Рис. 9. Площадь круга равна площади прямоугольника, образованного радиусом и длиной полуокружности, Древняя Индия
Значение  по-видимому, впервые появилось у китайского астронома и философа Чжан Хена (нач. II в. н. э.); вероятно, из Китая оно перешло к индийцам (Брахмагупта, VII в.) и арабам (ал-Хорезми, IX в.); впрочем, метод получения этого значения нам неизвестен. Лю Хуэй (III–IV вв.) с помощью рассмотрения вписанных и описанных многоугольников (в том числе с 3072 вершинами) пришел к приближению π = 3,14159, а Цзу Чун-чжи (V в.) доказал, что 3,1415926 < π < 3,1415927.
Самаркандский математик ал-Каши в «Трактате об окружности» (1424 г.) поставил себе задачу выразить окружность через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, равной 600 000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса. Рассмотрев правильные многоугольники вплоть до фигуры с 805 306 368 (3 ∙ 228) вершинами, ал-Каши нашел 16 верных знаков (после запятой) числа π, а именно, приближение π = 3,14159265358979325 (в реальности 17-й знак после запятой – 3 или 4, потому что 18-й – 8). Европейские математики достигли такой точности и превзошли ее лишь в конце XVI в.: в 1597 г. голландец А. ван Роомен вычислил 17-й знак, для чего применил многоугольник с 1 073 741 824 (230) вершинами.
В начале XVII в. профессор математических и военных наук Лейденского университета Лудольф ван Цейлен довел количество точных знаков (после запятой) числа π до 35. Современники называли найденное им приближение π «числом Лудольфа». Эти знаки он завещал выбить на надгробном камне. Интересно, что, поскольку в то время привычная нам позиционная запись десятичных дробей еще не вполне прижилась, на надгробии было написано не 3,14159265358979323846264338327960288, а

Еще два голландца XVII в. – В. Снеллиус и Х. Гюйгенс – с помощью некоторых тонких геометрических рассуждений смогли достичь большей точности при меньшем числе сторон рассматриваемых многоугольников. Снеллиус воспроизвел результат Архимеда – три верных знака после запятой – рассматривая не более чем 6-угольники, а с помощью 96-угольника получил целых 7 верных знаков. Гюйгенс, доказав некоторые геометрические теоремы, смог вычислить 10 верных знаков с помощью 60-угольника.
Далее метод вписанных и описанных многоугольников уступил место новым методам, разработанным с помощью математического анализа – использованию бесконечных сумм, которые дают приближенные значения числа π нужной точности, если оставить в них достаточно большое, но лишь конечное число членов. В результате число верных знаков быстро возросло: вычислители подбирали формулы поудобнее и соревновались друг с другом в том, кто больше получит этих знаков.
ГОД ВЫЧИСЛИТЕЛЬ ЧИСЛО ТОЧНЫХ ЗНАКОВ
1699 А. Шарп 71
1706 Дж. Мечин 100
1717 Т. де Ланьи 112
1794 Г. Вега 136
1844 И. М. З. Дазе 200
1847 Т. Клаузен 248
1853 У. Резерфорд 440
Рекорд для XIX в. поставил Уильям Шенкс, нашедший в результате 707 знаков после запятой; в 1-ой половине XX в. эти знаки часто воспроизводили в популярной литературе, а архитекторы даже украшали ими свои сооружения (Дом занимательной науки в Ленинграде, ныне Санкт-Петербург, 1934; Дворец открытий в Париже, 1937). В 1945 г. результаты Шенкса были проверены на компьютере, и оказалось, что из его знаков верны только первые 527. Компьютеры позволили существенно увеличить количество точных цифр в десятичном разложении π, причем, если раньше вычислители тратили на них многие годы, то теперь компьютеры справлялись с этим менее чем за день работы. Этому также способствовало применение более эффективных алгоритмов на основание новых математических формул.
ГОД ВЫЧИСЛИТЕЛЬ КОМПЬЮТЕР ЧИСЛО ТОЧНЫХ ЗНАКОВ
1949 Дж. фон Нейман ENIAC 2 037
1958 Ф. Женюи IBM 704 10 000
1961 Д. Шенкс, Дж. Ренч IBM 7090 100 625
1973 Ж. Гийу, М. Буйе CDC-7600 1 000 000
1976 Д. Х. Бейли Cray-2 29 360 000
1987 Я. Канада NEC SX-2 134 217 000
1989 Д. и Г. Чудновски Cray-2, IBM 3090 1 011 196 691
1999 Я. Канада, Д. Такахаси HITACHI SR 8000 206 158 430 000
Само обозначение π для отношения окружности к диаметру было введено в 1706 году У. Джонсом.
Что касается принципиальных математических результатов относительно π, то здесь следует упомянуть, во-первых, доказательство иррациональности этого числа, проведенное в 1766 г. И. Г. Ламбертом (некоторый пробел в доказательстве Ламберта был восполнен в 1800 г. А. М. Лежандром), а во-вторых, доказательство трансцендентности π, осуществленное в 1882 г. К. Ф. Линдеманом. Трансцендентность некоторого числа означает, что оно не может быть корнем никакого уравнения видаanxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0 с целыми коэффициентами a0, a1, ..., an. Из этого следует, что оно не может быть представлено в виде конечной комбинации целых чисел, арифметических действий и знака извлечения корня. Поэтому и квадратура круга не может быть решена с помощью циркуля и линейки, которые позволяют строить лишь отрезки, выражаемые через арифметические действия и квадратныекорни.

Приложенные файлы

  • docx file23
    Размер файла: 263 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий