МЕТОД ФЕРРАРИ


ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари
Схема метода Феррари
      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решатьуравнения четвёртой степени
a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0, (1)
где a0, a1, a2, a3, a4 –  произвольные вещественные числа, причем 
      Метод Феррари состоит из двух этапов.
      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени
      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, (2)
где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа.
      Сделаем в уравнении (2) замену
(3)
где y –  новая переменная.
      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид
(4)
      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид
y4 + py2 + qy + r = 0, (5)
где p, q, r –  вещественные числа.
      Первый этап метода Феррари  завершён.
Разложение на множители. Кубическая резольвента
      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
2sy2 + s2,
где s –  некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид
(6)
      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
(7)
то уравнение (6) примет вид
(8)
      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, - в виде
(9)
      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
      Если какое-нибудь решение  кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение (10)
а также квадратное уравнение
(11)
      Вывод метода Феррари завершен.
Пример решения уравнения 4-ой степени
      Пример. Решить уравнение
x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 = 0. (12)
      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
x = y – 1. (13)
      Поскольку
x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 = (y – 1)4 + 4(y – 1)3 – 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 = = y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 + 4y3 – 12y2 + 12y – 4 – 4y2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 == y4 – 10y2 – 4y + 8,
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0. (14)
      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
p = – 10,      q = – 4,       r = 8. (15)
      В силу (9)  и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,
которое при сокращении на 2 принимает вид:
s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0. (16)
      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
s = – 3. (17)
      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
y2 – 2y – 4 = 0,
корни которого имеют вид:
(18)
      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
y2 + 2y – 2 = 0,
корни которого имеют вид:
(19)
      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

      Ответ. 
      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:
y4 – 10y2 – 4y + 8 = (y2 – 2y – 4) (y2 + 2y – 2). (19)

Приложенные файлы

  • docx file30
    Размер файла: 82 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий