НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ


ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА
За основание логарифмов нередко берут число е = 2,718281828459045… Логарифмы по данному основанию именуют натуральными. При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком ln, а не log; при этом число 2,718281828459045… , определяющие основание, не указывают.
Другими словами формулировка будет иметь вид: натуральный логарифм числа х - это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.
Так, ln(7,389...)= 2, так как e2=7,389.... Натуральный логарифм самого числа e= 1, потому что e1=e, а натуральный логарифм единицы равен нулю, так как e0= 1.
Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности
 
INCLUDEPICTURE "https://www.calc.ru/imgs/articles/173478954255635ee4b92475.61187085.JPG" \* MERGEFORMATINET
 
вычислено, что е = 2,7182818284... .
 
Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!
Число е является иррациональным. Французский математик Эрмит (1822 - 1901) обосновал, что это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа именуются трансцендентными.
На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.
 
График натурального логарифма (функции y = ln x) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:
 
INCLUDEPICTURE "https://www.calc.ru/imgs/articles/83722474955635f0fa21430.90754518.JPG" \* MERGEFORMATINET
 
 
Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a.
Элементарность этой формулировку, которая состыковывается со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, явилось причиной образования названия «натуральный».
 
Если анализировать натуральный логарифм, как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:
 
e ln(a)=a (a>0)
ln(ea) =a
 
По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:
 
ln(xy) = ln(x) +ln(y)
ln(х/у)= lnx – lny 
Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.
 
Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x →0 пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( –∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция xa с положительным показателем степени a  возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.
 
Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.
c

Приложенные файлы

  • docx file31
    Размер файла: 19 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий