Презентация «Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл»


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Тайгинский институт железнодорожного транспорта – филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждениявысшего образования«Омский государственный университет путей сообщения»преподаватель: Соболева Ирина Васильевна   Россия, г. Тайга, 2017Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл Понятие о производной функции, её геометрический и физический смыслНачинается урок, он пойдет студентам в прок.Постарайтесь все понять – аккуратно все писать. Долгожданный дан звонок – начинается урок YI. YII. Домашнее заданиеДерзай !!!Экскурс в историюIII. Объяснение нового материалаЗакрепление нового материалаРефлексияY.IY.Организационный моментI.Подведение итоговYIII.
«Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники» «НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ... ЕСТЬ ИСТИНЫ, НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ.... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ»Denis Diderot1713 - 1784Екатерина II Цель наших совместных действийусвоить понятие производной, её геометрический и физический смыслузнать историю возникновения понятия производной, имена ученых, которые открыли производную миру
«Суд над производной» Приращение аргумента Приращение функции Дифференциал функцииГеометрический смысл Физический смысл Химический смысл Экономичекий смысл
ppt_yppt_yppt_y Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу
«Дифференциальное исчисление»Л. Эйлер В XIX веке французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела О великом Ньютоне!ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смыслИсаак Ньютон (1643-1727)

Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, - дифференциальным исчислением Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.  1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.3. Приращение функции делят на приращение аргумента.4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.Общее правило нахождения производной Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции y к соответствующему приращению аргумента x при условии, что приращение аргумента x стремится к 0 Определение производной∆
ppt_yppt_yppt_y В данной функции от икс, наречённой игреком,Вы фиксируете икс, отмечая индексом,Придаёте вы ему тотчас приращение,Тем у функции самой вызвав изменение.Приращений тех теперь взявши отношение,Пробуждаете к нулю у дельта икс стремление.Предел такого отношенья выясняется,Он производною в науке называется! Пользуясь определением производной, найдите производную функции у = 3Х21) у+ ∆y= 3(х+ ∆x)2 2) у+ ∆y= 3(x2 +2х ∆x + ∆x2 )=3 x2 +6х ∆x + 3∆x2 3) ∆y = 3 x2 +6х ∆x + 3∆x2 - 3Х2 = 6х ∆x + 3∆x2 4) ∆y/ ∆x = (6х ∆x + 3∆x2 )/ ∆x =6х - 3 ∆x ∆y/ ∆x = (6х - 3 ∆x )∆∆∆6х ∆ Производная разности двух функций (f(x) - q(х))' = f' (x) - q' (x) Производная суммы двух функций (f(x) + q(х))' = f' (x) + q' (x)С / = 0Х / = 1(СX) / = С (СU) / =СU / (Хn) / = КXn-1(U+V) / =U / + V / (U-V) / =U / - V /
3/ = 0 (4х)/ = 4 (Х3) /=3х2 у(х) = 2х-4 у(х) / = (2х-4 )/ =(2х)/- 4/ =2-0=2 у(х) = 2х2-4 у(х) / =2(х2)/ - 4/=2*2х=4xy(x) = x6 – x4 + 2x3 – 3y(x)/ = (x6 – x4 + 2x3 – 3)/= =(x6)/ –( x4)/ + (2x3)/– (3)/=6х5-4х3+6х2 Самостоятельно:найти производные у = 2х – 3 у = х2 – 3х + 4 у = х3 – 2х2 + 5y/ =2y/ =2х-3y/ =3х2 -4х

«Математическое Домино» 30x2x1212345x-3-3хx35x3-3x-467891015x2-3630xАx1112131415A3x26х012x --51617181920В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток. Например: 1-9. 1-192-43-54-195-196-107-128-179-1110-2011-1412-1913-014-115-1616-1917-1818-13 УстаНазовите соответствие между функцией, записанной в столбце А, ее схематическим графиком, изображенным в столбце Б ,производной функции в столбце В и графиком производной в столбце Г. Например: 1А-5Б-6В-7Г Карточка - инструкцияЗадание: Найдите производную функции у в точке х=1 y = x2 + 2x; y' = 2x + 2; y'(1) = 4Инструкция по выполнению задания:1.Рассмотрите формулу, задающую функцию, и определите структуру ее правой части.2.Найдите производную каждой из составляющих ее структурных частей.3.В зависимости от структуры правой части формулы (сумма или разности) примените известное правило нахождения производной.4.Подставте известное значение х в полученную производную и посчитайте результат.5.Запишите ответ Вариант объяснения решения:1.Правая часть формулы, задающей функцию, представляет собой сумму двух функций:y = x2 и y = 2x2.Производная первой функции имеет вид y′= 2х, a второй y′= 23.Применяя правило нахождения производной суммы, находим производную заданной функции как сумму найденных производных:y′= 2х+2.4. Производная заданной функции имеет вид y′(1) =2*1+2=45. y′(1) =4 а) y = 2 + 5x + x2; y'=5 + 2x; y'=5+2*1=7 Ответ: y'(1) = 7Найдите производную функции у в точке x=1 у = 2+5х +x2
Найдите производную функции f в точке x=2 . f(x) = 5х − 6x3f ' (x) = 5 − 18x2 f ' (2) = 5 − 18*22 = - 67

Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой Геометрический смысл производной Лейбниц пришёл к понятию производной решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл Г.В.Лейбниц. (1646-1716)
Касательная к кривойIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16


ppt_yppt_yppt_y


ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y Производная- это угловой коэффициент касательной.РР1

ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y


хy0 k – угловой коэффициент прямой(секущей)Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.КасательнаяСекущая Геометрический смысл производной.РР1
































хy0 КасательнаяУгловой коэффициент касательной можно найти какпредел выражения:
хy0 k – угловой коэффициент прямой(касательной)КасательнаяГеометрический смысл производнойПроизводная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
АКЦЕНТИРУЕМ ТЕОРИЮ ПО ТЕМЕГРАФИК В чем состоит геометрический смысл производной ?}значение производной в точке Х₀}тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХугловой коэффициент касательнойf ´(x₀) = tg α = к

style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation



Производная в физикеФизический смысл производной
ppt_xxshearppt_x Исаак Ньютон (1643 – 1727) «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.» Физический смысл производной


ppt_yppt_yppt_y Физическийй смысл производной заключается в том, что производная от координаты по времени есть скорость, а производная от скорости по времени -ускорение Физический смысл производной(t)=x(t)a(t) =(t)X-перемещение -скоростьа –ускорениеt-время



ppt_yppt_yppt_y Состав движется по криволинейному участку железнодорожного пути и траектория движения задана формулой: X(t)=2t³+7t². Найдите скорость в момент t =2 ч(Перемещение измеряется в километрах)Решение:X(t)=2t³+7t², t=2 ч=x(t)=6t²+14t (2)=6•22+14•2=24+28=52 км/ч ; 1) «Точка движется по закону: S (t) =2t³-3t²+5t-1 (м), t=5с Найти: V (t) =? ; а(t)=?» Все успешно справились с этим заданием. Проверьте и вы успешность вашего выполнения: 1)


style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
1.Находим производную от координаты по времени (скорость). 2. Подставляем в полученную формулу заданное значение времени.3.Находим производную от скорости по времени (ускорение).4.Подставляем в полученную формулу заданное значение времени.


ПримерМатериальная точка движется прямолинейно по законуX(t)=t³-4t².Найдите скорость и ускорение в момент t =5с(Перемещение измеряется в метрах)Решение:X(t)=t³-4t², t=5с=x(t)=3t²-8t(5)=3•52-8•5=75-40=35м/с ;a(t)= (t)=6t-8 ;a(5)=6•5-8=30-8=22м/с²Ответ: 35м/с, 22м/с²







ppt_yppt_yppt_y .Δх – перемещение телаΔt – промежуток временив течение которого выполнялосьдвижение Физический смысл производной



Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи Физический смысл производнойПроизводная- это скорость Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи


ppt_yppt_yppt_y С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ 2. Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой •3. Бывает первой, второй,… 4. Обозначается штрихом УЧЕНЫЙ КОТ Химический смысл производной Найти скорость химической реакции через 3 секунды.Если количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль) Решение: V(t)=t+3 V(3)=6 м/с Экономический смысл производной Математика…выявляет порядок, симметрию и определенность,а это – важнейшие виды прекрасного.Аристотель
ppt_yppt_yppt_y Почему торжественность вокруг?Слышите,  как быстро смолкла речь?Это о царице всех наук Заканчиваем мы сегодня утро. Не случайно ей такой почет.Это ей дано давать ответы,Как хороший выполнить расчетДля постройки здания,  ракеты. Есть о математике молва,Что она в порядок ум приводит,Потому хорошие слова Часто говорят о ней в народе. Ты нам, математика, даёшьДля победы трудностей закалку,Учиться с тобой молодёжь Развивать и волю и смекалку . И за то,  что в творческом трудеВыручаешь в трудные моменты,Мы сегодня искренне тебе Посылаем гром аплодисментов. Математика действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук Что выяснили?Что сделали?1. Существует связь между определением производной и правилами её нахождения с помощью таблицы;2. Провели анализ фактов по существующей связи;3. Провели обобщение наблюдений;4. Познакомились с математическими «портретами»;5. Познакомились с историзмом проблемы;6. Наибольшее практическое применение имеет физический смыслПлан1. Изучить понятие производной;2. Научиться её применять к решению различных задач

ppt_yppt_yppt_y Домашнее задание. I. Обязательный минимум: гл.2 параграф 4 п 12-13, Найдите производную функцииа) y=2x5-9x20+1;     б) y=4x7 +4x16- 3. Найдите производную функции f(x)=2x-5x2+3 в точке х=2 Точка движется прямолинейно по закону s(t) =3t242t+3 (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки в момент времени t =3c. II. Задания по выбору:а) Составить серию вопросов, которые будут контролировать и дополнять знания по теме «Производная».б) Составить 5 заданий для самостоятельной работы по теме «Дифференцирование функции y = f(kx+m)» в) Задача: Расход электрической энергии электровоза ВЛ 10 ( на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении приблизительно описывается функцией f(x)=0,0017х²-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход электричества будет наименьшим? Найдите этот расход.III. Задание для интересующихся математикой:1) Индивидуальное задание: подготовить доклад по теме следующего урока «Уравнение касательной и нормали»2) Изучить доказательство вывода формулы «Уравнение касательной»
ppt_yppt_yppt_y Рефлексиясегодня я узнал…  было интересно…  было трудно…  я выполнял задания…   я понял, что…  теперь я могу…  я почувствовал, что… я приобрел…  я научился… у меня получилось … я смог…  я попробую… меня удивило… На слайде изображены рисунки. Необходимо выбрать тот из них, который, по мнению каждого студента, соответствует его восприятию урока «Вы ещё очень мало знаете, но у Вас положительная производная. Скорость приращения Ваших знаний возрастает, а это и есть залог того, что ваши знания будут максимальны».
ppt_yppt_yppt_y Спасибо за внимание !
ppt_yppt_yppt_y

Приложенные файлы

  • pptx file10
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 33

Добавить комментарий