Сборник ИДЗ по математике для студентов 2 курса

Министерство образования и науки РФ
«Сборник ИДЗ по математике для студентов 2 курса»
Синишина Ирина Вячеславовна
Комсомольск-на-Амуре 2014 г.
« Комсомольский-на-Амуре авиационно-технологический техникум»
Учебно – методическое пособие для студентов второго курса средних профессиональных учебных заведений. Сборник ИДЗ по математике./Сост. Синишина И.В.-Комсомольск – на – Амуре политехнический техникум, 2014- 39с
Рассмотрено и рекомендовано предметно-цикловой комиссией «Общеобразовательных дисциплин».
Председатель ПЦК_____________________ / Н.И.Коростелева/

Введение
Методическое пособие «Сборник индивидуальных заданий по математике для студентов 2 курса» предназначено для выполнения индивидуальной работы студентов в качестве закрепления изученного материала.
В первой части пособия содержится справочный материал: основные определения, теоремы, свойства и формулы, необходимые при решении индивидуальных заданий; во второй части предлагаются индивидуальные задания по темам, которые включают в себя основные разделы алгебры, математического анализа и высшей математики.
Выполнение индивидуальных заданий способствует освоению курса математики, систематизации знаний, развития и формирования навыков самостоятельной работы.
Решение предложенных заданий студенты оформляют в отдельных тетрадях. Выполнение работы оценивается по следующим критериям.
Критерии оценки:
«5»-работа выполнена на 90-100%, имеется небольшое кол-во второстепенных ошибок и недочетов;
«4»-работа выполнена на 75-80%, т.е не выполнено какое-то одно задание, имеется небольшое кол-во второстепенных ошибок и недочетов;
«3»-работа выполнена на 55-60%, т.е не выполнено 2 задания или имеется ряд основных и второстепенных ошибок, но в целом понимание основных понятий;
«2»-работа выполнена менее, чем на 50%, имеется большое кол-во основных ошибок и недочетов.
Оглавление
Введение 3
Справочный материал 5
Индивидуальные задания 10-28
Решение систем линейных уравнений 28
Дифференциальные исчисления 29-30
Исследование и построение графика функции с помощью производной 31
Интегральное исчисление 32-33
Приложение определенного интеграла 34
Предел функции 35-36
Дифференциальные уравнения 37-38
4. Литература 39
Справочный материал
Элементы линейной алгебры
Системы линейных уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений
Пусть дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
а11х1+а12х2+а13х3=b1а21х1+а22х2+а23х3=b2а31х1+а32х2+а33х3=b3
Систему уравнений можно представить в матричном виде А∙Х=В , где А − основная матрица системы, XE "Основная матрица системы" \b состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных; Х − матрица-столбец неизвестных, В − матрица-столбец свободных членов системы:
А=а11 а12а13а21 а22а23а31 а32а33, В=b1b2 b3 , Х = х1х2 х3 Используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:
а11 а12а13а21 а22а23а31 а32а33∙b1b2 b3 =х1х2 х3 илиА∙Х = В
Если матрица невырожденная, т.е. определитель матрицы отличен от нуля ∆≠0, то исходная система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формуле Х= А-1∙В, где А-1− обратная матрица к матрице .
Определитель третьего порядка матрицы XE "Определитель третьего порядка" вычисляется по формуле XE "Правило Сарруса" \b
∆=А=а11 а12а13а21 а22а23а31 а32а33=а11∙а22а23а32а33-а12∙а21 а23а31 а33+а13∙а21 а22а31 а32
Обратная матрица XE "Обратная матрица" \b находится по формуле: А-1=1АА11 А21А31А12 А22А32А13 А23А33 Алгебраические дополнения XE "Алгебраическое дополнение" \b Аig элементов аig матрицы А находятся по формуле, Аig = (-1)i+g∙Mig, где Mig – минор элемента XE "Минор элемента" \b аig матрицы А представляющий собой определитель, полученный из основного определителя вычёркиванием i- й строки и g-го столбца.
Пример 1 Решить систему уравнений матричным методом
х1+4х2+х3=7;-4х1+8х2+3х3=6;х1+6х2+2х3=8.Решение: Составим матричное уравнение: А∙Х = В, где
А= 1 4 1-4 8 31 6 2 , В = 798 , Х = х1х2 х3 Вычислим определитель матрицы А.
∆=А=1 4 1-4 8 31 6 2=1∙8 36 2-4∙-4 3 1 2+1∙-4 8 1 6==(16-18)-4(-8-3)+(-24-8)=-2+44-32=10≠0 Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная, для неё существует обратная матрица A-1.
Вычислим алгебраические дополнения Аig для каждого элемента аig основной матрицы.

Таким образом, имеем следующую обратную матрицу:
Тогда матричное решение исходной системы Х= А-1∙В имеет вид:


Ответ: .
Метод Крамера
Рассмотрим решение системы (1) с помощью формул Крамера
Дополнительные определители получаются из основного Δ, если в нём заменить соответственно первый, второй, …n-й столбец на столбец свободных членов системы.
Таким образом, для решения системы (2.1) с учетом уже введённых обозначений, дополнительные определители будут иметь вид:

Пример 2 Решить систему уранений, пример 1, по правилу Крамера.
Метод Гаусса
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных. Он состоит в следующем:
систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.
из полученной треугольной системы переменных находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход)
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число,
сложение и вычитание уравнений,
перестановку уравнений системы,
исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.
Пример 3 Используя метод Гаусса, решить систему уравнений:
3∙х + 2∙у –z = 4
2∙х – y + 3∙z = 9
х – 2∙y + 3∙z = 13

Решение. Переставим третье уравнение на место первого:
х – 2∙y + 3∙z = 13
3∙х + 2∙у –z = 4
2∙х – y + 3∙z = 9

Запишем расширенную матрицу

В следующей матрице первую строку оставим неизменной, а вторую и третью строки получим в результате умножения первой строки на 3, а затем на 2 и вычитанием поочередно первой и второй, а затем первой и третьей строк.

Разделим вторую строку на 8

Домножим вторую строку на 3 и из нее вычтем третью строку

Получили треугольную матрицу. Прямой ход выполнили.
Обратный ход: последнюю строку матрицы запишем в виде уравнения.
Получим: ,
Предпоследнюю строку матрицы запишем в виде

и подставим вместо z найденной значение 3

И далее, из первого уравнения получим

Итак, получили x = 1, y = 2, z = 3
Ответ: (1; 2; 3)
1.2. Дифференциальные исчисления
Определение. Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. у΄= lim∆х→0∆у∆х Производная суммы, разности, произведения и частного функцийНахождение производной функции непосредственно по определению (т.е. с помощью теории пределов) связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пусть функции и две дифференцируемые в некотором интервале функции.
Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функции равна сумме (разности) производных этих функций:

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

Теорема 3. Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя

Производные элементарных функцийТаблица производных основных функций
№ Формула Формула
1 15
2 ( 16
3 17
4 ( 18
5 19
6 20
7 21
9 22
10 23
11 24
12 25
13 26
14 27
Примеры
Найти производную функции у = х5+2х3-6х+1
Решение: у′ = (х5+2х3-6х+1)′= (х5)'+2(х3)'-6(х)'+(1)′=
5х4+6х2-6.
Найти производную функции у = х ∙sinхРешение: воспользуемся формулой . Получим

Найти производную функции
Решение: воспользуемся формулой . Получим

Производная сложной функцииНа практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций.
Определение: Пусть и , тогда сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.
Производная сложной функции вычисляется по формуле

Пример1 Найти производную функции
Решение: Воспользуемся формулой

Пример 2 Вычислить производную функции
Решение: Воспользуемся формулой

Пример 3 Вычислить производную функции
Решение: Запишем данную функцию в виде:
и воспользуемся формулой . Получим

далее применим формулу

Общая схема исследования функции и построения графика
Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;
4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);
5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;
6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;
7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.
Пример Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) область определения : ;
2) функция терпит разрыв в точках , .
Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.
; , ─ вертикальная асимптота.
; , ─ вертикальная асимптота;
3) исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.
Прямая ─ наклонная асимптота, если , .
, .
Прямая ─ горизонтальная асимптота.
4) функция является чётной т.к. . Чётность функции указывает на симметричность графика относительно оси ординат;
5) найдем интервалы монотонности и экстремумы функции.
.
Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не существует: ; . Имеем три точки ; . Эти точки разбивают всю действительную ось на четыре промежутка. Определим знаки на каждом из них.
+ + ─ ─
-1 0 1
max


На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция возрастает, на интервалах (0; 1) и (1 ; +∞) ─ убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум ;
6) найдём интервалы выпуклости, точки перегиба.
.
Найдём точки, в которых равна 0 или не существует.
не имеет действительных корней. , ,
Точки и разбивают действительную ось на три интервала. Определим знак на каждом промежутке.
+ ─ +
-1 1

Таким образом, кривая, на интервалах и выпуклая вниз и выпуклая вверх на интервале (-1;1); точек перегиба нет, т. к. функция в точках и не определена;
7) найдем точки пересечения с осями.
С осью график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью график не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней.
График заданной функции изображен на рисунке .


1.3. Интегральные исчисления
Первообразная. Неопределённый интеграл.
  Первообразная. Непрерывная функция  F(x) называется  первообразной для функции  f(x) на промежутке  Х ,  если для каждого х∈Х  , F΄(x) = f(x)
Неопределённый интеграл функции f(x) на промежутке  Х есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде: fxdx=Fx+C, где  С  – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.
Основные свойства неопределённого интеграла.
Если функция  f(x) имеет первообразную на промежутке  Х, и  k – число, то
k fxdx= kfxdx. Постоянную можно выносить за знак интеграла.
Если функции f(x) и g(x) имеют первообразные на промежутке Х , то
( fx+gx)dx= fxdx+gxdx. Интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если функция   f(x) имеет первообразную на промежутке Х , то для внутренних точек этого промежутка: fxdx) ΄= f(x) .
Производная от интеграла равна подынтегральной функции.
 
Если  функция  f(x)  непрерывна на промежутке  Х  и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: dfxdx=  f(x) + C.
Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
Таблица основных интегралов.
Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов.
dx=x+Cxndx=xn+1n+1+C, n≠-1dxx=lnx+Cexdx=ex+Caxdx=axlna+Csinxdx=-cosx+Ccosxdx= sinx+Cdxsin2x=-ctgx+Cdxcos2x=tgx+Cdx1-x2=arcsinx+Cdx1+x2=arctgx+Cdxa2-x2= arcsinxa+Cdxa2+x2=1aarctgxa+Cdxx2±a2=lnx+x2±a2+Cdxx2-a2=12alnx-ax+a+CСпособы вычисления неопределенного интеграла
Вычисление интегралов способом приведения их к табличному с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения свойств интегралов называется методом непосредственного интегрирования.
Пример 1 х23dx= x5353+C= 35x53+C=35x3x2+C.Пример 2 (5х3-2x2+3х-8)dx = 54x4-23x3+32x2-8x+C.Пример 3 (7x2+3cosх-3х)dx=73x3+3sinx-34x3x+C.Пример 4 cos2хсos2xsin2xdx=сos2x-sin2xсos2xsin2xdx=dxsin2x-dxсos2x=-ctgx-tgx+C.
Пример 5 2dx31-x2=23dx1-x2=23arcsinx+C.
Интегрирование методом замены переменной.
Возникает вопрос, как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.
Правило интегрирования:
Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменой, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной( или выражение содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.
Пример 1
Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t часто удобно принимать показатель степени, если к тому же под интегралом присутствует производная этого показателя с точностью до постоянного множителя.
5x2e-x3dx=обозначим:t=-x3dt=-3x2dxx2dx=-13dx=5et(-13)dt=-53etdt=-53et+C=-53e-x3+C.
Пример 2
Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то часто удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует к тому же и производная этой функции (с точностью до постоянного множителя).
ln3(2x-3)(2x-3)dx=t=ln2x-3dt=12x-3∙2dx12x-3dx=12dt=t3∙12dt=12t3dt=12∙t44+C=18ln42x-3+C.Интегрирование по частям.
Интегрирование “по частям” производится по формуле u∙dv=u∙v-vdu Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить за “u”, а оставшийся множитель вместе с dx принять за “dv”. Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного интеграла, надо правильно выбрать “u” и “dv”. В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за “u”. Если подынтегральная функция содержит произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за “u” принимается степенная функция.
Пример 1
lnx3x2dx=u=lnx; du=1xdx dv=dx3x2; v=x-23dx=x1313=33x= lnx∙33x -3∙x13∙1xdx= 33x∙lnx-3x-23dx=33x∙ lnx-3∙33x+C=33xlnx-3+C.Пример 2
x·sin5xdx=u=x; du=dx dv= sin5xdx;v=sin5xdx=-15cos5x= x·(-15cos5x)--15cos5xdx= -15xcos5x+15cos5xdx= -x5cos5x+125sin5x+C.Определенный интеграл
Определение: Если F(x) +C – первообразная для функции f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента от х=а до х = b называется определенным интегралом и обозначается символом abfxdx, т.е.abfxdx=Fb– Fa, Процесс вычисления виден из формулы abfxdx=Fb– Fa .
Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Вычисление площади криволинейной трапеции.
Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой у =x2-6x+5 и прямой y = x-1. Сделать чертеж.
Решение. Построим параболу и прямую. Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат. Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю. у΄ = (x2-6x+5)΄ = 2x-6; 2x-6=0; х=3, тогда у(3)=32-6·3+5=9-19+5=-4.
Итак, вершина параболы в точке (3;-4).
Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда x2-6x+5=0, откуда х1= 1; х2 =5, то есть точки (1;0) и (5;0).
Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=5; то есть точка (0;5). Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх. Прямую y = х-1 строим по двум точкам: (0;-1) и (1;0). Полученные точки заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:
у=x2-6x+5y=x-1 ⤇x2-6x+5=x-1⤇x2-7x+6=0.D = 49 - 4·6=25; х1,2 = 7±52 ; х1 =1; х2 = 6.
Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой
S= abf2x-f1xdx,
где функции f1x и f2x ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть f2x≥f1x при x∈a;b.
В нашей задаче f1x =x2-6x+5; f2x=х-1; x∈1;6.
Поэтому:
S= 16(x-1-(x2-6x+5))dx=16-x2+7x-6dx=(-x33+7∙x22-6x)16=-2163+7∙362-36-(-13 + 72-6)=1256.Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции: S = 1256=2056 (кв.ед).
1.4.Теория пределов
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа найдётся такое положительное число , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Этот предел функции обозначается: или ƒ(х)→А при х→х0.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах: если существуют и , то
1) ;
2) ;
3) ;
4) (при ).
Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х0, или при х→∞, если её предел равен нулю
Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х0 (или при х→х0), если имеет место одно из равенств:
Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций) : если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х0, то ─ бесконечно большая функция при х→х0, и наоборот.
Первый замечательный предел .
Второй замечательный предел .
Пример 1 Найти предел
Решение: Поскольку функция непрерывна в точке , искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о действиях над пределами функций, получим

Пример 2 Найти предел
Решение: При числитель стремится к пяти (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т. е.

Пример 3 Найти предел
Решение: При числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределённость вида , необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить их на общий множитель .

1.5. Дифференциальные уравнения
Уравнения с разделяющимися переменными
№1 Вид уравнения Алгоритм решения
1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными.
f1уdу=f2хdх (1) Проинтегрировать почленно
f1уdу=f2хdх2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
f1хg1уdу+f2хg2уdх=0Приводим к уравнению (1)
Разделим обе части уравнения на произведение f1хg2у получим
уравнение g1уg2уdу+ f2хf1хdх=0Проинтегрируем уравнение
g1уg2уdу+f2хf1хdх=С3. Однородное дифференциальное уравнение
Q(х;у)dу +P(х;у)dx=0
Q(х;у) и P(х;у) – однородные фунции одной степени относительно х и у.
Введем замену: у = хu (2)
dу = udx + xdu (3)
Получим уравнение с разделяющимися переменными.
Находим решение полученного уравнения относительно функции u.
Вместо u, в полученное решение подставим u = ух4. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
у′ + P(х)у = Q(х)
Q(х) , P(х) – либо непрерывные функции, либо постоянные числа
Введем замену: у = хu (4)
у′ = u′v + v′u (5)
и подставим в данное уравнение.
Получим уравнение
u′v + v′u + P(х) uv = Q(х)
u′v + u( v′ + P(х) v) = Q(х)
Выберем v так, чтобы
v′ + P(х) v = 0
Решим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции v.
Решим уравнение (6) вместо v подставим найденное выражение. Получим уравнение с разделяющимися переменными, решим его и найдем u.
Найдем решение исходного уравнения в виде у = uv
      Пример Решить дифференциальное уравнение .
Запишем данное уравнение в следующем виде:
      
Разделим обе части на (x2 + 4)y:
      
Теперь можно проинтегрировать полученное уравнение:
      
Заметим, что dx2 = d(x2 + 4). Следовательно,
      
Представим константу C как lnC1, где C1 > 0. Тогда
      
Таким образом, заданное дифференциальное уравнение имеет следующие решения:
      
Полученный ответ можно упростить. В самом деле, введем произвольную константу C, принимающую значения от −∞ до +∞. Тогда решение можно записать в виде:
      
Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
у′′ +ру′ + gу =0 линейное однородное уравнение 2-го порядка
k2+ pk+g=0 характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения Вид решения
k1, k2 - действительные различные корни у = С1ek1x+С2ek2xk = k1= k2 ; k1, k2 - действительные равные корни у = С1ekx+С2xekxk1, k2 = ∝ ± iβk1, k2 – комплексные корни у = eαx(С1cosβх+С2sinβх)Пример у′′ - 3у′ + 2 = 0
Характеристическое уравнение k2-3k+2=0; k1 = 1; k2=2; k1≠ k2Общее решение: у = С1ex+С2e2xРешения систем линейных уравнений
Задание: решить систему:
а) матричным методом;
б) методом Крамера;
в) методом Гаусса
№ Система уравнений № Система уравнений
1 5x-y-z=0;x+2y+3z=14;4x+3y+2z=16.11 x+3y-6z=12;3x+2y+5z=-10;2x+5y-3z=6.2 x-2y+3z=6;2x+3y-4z=20;3x-2y-5z=6.12 5x+y-3z=-2;4x+3y+2z=16;2x-3y+z=17.3 5x-3y+4z=11;2x-y-2z=-6;3x-2y+z=2.13 5x+3y+3z=48;2x+6y-3z=18;8x-3y+2z=21.4 7x-3y+5z=32;5x+2y+z=11;2x-y+3z=14.14 3x-2y+z=10;x+5y-2z=-15;2x-2y-z=3.5 5x-3y+4z=6;2x-y-z=0;x-2y+z=0.15 x+3y-6z=12;3x+2y+5z=-10;2x+5y-3z=6.6 -х+4у+2z=6;6х+4у+8z=-8;-2х+9у+4z=1316 -х+4у+2z=4;6х-3у+8z=-4;-2х+7у+4z=87 -3х+9у-2z=7;х-6у+2z=-7;х+2у-2z=5.17 х+8у-6z=13;2х+6у+4z=12;х+2у+4z=5.8 х+2у-8z=-14;-2х+6у+z=8;х-3у+2z=1.18 7х+4у+4z=4;6х-2у+2z=-10;5х+9у+5z=17.9 -2х+2у-2z=-10;х+у+5z=5;3х-3у+z=13.19 3х+2у+6z=6;2х+2у+4z=2;4х+3у+3z=-310 -x+2у-4z=0;4х+2у+z=10;3х-2у+7z=2.20 4х+4у+z=9;х+4у-3z=-2;-2х+3у-6z=-12.Дифференциальные исчисления
Задание: найти производную функции
№ № 1 у = 2x2+5х -sinху = 5х2+1у = (х-5х3+10)2у = 1x2+х+1
у = ln(3х+1)∙sinх
11
у = 2cos2ху = arcsin(3x+5)∙x2у = (2х+1)10у = 4х3х+1у = 1-х1-х2 у = 3х∙ln2xу = 32х-8у = (x2+5х)(cos(3х))у = 2-x2ху = ln(3х+1х+3) 12
у = х3+5у = cos25ху = (x2+х)(cosх)у = 5хsin⁡(3х+1)у = (7х-х3+10)43 а) у = sin2(3x-5)у = 53х+2у = (x5)sin(3х+2)у = 2-x2ху = ln(3х+1х+3) 13
у = 3х7log3ху = x2-7⁡cos(5х-1)у = 22х+3+sin(4х+π)у = 3(2х+5)2у = lnх+е3х4 у = lnx2+7у = arctg x3у = 13(2х+5)2у = (3x2-5)(sin2х)у = 2+x23x14 у = 2ln(х+2)2у = arccosx4у = x22-ху = tg3(8x+6)у = (x2-7)sin5х5 у = sin3(5x-13)у = arcsinx4
у = 6x212-ху = ln37х+2у = 3(5х-9)15 у =еcos6ху = arcsin x-14у = 124x2-7у = lnxsin(5-x2)у = (3x2+9)(cosx3)6 у = 7x ∙ln(1-5x3) у = (3x+1)(sinх)у = x2-4х+9у = х-8sin(4х+5)у = log6(7x2-4х)16 у = ln3x2-7у = 2cos610х
у = 5 sin2ху = sin(4х-8)x2у= 4 + 3x2-8х+57 у = (х-6)∙е9ху = 74x+1у= sin4х-3x2у = cos57х + log5x2у = 4sin2хx2-817 у = arcsin4 3х
у = (9x2+5)sin9ху = 63x2+7ху = ln(х+1x2)
у = 1- sin3х8 у = ln(tg4x)
у = 4x2-3ху = 8x2+2(sin5х)у = sin4 3х
у = cos6x2x18
у = 4sin2ху = cos2х∙lnxу= 3x2-4у = 72+x2у = log3(x2+4х)9 у = ln(cosx)у = 1+sin5ху = x2arcsinху = 17cosх3x2у = 33x2+cosx19
у = 3cos2ху = sin3хx2у = ln(sin3х)
у = 5ln(x4) + log53x2у = 15x- cos3x210 у = arccos5(3х)
у = ln4x-5у = sin5хx2у = 74x+1у = (x2-15)sin3х20
у = е2х+3у= 67x2-4у = sin8х7x2у = log4(9x2-4)у = arcsinx24

Исследование и построение графика функции с помощью производной
Задание: исследовать функцию и построить график
№ № 1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
10 20
Интегральные исчисления
Задание: найти интеграл
№ № 1 2x∙3xdx2) у6+8у4+1уdу
3) xdxx2+94) -102x(x2-1)9dx5) 110dxx211 74х3dx
x23+x+4dx24x-2xdx4x1011(x2-3x+2)dx121+2x2xdx2 1+x2+1хdxx2dx4+3x3 3x∙42xdx01dx4-3x-21(5-2x)3dx12 x3-2x+1x1x3+4x5dx2x∙32x∙53xdx-10dx7-3x314dx5-x
3 x3+3x-1xdx
x2+21+x2dxdx49+27x20122x-1x2-x+1dx9-52xdx144+x2 13 (2cos2x-e4x-2+6x2)dx18e-0.5x+1dx3(3x+1)2dx
-11x2dx2x3+3323dx9-x24 x2-3x+4xdx
x2+21+x2dx3dx43x+524x2+2x2dx12(x2-1)3dx 14 3sin2x+6-2x+1+4xdx6e2xdx(x+5)7dx01ex5+exdx127dx3x25 (3ех+5sinх+4)dx(x+2)2xdxdx25-x2122x+1dx01xdx(x2+1)215 (4x+3x2-cosx)dxx2dx4+3x2dx1-9x201e2xdx02x3-xdx6 2ex+3x2dx(3x-1)5dxdx9-4x212(x2-1)3dx07dx3(x-8)2
16 2x-3x4+e2xdxdxx2-37-3x-x3dx-10dx7-3x303dx1+x27 3x-2cos5x+5dx3-x+2dxsin2xcosxdx141+xxdx127dx3x217 (13x++xx)dxxdx3+x2e3x+5dx-11(x+sinx+x10)dx-11(4x2+x2)dx8 2x+x2+21+x2dxx27+3x3dxx5+5x-sin2xdx02(5x2+6)dx13dx1+x218 1)x-34-x2dx2)dx9+x2 3) 43x3-32x2+8dx4) 23xx2-1 dx23dx3x+49 (x-1)2xdxcos2xdxcos2x(e3x-13x+sinx) dx01(2x3-1)4x2dx24dxx-119 3sin2x-2x2+1dx2x∙32xdx3)(5-х3)2dx4) -11(2ex-3x2)dx 5) 01ехdx3+ех10 (sin3x+41-x2) dx
(2х-1)7dxx2dx1+x2233x2+хdx122х+2х+1dx 20 3cos2x+e-2xdxdx2-5хdx2-x01xdx4+x212(2x+2x+1)dxПриложения определённого интеграла
Задание: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
№ № 1 Параболой у = (х+1)2, прямой у = 1-х и осью Ох. 11 Параболами у = 4-х2,
у = (х-2)2 и осью Ох.
2 Параболой у = 4-х2, прямой
у = х + 2 и осью Ох. 12 Параболой у = 6х-х2 и прямой
у = х + 4.
3 Параболой у = 4х-х2, прямой
у = 4 - х и осью Ох. 13 Параболой у = 4-х2 и прямой
у = х + 2.
4 Параболой у = х2, прямой
у = 1,5х + 4,5 и осью Ох. 14 Параболой у = 2-х2 и прямой
у = - х .
5 Графиками у = х , у = (х-2)2 и осью Ох. 15 Параболой у = х2-6х+7 и прямой у = х +1.
6 Графиками у = х3 , у = 2х-х2 и осью Ох. 16 Параболой у = х2+6х+7 и прямой у = х +7.
7 Параболой у = х2+1 и прямой
у = 3 - х. 17 Параболой у = -х2-6х-5 и прямой у = х +1.
8 Параболой у = (х+2)2 и прямой
у = х+2. 18 Параболой у = х2+6х+7 и прямой у = -х +1.
9 Графиком функции у = х и прямой у = х. 19 Параболой у = х2-4х+1 и прямой у = х +1.
10 Параболами у = 6х2,
у = (х-3)(х-4) и осью Ох. 20 Параболами у = 1-х2 и у = х2- 1.
Предел функции
Задание: найти предел.
1 1) limх→2(3x2-2х)2) limх→133x2+5х-23х-1lim3) lim х→∞(х+2х)2хlim11 limх→4x2-2хх-3limх→∞2x3+хх3-1lim 3) limх→∞(1+5х)х2 1) limх→2(1х-2- 4x2-4)lim2) limх→23x2-2х-12x2-3х+1lim3) limх→∞(2х-32х-1)4х12 limх→13x2-2х-12x2-3х+1limlimх→∞3х-1х2+1lim 3) limх→∞(х+5х)2х3 limх→∞5x2-3х+22х2+4х+1limlimх→1x5-1х4-1lim 3) limх→0(1-3х)2х13 1) limх→∞3х-1х2+12) limх→1х3-x2-х+1x3+x2-х-1lim 3) limх→∞(4х-54х-3)3х+54 limх→∞2x2-14х-16х2-10х+16limlimх→-23x2-х-14х2+8х+12lim 3) limх→5х+4-3х-1-214 limх→-23x2+5х-2х2+7х+10limlimх→59-х-23-х+4lim 3) limх→∞х3-1x2+15 limх→25x2-25х+30х2+2х-8limlimх→∞5x2-3х+22х2+4х+1lim3) limх→∞(1+1х)х+415 limх→∞х+32x2+3х+4lim2) limх→∞2x2-3х-51+х+3x23) limх→∞(1+4х)х+16 1) limх→∞2x2-3х-5х+1lim2) limх→3x2-9х-3lim3) limх→∞(1-15х)2х16 limх→2x2-4х-2lim limх→∞x2+2х+32x2+3х+4lim 3) limх→∞(1+1х)2х+17 limх→∞5x3-7х1-2x3 limх→∞(1-13х)х limх→-1x2-х-2x3+117 limх→∞2х-3x2+2limх→3x2-5х+6х-3 limх→∞(1+2х)3х8 limх→3(x2+2х-3)2x3+4x2+3х limх→-25x2+13х+63x2+2х-8 limх→∞x3+5x2+318 limх→∞4x2-8х+33х-5x2+8limх→4х-4х-2-6-х3) limх→∞(х+2х-6)3х-19 limх→52x2+15х+25x2+15х+50limх→∞x2+2х+32x2+3х+4 limх→∞(1-5х)х19 limх→∞2х3+4x2+5limх→-1x2-х-2x3+1 limх→∞(1+1х)х+110 limх→-16x2+113х+73x2+8х+5limх→∞x2+х-1x2+43) limх→∞(хх+1)х20 limх→5x2-25х-5limх→∞х+32x2+3х+4 limх→∞(1+4х)х+3Дифференциальные уравнения
Задание: найти общие решения уравнений
1 1) ху′=2у
2) (ху2+х)dx+(у-x2у)dу=0
3) у′′-3у+2у=0 11 1) (1- х)уdх+(1+у)хdу2) у'+1-2хx2у=13) у3) 16у′′-24у′ +9у=0
2 1) (х+у)dx+хdу=0
2) (x2+у2)dx=2хуdу3) у′′+12у=7у′ 12 1) (1+х)уdх+(1-у)хdу2) у'+1ху=sinхх3) у′′-2у′ +у=0
3 1) (1+2у)хdx+(1+x2)dу =0
2) (х-у)уdx-x2dу=03) у′′-2у′+10у=0 13 1) (2х-1)dу=(у+1)dу2) ху'+2у=1х3) 5у′′+32у′ -21у=0
4 1) (х-2у)у'=2х-у
2) ху1+x2у'=1+у23) у′′+4у′+8у=0 14 1) (у-5)dх+x2dу=02) у'+у=е-х3) 3у′′+23у′ -8у=0
5 1) (1+у2)dx - хуdу=0
2) (х-у)уdx-x2dу=03) у′′+2у′+5у=0 15 1) (у+1)dх+(х-1)dу=02) у'=х3-2ух3) 3у′′+23у′ -8у=0
6 1) (1+у2)dx - хуdу=0
2) (ху-х) dу + уdx=0
3) у′′-7у′+12у=0 16 1) уdх-хdу=02) dуу+dx=dxх3) у′′+4у′ + 29у=0
7 1) х-1у+1dx + х+1у-1 dу=0
2) 2х+5уdx+(5х+3у)dу =0
3) у′′-4у′+3у=0 17 1) уdх-хdу=02) у'+x2у=x23) у′′+6у′ + 13у=0
8 1) у'-ху+у=02) у'-4ху=х3) у′′-5у′+6у=0 18 1) 1+уdх=(1-х)dу2) у'+x2у=x23) у′′+4у′ + 4у=0
9 1) 2dуу=dxх2) у'+x2у=x23) у′′+2у′+5у=0 19 1) 2-уdу=хdx2) dуdx+4хуx2+1=1x2+13) 4у′′- 12у′ + 9у=0
10 1) х3dу-у3dx=02) dуdx+1=ух3) у′′- 6у′ + 9у=0 20 1) х2dу-12у3dx=02) dуdx=у+х3) у′′- 6у′ + 9у=0
Литература:
Т. И. Лисичкин, И. Л. Соловейчик «Математика»
Н. В. Богомолов «Практические задания по математике»: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – 5-е. изд., стер.- М.: Высш. Шк., 2000г.
Сборник задач по математике: Учеб. пособие для ссузов.-М.:Дрофа,2003г.
А.А. Дадаян «Сборник задач по математике» .М.: ФОРУМ: ИНФРА- М, 2007г.
С.Г.Григорьев, С.В. Задулина «Математика» .М: Издательский центр «Академия», 2005г.