Функциональная пропедевтика в курсе математики.

Функциональная пропедевтика в курсе математики.
Изучение математики в 5-6 классах должно обеспечить необходимое накопление фактов, создание базы, позволяющей совершить качественный скачок в изучении понятия функции.
То, что мы называем функциональной пропедевтикой, и есть количественное накопление, на базе которого учитель получает возможность сделать качественный скачок в изучении функции (дать определение понятия функции, изучать её свойства, исследовать функции).
Подготовительная работа по созданию функциональной базы должна вестись регулярно и систематически. Эта работа должна быть направлена на подготовку учащихся к усвоению содержания понятия функции, к усвоению различных способов задания функции:
а) перечислением всех пар соответствующих элементов;
б) табличным способом;
в) графическим способом;
г) аналитическим способом (задание функции формулой).
Возникает вопрос: «Каким образом следует осуществлять работу по подготовке учащихся к изучению функции?»
В 5 классе вводится понятие переменной и понятие выражения с переменной. Учитель может предложить учащимся задачу:
Задача: Найти значение выражения:
а) 38 + у, если у = 92;
б)15 m, если m = 60.
Аналогичные задания способствуют усвоению аналитического способа задания функции. Полезно обратить внимание учащихся на то, что значения выражений, например, 4 m; 25 + у изменяются от изменения значений m, у.
Заполнение таблицы способствует пониманию табличного способа задания функции.
m 4m
0 6 15 18 Учитель поясняет: в первом столбце таблицы пишем значения переменной m, а во втором – значения выражения 4m.
Кроме того, введение в 5 классе понятия координатной плоскости позволяет рассматривать следующие задания:
Задание 1: Построить график зависимости значений 4 m от значений m (m = 0, 1, 2, 3 и т.д.).
Задание 2: Соединить полученные в задании 1 точки (учитель обращает внимание учащихся на то, что эти точки принадлежат одной прямой и соответственные значения можно находить с использованием построенного графика.
Такие упражнения способствуют усвоению графического способа задания функции.
Задание 3: «М = {0;1;2;3} - множество значений переменной m. Запишите множество значений выражения 6m и соответствующие значения в виде пар»
Упражнения такого вида готовят учащихся к пониманию способа задания функции перечислением соответствующих пар элементов множеств.
Богатый материал для работы по подготовке учащихся к изучению понятия функции дают разделы, связанные с зависимостью между результатами арифметических действий и их компонентами.
Рассмотрим некоторые примеры.
а) Зависимость между слагаемыми и суммой.
Учащимся предлагается сложить 2 числа. Например: 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 2 + 10 = 12, 2 + 15 = 17 и т.д. Далее выясняется, что в данном процессе второе слагаемое и сумма являются переменными, с изменением слагаемого изменяется и сумма.
Слагаемое сумма
3 5
4 6
10 12
а a + 2
Учитель поясняет: данную зависимость можно представить в виде таблицы, в первом столбце которой записаны переменные слагаемые, а во втором – значение сложения числа 2 с данным слагаемым. Второе слагаемое обозначим буквой а, тогда сумму можно вычислить по формуле (а + 2), где а принимает любое значение.
При изучении диаграмм необходимо показать учащимся как можно эту зависимость изобразить в виде диаграммы, а при рассмотрении координатной системы – в виде графика. Учитель поясняет: «Если через полученные точки графика провести прямую, то соответствующие суммы можно находить по чертежу.» Затем задает вопросы. Например: а) Какая сумма соответствует слагаемому и т.д.? б) Какое слагаемое соответствует сумме 5; 2 и т.д.?
б) Зависимость между сомножителями и произведением.
Учащимся предлагается найти произведение двух чисел.
Например: 2 2 = 4; 2 3 = 6; 2 4 = 8; 2 5 = 10 и т.д. Затем выясняется, что в данных примерах изменение сомножителя влечёт изменение произведения. Составляется таблица, в первом столбце которой записывают значения переменного множителя а, а во второй – значения полученного произведения 2 а
сомножитель произведение
3 4
3 6
4 8
а 2 а
В данном случае а может быть любым числом.
Если зависимость произведения от сомножителя изобразить в виде диаграммы или графически, то окажется, что и в этом случае отмеченные точки будут принадлежать одной прямой. Построенный чертёж можно использовать при решении упражнений, аналогичных приведённым выше.
в) Зависимость между делителем и частным.
Учащимся предлагается найти частное двух чисел. Например:18 : 2 = 9; 18 : 3 = 6; 18 : 6 = 3… Далее учитель поясняет: «В отличие от предыдущих видов зависимости в данном случае а0 и 18 кратно а (если рассматривается множество неотрицательных чисел), а может быть 1; 2; 3; 6; 9; 18. Если изобразить эту зависимость графически, то окажется, что полученные точки не лежат на одной прямой».
Аналогичная работа должна проводится при решении задач, особенно на движение (зависимость между скоростью, временем и пройденным путём), работу (зависимость между производительностью труда, временем работы и объёмом работы) и т.д.
Хорошие возможности для подготовки учащихся к усвоению понятия функции имеются при изучении геометрического материала. В геометрии можно рассмотреть зависимость периметра равнобедренного треугольника от его стороны, если основание не изменяется, зависимость периметра и площади квадрата от его стороны.
Следует обратить внимание на решение упражнений, способствующих формированию понятий области определения функции и области значений функции. К ним относятся упражнения на нахождение допустимых значений букв, позволяющие постепенно видеть под буквой число, предупреждают формализм в знаниях учащихся.
Приведём примеры таких упражнений.
1) Какие значения из множества целых неотрицательных чисел принимает х в выражениях: а) х + 5, б) 7 - х, в) 15 : х ?
Какие значения могут принимать сами выражения?
2) При всех ли значениях а значения выражения -2а отрицательны?
3) При каких значениях а верны неравенства: а) а < 2а, б) 9а > -9а?
4) При всех ли значениях х выражения имеют смысл?
Такого рода упражнения следует решать с первого знакомства учащихся с буквенной символикой.